Содержание к диссертации
Введение
1 Весовое пространство целых функций нескольких комплексных переменных 16
1.1 Пространства Е(Ф) и Р(Ф*) 16
1.2 Вспомогательные утверждения 19
1.3 Полнота многочленов в Е(Ф) 27
1.4 О преобразовании Лапласа функционалов из Е'(Ф) 29
1.5 Описание пространства Е*(Ф) 31
1.6 Ядерность пространства Е(Ф) 38
1.7 О существовании базисов в Е(Ф) в специальном случае весовых функций 43
1.8 Дифференциальные операторы в пространстве Е(Ф) 48
2 Весовое пространство бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой 55
2.1 Пространство Е(ьр, w) 55
2.2 Описание пространства Е{p,w) 60
2.3 Пространство (<р,си) 64
2.4 Описание пространства (<р,ш) 68
2.5 Ядерность пространства (
3 Весовое пространство последовательностей 77
3.1 Пространство А(ф) 77
3.2 Описание пространства А*(ір) 79
3.3 Разностный оператор в пространстве А((р) 83
Заключение
- О преобразовании Лапласа функционалов из Е'(Ф)
- О существовании базисов в Е(Ф) в специальном случае весовых функций
- Описание пространства Е{p,w)
- Разностный оператор в пространстве А((р)
Введение к работе
В диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к теории функций, комплексному анализу, функциональному анализу и теории дифференциальньссуравнений. Определены новые классы весовых пространств целых функций в Сп, бесконечно дифференцируемых функций на вещественной оси и последовательностей. Изучаемые пространства являются локально выпуклыми пространствами Фреше и задаются с помощью весовых функций полиномиального роста. Акцент в работе сделан на изучение ситуаций, когда зазор между весовыми функциями может быть небольшим. Например, логарифмическим.
В работе рассматриваются следующие основные вопросы:
описание сильного сопряженного пространства к изучаемым пространствам в терминах преобразований Лапласа (или Фурье -Лапласа);
анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными конечного порядка с постоянными коэффициентами в весовых пространствах целых функций;
проблема базиса в весовом пространстве целых функций;
разрешимость неоднородных разностных уравнений в весовых пространствах последовательностей.
Описание сопряженных пространств в терминах преобразований Лапласа или Фурье-Лапласа является одной из важных задач теории функций и комплексного анализа. Этой проблеме посвящены
работы многих российских и зарубежных математиков: Л. Шварца, Р. Пэли, Г. Полна, Н. Винера, Л. Эренпрайса, Л. Хёрманде-ра, А. Мартипо, B.C. Владимирова, В.В. Напалкова, Б.А. Тейлора, Р.С. Юлмухаметова, В.В. Жаринова, Г.И. Эскина, A.M. Седлецко-го, А.В. Абанина, СВ. Попенова, В.А. Ткаченко, Ф. Хаслингера, И.Х. Мусина, В.И. Луценко, Р. Майзе, Роевера (J.W. de Roever) и др. Такое описание позволяет интерпретировать сопряженное пространство к изучаемому пространству как некоторый класс целых или аналитических функций, удовлетворяющих определенным мажорантам роста. Тем самым многие проблемы теорий операторов свертки, дифференциальных уравнений, аппроксимации функций и др. методами функционального анализа могут быть сведены к задачам из" теории аналитических функций. В теории операторов свертки, теории приближения функций, вопросах представления функций рядами экспонент такой подход систематически использовался в работах Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л. Хёрмандера, А.Ф. Леонтьева, В.В. Напалкова, И.Ф. Красичкова-Терновского, Ю.Ф. Коробейника, Б.А.Тейлора, A.M. Седлецкого, Р.С. Юлмухаметова, А.С. Кривоше-ева, С.Г. Мерзлякова, Б.Н. Хабибуллина, А.В. Абанина, О.В. Епифанова, В.В. Моржакова, С.Н. Мелихова, К. Беренстейна и др., в теории дифференциальных уравнений - в работах Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л. Хёрмандера, В.П. Паламодова, В.В. Напалкова, И.Х. Мусина, Роевера, А. Мартино, Д. Струппы и др. Цели работы.
Описать сопряженные пространства в терминах преобразования Лапласа к новым весовым пространствам целых функций в Сп.
Описать сопряженные пространства в терминах преобразования Фурье-Лапласа к весовым пространствам бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой с малым зазором между весовыми функциями.
Изучить вопрос о сюръективности линейных дифференциальных операторов с частными производными конечного порядка с по-
стоянными коэффициентами в введённых весовых пространствах целых функций.
Исследовать проблему базиса в введённых весовых пространствах целых функций.
Изучить вопрос разрешимости неоднородных разностных уравнений в весовых пространствах последовательностей.
6. Исследовать топологические свойства введённых пространств.
Методы исследования. В диссертации используются методы
теории аналитических функций и функционального анализа. Сре
ди них отметим модифицированный Р.С. Юлмухаметовым метод
Л. Хёрмандера продолжения аналитических функций заданного ро
ста с комплексного подпространства на все пространство. "
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.
1. В терминах преобразования Лапласа дано описание сопряжен
ного пространства к весовому пространству целых функций в Сп в
случае, когда весовые функции имеют полиномиальный рост поряд
ка большего единицы. При этом зазор между весовыми функциями
может быть логарифмическим. Ранее подобные задачи для весовых
пространств целых функций не изучались.
Для различных весовых пространств целых функций задача описания сопряженного пространства изучалась в работах Л. Эренпрай-са [41], Б.А. Тейлора [53] , B.C. Ткаченко [33], Ф. Хаслингера [46], СВ. Попёнова [28], [29]. Наиболее общий результат получен в работе СВ. Попёнова [28], в которой (наряду с другими условиями на веса) допускался линейный относительно || г || зазор между весовыми функциями. В отличие от их работ, в нашем случае допустим более узкий зазор между весовыми функциями (он может быть логарифмическим). Однако, уменьшая зазор, мы вынуждены оперировать весовыми функциями (специального) полиномиального роста.
2. В терминах преобразования Фурье-Лапласа описаны сопря
женные пространства к счетно-нормированным пространствам бес-
конечно дифференцируемых функций на числовой прямой, построенным по системам весовых функций вида
iv( \х\) <р(х) - mw(\x\) и (р(х) + —^-^ (т Є N),
где ср — выпуклая функция на числовой оси полиномиального роста порядка большего единицы, a w ~ неотрицательная непрерывная неубывающая функция на [0; +оо) с определенными свойствами.
Отметим, что для пространств бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой, построенным по системам весовых функций вида (p(x) — mw(\x\) в случае, когда w(r) = ln(l+r) данная задача была решена И.Х. Мусиным (также и в многомерном случае). В более общей ситуации подобные задачи для весовых пространств бесконечно дифференцируемых функций не изучались.
3. Доказано существование базисов в весовых пространствах целых функций в Сп, определённых с помощью выпуклых в Сп функций срт, имеющих при \\z\\ > R (где R > 0 - некоторое число) вид:
/ ч /л MINI)
ipm(z) = tp(z) + -iiUiZj
где (p - выпуклая функция в Сп полиномиального рост порядка большего единицы a h - непрерывная неубывающая положительная функция на [0; +оо) с определенными свойствами.
Отметим, что вопросами существования и построения базисов в счётно-гильбертовых пространствах занимались многие известные математики - М.М. Драгилев [9], Б.С. Митягип [21], В.П. Захарюта [13], В. П. Кондаков [17], Д. Фогт (D. Vogt) [54], П.Б. Джаков [40] и др. В книге А. Пича [27] по ядерным локально выпуклым пространствам был поставлен вопрос (см. п. 10.2.4.): „Каждое ли ядерное пространство Фреше обладает базисом". Интерес к проблеме базиса усилился после появления примеров ядерных пространств Фреше, не
имеющих базиса, построенных в работах Н.М. Зобина и Б.С. Митя-гина [14], К. Бессаги (С. Bessaga) [39] и Дж. Таскинена (J. Taskinen) [51]. В весовых пространствах целых функций в Сп данная проблема рассматривалась Ф. Хаслингером [46] для случая весовых функций < \\F\\[
выводим, что для доказательства условия (Г2) достаточно показать, что Vm Є N и \/fj, Є (0,1) существуют числа V Є N и с*т > 0 такие, что VF є Е'(Ф)
ll^||<4||F||fn.||F||^.
Это будет так, если докажем, что Vm Є N и У/л є (0,1) найдутся числа /' N и А^т > 0 такие, что
Wm(z) + (1 - V)
fi(
По лемме 1.2 найдется число 7 > 0 такое, что для любого т Є N при некотором dm > О для всех z Є Сп
\\М*)\\ >-7lNI^-- dm.
Выберем число г > тах(1,(^2й)р х) так, что ||m(z)|| > -R, если 11^11 > Г- ДЛЯ ЛЮбоГО 771 Є N и всех z Є С" с ||z|j > г
III/
>
^Л(71И1^-ад>^л(|||г||^|)
Пусть 4(-^) точка, в которой достигается точная верхняя грань функции г>() = Re < z, > — 0 (оно найдётся по лемме 1.1) для любого / Є N и любого z Є Сп с \\z\\ > г
h(K + K\\z\\^) h(2K\\z\\^)
- I - I
В силу условия b) на функцию h найдутся числа а^а > 0 и 6^)7 > О такие, что
aKah (2Кхї±~А < h {Ъ^\ + Ь*,7, х > 0.
Для произвольно взятых fi Є (0,1) и m Є N положим I = [ т ] + 1. Тогда для z Є Сп таких, что ||г|| > г
>—z—VP (z)-
т т ~ т
В силу непрерывности функций <>*, (Рт, Ч>* можно найти постоянную Ац,т > 0 такую, что всюду в Сп
Итак, неравенство (1.18) получено. Тем самым условие (Г2) выполнено.
Теорема доказана.
1.8 Дифференциальные операторы в пространстве Е(Ф).
В данном разделе изучаются сюръективность линейного дифференциального оператора конечного порядка с постоянными коэффициентами в пространстве Е(Ф) и задача спектрального синтеза в ядре этого оператора.
Как известно (см., например, [26], [20] и библиографию там), сюръективность линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, операторов свертки в различных классах аналитических функций часто благодаря использованию преобразования Лапласа и методов функционального анализа [47] эквивалентна проблеме деления [41], [47] в подходящих пространствах целых функций.
Теорема 1.6. Пространство Е(Ф) инвариантно относительно дифференцирования. Оператор частного дифференцирования непрерывен в Е{Ф).
Доказательство. Пусть / - произвольная функция из Е{Ф).
Пусть z - произвольная точка в Сп. Положим г = (1 +1 \z\ |)1_р. Пусть
г Ur - полицилиндр в Сп радиуса R = —=. Ясно, что Ur С Br(z).
\/п
Пусть /г = (1, ...,1). По интегральной формуле Коши для любого
мультииндекса aeZ"
Пусть числа т, s N произвольны. В силу принадлежности / пространству Е{Ф)
\(Daf)(z)\ — Ima,k\ < 1, к — 1,..., п. Таким образом,
sup \F(t)\ < срexp(supipnilmt)) < cF exp(v?^(/ma) + ci).
teB teB
Имеем:
|G(a)| < c3exP«i+i(/ma))
Если r — 1, то
№)| < c3 exp(N\\Ima\\ +
Если же г = і min | ехр(-т,-)|, то г > exp^'JJma|l).
Следовательно,
\G(a)\ < 4mC3e^+m^lJma"+v'",+1^/ma^ < c4 ev*m+2<
Итак, G Є P(
Таким образом, F(z) = G(z)j(z) T.e.F Є imL*. Значит,
imL* — imL*.
Покажем, что образ оператора L плотен в А(ф). Пусть fz = (ехр(—« < a, z >)Qez« , где z Є Сп \ М,
M = {zeCn:
Рассмотрим уравнение L(f) = fz, z Є Сп\ М. Оно имеет решение
Заметим теперь, что система
{/Л, zeCn\M.
полна в А((р). Таким образом, imL плотен в А(ф). Итак, imL — А((р). Значит, оператор L сюръективен.
Литература
[1] Ахтямов Н.Т., О весовом пространстве целых функций в Сп // Матем. заметки. Т. 83, выи 4. 2008. С. 483-492.
[2] Ахтямов Н. Т., Сопряженное пространство к весовому пространству целых функций в <Сп II Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Том 35. Казань, 2007.
[3] Ахтямов Н. Т., Описание сопряоюенного к весовому пространству бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой І/ Труды математического центра имени Н.И. Лобачевского. Том 34. Казань, 2006.
[4] Ахтямов Н. Т., Сопряженное пространство к весовому пространству последовательностей // Международная зимняя школа-конференция по математике и физике. Сборник трудов. Т. 1, математика. Уфа. РИО БшпГУ, 2005.
[5] Ахтямов Н. Т., Мусин И.Х., Дифференциальные операторы в весовом пространстве целых функций // Труды Института математики с ВЦ УНЦ РАН. Выпуск 1. Уфа, РИЦ БГУ, 2008.
[6] Владимиров B.C., Функции, голоморфные в трубчатых конусах If Известия АН СССР. 1963. Т. 27, №1. С. 75-100.
[7] Владимиров B.C., Методы теории функций многих комплексных переменных М.: Наука, 1964.
[8] Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я., Некоторые применения гармонического анализа. Оснашрнные гильбертовы пространства, М.: Государственное издательство физико-математической литературы. 1958. 472 с.
[9] Драгилев М.М., Кондаков В.П., Об одном классе ядерных пространств II Математические заметки. 1970. Том 8. №2. С. 169-179.
[10] ^Дьедонне Ж7~Шварц Л., Двойственность в пространствах (F) и (LF). Сб. Математика, 1958, 2, №2, С. 77-107.
[11] Евграфов М.А., Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979.
[12] Жаринов В.В., Компактные семейства ЛВП и пространства FS и DFS II УМН. 1979. Т. 34, вып. 4(208). С. 97-131.
[13] Захарюта В.П. О базисах и изоморфизме пространств функций, аналитических в выпуклых областях многих переменных II Теория функций и функциональный анализ. Харьков. 1967. №5. С. 5-12.
[14] Зобин Н.М., Митягин Б.С, Примеры ядерных метрических пространств без базисов // Функцион. анализ и его прил. Т. 8, № 4. 1974. С. 304-313
[15] В. В. Напалков, В. Э. Ким, "Изоморфизм между пространствами решений дискретного уравнения свертки и уравнения свертки на пространстве целых функций", Матем. заметки, 80:5 (2006), 733-750.
[16] Колмогоров А.Н., Фомин СВ., Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.
[17] Кондаков В. П., Замечания о существовании безусловных базисов в весовых счетно-гильбертовых пространствах и их дополняемых подпространствах // Сиб. матем. журн. Т. 42, №6. 2001. С. 1300-1313.
[18] Коробейник И.Ф., О бесконечно дифференцируемых решениях линейного дифференциального уравнения бесконечного порядка II Сиб. матем. ж. 1965. Т. 6, №3. С. 516-527.
[19] Коробейник Ю.Ф., Абсолютно представляющие системы эк!> понент с мнимыми показателями в пространствах бесконечно дифференци- руемых функций II Доклады АН. 2000. Т. 372, М. С. 17-20.
[20] Кривошеев А.С., Напалков В.В., Комплексный анализ и операторы свертки /І УМН. Т. 47, выпуск 6(288). 1992. С. 3-58.
[21] Митягин Б.С, Аппроксимативная размерность и базисы в ядерных пространствах 11 УМН. Т. 16, №4. 1961. С. 63-132.
[22] B.C. Митягин, Г.М. Хенкин, Линейные задачи комплексного анализа // УМН. 1971. Т. 26. №4. С. 93-152.
[23] Мусин И.Х., О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций II Мат. сб. 2000. Т.64, №6. С. 181-204.
[24] Мусин И.Х., О преобразовании Фурье-Лапласа функционалов на весовом пространстве бесконечно дифференцируемых функций в Шп Ц Математический сборник. 2004. Т. 195, №10. С. 83-108.
[25] Мусин И.Х., Описание ядра дшфферснциального оператора)'/ Доклады Академии наук. 2004. Т. 396, №3. С. 313-316.
[26] Напалков В.В., Уравнения свертки в многомерных пространствах, М.: Наука, 1982. 240 с.
[27] Пич А., Ядерные локально выпуклые пространства, М.: Мир. 1967. 266 с.
[28] Попёнов СВ., О весовом пространстве функций, аналитических в неограниченной выпуклой области в Ст // Матем. заметки. Т. 40, №3. 1986. С. 374-384.
[29] Попенов СВ., Об одном весовом пространстве целых функций J/ В сб: Исследования по теории аппроксимации функций. 1986. С. 89-96. Уфа. БФАН СССР, 1986.
[30] Робертсон А., Робертсон В., Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.
[31] Рокафеллар Р., Выпуклый анализ, М.: Мир, 1973. 472 с.
[32] Себаштьян-и-Сильва Ж., О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях // сб. пер. Математика. 1957. Т. 1, М. С. 60-77.
[33] Ткаченко B.C., Об операторах, коммутирующих с обобщенным дифференцированием в пространствах аналитических функционалов с заданным индикатором роста // Матем. сб. Т. 102, №3. 1977. С. 435-456.
[34] Хёрмандер Л., Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1966.
[35] Шабат Б.В., Введение в комплексный анализ. Часть II. Функции нескольких переменных. М.: Наука, 1985.
[36] Эдварде Р., Функциональный анализ. М.: Мир, 1972.
[37] Эскин Г.И., Обобщение теоремы Палея-Винера-Шварца // УМН. 1961. Т. 16, вып. 1. С. 185-188.
[38] Юлмухаметов Р.С., Целые функции многих переменных с заданным поведением в бесконечности / / Известия РАН. 1996. Т. 60. №4. С. 205-224.
[39] Bessaga С, A nuclear Frechet space without basis 1. Variation-on-a theme of Djakov and Mitiagin // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math., Astronom., Phis. 1976. V. 24, №. P. 471-473.
[40] Djakov P.B., Некоторые замечания об ядерных пространсвах Фреше без базиса // Serdica - Bulg. Math. J. 2 (1976), 171 -176.
[41] Ehrenpreis L., Solution of some problems of division. IV. // Amer. J. Math. 1960. V. 82. P. 522-588.
[42] Ehrenpreis L., Fourier analysis in several complex variables New York: Wiley - Interscience publishers, 1970.
[43] P.V. Fedotova, I. Kh. Musin., Approximation by polynomials in a weighted space of infinitely differentiable functions // arXiv: math.CA/0508524 vl.
[44] Hansen S., Localizable analytically uniform spaces and the fundamental principle // Transactions of the AMS. V. 264, №1. 1981. P. 235-250.
[45] Hansen S., On the "Fundamental Principle"of L. Ehrenpreis // В кн.: Partial differential equations. Banach center publications.
Warsaw. PWN-Polish Scientific Publishers, 1983. V. 10. P. 185-203.
[46] Haslinger F., Weighted spaces of entire functions // Indiana Univ. Math. J. 1986. V. 35. P. 193-208.
[47] Malgrange В., Existence et approximation des solutions des equation aux derivees partielles et des equations de convolution I/ Ann. Inst.Fourier (Grenoble). 1955-56. V. 6. P. 271-355.
[48] Roever J.W. de., Analytic representation and Fourier transforms of analytic functional in Z' carried by the real space // SI AM J. Math. Anal. 1978. V. 9, №6. P. 996-1019.
[49] Roever J.W. de., Complex Fourier transformation and analytic functionals with unbounded carriers. Amsterdam. Mathematisch Centrum, 1977.
[50] Struppa D.C., Convolution equations and spaces of ultradifferentiable functions // Isr. J. Math. 1986. V. 54, №1. P. 60-70.
[51] Taskinen J., A Frechet-Schwartz space with basis having a complemented subspace without basis // Abstracts conf. "Nuclear Frechet Raume". Oberwolfach, 1990. P.ll.
[52] Taylor B.A., On weighted polynomial approximation of entire functions // Pacific J. Math. 1971. V. 35. №. P. 523-539.
[53] Taylor B.A., The fields of quotients of some entire functions. Entire functions and related parts of analysis // Amer. Math. Soc, Providence, R.I., 1968. P. 468-474.
[54] D. Vogt, Eine Charakterisierung der Potenzreihenraume von endlichem Тур und ihre Folgerungen // Manuscripta Math. 1982. V. 37. №3. V. 269-301.
+ '
О преобразовании Лапласа функционалов из Е'(Ф)
Цель этого параграфа - описание пространства Е (Ф) в терминах преобразования Лапласа. Для различных весовых пространств целых функций задача описания сопряженного изучалась в работах Л. Эренпрайса [42], Б.А. Тейлора [53], B.C. Ткаченко [33], Ф. Хаслингера [46], СВ. Попёно-ва [28]. Наиболее общий результат получен в работе [28], в которой (наряду с другими условиями на веса) допускался линейный относительно z зазор между весовыми функциями.
Отметим вначале, что топология пространства Е (Ф) может быть описана следующим образом. Пусть Гомотетические образы Vm образуют базис окрестностей в Е(Ф). Пусть - поляра в Е {Ф) окрестности Vm. Образуем векторное подпространство в Е (Ф), порожденное полярой V . Наделим Qm топологией, введя норму Заметим, что Е {Ф) = IJm=iQ- Определим в Е {Ф) топологию Л внутреннего индуктивного предела пространств Qm. Поскольку Е{Ф) - пространство (М ), то Е(Ф) - монтелевское [32], а значит, и рефлексивное пространство. В таком случае Е{Ф) относится к классу так называемых правильных пространств [36]. Поэтому сильная топология в сопряженном пространстве совпадает с топологией А. Отметим ещё, что в "силу того, что вложения вполне непрерывны, Р(Ф ) является пространством (LN ). Далее понадобятся следующие два результата. Первый из них -теорема Р.С. Юлмухаметова [38], обобщающая результат Л. Херман-дера [34, Теорема 4.4.3.] о продолжении аналитических функций заданного роста с комплексного подпространства на все пространство. Теорема А. Пусть (р - плюрисубгармоническая функция в Сп, удовлетворяющая условию \ p(z) - p(w)\ М, если \\z - w\\ (1 + И)7, где 7 0 - некоторое число. Пусть - комплексная плоскость в Сп. Для всякой аналитической функции f на такой, что ІП /(2) P(Z), существует целая функция U в Сп такая, что U = f наТ, и In \U{z)\ ф) + Np \n(\\z\\ + є + dE), z Є где ( - расстояние от Е до начала координат и постоянная Np зависит лишь от М, 7 и не зависит от функций (р, f и от Е. Для обозначения преобразования Фурье обобщенной функции / Є S"(Rn) используем символ 3 /], понимая под этим функционал из 5"(Rn), определяемый формулой (m,9) = (f,F[9}): 9S(Rn), где [g] - преобразование Фурье функции g Є S(M.n): ЭШ ) = f g{t)eiM #- Определение. Спектральной функцией функции / Є i/(Cn) называется обобщенная функция g Є 2) (Rn), обладающая свойствами: 1)- 9(0е М є S (Rn) при всех у Є Rn; 2). /(г) = J[g(C)e_ ](x) при всех z = х + іу Є Сп. Сформулируем второй необходимый нам результат. Теорема Б. Пусть ф - некоторая положительная выпуклая в Шп функция такая, что для любого х Є W1 существует у = у{х) Є Rn такой, что и, кроме того, для некоторых постоянных А О, В 0, /3 О, Пусть f(z) - некоторая целая в Сп функция, удовлетворяющая оценке Тогда ее спектральная функция д{) представляется в виде суммы конечного числа обобщенных производных от непрерывных функций ga() : удовлетворяющих при всех ЄШП и некоторых Іа Є N оценке: Теорема Б содержится в работе СВ. Попёнова [29] и является обобщением теоремы Г.И. Эскина [37], в которой ф(х) = \\х\\р, р 1.
О существовании базисов в Е(Ф) в специальном случае весовых функций
В диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к теории функций, комплексному анализу, функциональному анализу и теории дифференциальньссуравнений. Определены новые классы весовых пространств целых функций в Сп, бесконечно дифференцируемых функций на вещественной оси и последовательностей. Изучаемые пространства являются локально выпуклыми пространствами Фреше и задаются с помощью весовых функций полиномиального роста. Акцент в работе сделан на изучение ситуаций, когда зазор между весовыми функциями может быть небольшим. Например, логарифмическим.
В работе рассматриваются следующие основные вопросы: 1. описание сильного сопряженного пространства к изучаемым пространствам в терминах преобразований Лапласа (или Фурье -Лапласа); 2. анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными конечного порядка с постоянными коэффициентами в весовых пространствах целых функций; 3. проблема базиса в весовом пространстве целых функций; 4. разрешимость неоднородных разностных уравнений в весовых пространствах последовательностей. Описание сопряженных пространств в терминах преобразований Лапласа или Фурье-Лапласа является одной из важных задач теории функций и комплексного анализа. Этой проблеме посвящены работы многих российских и зарубежных математиков: Л. Шварца, Р. Пэли, Г. Полна, Н. Винера, Л. Эренпрайса, Л. Хёрманде-ра, А. Мартипо, B.C. Владимирова, В.В. Напалкова, Б.А. Тейлора, Р.С. Юлмухаметова, В.В. Жаринова, Г.И. Эскина, A.M. Седлецко-го, А.В. Абанина, СВ. Попенова, В.А. Ткаченко, Ф. Хаслингера, И.Х. Мусина, В.И. Луценко, Р. Майзе, Роевера (J.W. de Roever) и др. Такое описание позволяет интерпретировать сопряженное пространство к изучаемому пространству как некоторый класс целых или аналитических функций, удовлетворяющих определенным мажорантам роста. Тем самым многие проблемы теорий операторов свертки, дифференциальных уравнений, аппроксимации функций и др. методами функционального анализа могут быть сведены к задачам из" теории аналитических функций. В теории операторов свертки, теории приближения функций, вопросах представления функций рядами экспонент такой подход систематически использовался в работах Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л. Хёрмандера, А.Ф. Леонтьева, В.В. Напалкова, И.Ф. Красичкова-Терновского, Ю.Ф. Коробейника, Б.А.Тейлора, A.M. Седлецкого, Р.С. Юлмухаметова, А.С. Кривоше-ева, С.Г. Мерзлякова, Б.Н. Хабибуллина, А.В. Абанина, О.В. Епифанова, В.В. Моржакова, С.Н. Мелихова, К. Беренстейна и др., в теории дифференциальных уравнений - в работах Б. Мальгранжа, Л. Эренпрайса, Л. Хёрмандера, В.П. Паламодова, В.В. Напалкова, И.Х. Мусина, Роевера, А. Мартино, Д. Струппы и др. Цели работы. 1. Описать сопряженные пространства в терминах преобразования Лапласа к новым весовым пространствам целых функций в Сп. 2. Описать сопряженные пространства в терминах преобразования Фурье-Лапласа к весовым пространствам бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой с малым зазором между весовыми функциями. 3. Изучить вопрос о сюръективности линейных дифференциальных операторов с частными производными конечного порядка с постоянными коэффициентами в введённых весовых пространствах целых функций. 4. Исследовать проблему базиса в введённых весовых пространствах целых функций. 5. Изучить вопрос разрешимости неоднородных разностных уравнений в весовых пространствах последовательностей. 6. Исследовать топологические свойства введённых пространств. Методы исследования. В диссертации используются методы теории аналитических функций и функционального анализа. Сре ди них отметим модифицированный Р.С. Юлмухаметовым метод Л. Хёрмандера продолжения аналитических функций заданного ро ста с комплексного подпространства на все пространство. " Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем. 1. В терминах преобразования Лапласа дано описание сопряжен ного пространства к весовому пространству целых функций в Сп в случае, когда весовые функции имеют полиномиальный рост поряд ка большего единицы. При этом зазор между весовыми функциями может быть логарифмическим. Ранее подобные задачи для весовых пространств целых функций не изучались. Для различных весовых пространств целых функций задача описания сопряженного пространства изучалась в работах Л. Эренпрай-са [41], Б.А. Тейлора [53] , B.C. Ткаченко [33], Ф. Хаслингера [46], СВ. Попёнова [28], [29]. Наиболее общий результат получен в работе СВ. Попёнова [28], в которой (наряду с другими условиями на веса) допускался линейный относительно г зазор между весовыми функциями. В отличие от их работ, в нашем случае допустим более узкий зазор между весовыми функциями (он может быть логарифмическим). Однако, уменьшая зазор, мы вынуждены оперировать весовыми функциями (специального) полиномиального роста. 2. В терминах преобразования Фурье-Лапласа описаны сопря женные пространства к счетно-нормированным пространствам бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой, построенным по системам весовых функций вида где ср — выпуклая функция на числовой оси полиномиального роста порядка большего единицы, a w неотрицательная непрерывная неубывающая функция на [0; +оо) с определенными свойствами. Отметим, что для пространств бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой, построенным по системам весовых функций вида (p(x) — mw(\x\) в случае, когда w(r) = ln(l+r) данная задача была решена И.Х. Мусиным (также и в многомерном случае). В более общей ситуации подобные задачи для весовых пространств бесконечно дифференцируемых функций не изучались. 3. Доказано существование базисов в весовых пространствах целых функций в Сп, определённых с помощью выпуклых в Сп функций срт, имеющих при \\z\\ R (где R 0 - некоторое число) вид: где (p - выпуклая функция в Сп полиномиального рост порядка большего единицы a h - непрерывная неубывающая положительная функция на [0; +оо) с определенными свойствами. Отметим, что вопросами существования и построения базисов в счётно-гильбертовых пространствах занимались многие известные математики - М.М. Драгилев [9], Б.С. Митягип [21], В.П. Захарюта [13], В. П. Кондаков [17], Д. Фогт (D. Vogt) [54], П.Б. Джаков [40] и др. В книге А. Пича [27] по ядерным локально выпуклым пространствам был поставлен вопрос (см. п. 10.2.4.): „Каждое ли ядерное пространство Фреше обладает базисом".
Описание пространства Е{p,w)
В данном разделе изучаются сюръективность линейного дифференциального оператора конечного порядка с постоянными коэффициентами в пространстве Е(Ф) и задача спектрального синтеза в ядре этого оператора.
Как известно (см., например, [26], [20] и библиографию там), сюръективность линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами, операторов свертки в различных классах аналитических функций часто благодаря использованию преобразования Лапласа и методов функционального анализа [47] эквивалентна проблеме деления [41], [47] в подходящих пространствах целых функций. Теорема 1.6. Пространство Е(Ф) инвариантно относительно дифференцирования. Оператор частного дифференцирования непрерывен в Е{Ф). Доказательство. Пусть / - произвольная функция из Е{Ф). Пусть z - произвольная точка в Сп. Положим г = (1 +1 \z\ )1_р. Пусть г UR - полицилиндр в Сп радиуса R = —=. Ясно, что UR С Br(z). \/п Пусть /г = (1, ...,1). По интегральной формуле Коши для любого мультииндекса aeZ" Пусть числа т, s N произвольны. В силу принадлежности / пространству Е{Ф) \(Daf)(z)\ a\(l + \\z\\) \\f\\ +s sup е « . CeBr(z) Пользуясь следствием из леммы 1.1, имеем \(Daf)(z)\ а!(1 + lkll)("-1)a/ +se W+c—. Воспользуемся условием 2) на весовые функции. Положим Таким образом, для любого / Є Е(Ф) и для любого мультииндекса а Є Ъ\ (Daf) Є Е(Ф) и оператор Da непрерывен в Е(Ф). Из доказанной теоремы получаем Следствие. Линейный дифференциальный оператор конечного порядка с постоянными коэффициентами непрерывен в Е{Ф). Теорема 1.7. Оператор умножения на полином непрерывен в пространстве Р{Ф ). Доказательство. Пусть P(z) = V aaza - полином степени \a\ N N. Пусть числа га, s Є N произвольны. Для любого / Є Р(Ф ) при некотором К О Полагая s — [ ] + 1, имеем при некотором CmiS О Отсюда получаем, Из этого неравенства легко следует утверждение теоремы. Пусть P(D) = 2_] ааЩ - соответствующий полиному P{z) дифференциальный оператор конечного порядка. Основные результаты этого раздела - следующие две теоремы. Теорема 1.8. Оператор P(D) сюрьективен в пространстве Е(Ф). Через Е обозначим множество экспоненциальных полиномов вида Q(z)exp rj,z (Q - полином), принадлежащих ядру оператора P(D). Пусть W - множество всех решений уравнения P(D)(f) = О, принадлежащих пространству Е(Ф). Теорема 1.9. Линейная оболочка множества Е плотна в W. Для произвольного оператора А обозначаем через А - сопряженный оператор, через im А - образ А. Пусть Ei, Е2 - пространства Фреше и v : Ei — Е2 - линейное непрерывное отбражение. Имеет место (см. [10]) Теорема D-S. Следующие предложения эквивалентны: 1) подпространство im v замкнуто в Е2] 2) подпространство im v замкнуто в Е{. При доказательстве теорем 1 и 2 понадобится лемма Эренпрайса-Мальгранжа)(см., напр., [45]). Лемма Эренпрайза-Мальгранжа. Пусть р - полином степени гп. Тогда существует число с 0 такое, что для любых г 0, z Є С" и для любой функции f Є H(B(z, г)) такой, что Доказательство теоремы 1.8. Линейный непрерывный оператор P(D) определяет сопряженный оператор по правилу Так как пространства Е (Ф) и Р(Ф ) топологически изоморфны, то оператор Р (D) порождает оператор
Покажем, что множество im P(D) замкнуто в Е{Ф). Так как Е{Ф) - пространство Фреше, то по теореме D-S замкнутость im P{D) в Е(Ф) равносильна замкнутости im P (D) в Е (Ф), а последнее имеет место тогда и только тогда, когда множество im P(D) замкнуто в Р(Ф ). По теореме 1 из [32] множество im P{D) замкнуто в Р(Ф ) тогда и только "тогда," когда im Р())"Пі?( /? ) замкнутсГв і( ) дляГ любого m Є N.
Пусть m Є N произвольно. Пусть F принадлежит замыканию im P(D) П E((Pm) в Е((р п). Тогда существует последовательность (Fk)kLi элементов Fk из im P(D) Л E ip ), сходящаяся к F в топологии Е{ р ). Но тогда эта последовательность (а также при любом а Є Z+ последовательность частных производных (DaFk) _1) сходится равномерно на каждом компакте из Сп (то есть, в топологии пространства Н(С.п)). Таким образом, если ( Є Сп - нуль кратности тп функции P(z), то для функции F точка С Є Сп - нуль кратности
Разностный оператор в пространстве А((р)
Описать сопряженные пространства в терминах преобразования Лапласа к новым весовым пространствам целых функций в Сп.
Описать сопряженные пространства в терминах преобразования Фурье-Лапласа к весовым пространствам бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой с малым зазором между весовыми функциями.
Изучить вопрос о сюръективности линейных дифференциальных операторов с частными производными конечного порядка с по- стоянными коэффициентами в введённых весовых пространствах целых функций.
Исследовать проблему базиса в введённых весовых пространствах целых функций. 5. Изучить вопрос разрешимости неоднородных разностных уравнений в весовых пространствах последовательностей. 6. Исследовать топологические свойства введённых пространств. Методы исследования. В диссертации используются методы теории аналитических функций и функционального анализа. Сре ди них отметим модифицированный Р.С. Юлмухаметовым метод Л. Хёрмандера продолжения аналитических функций заданного ро ста с комплексного подпространства на все пространство. " Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем. 1. В терминах преобразования Лапласа дано описание сопряжен ного пространства к весовому пространству целых функций в Сп в случае, когда весовые функции имеют полиномиальный рост поряд ка большего единицы. При этом зазор между весовыми функциями может быть логарифмическим. Ранее подобные задачи для весовых пространств целых функций не изучались. Для различных весовых пространств целых функций задача описания сопряженного пространства изучалась в работах Л. Эренпрай-са [41], Б.А. Тейлора [53] , B.C. Ткаченко [33], Ф. Хаслингера [46], СВ. Попёнова [28], [29]. Наиболее общий результат получен в работе СВ. Попёнова [28], в которой (наряду с другими условиями на веса) допускался линейный относительно г зазор между весовыми функциями. В отличие от их работ, в нашем случае допустим более узкий зазор между весовыми функциями (он может быть логарифмическим). Однако, уменьшая зазор, мы вынуждены оперировать весовыми функциями (специального) полиномиального роста. 2. В терминах преобразования Фурье-Лапласа описаны сопря женные пространства к счетно-нормированным пространствам бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой, построенным по системам весовых функций вида где ср — выпуклая функция на числовой оси полиномиального роста порядка большего единицы, a w неотрицательная непрерывная неубывающая функция на [0; +оо) с определенными свойствами. Отметим, что для пространств бесконечно дифференцируемых функций на числовой прямой, построенным по системам весовых функций вида (p(x) — mw(\x\) в случае, когда w(r) = ln(l+r) данная задача была решена И.Х. Мусиным (также и в многомерном случае). В более общей ситуации подобные задачи для весовых пространств бесконечно дифференцируемых функций не изучались.
Доказано существование базисов в весовых пространствах целых функций в Сп, определённых с помощью выпуклых в Сп функций срт, имеющих при \\z\\ R (где R 0 - некоторое число) вид: где (p - выпуклая функция в Сп полиномиального рост порядка большего единицы a h - непрерывная неубывающая положительная функция на [0; +оо) с определенными свойствами.
Отметим, что вопросами существования и построения базисов в счётно-гильбертовых пространствах занимались многие известные математики - М.М. Драгилев [9], Б.С. Митягип [21], В.П. Захарюта [13], В. П. Кондаков [17], Д. Фогт (D. Vogt) [54], П.Б. Джаков [40] и др. В книге А. Пича [27] по ядерным локально выпуклым пространствам был поставлен вопрос (см. п. 10.2.4.): „Каждое ли ядерное пространство Фреше обладает базисом". Интерес к проблеме базиса усилился после появления примеров ядерных пространств Фреше, не имеющих базиса, построенных в работах Н.М. Зобина и Б.С. Митя-гина [14], К. Бессаги (С. Bessaga) [39] и Дж. Таскинена (J. Taskinen) [51]. В весовых пространствах целых функций в Сп данная проблема рассматривалась Ф. Хаслингером [46] для случая весовых функций An(z) — rmP(z)i где гт —- го 0 при т — со, р - выпуклая функция в Сп, преобразование Юнга-Фенхеля которой принимает всюду в Сп конечные значения. При условии существования базиса в ядерном пространстве Фреше конструктивный способ построения базиса имеется в работе Митягина-Хенкина [22]. Для решения поставленной задачи в диссертации используются методы Митягина-Хенкина [22] и Д. Фогта [54] и полученный результат по описанию сопряженного пространства. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Нумерация приведенных во введении теорем, лемм та же, что и в соответствующих разделах.
