Введение к работе
Актуальность темы. Общеизвестно, что в экстремальных задачах теории приближения функций большую роль играют точные неравенства, позволяющие установить новые связи между конструктивными и структурными свойствами функций. Поэтому в последнее время интенсивно изучались неравенства, содержащие оценки величины наилучшего приближения функций посредством модуля непрерывности высших порядков в различных пространствах аналитических функций.
Первые точные результаты по наилучшим полиномиальным приближениям аналитических в круге функций принадлежат К.И.Бабенко и Л.В.Тайкову. Именно работа К.И.Бабенко явилась отправным пунктом для получения точных значений колмогоровских поперечников в работах В.М.Тихомирова и Л.В.Тайкова. В последующих работах Л.В.Тайкова и Н.Айнуллоева в норме пространства Харди были получены точные значения колмогоровских поперечников некоторых классов аналитических в единичном круге функций, граничные значения которых допускают представление сверткой, либо усреднённый модуль гладкости их граничных значений мажорируется заданной функцией. В дальнейшем эта тематика нашла своё отражение в работах М.З.Двейрина, И.В.Чебаненко, Ю.А.Фаркова, S.D.Fisher, CA.Michelli, A.Pinkus, С.Б.Вакарчука, М.Ш.Шабозова, О.Ш.Шабозова, Х.Х.Пирова, Г.А.Юсупова, М.Р.Лангаршоева и многих других математиков.
Методами функционального анализа найден общий подход к проблемам теории приближения аналитических функций полиномами, благодаря чему удалось объединить многочисленные исследования этой теории в различных банаховых пространствах. Отметим, что наиболее полно вопросы наилучшего приближения изучались в пространствах Харди Нр, р > 1. В то же время, вопросы получение точных неравенств в которых наилучшее полиномиальное приближение аналитических функций оценивается через суммы усреднённых значениях модулей непрерывности самой функции и её некоторой производной изучены недостаточно.
Целью настоящей работы является дальнейшее развитие тематики, связанной с вычислением точных значений различных поперечников классов аналитических в единичном круге функций, задаваемых модулями непрерывности высших порядков граничных значений самой функции и некоторой её производной.
Цель работы
Найти новые точные неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями и интегралами, содержащими модули непрерывности высших порядков граничных значений самой функции и её второй производной в пространстве Харди.
Вычислить точные значения бернштейновских, колмогоровских, гель-фандовских, линейных и проекционных поперечников некоторых компактных классов аналитических в единичном круге функций.
Метод исследования. В работе использованы современные методы теории функций комплексного переменного, функционального анализа, а также некоторые новые подходы к решению экстремальных задач теории аппроксимации в функциональных пространствах аналитических в круге функций.
Научная новизна исследований
Найдены новые точные неравенства между наилучшими приближениями аналитических функций комплексными полиномами и усреднёнными модулям непрерывности высших порядков самой функции и её второй производной в пространстве Харди Нр, 1 < р < оо.
Найдены точные верхние грани наилучших приближений конкретных классов аналитических в круге функций, определяемых модулям непрерывности высших порядков производных в пространстве Харди.
Вычислены точные значения бернштейновских, колмогоровских, гель-фандовских, линейных и проекционных n-поперечников для классов функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков граничных значений r-ых производных.
Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Они могут быть использованы при вычислении е-энтропии и n-поперечников классов функций, в других банаховых пространствах аналитических функций, например в весовых пространствах Бергмана.
Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах по теории приближения функций (Хорог, 1999-2001 гг.), на семинарах кафедры математического анализа и теории функций в ТНУ (Душанбе, 2002-2011 гг.), на семинарах отдела теории функций
Института математики АН Республики Таджикистан (Душанбе 2008-2011 гг.), на международной научной конференции по „Дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами", посвященной 50-летию кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений ТГНУ (Душанбе, 25-28 октября 2003 г.), на международной конференции „Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ", посвященной 80-летию академика АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайлова (Душанбе, 2008 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5]. В совместной работе [1] Г.А.Юсупову в доказательстве теоремы 3 принадлежит оценка снизу, а в [2] М.Ш.Шабозову принадлежит постановка задач и выбор метода доказательства.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 55 наименования и занимает 82 страницы машинописного текста. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/i/4377/303944.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями Меленцов Александр Александрович")
