Содержание к диссертации
Введение
1 Поперечники и s-числа весовых классов Соболева на области с условием Джона 31
1.1 Древоподобная структура области с условием Джона 31
1.2 Построение разбиения дерева 39
1.3 Построение разбиения области 44
1.4 Доказательство оценки сверху s-чисел 51
1.5 Доказательство оценки снизу s-чисел 70
2 Теоремы вложения и поперечники весовых классов Соболева с весами, монотонными по одной переменной 74
2.1 Построение специального разбиения куба по функции множества 74
2.2 Поточечная оценка приближения функции из класса W полиномом через интегральный оператор 102
2.3 Оценка нормы двухвесового интегрального оператора 121
2.4 Оценки s-чисел 130
3 Неравенства типа Харди на дереве при дополнительных условиях на веса 144
3.1 Дискретный аналог теоремы Эванса - Харриса - Пика 144
3.2 Оценка нормы весового оператора суммирования на дереве: случай р q 148
3.3 Оценка нормы весового оператора суммирования на дереве: случай р q 157
4 Теоремы вложения весовых классов Соболева с весами, являющи мися функцией расстояния до множества 163
4.1 Построение разбиения дерева 163
4.2 Сведение задачи к дискретному неравенству типа Харди на дереве 172
4.3 Достаточные условия вложения весовых классов Соболева 177
5 Поперечники функциональных классов на множестве с древоподоб ной структурой 186
5.1 Общая теорема об оценке поперечников сверху 186
5.2 Порядковые оценки поперечников весовых классов Соболева с весами, являющимися
функцией расстояния до /і-множества 206
Оценки поперечников весовых классов Бесова с весами, имеющими особенность в точке 221
6.1 Оценки колмогоровских поперечников конечномерных шаров в смешанной норме 221
6.2 Оценки линейных поперечников конечномерных шаров в смешанной норме 229
6.3 Оценки поперечников весовых классов Бесова 233
- Построение разбиения дерева
- Поточечная оценка приближения функции из класса W полиномом через интегральный оператор
- Оценка нормы весового оператора суммирования на дереве: случай р q
- Сведение задачи к дискретному неравенству типа Харди на дереве
Построение разбиения дерева
Для г = 1, р = q и более общих областей с особенностями оценки аппроксимативных чисел оператора вложения были получены Эвансом и Харрисом [96].
Первые результаты об оценках поперечников весовых классов Соболева появились в 60-70е годы XX века в работах Бирмана и Соломяка, Эль Колли и Трибе-ля [10,60,95]. Интенсивно эта задача стала изучаться с 90-х годов.
Случай d = 1 рассматривался в работах Коновалова и Левиатана, Лифшица и Линде, Эдмундса, Ланга, Ломакиной и Степанова и других авторов [40,89,126,140, 144,150]. В статье Коновалова и Левиатана [126] были получены порядковые оценки поперечников в случае степенных весов. Было показано, что для таких весов в случае компактного вложения Wp [0, 1] в Lq v[0, 1] поперечники имеют такие же порядки убывания, как для g = 1, v = 1. В работах [40, 89,140,144, 150] были получены различные достаточные условия на веса g и v, при которых порядки поперечников такие же, как для g = 1, v = 1.
Задачи об оценках поперечников и аппроксимативных чисел операторов вложения весовых классов Соболева на метрических деревьях изучались в работах Эванса, Харриса, Ланга и Соломяка [97,168] (метрическое дерево — это дерево, в котором ребра рассматриваются как отрезки заданной длины; формальные определения будут даны в главе 3). В работе Бирмана и Соломяка [10] была получена оценка сверху для колмого-ровских поперечников классов Соболева на кубе К в весовом пространстве Lq v(K). Условия на вес v были такими, чтобы в силу неравенства Гельдера и теоремы Соболева выполнялась цепочка вложений W {K) С Lq(K) С Lqv(K) для некоторого q. При q max{p, 2} полученная оценка не была точной по порядку (даже в невесовом случае стало возможным получать точные оценки только после результатов Б.С. Кашина [29] об оценках поперечников конечномерных шаров).
В [95] Эль Колли нашел порядки убывания величин dn(Wpg(Q), Lq v(Q)), где П — ограниченная область с гладкой границей, р = q, а веса д и v равны степени расстояния до границы П; применяя интерполяцию банаховых пространств, Трибель [60] распространил оценки сверху величин dn(Wpg(Q), Lq v(Q)) на случай р q.
Оценки линейных поперечников весовых классов Соболева на M.d с весами вида wa(x) = (1 + ж)а//2 получены Мынбаевым и Отелбаевым в [45].
В работе Трибеля [177] для веса д(х) = ж г(1 + log ж) а были получены оценки аппроксимативных чисел весового класса Соболева в пространстве Lp на единичном евклидовом шаре. В случае 0 а 1 + оценки сверху и снизу различались. Подробнее об этом результате (а также о результате из [60]) будет сказано ниже.
Для весов общего вида оценки колмогоровских и линейных поперечников весовых классов Соболева в весовое пространство Lq были получены Лизоркиным, Отелбаевым, Айтеновой и Кусаиновой [1,2,39,46]. Здесь в определение весового класса Соболева также входило ограничение на саму функцию (и это условие существенно использовалось).
Для некоторых пересечений весовых классов Соболева на кубе с весами, являющимися степенью расстояния до границы, порядковые оценки поперечников были получены Войковым [11,73].
Цель работы. Основной целью работы является решение ряда открытых задач о вложениях и оценках поперечников весовых функциональных классов на многомерных областях.
Получить достаточные условия на веса, при которых поперечники весовых классов Соболева в весовом пространстве Лебега на области с условием Джона имеют такие же порядки убывания, как для невесового класса Соболева на кубе.
Получить порядковые оценки норм двухвесовых операторов суммирования на дереве при дополнительных условиях на веса (при этом оценки должны иметь простой и удобный для приложений вид).
Получить достаточные условия вложения весовых классов Соболева на области с условием Джона для весов, являющихся функциями расстояния до некоторого /г-множества; в случае, когда эти функции и функция h имеют специальный вид, получить порядковые оценки поперечников.
Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты могут применяться в теории дифференциальных уравнений, численных методах и теории случайных процессов. Разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов для студентов высших учебных заведений и аспирантов, обучающихся по специальности "математика".
Результаты диссертации докладывались неоднократно на семинаре по теории приближения под руководством д.ф.-м.н., профессора И.Г. Царькова в 2009-2014 гг, на семинаре по теории ортогональных рядов под руководством академика РАН, профессора Б.С. Кашина и чл.-корр. РАН, профессора СВ. Конягина в 2011 и 2012 гг, на семинаре по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики (Семинаре Никольского) под руководством чл.-корр. РАН, профессора О.В. Бесова в 2011-2014 гг, на семинаре по бесконечномерному анализу и математической физике под руководством д.ф.-м.н., профессора О.Г. Смолянова и д.ф.-м.н., профессора Е.Т. Шавгулидзе в 2011-2012 гг, на семинаре по задачам дифференциальных уравнений, анализа и управления под руководством д.ф.-м.н., профессора А.В. Фурсикова, д.ф.-м.н., профессора В.М. Тихомирова, чл.-корр. РАН, профессора М.И. Зеликина и д.ф.-м.н., профессора В.Ю. Протасова в 2012 г., на семинаре по теории функций под руководством д.ф.-м.н., профессора Б.И. Голубова, д.ф.-м.н., профессора М.И. Дьяченко, академика РАН, профессора Б.С. Кашина, чл.-корр. РАН, профессора СВ. Конягина в 2014 г., на семинаре отдела анализа и геометрии Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН под руководством академика РАН Ю.Г. Решетняка в 2015 г., международных школах по теории функций им. СБ. Стечкина (Миасс, 2010, 2013, 2014 гг.), на 15-17-й
Поточечная оценка приближения функции из класса W полиномом через интегральный оператор
В главе 4 получены достаточные условия вложения класса Wpg(Q) в пространство Lqv(Q) в случае, когда область П удовлетворяет условию Джона, а веса guv являются функциями расстояния до некоторого /і-множества Г С П.
Теоремы вложения для области П с липшицевой границей и весами, являющимися функциями расстояния до fc-мерной поверхности Г С Я, были получены в работах [59,62,95,120-124,127,128,131,155]. Случай г = 1, р = q был изучен в работах Нечаса [155] (степенные веса, Г = dQ), Куфнера [127] (веса — степенные функции расстояния до точки), Яковлева [62] (веса являются функциями расстояния до fc-мерной поверхности), Кадлеца и Куфнера [123,124] (случай степенных весов с логарифмическим множителем, Г = дП), Куфнера [128] (веса — произвольные функции расстояния до дП). При р = q, г Є N, Г = 8Q для степенных весов теорема вложения была получена А. Эль Колли [95]. Применяя интерполяцию функциональных пространств, X. Трибель [59] обобщил этот результат для случая р q. В случае р = q, г = 1, fc-мерной поверхности Г и весов общего вида Куфнер и Опиц [131] получили достаточные условия для компактности вложений. Для р q, г Є N, произвольной fc-мерной поверхности Г и степенных весов критерий вложения был получен в [120-122]. В [122] при г = 1 также был получен критерий в случае весов общего вида, являющихся функцией расстояния до поверхности.
Отметим, что при р q при доказательстве теорем вложения использовалось двухвесовое неравенство Харди.
В [77,119] рассматривались задачи о вложениях весовых пространств Соболева на неограниченных областях с весами, являющимися степенью расстояния до границы области.
В [105] были получены достаточные условия вложения в случае г = 1 и весов общего вида (не являющихся, вообще говоря, функциями расстояния до множества).
Норма в весовом пространстве Соболева определялась как Идея доказательства состояла в следующем. По весовым функциям строилось покрытие Безиковича области П, на каждом из шаров применялась теорема вложения Соболева, затем проводилось суммирование по шарам. Здесь существенно использовался второй вес w, на который были наложены достаточно жесткие ограничения. Если граница 8Q липшицева, весовые функции являются степенью расстояния до границы, то ограничения на функцию w можно ослабить, применив другой метод доказательства (с использованием неравенства Харди). В [106] были получены теоремы вложения в случае, когда П имеет гельдерову границу, а веса являются степенями расстояния до дП.
В [4-7,35,37,38,81] были получены достаточные условия вложения весовых пространств Соболева порядка г с весами общего вида. Здесь снова в определение весового пространства Соболева входили условия на младшие производные. В [35,37, 38,81] эти условия существенно использовались и вблизи границы области. Это позволяло рассматривать произвольные области.
В [4-7] условия на младшие производные вблизи границы были не очень ограничительными или даже отсутствовали. При этом учитывалась геометрия области (предполагалось условие гибкого с-конуса). Идея доказательства состояла в построении интегрального представления для функции и оценки нормы специальных интегральных операторов. Сначала доказывались слабые оценки, а затем применялись интерполяционные методы. Здесь существенно использовалось условие р q. Кроме того, в случае степенных весов (см. [7]) функция v была ограниченной.
Понятие /г-множества для функций h специального вида возникло раньше (см. работы Эдмундса, Трибеля и Моура [92,93,152,175]). В этих и других работах (см., например, [76,80,159,160,176]) изучались свойства оператора trp ограничения на h-множество или его композиции с оператором (А)-1 в пространствах Бесова и Трибеля - Лизоркина. В [109] изучались пространства Бесова с весами, удовлетворяющими условию Макенхаупта, и в качестве примеров рассматривались веса, являющиеся функцией расстояния до /г-множества, при подходящих значениях параметров. Пусть П Є FC(a) — ограниченная область, Г С 8Q — / .-множество. Далее для удобства считаем, что Ос (— , ) (здесь П — замыкание П). Общий случай можно свести к этому заменой переменных.
Брикки в [76] доказал существование /г-множества Г С (—, ) при некоторых условиях на функцию h. Если в 0, то h{t) = t6 Л(і) удовлетворяет этим условиям. Если 0 = 0 и Л удовлетворяет (46), (47), то, проводя аналогичные рассуждения с небольшими изменениями, т(же м)но построить Л,-множество. Кроме того, из построения следует, что П := (— , ) \Г является областью с условием Джона и Г С dQ.
Оценка нормы весового оператора суммирования на дереве: случай р q
Для г = 1, р = q и более общих областей с особенностями оценки аппроксимативных чисел оператора вложения были получены Эвансом и Харрисом [96].
Первые результаты об оценках поперечников весовых классов Соболева появились в 60-70е годы XX века в работах Бирмана и Соломяка, Эль Колли и Трибе-ля [10,60,95]. Интенсивно эта задача стала изучаться с 90-х годов.
Случай d = 1 рассматривался в работах Коновалова и Левиатана, Лифшица и Линде, Эдмундса, Ланга, Ломакиной и Степанова и других авторов [40,89,126,140, 144,150]. В статье Коновалова и Левиатана [126] были получены порядковые оценки поперечников в случае степенных весов. Было показано, что для таких весов в случае компактного вложения Wp [0, 1] в Lq v[0, 1] поперечники имеют такие же порядки убывания, как для g = 1, v = 1. В работах [40, 89,140,144, 150] были получены различные достаточные условия на веса g и v, при которых порядки поперечников такие же, как для g = 1, v = 1.
Задачи об оценках поперечников и аппроксимативных чисел операторов вложения весовых классов Соболева на метрических деревьях изучались в работах Эванса, Харриса, Ланга и Соломяка [97,168] (метрическое дерево — это дерево, в котором ребра рассматриваются как отрезки заданной длины; формальные определения будут даны в главе 3). В работе Бирмана и Соломяка [10] была получена оценка сверху для колмого-ровских поперечников классов Соболева на кубе К в весовом пространстве Lq v(K). Условия на вес v были такими, чтобы в силу неравенства Гельдера и теоремы Соболева выполнялась цепочка вложений W {K) С Lq(K) С Lqv(K) для некоторого q. При q max{p, 2} полученная оценка не была точной по порядку (даже в невесовом случае стало возможным получать точные оценки только после результатов Б.С. Кашина [29] об оценках поперечников конечномерных шаров).
В [95] Эль Колли нашел порядки убывания величин dn(Wpg(Q), Lq v(Q)), где П — ограниченная область с гладкой границей, р = q, а веса д и v равны степени расстояния до границы П; применяя интерполяцию банаховых пространств, Трибель [60] распространил оценки сверху величин dn(Wpg(Q), Lq v(Q)) на случай р q.
Оценки линейных поперечников весовых классов Соболева на M.d с весами вида wa(x) = (1 + ж)а//2 получены Мынбаевым и Отелбаевым в [45].
В работе Трибеля [177] для веса д(х) = ж г(1 + log ж) а были получены оценки аппроксимативных чисел весового класса Соболева в пространстве Lp на единичном евклидовом шаре. В случае 0 а 1 + оценки сверху и снизу различались. Подробнее об этом результате (а также о результате из [60]) будет сказано ниже.
Для весов общего вида оценки колмогоровских и линейных поперечников весовых классов Соболева в весовое пространство Lq были получены Лизоркиным, Отелбаевым, Айтеновой и Кусаиновой [1,2,39,46]. Здесь в определение весового класса Соболева также входило ограничение на саму функцию (и это условие существенно использовалось).
Для некоторых пересечений весовых классов Соболева на кубе с весами, являющимися степенью расстояния до границы, порядковые оценки поперечников были получены Войковым [11,73].
Цель работы. Основной целью работы является решение ряда открытых задач о вложениях и оценках поперечников весовых функциональных классов на многомерных областях.
В диссертации исследуются следующие задачи.
Получить достаточные условия на веса, при которых поперечники весовых классов Соболева в весовом пространстве Лебега на области с условием Джона имеют такие же порядки убывания, как для невесового класса Соболева на кубе.
Получить порядковые оценки норм двухвесовых операторов суммирования на дереве при дополнительных условиях на веса (при этом оценки должны иметь простой и удобный для приложений вид).
Получить достаточные условия вложения весовых классов Соболева на области с условием Джона для весов, являющихся функциями расстояния до некоторого /г-множества; в случае, когда эти функции и функция h имеют специальный вид, получить порядковые оценки поперечников.
Получить порядковые оценки поперечников весовых классов Бесова с весами, имеющими сильную особенность в точке.
Методы исследования. В диссертации используются методы теории функций, теории аппроксимации, теории поперечников, теории интегральных операторов, а также методы теории графов.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно и состоят в следующем. Получены достаточные условия на веса, при которых порядковые оценки поперечников весового класса Соболева такие же, как у невесовых классов Соболева на кубе.
Получены достаточные условия вложения весовых классов Соболева на области с условием Джона в весовое пространство Лебега с весами, являющимися функцией расстояния до некоторого / .-подмножества границы области; более того, получены оценки константы вложения на подобласти, порожденной некоторым поддеревом.
Результаты диссертации докладывались неоднократно на семинаре по теории приближения под руководством д.ф.-м.н., профессора И.Г. Царькова в 2009-2014 гг, на семинаре по теории ортогональных рядов под руководством академика РАН, профессора Б.С. Кашина и чл.-корр. РАН, профессора СВ. Конягина в 2011 и 2012 гг, на семинаре по теории функций многих действительных переменных и ее приложениям к задачам математической физики (Семинаре Никольского) под руководством чл.-корр. РАН, профессора О.В. Бесова в 2011-2014 гг, на семинаре по бесконечномерному анализу и математической физике под руководством д.ф.-м.н., профессора О.Г. Смолянова и д.ф.-м.н., профессора Е.Т. Шавгулидзе в 2011-2012 гг, на семинаре по задачам дифференциальных уравнений, анализа и управления под руководством д.ф.-м.н., профессора А.В. Фурсикова, д.ф.-м.н., профессора В.М. Тихомирова, чл.-корр. РАН, профессора М.И. Зеликина и д.ф.-м.н., профессора В.Ю. Протасова в 2012 г., на семинаре по теории функций под руководством д.ф.-м.н., профессора Б.И. Голубова, д.ф.-м.н., профессора М.И. Дьяченко, академика РАН, профессора Б.С. Кашина, чл.-корр. РАН, профессора СВ. Конягина в 2014 г., на семинаре отдела анализа и геометрии Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН под руководством академика РАН Ю.Г. Решетняка в 2015 г., международных школах по теории функций им. СБ. Стечкина (Миасс, 2010, 2013, 2014 гг.), на 15-17-й Саратовских зимних школах по теории функций (Саратов, 2010, 2012, 2014 гг.), на Воронежских зимних школах по теории функций (Воронеж, 2011, 2013 гг.), на международной конференции им. И.Г. Петровского (Москва, 2011 г.), на международной конференции "Function Spaces, Differential Operators, Nonlinear Analysis" (Tabarz, 2011 г.), на 4-й международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования", посвященной 90-летию Л.Д. Кудрявцева (Москва, 2013 г.), на международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященной 105-летию С.Л Соболева (Новосибирск, 2013 г.), международной конференции "Нелинейные аппроксимации и приложения", посвященной 60-летию В.Н. Темлякова (Москва, 2013 г.), международной конференции "Спектральная теория и дифференциальные уравнения", посвященной 100-летию Б.М. Левитана (Москва, 2014 г.).
Сведение задачи к дискретному неравенству типа Харди на дереве
Аналогичная задача для двухвесовых операторов интегрирования на полуоси была решена в работах Таленти [170], Томазелли [171], Макенхаупта [153], Брэдли [74], Мазьи и Розина [41, 1.3], Сойера [162], Синнамона [165], Синнамона и Степанова [166]. Подробнее эти результаты изложены в книгах [104,130,132].
При р = q = 2 Наймарк и Соломяк [154] показали, что задача об оценке нормы весового оператора интегрирования на регулярном метрическом дереве с весами, зависящими только от расстояния от корня, может быть сведена к задаче об оценке нормы некоторого весового оператора типа Харди на полуоси.
Критерий ограниченности двухвесового оператора интегрирования на метрическом дереве и точные двусторонние оценки его нормы получены в работе Эванса, Харриса и Пика [98]. Эти результаты могут быть использованы при оценке нормы оператора суммирования на комбинаторном дереве при 1 р q оо (см. 3.1). Однако эта оценка в общем случае имеет довольно сложный вид. При некоторых дополнительных условиях на веса будут получены оценки, имеющие более простой вид и более удобные для приложений.
Неравенства типа Харди на деревьях используются при получении теорем вложения для весовых классов Соболева на области (см. [96] и главу 4) и при оценке поперечников функциональных классов, s-чисел и энтропийных чисел операторов вложения (см. [96,97,146-148,168] и главу 5). Напомним определения некоторых терминов из теории графов. Всюду далее будем предполагать, что граф не имеет кратных ребер и петель.
Пусть Q — граф с не более, чем счетным числом вершин. Множество вершин Q будем обозначать У (б), множество ребер — Е((?). Две различные вершины, являющиеся концами одного и того же ребра, будем называть соседними; ребра будем отождествлять с парами соседних вершин. Если вершина является концом ребра, то будем говорить, что вершина и ребро инцидентны. Если І Є У (б), 1 г п, причем вершины І и г__і являются соседними для любого і = 1, ..., п — 1, то последовательность (і, ..., п) будем называть путем (длины п — 1); если все вершины І различны, то такой путь будем называть простым; если п 4, (1; ..., Cn-i) — простой путь и i = п, то такой путь будем называть циклом. Назовем путь (i, ..., n-i, Сп) почти простым, если путь ( i, ..., n-i) простой (в частности, простые пути и циклы являются почти простыми). Если граф б ориентированный и для любого г = 1, ..., п — 1 вершина является началом, a j+i — концом ребра (С» І+І) т0 путь ( i, ... , п) будем называть ориентированным; при этом, і будем называть началом, а га — концом этого пути. Граф будем называть связным, если любые его две вершины можно соединить конечным путем. Если связный граф не имеет циклов, то он называется деревом.
Пример 3. Пусть 1 р = q оо; (Л, o) и и, w — такие, как в примере 1 с Л ; Фад; Фад; удовлетворяющими (22). Тогда выполнены условия теоремы 8. Здесь 2Ф(Л = 2esj{sj + 1)7% ги,- = (sj + 1) а,0+ , й,- = (sj + 1)"""" . Применяя теорему В, мы получаем, что &p uw oo тогда и только тогда, когда aw и au + aw 1. Заметим,, что выполнены условия (18) и (19), и М0 оо тогда и только тогда, когда aw и аи + aw - (здесь М0 такое, как в теореме 5; это доказывается точно так же, как в случае 1 р q ooj. Тем самым, теорема 4 неверна при p = q.
В главе 4 получены достаточные условия вложения класса Wpg(Q) в пространство Lqv(Q) в случае, когда область П удовлетворяет условию Джона, а веса guv являются функциями расстояния до некоторого /і-множества Г С П.
Теоремы вложения для области П с липшицевой границей и весами, являющимися функциями расстояния до fc-мерной поверхности Г С Я, были получены в работах [59,62,95,120-124,127,128,131,155]. Случай г = 1, р = q был изучен в работах Нечаса [155] (степенные веса, Г = dQ), Куфнера [127] (веса — степенные функции расстояния до точки), Яковлева [62] (веса являются функциями расстояния до fc-мерной поверхности), Кадлеца и Куфнера [123,124] (случай степенных весов с логарифмическим множителем, Г = дП), Куфнера [128] (веса — произвольные функции расстояния до дП). При р = q, г Є N, Г = 8Q для степенных весов теорема вложения была получена А. Эль Колли [95]. Применяя интерполяцию функциональных пространств, X. Трибель [59] обобщил этот результат для случая р q. В случае р = q, г = 1, fc-мерной поверхности Г и весов общего вида Куфнер и Опиц [131] получили достаточные условия для компактности вложений. Для р q, г Є N, произвольной fc-мерной поверхности Г и степенных весов критерий вложения был получен в [120-122]. В [122] при г = 1 также был получен критерий в случае весов общего вида, являющихся функцией расстояния до поверхности.
Идея доказательства состояла в следующем. По весовым функциям строилось покрытие Безиковича области П, на каждом из шаров применялась теорема вложения Соболева, затем проводилось суммирование по шарам. Здесь существенно использовался второй вес w, на который были наложены достаточно жесткие ограничения. Если граница 8Q липшицева, весовые функции являются степенью расстояния до границы, то ограничения на функцию w можно ослабить, применив другой метод доказательства (с использованием неравенства Харди). В [106] были получены теоремы вложения в случае, когда П имеет гельдерову границу, а веса являются степенями расстояния до дП.
В [4-7,35,37,38,81] были получены достаточные условия вложения весовых пространств Соболева порядка г с весами общего вида. Здесь снова в определение весового пространства Соболева входили условия на младшие производные. В [35,37, 38,81] эти условия существенно использовались и вблизи границы области. Это позволяло рассматривать произвольные области.
В [4-7] условия на младшие производные вблизи границы были не очень ограничительными или даже отсутствовали. При этом учитывалась геометрия области (предполагалось условие гибкого с-конуса). Идея доказательства состояла в построении интегрального представления для функции и оценки нормы специальных интегральных операторов. Сначала доказывались слабые оценки, а затем применялись интерполяционные методы. Здесь существенно использовалось условие р q. Кроме того, в случае степенных весов (см. [7]) функция v была ограниченной.
