Введение к работе
Актуальность темы. Теория банаховых пространств насчитывает более чем 70-летнюю историю, однако в ней все еще не решена до конца задача различения основных объектов. В коротком обзоре невозможно осветить всю накопленную к настоящему моменту информацию, поэтому мы ограничимся сведениями о так называемых пространствах с «sup-нормой». Прежде всего сюда относятся пространства С{К) непрерывных функций на компактах, а также их «родственники» — например, пространства С^(Тп) і раз непрерывно дифференцируемых функций на гг-мерном торе (тор взят просто как простейший пример гг-мерного компактного многообразия) или пространства Ca(G) функций, аналитических в области G, лежащей в Сга, и непрерывных вплоть до границы.
Классическая теорема Милютина 1953 года (доказательство см., например, в [3]) гласит, что пространства С (К) линейно гомеоморфно пространству С[0,1] для всякого несчетного метрического компакта К. Можно сказать поэтому, что пространство С{К) «не знает ничего» о множестве, на котором заданы составляющие его функции.
В 60-е годы XX века стал популярен следующий вопрос: если определение пространства опирается на более тонкую структуру (например, гладкость или аналитичность), то, может быть, пространство «запоминает» хотя бы такой грубый инвариант подлежащего многообразия, как размерность?
Сейчас по этому поводу имеется некая информация, но она явно недостаточна. Например, известно, что пространства Са(Вп) в полидисках попарно не изоморфны (см. [1]), а про соответствующие пространства в комплексных гг-мерных шарах Вп известно лишь то, что Са{В\) и Са(Вп) не изоморфны при п > 1 (см., например, [2]). Схожая картина имеет место и для пространств гладких функций: неясно, например, изоморфны ли пространства С«(Т2) и CW(T3). Размерность 1 в этом
контексте удалось отличить от высших размерностей, однако в теоремах такого сорта речь идет фактически об отличии пространств гладких функций на многообразии размерности по крайней мере 2 от пространств вида С (К). Впрочем, даже и в такой постановке остаются важные нерешенные вопросы. Таким образом, тема диссертации актуальна.
Объект и предмет исследования. В первой главе объектом исследования является банахово пространство функций, порожденное конечным набором однородных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Предметом исследования является изоморфизм такого пространства дополняемому подпространству пространства С{К) для некоторого компакта К.
Во второй главе объектом исследования является набор некоторых дифференциальных тождеств, а предметом исследования — возможность оценить Ь2-норму входящих в эти выражения функций.
Цель работы состоит в нахождении условий отсутствия линейного гомеоморфизма между пространствами типа С{К) и пространством гладких функций с sup-нормой, порожденным заданным набором дифференциальных выражений, а также в исследовании теоремы вложения, возникшей для нужд этого доказательства.
Методика исследования. В первой главе применяется техника суммирующих операторов и теорема Гротендика. Во второй главе используются методы конечномерного линейного анализа.
Научная новизна заключается в возможности отличить пространство гладких функций, построенное по нескольким однородным дифференциальным операторам, от пространства С (К), а также в доказательстве теоремы вложения, обобщающей результат первой части диссертации. Все полученные результаты являются новыми.
Теоретическая ценность заключается в полученных доказательствах утверждения о неизоморфности и
теоремы вложения. Исследованы банаховы пространства гладких функций, порожденные конечным семейством дифференциальных операторов и возникающая в процессе теорема вложения.
Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы могут быть использованы в других задачах о неизоморфизме классических банаховых пространств (гл. 1), а также для исследования коэрцитивности некоторых систем дифференциальных уравнений в частных производных в разных нормах.
Рекомендации по использованию. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов, магистров и аспирантов.
Достоверность результатов. Все основные результаты диссертации являются достоверными научными фактами, получившими в диссертации строгие доказательства.
Личный вклад соискателя Диссертация является самостоятельным научным исследованием. Доказательства всех основных положений получены соискателем. В совместной работе научному руководителю принадлежит постановка задач и намеченная методика их решения.
Научные положения, выносимые на защиту:
Пусть А = {Ті,...,Т^} — набор однородных дифференциальных операторов одного порядка с постоянными коэффициентами на торе ТР. Если этот набор содержит хотя бы 2 линейно независимых оператора, то пространство С^А\Тп) = {/ : Tjf Є C{Tn),j = 1,...,к} не вкладывается дополняемо в пространство вида С (К).
Если все операторы Tj кратны одному и п = 2, то пространство С^ІТ) изоморфно пространству С(Тп). При п > 2 это утверждение, вообще говоря, перестает быть верным, однако причина лежит не в гладкой структуре, а в устройстве дополняемых пространств в С{Тп).
Обобщение теоремы вложения, возникшей при
доказательстве неизоморфности в первом положении.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на заседаниях кафедры математического анализа РГПУ им. Герцена, на семинаре по теории операторов и комплексному анализу (рук. В. П. Хавин), на конференции «Пространства гладких и аналитических функций» в Бендлево (Польша) в мае 2005 г.
Публикации. По теме диссертации опубликованы 3 работы, указанные в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых на 11 параграфов (нумерация параграфов сквозная), изложена на 85 стр. Список литературы включает 26 названий.
