Введение к работе
Актуальность те:-ш. Диссертация посвящена пселзд-в-.к;;" спек-грзльнцх асимптотик выроадащихся дифференциальных оператосов, заданных с помощью билинейных форы и изучению рззр?гсм~07и и свойства гладкости обобщенного решения вариационной задали Дирихле для вырокдаксихся эллиптических дііфференцич.пі '-щ уразнечуД
Проблема исследования спектральных асимптотик выроздаадихся
^шиАиойопцйалЬНЫ* операторов ДОВОЛЬНО Ч5СТ9 ТІ RCT??T""*m.T! С'рЗ-
зсгл возникает при решении задач квантовой механики, теории колебаний тонких оболочек, других разделов физики. В настоящее время этой проблеме посвяшено довольно большое количество научных работ (А.Г. Костюченко, М.Г. Гасымов, К.Х. Бойматов, М.Ш. Бирман, М.З.' Соломяк, М Байрамоглы, М.А. Шубин, М.С. Агранович, С.З. Левендорский, Г.В. Розенблш, S. Agmon, Т. Carleman, С. Clark. Н. Triebel, R. Courant и др.) и приемы использованные в этих работах в основном разделяются нз.две группы: "вариационные методы", восходящие к работал Г. Вейля и Р. Куранта и "тауберовыэ методи"', восходящие к работам Кларка.
Спектральная асимптотика эллиптических дифференциальных операторов с негладкими коэффициентами, задашшх в ограниченной области в основном исследовалась вариационным методом и полученные результаты близки к окончательными. Однако недостаточно полно исследована случай дифференциальных операторов, задашшх в неограниченной области. Применение тауберовых методов в исследовании спектральных асимптотик дифференциальных операторов обычно приводило к некоторым жестким ограничениям на гладкость коэффициентов исследуемого оператора. В настоящей диссертации тауберо-еым методом исследуется спектральная асимптотика выровдз!оиогоса эллиптического дифференциального оператора с негладки!;' коэффициентами в неограниченной области 0 с R„.
Задача о нахождении спектральной асимптотики дкфферонциаль
s. 4 -
ного оператора, заданного в неограниченной области, но имещего ограниченный свободный коэффициент (например, нулевой) была поставлена А.Г. Костюченко (1968 г.) Для обыкновенных самосопряженных дифференциальных операторов впервые эту задачу реши М.Г. Гасыыов (1969 г.). Случай самосопряженных дифференциальных операторов с гладкими коэффицинтами в Rn рассмотрен в работах К.Х. Бопматова. Спектральная задача типа Гасымова-Костюченко с негладкими коэффициентами в неограниченной области QcR„ ранее не иследовалась.
Выровдамщеся эллиптические дифференциальные уравнения встречаются при решении многих важных вопросов теории малых изгибаний поверхностей врашения, в газовой динамике и других разделов механики. Подход к исследованию. граничных задач для выроздапщпся.дифференциальных уравнений на базе теории вложения весовых функциональных пространств впервые продемонстрирован в работах Л.Д. Кудрявцева в пятидесятых-шестидесятых годах. Результаты этих работ позеє обобщались п дополнялись в работах СМ. Никольского, П.И. Лизоркина,уС.В. Успенского, О.В. Бесова, Н.В. Миропшна, X. Трибеля, Нечаса, Куфнора и других. Большинство этих исследований относятся к эллиптическим дифференциальным уравнениям, вырождалциеся на границе ограниченной области и дифференциальные операторы определяются с помощью коэрцитивных билинейных форм.
В настоящей работе рассматриваются эллиптические дифференци
альные уравнения, заданные в полупространстве R+ = { х =
= (х',хп)г хп> О}, кторые вырождаются при хп +» и на гипер
плоскости хп= о, и эллиптические уравнения, заданные в ограни
ченной области, которые коротайся с помоаыо некоэрцитивных
билинейных форм.
Цель работы. 1). Получение асимптотики взвешенного слэда смдоссггрякеїпшх эллиптических дифференциальных опевзтсрск с негладкими коэффициентами (включая группу старцах, кооффпцивк-тоб.і, заданных в неограниченней области й с R . 2). Получение асмптотики числа собственных значений несамосопря-:.'>v-ra;ro эллиптического оператора е неограниченной г-блт:.'Т'! > .-с R^, расположенных в полуплоскости {г е с; Де z < ю. 3>. игс.телорание .«лиинии млашпз. іюздїкіійоЬійй ^»ч^,.--~:—~:;-~-оператора на главную часть его спектральной асимптотики. 4). Исследование различных свойств весовых пространств типа уг(0) с весами общего вида и изучение их приложения в исследовании свойства гладкости обобщенного решения вырождающихся эллиптических уравнений в ограниченных и неограниченных областях G с нп. 5). Исследование однозначной разрешимости, свойства гладкости обобщенного решения вариационной задачи Дирихле для вырождавшихся эллиптических уравнений в полупространстве к*. 6). Исследование разрешимости, гладости обобщенного решения вариационной задачи Дирихле, связанная с некоэрцитивной формой. 7). Изучение спектральных свойств матричных дифференциальных операторов, порожденных некоэрцитивкыми билинейными формами.
Методика исследования. В шестидесятых годах А.Г. Костюченко разработал метод получения равномерных оценок для параболической функции Грина и с привлечением соответствующей таубероеой теоремы исследовал асимптотику функции распределения собственных значений обших эллиптических дифференциальных операторов. Обобщению и развитию подхода А.Г. Костюченко посвящен ряд работ ,К.Х. Бой-матова. Использованный нами метод при исследовании спектральных асимптотик дифференциальных операторов является мсдиФяквпиеЯ тауберова подхода Костюченко-Бойматова.
Вариационная задача Дирихле для вырождающихся эллиптических
- б -
дифференциальных уравнений исследуется с помощью теорем влоаени весовых пространств до{ференцируемых функций.
Научная новизна.' 1). В роботе впервые разработана тауберов методика исследования спектральных асимптотик самосопряженных : несамосопряженных дифференциальных ' операторов с негладким коэффициентами (включая группу старших коэффициентов). 2). Получена асимптотика взвешенного следа самосопряженных эл липтических дифференциальных операторов с негладкими коэффициен тами е неграниченной области. Исследованы влияния младыпих коэф фициентов на главную часть спектральной асимптотики операторов. 3). Изучена спектральная асимптотика задачи типа Гасымова Ксстюченко с негладкими коэффициентами в самосопряженном и неса мосспряхенном случаях.
4). Получена асимптотика числа собственных значении, расположен них в полуплоскости {2 е С; Re г < А.}, несамосопряжвнного диффе реншального оператора далекого от самосопряженного с негладким коэффициентами.
5). Доказаны тобремы вложения для весовых пространств типа vr (С с более ебядаді Еесами чем степени расстояния до границы области 6). Доказаны теоремы, влоквния для двухвесовых пространств Собо лева в полупространстве к*. Исследована однозначная разрешимост вариационной задачи Дирихле для выроздающихся эллиптически уравнений в R*, изучена свойства гладкости решения этой задачи зависимости от гладкости даннах.
7).Доказана теорема существования и единственности решения вари ационной задачи Дирихгз, связанная с некоэрцитивной формой,, ограниченной оОлчсти. Изучена гладкости решения этой задачи. 8).Исследована дискречюсть спектра и гладкость собственны функций матричных дифференциальных операторов, порсвденны некоэрцдтивныма формами.
- 7 -Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит
теоретический характер, ее результаты могут служит основой для дальнейших теоретических исследований в спектральной теории дифференциальных операторов, в теории вложения весовых функциональных пространств, в теории краевых задач для вырождавшихся дифференциальных уравнений и других разделах теории функций и функционального анализа.
П?|">-яикяии"я. опноьныа результаты диссертации опуйи.;;оБакы в
работах [1-17]. Из работ [14-і6] написанных совместно с М.Г. Га-
доевым и Н.У. Усмановым в диссертации использованы результаты
непосредственно полученные автором. Работа [51 написана в соав
торство, с К.Х. Бойматовым, которому принадлежит постановка рас
смотренной задачи. .
Апробация работа. Основные- результаты диссертации и отдель-
їшх ее частей докладывались: на Международной конференции "Вырож-
дзщиеся уравнения и уравнения смешанного типа" (г. Ташкент,
"933 г.);на Республиканской научной конференции -"Дифференциаль
ные уравнения и их приложения" (г. Куляб, 1991 г.);"нз научной
конференции "Краевые задачи и их спектральные вопросы (г. Алма
-Ата, 1991 г.); на Республиканской научной конференции "Теория
лриблежения и вложения функциональных пространств" (г. Караган
да, 1991 г.). С сообщениями о результатах диссертации автор выс
тупил на семинаре член-корр. АН РТ, проф. К.Х. Бойматова (МИ АН
РТ, г. Душанбе); на семинаре член-корр. АН РА, проф. М.Г. Гасы-
моЕа (Аз.ГУ, г. Баку); на семинаре проф. А.Г. Костюченко (МГУ,
г. Москва); на семинаре член-корр. РАН, проф. Л.Д.' Кудрявцева
(МИРАН, г. іМосква); на семинара проф. П.И. Лизоркина.1 МКРАН );
на семинаре академика РАН, проф. СМ. Никольского ( MMFAH ): на
семинаре проф. М. Отелбаева (ІШ АН FK, г. Алма Ата);_иа семина
ре проф. А.А. Шкаликова ( МРУ ). ' '
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка диторатуры, содежашего 143 названий. Объем диссертации - 279 страниц машинописного текста. СОДЕРЗШШ ДИССЕРТАЦИИ
Похожие диссертации на Оценки спектра и разрешимость вариационных задач для вырождающихся эллиптических операторов и связанные с ними теоремы вложения
