Введение к работе
Актуальность темы исследования. Теория классических потенциалов Бесселя является важным разделом общей теории пространств дифференцируемых функций дробной гладкости и ее приложений в теории дифференциальных уравнений в частных производных. Свойства классических ядер Бесселя-Макдональда подробно изучены в книгах СМ. Никольского1 и И. Стейна 2. Классические ядра отвечают операциям дробного интегрирования и характеризуются наличием особенности степенного типа.
Лиувиллевские классы Ьр(Жп), построение которых основывается на классических ядрах Бесселя-Макдональда, при целых показателях гладкости пространства совпадают с пространствами Соболева W (Кга), а при дробных значениях г представляют собой естественное продолжение Соболевских классов.
Теория таких пространств, ее приложений, в том числе теория вложения пространств классических потенциалов, получили развитие в работах многих математиков, особенно стоит отметить исследования следующих выдающихся авторов: С.Л. Соболев, СМ. Никольский l , О.В. Бесов 3, В.И. Буренков 4, Л.Д. Кудрявцев, П.И. Лизоркин, Ю.Г. Решет-няк, П.Л. Ульянов, Л. Хёрмандер, И. Стейн, В.Г. Мазья 5, а также многие другие специалисты в области математического анализа, теории уравнений в частных производных. Также отметим работы В.И. Бурен-кова, А.В. Бухвалова, М.Л. Гольдмана, Г.А. Калябина, В.И. Коляды, Ю.В. Нетрусова, А. Гогатпшвили, Х.-Г. Леопольда и др., в чьих трудах в последние десятилетия теория пространств была обогащена развитием теории пространств обобщенной гладкости.
Цель работы. Цель работы состоит в изучении дифференциальных свойств обобщенных потенциалов Бесселя в случае вложения в пространство непрерывных функций. Эти свойства характеризуются с помощью модулей непрерывости любых порядков в равномерной норме. Также изучены интегральные свойства обобщенных потенциалов Рисса,
'С. М. Никольский. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. M.: Наука,
1977.
2И. M. Стейн. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. M.: Мир, 1973. 30. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский. Интегральное представление функций и теоремы
вложения.Наука, Москва, (1996).
4V. I. Burenkov. Sobolev spaces on domains. Teubner-Texte zur Mathematik, vol. 137, Teubner, Stattgard,
Leipzig (1998).
5B. Г. Мазья. Пространства Соболева. Изд-во ЛГУ, 1985.
для них установлены условия вложения пространств потенциалов в перестановочно-инвариантные пространства, кроме того, описаны оптимальные перестановочно-инвариантных пространств для таких вложений, в случае, когда в качестве "базовых перестановочно-инвариантных про-странств"используются пространства Лоренца с общим весом.
Методика исследования. Основными методами исследования являются использование убывающих перестановок, построение и эквивалентное описание конусов убывающих перестановок, сведение к оценкам норм комбинированных операторов типа Харди на положительной полуоси. Дифференциальные свойства свертки описываются в терминах ее модуля непрерывности любого порядка в равномерной норме.
Научная новизна. Изучаются обобщения ядер Бесселя-Макдональда. В отличие от классического случая, в них допускаются нестепенные особенности ядер в окрестности начала координат, а их поведение на бесконечности связано только с условием интегрируемости, и, таким образом, в рассмотрение включены также ядра с компактным носителем. И, значит, такое обобщение будет охватывать более общие функции оператора дифе-ренцирования, уже необязательно только степенного типа. Заметим, что такие обобщения дают при описании дифференциальных свойств функции большую гибкость, кроме того, в тех ситуациях, когда классические потенциалы не дают результатов, подобные обобщения доставляют содержательные ответы и теоремы вложения пространств.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. На основании общих результатов этой работы может быть получен ряд критериев вложения для различных конкретных пространств и различных типов ядер, включая классические потенциалы Рисса.
Исследование интегральных свойств потенциалов может быть использовано для дальнейшего изучения свойств гладкости потенциалов для тех интегральных метриках, для которых получены вложения. Описание поведения операторов дифференцирования необязательно степенного типа позволяют получать содержательные ответы и теоремы вложения пространств в тех случаях, когда классические потенциалы не дают результатов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре РУДН по функциональному анализу под ру-
ководством чл-корр. РАН В. Д. Степанова. Доклад, основанный на результатах диссертации, сделан на международной конференции: "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования посвященной 90-летию член-корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева, Москва 2013.
Публикации. По темам диссертации опубликовано 4 работы [1-4].
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 36 наименований. Общий объем диссертации 73 страницы.
