Введение к работе
Актуальность темы. Хорошо известна фундаментальная роль, которую играют классические потенциалы Бесселя в теории функциональных пространств и в ее приложениях в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Определения и свойства Бесселевых потенциалов изложены в книге С.М.Никольского J Большую роль играют Лиувиллевские классы Z(Rn), построенные на основе классических ядер Бесселя-Макдональда. При целых показателях гладкости г пространство Лиувилля совпадают с пространствами Соболева Wp(M.n), а при дробных показателях гладкости являются наиболее естественным продолжением классов WT(lRn). Развитию теории этих пространств и их приложениям посвящены исследования многих выдающихся специалистов в области математического анализа и теории уравнений в частных производных в нашей стране и за рубежом. Отмстим здесь работы таких исследователей как С. Л. Соболев, С. М. Никольский 2, О. В. Бесов, В. И. Буренков, Л. Д. Кудрявцев, П. И. Лизоркин, Ю. Г. Решетняк, П. Л. Ульянов, Л. Хермандер, И. Стейн, В. Г. Мазья 3, X. Брезис и многие другие. В работах этих исследователей для пространств классических потенциалов построена полная теория вложения.
В последние десятилетия эти исследования дополнены развитием теории пространств обобщенной гладкости.Отметим здесь работы В. И. Бурен-кова, А. В. Бухвалова, М. Л. Гольдмана, Г. А. Калябина, В. И. Коляды, Ю. В. Нетрусова, А. Гогатишвили, Х.-Г. Леопольда и др. В данной работе строится обобщение классической теории потенциалов, рассматриваются более общие ядра и базовые пространства. Классические ядра отвечают операциям дробного интегрирования, а наше обобщение охватывает более общие функции оператора дифференцирования не обязательно степенного типа. Такие обобщения дают большую гибкость в описании дифференциальных свойств функции и позволяют получать содержательные результаты и теоремы вложения в тех ситуациях, когда классические потенциалы Рисса не дают результатов.
Цель работы. Цель диссертационной работы состоит в исследовании интегральных свойств обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса, в
1 СМ.Никольский Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. // М.: Наука, 1977.
2S.M.Nikolskii Approximation of functions of several variables and imbedding theorems// Springer, Berlin, 1975.
zV.G.Maz'ya Sobolev Spaces // Springer, Berlin, 1985.
установлении критериев вложениях потенциалов Бесселя и Рисса в перестановочно инвариантные пространства, а также в описании оптимальных перестановочно инвариантных пространств для таких вложений.
Методика исследования. Основными методами исследования являются использование убывающих перестановок, построение и эквивалентное описание конусов убывающих перестановок, сведение к оценкам норм комбинированных операторов типа Харди на положительной полуоси.
Научная новизна. Построены и описаны конусы убывающих перестановок для потенциалов типа Бесселя и типа Рисса. Решена задача об оптимальном перестановочно инвариантном пространстве, содержащем данный конус убывающих перестановок. Для обобщенных потенциалов на базе пространства ЬР(Ш"), получены конструктивные описания перестановочно инвариантных оболочек потенциалов.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. На основании общих результатов этой работы может быть получен ряд критериев вложения для различных конкретных пространств и различных типов ядер, включая классические потенциалы Бесселя и Рисса.
Исследование интегральных свойств потенциалов служит базой для дальнейшего изучения свойств гладкости потенциалов в тех интегральных метриках, в которых получены соответствующие вложения.
Апробация работы и публикации. По темам диссертации опубликованы 7 работ [1-7].
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:
-
XLIV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии, Москва, 2008 г.;
-
семинар кафедры нелинейного анализа и оптимизации Российского университета дружбы народов (рук. д.ф.-м.н., проф. А.В. Арутюнов, 2010, 2011);
-
Международный семинар "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения, Ростов-на-Дону, 2011;
-
Международная конференция OMTSA - 2011, Kirsehir, Turkey, 2011;
-
8-ая Международная конференция по проблемам функциональных пространств, дифференциальных операторов и нелинейного анализа, Tabarz, Thur, Germany, 2011.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, 6 глав, списка литературы. Общий объем диссертации 98 страниц.
