Введение к работе
Представленная работа является исследованием в области качественной теории
фферснцнальных уравнений и спектрального анализа.
Актуальность темы.
В диссертации рассматривается задача, основой которой принято считать задачу аграижа: найти наиболее прочную колонну, которая является телом вращения плоской
ивой вокруг некоторой прямой, расположенной в ее плоскости.
Задача об оптимальной форме эластичной колонны фиксированного объема с арнирным оипранием на обоих концах была поставлена Ж.-Л. Лагранжсм в 1773
на основе работ Л. Эйлера и Д. Берпулли: найти форму упругого тела вращения, аксимизируюіцую ос прочность. Решая эту задачу, Ж.-Л. Лагранж пришел к
іводу, что оптимальное решение задачи — колонна постоянного сечения (цилиндр), шибка Лагранжа была исправлена почти сто лет спустя член-корреспондентом С-етербургской Академии наук Томасом Клаузеном'.
В XX веке интерес к этой задаче вновь возник после появления работ Дж.Б. Келлера
И. Таджбахша4. Они нашли оптимальную форму колонны для граничных условий жесткая заделка — шарнир», «жесткая заделка — свободный конец».
В 1977 году датские исследователи Н. Ольхофф и С. Расмуссен5 обнаружили, что ешение, приведенное в работе Дж.Б. Келлера и И. Таджбахша для случая жесткой
делки с обоих концов, неверно и численно нашли оптимальное решение с двумя
инейно независимыми формами потери устойчивости (бимодальное решение). Позже
х результаты были подтверждены А.П. Сейрашшом07 и Е. Мейзуром8, которые
спользовапи различные численные методы.
В работе Ю.В. Егорова и В. А. Кондратьева1 предложено альтернативное оказательство теоремы Келлера — Таджбахша, не зависящее от кратности собственного начения задачи. Из результатов, полученных в этой работе, следует, что форма колонны, айденная в их работе, оптимальна, также как и значение критической нагрузки.
Задача о наивыгоднейшем очертании колонны привлекала внимание ученых на ротяжении более 200 лет и продолжает вызывать интерес исследователей многих
'Егоров Ю.В., Коидратьев В.А. OG оценках первого собственного значения в некоторых задачах Штурыа-Лиувилли / УМН. - 1990. ' Т.51, вып. 3 (309). - С. 73-144. 2Lag>auge J.-L. Sur U figure des culouues // In: Ouvrcs do Lagrange (PuU. lie M. J.-A.: Seiret). - Talis: Gauthicr - Villars. 1868.-V. 2.-P. 125-170. 'Clausen T. Uber die form architektonischer Saulen // Dull. cl. physico-matli. Acad. St.-Pctcrsbouig. - 1851. - T. IX. -
371-380.
4Tadjbakhsh I., Keller J.B. Strongest columns and isoperitnetric inequalities for eigenvalues // Trans. ASME. J. Appl. Mecli.
19fi2. - V. 29. - N 1. - P. 159-104.
501hofF N., Rasmussen S.H. On single and biiuodal optimuui buckling loads of damped colmuus // Intoruat. Л. Solids Struct. 977. - V. 13. - N 7. - P. 605-614.
"Сейранян А.П. Об одном ретпепин задачи Лагранжа // Доклады АН СССР. - 1983. - Т. 271. - N 2. - С. 337-340.
7Сейраняи А.П. Об одной задаче Лагранжа // Из». АН СССР. Механика твердого тела. - 1984. - N 2. - С. 101-111.
sMasur E.F. Optimal structural design under multiple ragrawalucs constraints // Internal:. .(. Solids Struct. - 1984. - V. 20. N3.-P, 211-231.
стран мира (см., например, работы А.С. Братуся и А.П. Сейраняна910, С.Дж. Кок и М.Л. Овертона11, Ю.В. Егорова и С. Караа1213, А. Рамма14). Ю.В. Егоров15 своих недавних работах предложил новый подход к доказательству существовал! оптимальной формы колонны и новый алгоритм для поиска оптимальной формі который может служить математической базой для результатов, полученных числені Н. Ольхоффом и С. Расмуссеном, А.П. Ссйраняном и Е. Мейзуром.
Приведем постановку задачи Лагранжа, рассматриваемую в работе Дж.Б. Келлера И. Таджбахша4 и связанной с ней вариационной задачи (см. также работы10'15).
Пусть А — величина нагрузки вдоль оси и и — смещение колонны в ортогональном оси направлении. Потенциальная энергия колонны равна
Т = Е1(х)и"{х)Чх - \}ti'{xfdx,
где 1{х) — момент инерции плоского сечения колонны и Е — модуль Юнга. Критическс
нагрузкой Ах называется максимальное значение А, при котором infT = 0. Таки
образом, Ai = inf Flu], где и(*)єдЗ(о,і) l J'
F[u] = &EIW(*?dx f0 u'{x)2dx
Уравнение Эйлера — Лагранжа для функционала F имеет вид
(Q(x)y"{x))" + \у"(х) = 0,
где функция у(х) удовлетворяет следующим условиям
2/(0) = у'(0) = j/(l) = у'(1) = о,
Q(x) = kS2(x), где S(x) ~ площадь сечения колонны при 0 < х < 1 (к = const > О При этом объем колонны фиксирован, т.е.
J* ^/0Щс1х = 1.
,.„JBP^b А^'^СеТ?Л А;Л Бимодальнь"1 Р<гя в задачах оптимизации собственного значения // Прикл. мат»
Mt.x. xJoij. — J., 47. — С. 4j1—45/.
"Сейран АЛ Задача Лагранжа о наивыгоднейшем очертании колонны // Институт механики МГУ им. Ломоносов.
- Препринт N 00-2000. - 04 с.
Р 2SM2S5J" 0Vert"U М' L' " tl№ "РЙтНІ ('';SiS" f a,1'"U"S ilgi,'"St ЫКШ& !l SIAM Л' Math- Апа1- " Ш% - V- 23-Р-^ГЛ^^Т t^f^"- I'" '" I,ra"im! V4le"r рГОрГЄ ,ie ''"P^"1""-<le Stunn - Liouville // C.R. Acad. SC
n ^t VlUe"IS РГОрГЄ8 exttemales ciaIls problems de Sturm - Liouville // C.R. Acad. Sci. Paris. Ser. I. - 1U95 - V 321
— 1J. 205-270.
J'Ramm A. Topics scattering and spectral theory. Queries // Notices Amer. Math. Soc. - 19S2. - V. 29 - P 327-329 "Egorov YU V-. On the Lagrange problem about the strongest column // Abstract and Applied Analysis, World Sci. Publishing
В действительности можно рассматривать колонну с сечением произвольной формы, ли все сечения подобны одному из них. Если колонна неоднородна., то есть составлена из оев с различными упругими свойствами, и сечения не являются подобными, то условие
функцию Q(x) можно заменить условием
и некотором а Є [0,1].
Задача Лагранжа послужила источником для различных постановок экстремальных дач на собственные значения, в том чпсле для уравнений второго порядка с тегральным условием на потенциал. Эти задачи похожи но постановке, но серьезно личаются по методам исследования и полученным результатам благодаря разным эрмам уравнения, значениям параметров краевых условий и формам интегрального ловия. При этом самостоятельный интерес представляют как оценки собственных ачений, так и изучение свойств функций, на которых эти оценки могут достигаться.
Приведем некоторые постановки таких задач.
1. Начало исследованиям положила задача, рассмотренная Ю.В. Егоровым и .А. Кондратьевым1017. Приведем полностью ее постановку п основные полученные .зультаты.
Авторами рассматривалась задача
у"(х) + Xq(x)y(x) = 0, 2/(0) = у(1) = 0, е q(x) — неотрицательная ограниченная суммируемая на (0,1) функция,
овлетворяющая условию
/
q"(x)dx = 1, /3 ф 0.
Из вариационного принципа следует, что первое собственное значение Аг может быть йдено следующим образом:
}y'\x)dx
\\ = inf .
j,(*)etf,j(0,l) *
J q(x)yz(x)dx a
ценивались значения тя« =-- inf Ai, Мц = sup А,, где Щ — множество
чцественнозначных ограниченных суммируемых на (0,1) функций q с положительными іачениями и таких, что /0 if(x)dx = 1,/3^0.
16Egorov Yu.V., Kondratiov V.A. On Spectral theory of elliptic operators ,'.' in Operator theory: Advances and Applications, rkhouser. - 1990. - V. 89. - P. 1-325.
"Егоров Ю.В., Кондратьев B.A. Of> оценках первого собственного значении в некоторых задачах Штурма-Лмушишя УМН. - 1090. - Т. 51, вып. 3 (309). - С. 73-144.
Были получены оценки минимального собственного значения Хг этой задачи п] различных значениях /3.
Основным результатом является следующая теорема:
Теорема 0.1. (Ю.В. Егоров, В.А. Кондратьев) Если р > 1, то тц = f^^B2 (±, ± - ^) , Мр = со, где В - бета-функция Эйлер,
В(а, Ь) = j0 ха~г(1 -xf-ldx. Существуют такие функции и(х) є Я^(0,1) и q(x) R что inf L(q, у) = L(q, и) = mb.
Если Р = 1, то mi = 4, Mi = ос.
Если 0 < /3 < 1, то М0 = ^Ху^В2 (і, і), т/» = 0. Существуют такие функщ и{х) є Щ (0,1) и () Є Я,,, чт,о inf L{q. у) = Ltq, и) = М«.
Если /3 < 0, то Мл = ~^%\%В2 (), 1~^), Щі = 0. Существуют такие фунщі и{х) Щ(0,1) и q(x) Є % что inf L{q, у) = L(o, и) = Мв.
j;(a)eHj}(0,l)
Если і < /3 < 1, тотпр-0, Мц = со.
2. В работах1819 рассматривалась задала Штурма — Лиувилля с краевыми условиям третьего типа:
где р{х) - функция из класса Аа, где Аа при а > 0 — множество неотрицательны
ограниченных функций (при о < 0 Аа — множество положительных ограниченны
і функций), удовлетворяющих условию Jp"(x)dx = 1, а ^ 0.
3. В.А. Винокуровым и В.А. Садовничгш20 рассматривалась задача
у"{х) + (А - д(*))г/(*) = 0, у(0) - у(0 = 0,
где д(х) — вещественнозначная суммируемая по Лебегу на (0,1) функция.
Исследовался вопрос: насколько сильно можно изменить (увеличить пли уменьшит собственное значение, если q(x) меняется в пределах некоторого подмножеств Q = Up[t] = {q Є Lp(0,1), \\q\\iy < t} есть замкнутый шар радиуса t > 0 с центром в нул банахова пространства LP{0,1), р Є [1,+со]. В работе получены оценки снизу и сверх минимального собственного значення данной задачи при р > 1, доказана достижимост оценок при р > 1. Достижимость оценок при р ~ 1 доказана в работе21.
,8Мурышкипа О.В. Об оценках минимального собственного значения задачи Штурма-Лиувштля с несимметричным краевыми условиями //Дифференц. уравнении. - 2001. - Т. 37. - N «. - С. 854.
"Мурышкина О.В. Об оценках минимально собственного значении задачи Штурма-Лиуьилля с симметричным краевыми условиями // Вестник молодых ученых. - У2005. Серия: Прикладная математика и механика. - Г2005. С. 36-52.
Винокуров В.А., Садовничий В.А. О границах изменения собственного значения при изменении потенциала / Доклады Академии наук. - 2003. - Т. 392. - N Б. - С. 532-597.
4. В работах2122 получены оценки минимального собственного значения задачи
у"(х) + oQ(x)y{x) + Ху(х) = О,
2/(0) = 2/(1)=0,
де а = ±1, Q(x) — неотрицательная ограниченная на [0,1] функция, удовлетворяющая
і словию: f Qa(x)dx = 1, а ф 0. о В диссертации рассматривается задача более общего вида, объединяющая уравнение
"(.г) — q(x)y(x)+\y{x) = 0 с краевыми условиями < ,//-,4, Л ),{_* и интегральным
словием па потенциал fQ (p(x)dx = 1, что существенно усложняет исследования и ребует новых подходов.
Цель работы. Исследовать минимальное собственное значение задачи Штурма — Іиувилля с интегральным условием на потенциал и краевыми условиями третьего ипа, получить для него оценки сверху и снизу при различных значениях параметра нтегралыюго условия и параметров краевых условий, доказать достижимость оценок.
Общая методика исследования. В диссертации используются методы ачественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функционального лализа и спектральной теории дифференциальных операторов, в частности, ариациоппый метод нахождения первого собственного значения краевой задачи.
Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми, сновные результаты состоят в следующем:
-
Получены оценки сверху и снизу минимального собственного значения для задачи Ітурма — Лиувилля с краевыми условиями третьего типа и интегральным условием на отенциал при всех значениях параметра интегрального условия и параметров краевых словий.
-
Доказана достижимость оценок минимального собственного значения.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический арактср и может представлять интерес для специалистов в области качественной еории обыкновенных дифференциальных уравнений и спектральной теории ифференцнальных операторов.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных еми нарах:
21Ежак С.С. Об оценках минимального собственного значения задачи Штурма—Лиувилля (. интегральным условием // овременная математика и ее приложения. - 2005. - Т. 'Мі. - С. Г>6'-Ш.
22Ежак С.С. Об оценках минимального с:обствеішого значення одной задачи Штурма-Лиувилля // Дифферепц. равнения. - 2005. - Т. 41. - N П. - С. 1OT7-157S.
семинар по качественной теории дифференциальных уравнений кафедры дифф ренциальных уравнений механико-математического факультета МГУ им.М.В.Ло моносова под руководством проф.В.А.Кондратьева, проф.Н.Х.Розова (2010г.);
семинар по теории операторов кафедры теории функций п функционально!' анализа механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова по, руководством проф. А.А. Шпаликова (2011 г.);
семинар по качественной теории дифференциальных уравнений кафедрі высшей математики МЭСИ под руководством проф. И.В. Астанговой, прос} А.В. Фшшновского, проф. В.А. Ннкишкииа (2004-2011 гг., неоднократно).
Результаты докладывались также на следующих конференциях:
Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учены. "Ломоносов". Москва, МГУ им.М.В.Ломоносова, 2008.
Международная конференция "Дифференциальные уравнения и топология" посвященная 100-летию со дня рождения Л.С.Понтрягшга. Москва, МГ. им. М.В.Ломоносова, 2008.
14-я и 15-я Саратовская зимняя школа "Современные проблемы теории функций і их приложения", 2003, 2010.
Международная конференция «Качественная теория дифференциальных уравнешп и приложения». Москва, МЭСИ, 2008 - 2011.
Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамически системам. Суздаль, 2008. 2010.
Воронежская весенняя математическая школа "'Современные методы качественно* теории краевых,задач" — "Понтрягинские чтения - XIX", "Понтрягинские чтенн -XXIV. Воронеж, ВГУ, 2008, 2011.
4-я международная конференция "Математические идеи П.Л.Чебышева и и приложение к современным проблемам естествознания". Обнинск, 2008.
Международная конференция "КРОМШ 2008", "КРОМШ 2011" - XIX п XXI Крымская осенняя математическая школа-симпозиум. Украина, 2008, 2011.
Международная конференция "Современные проблемы математики, механики и и приложения", посвященная 70-летит ректора МГУ академика В.А.Садовничего Москва, МГУ им. М.В.Ломоносова, 2009.
Международный Росспйско —Абхазский симпозиум "Уравнения смешанного типа і родственные проблемы анализа и информатики". Нальчик — Эльбрус, 2009.
Международная конференция "NPDE 2009 — Nonlinear PDE and applications". Университет Катании, Италия, 2009.
СамДиф-2009: конференция "Дифференциальные уравнения н их приложения". СГУ, Самара, 2009.
"Equacliff 12" — Международная конференция но дифференциальным уравнениям и их приложениям. Брно, Чехия, 2009.
Международная научно-практическая конференция "Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика". ПГУ им. М.В. Ломоносова. Архангельск, 2010.
II Международная школа-семинар «Нелинейный анализ и экстремальные задачи». Институт динамики систем и теории управления Сибирского отделения РАН. Иркутск, 2010.
Международный конгресс математиков. Индия, Хайдарабад, 2010.
Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященная выдающемуся математику И.Г.Петровскому. Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2011.
Международная конференция «Painlove Equations and related topics». Международный математический институт Эйлера, Санкт-Петербург, 2011.
Международная конференция по дифференциальным и разностным уравнениям и их приложениям. Азорский университет, Понта-Дельгада, Португалия, 2011.
Международная конференция «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях п теории чисел», Белгород, 2011.
Публикации автора. Основные результаты диссертации опубликованы в 30 работах sTopa, 2 пз которых опубликованы и изданиях, рекомендованных ВАК. Работ в авторстве нет.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит пз введения, четырех глав списка литературы из 82 наименований, включая работы автора. Объем диссертации ставляет 96 страниц.
