Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Развитие спектральной теории дифференциальных операторов играет важную роль с теоретической и прикладной точек зрения. Центральное место в спектральной теории дифференциальных операторов занимает вопрос оГ> оценке спектральной функции и о сходимости спектрального разложения произвольной функции из некоторого класса. Этой проблеме Г>ыли посвящены работы В.А.Стеклова, Я.Д.Тамаркина, Э.Ч.Титчмарша, А.Хаара, Б.М.Левитана, Я.Л.Герониму-са и многих других авторов.
Для оператора Шредингера наиболее важным условием на потенциал, обеспечивающим существование самосопряженного расширения этого one -ратора на всей прямой, является так называемое условие Като, которое; в одномерном случае совпадает с условием равномерной локальной суммируемости. Различные аспекты спектральной теории для многих частных видов потенциалов, удовлетворяющих условию Като, изучались в последние годы рядом известных математиков. Прежде всего следует отметить непрерывный и периодический потенциал (в этом случае оператор Шредингера называется оператором Хилла). Спектральной теории оператора Хилла посвящены многочисленные работы научных школ академиков С.П.Новикова, Л.Д. Фаддева и В.А.Марченко. Вопросам оценки спектральной функции и спектрального разложения посвящены недавние работы Д.Шенка и М.А.Шубина и В.А.Ильина и И.Антониу.
Кроме того, в работах Б.Саймона и М.А.Шубина Пыл изучен оператор Шредингера с почти периодическим (по Г.Бору) потенциалом.
В недавних работах В.А.Ильина и И.Антониу были оценены спектральная функция и спектральное разложение для оператора Шредингера с ограниченным и измеримым потенциалом, также являющимся частным случаем потенциала, удовлетворяющим условию Като.
Другие важные частные случаи потенциалов, удовлетворяющих условию Като, рассматривались в известной монографии М.Рида и Б.Саймона "Методы современной математической физики".
Наконец, для общего случая скалярного вещественного потенциала, удовлетворяющего условию Като, равномерные на всей прямой оценки спектральной функции и равномерная на всей прямой равносходимость с ин-
тегралом Фурье спектрального разложения Пыли установлены п конце 19! года В.А.Ильиным1.
Параллельно с этими работами велись исследования одномерного опер тора Шредингера со скалярным и с матричным потенциалом па конечін отрезке (для случая дискретного спектра).
В 1991 году В.А.Ильин для изучаемого на конечном интервале операт<»| Шредингера со скалярным и с матричным комплекснозначными суммир емыми потенциалами доказал тпорсмы о равномерной на люПом компак* равносходимости с тригонометрическим ])ядом для случая скалярного п тенциала и о покомпонентной равномерной на любом компакте равносх димости с разложением в интеграл Фурье соответствующей компонент разлагаемой вектор-функции для случая матричного потенциала.
Последний результат Пыл перенесен в 1995 году А.В.Дядечко на ел чай оператора Шредингера с матричным потенциалом и с диагональн матричным собственным значением.
Отмеченные выше исследования делают весьма актуальной пробле.ч установления равномерных на всей прямой оценок основных спектрал ных характеристик для самосопряженного расширения рассматриваемо на этой прямой оператора Шредингера с симметричным вещественнозна ным матричным потенциалом, все компоненты которого удовлетворяй условию Като.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Установление равномерных на всей прямой оцені спектральных характеристик - спектральной функции и спектрально разложения - оператора Шредингера с матричным потенциалом, все ко: поненты которого удовлетворяют условию Като.
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В диссертациооной работе использ ются методы функционального анализа, теории дифференциальных ура нений, а также аппарат, разработанный В.А.Ильиным в его работах, п священных исследованию оператора Шредингера со скалярным потении лом, удовлетворяющим условию Като.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Для спектральной функции евмосопряженн го расширения оператора Шредингера с матричным потенциалом, удов-' творяющим условию Като, получены равномерные на всей прямой и т< ные по порядку оценки, как в метрике Loo(R), так и в метрике L,;(R) п;
'* Ильин В.А., Дифференциальные уравнения, 1990, Т.31, N12. C.1957-19G7
люГхім q > 2.
Установлен факт покомпонентной равномерной па ікси примой рдшіо<
надлежащей классу LJ,"(R),1 < \> < 2, ( разложением и ипіеірал Фурье соответствующей компонеіп і.і разлагаемой псктор-фуныши
Доказан покомпонентный принцип локализации спектрального разложе ния произвольной вектор-функции, принадлежащей клаку !.j''(H). 1 < р < 2
Установлена равномерная на шей прямой оценка интеграла о і киадра і а модуля фундаментальных вектор - функций оператора Шредингера с мат ричным потенциалом, удовлетворяющим условию К ато.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ Полученные результаты актуальны как для математических аспектов спектральной теории дифференциальных операторов, так и для ряда проПлем теоретической физики и квантовой механики, рассматриваемых, например, и монографии М.Рида и Б.Саймона "Методы современной математической физики".
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на научном семинаре кафедры нелинейных динамических систем и процес сов управления факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета и на Воронежской весенней математической школе ("Понтрягинские чтения" - VII) в 1996 году.
ПУБЛИКАЦИИ. Содержание диссертации изложено в рлоотах [1] - [3].
ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация содержит 47 страниц текста, состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы Список литературы включает 23 наименования.
