Введение к работе
Актуальность темы. Теория и приложения операторов являются важным разделом анализа и дифференциальных уравнений и занимает значительное место в деятельности многих математиков. Укажем широко известные работы М. В. Келдыша, И. Ц. Гохберга и М. Г. Крейна, В. Г. Лидского, В. А. Ильина, В. Эбергарда, С. Агмона, А. П. Хромова, М. Г. Гасымова, А. А. Шпаликова. Частным объектом исследований этих и других работ являются обыкновенные линейные регулярные дифференциальные операторы и пучки таких операторов, определенные еще в классических работах Г. Биркгофа и Я. Д. Тамаркина. Завершенные исследования здесь имеются в интересных, но весьма частных случаях. Это " пучки Келдыша", Биркгофа и некоторые другие.
Отсутствие законченной, прозрачной теории таких пучков в общей ситуации определяет актуальность данной темы.
Следует отметить также необходимость исследования общих форм приложения'теории этих пучков к решению новых задач математической физики и прикладных задач, что составляет другую сторону актуальности темы диссертации.
Цель работы: Целью данной диссертационной работы является:
1. Исследование общих пучков обыкновенных дифференциаль-
ных операторов на конечном промежутке, удовлетворяющих гра
ничным условиям наиболее общего вида и установление закончен
ных, практически ценных условий п кратных разложений произ
вольных функций в ряды по корневым функциям пучков.
2. Приложение развитой теории к построениям решений начально-
краевых задач для линейных гиперболических и параболических
уравнений общего вида в плоском случае и при произвольных гра
ничных условиях.
Научная новизна и практическая ценность: В диссертации получены следующие основные результаты:
1. Найдены простые, геометрически обозримые, предельно точ
ные условия регулярности пучков обыкновенных дифференциаль
ных операторов общего вида, охватывающие все известные ранее
частные случаи.
2. Дано непосредственное доказательство теоремы об ь кратном
разложении п. произвольных функций в ряды Фурье по корневым
функциям пучка.
.3
3. Получены новые представления решений начально-краевых
задач общего вида в случаях плоских линейных гиперболических и
параболических уравнений общего вида.
4. Практическая ценность результатов определяется приложени
ями полученной теории к задачам математической физики, кванто-
механической теории рассеивания, к изучению процессов в атомных
реакторах, к задачам аэронавтики.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на VII .международной конференции в Абрау-Дюрсо, на семинарах кафедр математического факультета ДГУ и ДГПУ, на городском семинаре по математике в г. Махачкале.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 86 страницах машинописного текста и состоит из введения, 3 глав и списка литературы, включающего 53 наименования.
