Содержание к диссертации
Введение
1 Стационарные неравенства для операторов типа Навье - Стокса 18
1 Постановка задачи 19
2 Разрешимость неравенств типа Навье - Стокса 22
2.1 Свойства операторов типа Навье - Стокса 22
2.2 Априорная оценка решения вариационного неравенства . 24
2.3 Теорема существования 25
3 Структура множества решений вариационных неравенств типа Навье - Стокса 28
3.1 Единственность решения при малых числах Рейнольдса 28
3.2 Структура множества всех решений задачи (1.5) 30
4 Нелинейные краевые задачи для стационарных уравнений Навье - Стокса 33
4.1 Вспомогательные сведения. Обобщенное решение субдифференциальной краевой задачи для уравнений Навье - Стокса 38
4.2 Односторонние краевые задачи для стационарной системы Навье - Стокса 44
4.3 Протекание вязкой жидкости через ограниченную область при заданном перепаде полного напора 51
5 Движение вязкой жидкости с ограниченным вихрем и проблема исчезающей вязкости 53
5.1 Вариационное неравенство на множестве с ограниченным вихрем 53
5.2 Предельный переход по вязкости 55
5.3 Интерпретация вариационного неравенства для оператора Эйлера 56
6 Разрешимость краевых задач с неоднородным условием для касательной компоненты скорости 58
6.1 Постановка задачи 58
6.2 Определение обобщенного решения задачи (6.1)-(6.3) 61
6.3 Существование обобщенного решения 62
2 Стационарные неравенства в моделях неоднородной или теплопроводной жидкости 69
1 Субдифференциальная краевая задача для уравнений динамики неоднородной вязкой жидкости 70
1.1 Постановка задачи 70
1.2 Предварительные сведения 72
1.3 Вариационные неравенства 73
2 Разрешимость стационарных неравенств для вязкой неоднородной жидкости 75
2.1 Формулировка основного результата 75
2.2 Разрешимость краевой задачи для плотности 76
2.3 Вариационное неравенство для скорости 78
3 Построение многозначного оператора задачи (1.1)-(1.4) 80
4 Приложения к задачам гидродинамики 83
5 Вариационные неравенства для обобщенного оператора типа Навье - Стокса и односторонние задачи для уравнений вязкой теплопроводной жидкости 86
5.1 Вариационные неравенства для обобщенных операторов типа Навье - Стокса 87
6 Разрешимость односторонних краевых задач для уравнений тепловой конвекции 91
6.1 Постановка краевых задач 91
6.2 Обобщенное решение задачи (6.1)-(6.5) 94
6.3 Разрешимость односторонних краевых задач 96
3 Экстремальные задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости 101
1 Задача оптимального управления для стационарного уравнениятипа Навье - Стокса 102
1.1 Постановка задачи 102
1.2 Разрешимость задачи (Р) 104
2 Система оптимальности 105
2.1 Обоснование необходимых условий оптимальностипри малых числах Рейнольдса 106
2.2 Система оптимальности для регулярного множества допустимых уравнений 108
2.3 Принципы максимума в задачах оптимизации течений 112
3 Задача граничного 1,2-управления системой Навье - Стокса 118
3.1 Постановка и разрешимость экстремальной задачи . 118
3.2 Структура множества решений задачи 3.1 120
3.3 Сингулярная система оптимальности 122
4 Структура множества решений экстремальной задачи 3.1 . 124
4.1 Конечномерность множества решений 125
4.2 Единственность решения задачи 3.1 127
5 Субоптимальное управление 128
5.1 Асимптотика оптимального управления при /І = Л"1 -> 0 129
5.2 Асимптотика оптимального управления при большой вязкости 131
5.3 Пример построения субоптимального управления . 132
6 Управление эволюционными уравнениями Навье - Стокса 136
6.1 Стартовое оптимальное управление 136
6.2 Граничное 1/2-управление нестационарной системой Навье - Стокса 150
4 Субдифференциальные обратные задачи для систем типа Навье - Стокса 161
1 Субдифференциальные обратные задачи для стационарных систем 162
1.1 Абстрактная обратная задача 162
1.2 Разрешимость задачи (J) и структура множества всех решений 165
2 Приложения к обратным задачам для уравнений Навье - Стокса 168
2.1 Задача с одним неизвестным параметром, определяющим плотность внешних сил 169
2.2 т - параметрическая граничная обратная задача . 170
3 Граничная обратная задача с интегральным переопределением 173
4 Обратные задачи для эволюционных систем типа Навье - Стокса176
5 Преобразование задачи (II). Существование слабого решения . 179
6 Сильные решения обратной задачи (//) 185
7 Обратные задачи динамики однородной вязкой жидкости 187
7.1 Задача с неизвестной правой частью 188
7.2 Граничная обратная задача типа управления 190
Заключение 193
- Априорная оценка решения вариационного неравенства
- Протекание вязкой жидкости через ограниченную область при заданном перепаде полного напора
- Разрешимость краевых задач с неоднородным условием для касательной компоненты скорости
- Вариационные неравенства для обобщенного оператора типа Навье - Стокса и односторонние задачи для уравнений вязкой теплопроводной жидкости
Введение к работе
1. Значительные результаты, полученные в теории вариационных проблем математической физики в 50-60 годы 20-го века, привели к бурному развитию этой тематики. В частности, стала развиваться математическая теория управления системами, описываемыми уравнениями с частными производными и близкая к ней теория вариационных неравенств, причем наиболее интенсивно исследовался случай линейных уравнений. Потребности развития новых технологий в гидромеханике обусловили необходимость исследования вариационных задач динамики жидкости. Примерами таких задач являются вариационные неравенства для операторов гидродинамики, задачи оптимального управления и обратные задачи гидродинамики.
Решение вариационных задач гидродинамики связано со значительными трудностями по сравнению с классическим линейным случаем. Прежде всего это объясняется необходимостью учета эффектов обусловленных нелинейностью моделей гидродинамики. Для нелинейных краевых задач гидродинамики, как правило, отсутствуют теоремы об однозначной разрешимости. Кроме того дополнительные нелинейные эффекты возникают при рассмотрении экстремальных задач гидродинамики с ограничениями, а также за счет постановки нелинейных граничных условий. Построение точной теории для задач этого класса, важных с точки зрения приложений, представляет интересную математическую проблему.
Одной из основных моделей теоретической гидродинамики является система уравнений Навье - Стокса вязкой несжимаемой жидкости. Корректность основных краевых задач для этой системы рассмотрена в классической книге О. А. Ладыженской [30]. Моделирование нелинейных краевых условий привело к исследованию вариационных неравенств типа Навье - Стокса, теория которых начала разрабатываться Ж.Л.Лионсом [36],[129] и А.В.Кажиховым [26]. Отметим также работу П.П. Мосолова, В.П. Мясникова [46], в которой впервые предложено применять вариационные методы и неравенства при исследовании течений вязко-пластических сред. Следующий этап в развитии теории вариационных задач для системы Навье - Стокса - исследование экстремальных задач оптимизации течений. В работах А.В.Фурсикова [67]-[68] впервые рассмотрены задачи управления для нелинейных уравнений гидродинамики в отсутствии теорем об однозначной разрешимости управляемой системы. В дальнейшем это направление развивали ряд авторов, в том числе M.Gunzburger, L.Hou, T.Svobodny [123]-[126], F.Abergel, R.Temam [95], S.Sritharan [136]-[137], M.Desai, K.Ito [112], Г.В.Алексеев [7]. К вариационным неравенствам и задачам управления для уравнений гидродинамики тесно примыкают обратные задачи об определении не только решения гидродинамических уравнений, но также внешних условий определяющих течение, по дополнительной информации о решении. В работах А.И.Прилепко, И.А.Васина [51]-[53], [134],[142] рассмотрены обратные задачи для уравнений Навье - Стокса, заключающиеся в восстановлении плотности внешних сил или некоторых коэффициентов по определенной информации об искомом решении.
Таким образом, возникает проблема разработки единого подхода к вариационным проблемам гидродинамики вязкой жидкости, позволяющего проводить теоретическое исследование указанных постановок и строить алгоритмы их решения.
2. Целью данной диссертации является исследование вопросов корректности постановок вариационных задач гидродинамики, изучение качественных свойств решений этих задач и разработка асимптотических алгоритмов для решения экстремальных задач гидродинамики.
Вариационные задачи для уравнений гидродинамики представляют значительный теоретический интерес как объект применения современных математических методов, а с другой стороны, важны для приложений в различных разделах физики и инженерной механики.
Наиболее полно вариационные неравенства и теория управления для уравнений с частными производными изучены в случае линейных уравнений. Особенностью нелинейных уравнений гидродинамики является то, что неизвестно существует ли функциональный класс, в котором трехмерные уравнения гидродинамики при естественных граничных и начальных условиях имеют единственное решение. Несмотря на существенный интерес к вариационным задачам гидродинамики, значительная часть проблем этого типа оставалась (и остается) открытой.
В качестве математической модели динамики жидкости будем рассматривать систему уравнений Навье - Стокса вязкой несжимаемой жидкости: p(-^ + (u-V)u) =-Vp + [*Au + pf, divu = 0, (1) %+uWP = 0. (2)
Здесь и = {ui}f=1 - вектор скорости течения, d = 2,3; р - давление, р - плотность, / - плотность внешних массовых сил, р = Const > 0 - коэффициент d динамической вязкости, (и V)u = Y1 икЩ~и- Переменная t означает время, х = {xi}f=l - точку в M.d. Изучение установившихся процессов приводит к стационарной модели неоднородной вязкой жидкости: р{и V)u = -Vp + /іДи + pf, div и = 0, uVp = 0. (3)
В случае р = const > 0 (не нарушая общности, считаем р = 1) получаем классические стационарную и эволюционную модели однородной несжимае- мой вязкой жидкости: -vAu + (и V)u = - Vp + /, div и = О, (4) vAu+(u- V)u = -Vp + f, divu = 0, (5) где v = р/р > 0 - коэффициент кинематической вязкости.
Первое векторное уравнение в (4) (уравнение импульсов) часто удобно записывать в форме Лэмба: —vAu + ( rot и х и) = —V/i + /.
Величина h = р+ри2/2 в гидродинамике называется полным напором течения. Рассматривается также стационарная модель Буссинеска, учитывающая тепловые эффекты, возникающие при движении среды. В этом случае в модели (4) можно положить / = -00д, (6) где в - температура среды, (3 - коэффициент теплового расширения, д - ускорение свободного падения, и к системе (4) добавить уравнение теплопроводности -аеД<9 + uV9 = q, (7) где ае - коэффициент температуропроводности, q - объемная плотность источников тепла.
Основным объектом исследований в работе являются системы (3)-(5) и модель (4),(6),(7).
Сформулируем общие постановки задач, рассматриваемых в диссертации. Пусть QcRd - ограниченная область с гладкой (кусочно-гладкой) границей Г = dft. Предположим, что граничные значения для гидродинамических величин {и,р} (соответственно, {р,и,р} в модели (3) или и, в в модели Буссинеска) являются полностью или частично неизвестными и требуется определить эти значения, а также найти отвечающее им течение (решение соответствующей системы уравнений) в области О по дополнительной информации о решении. В качестве указанной информации будем рассматривать следующие типы условий: (а) Субдифференциальные соотношения между {и,р} (либо меж ду температурой 9 и другими параметрами течения).
В этом случае мы получаем вариационные неравенства для оператора Навье — Стокса. Отметим, что классические краевые условия (например, типа Дирихле) являются частным случаем субдифференциальных граничных условий, а изучение последних позволяет исследовать весьма широкий класс физически интересных задач. (б) Экстремальные условия.
Пусть J - некоторый функционал, выбираемый из физических соображений (функция качества или стоимости) и зависящий от гидродинамических параметров течения. Тогда условие J -» inf, где минимум ищется на некотором множестве допустимых управлений и течений, приводит к задачам оптимального управления для системы Навье - Стокса. (в) Задание дополнительных нелокальных условий на гидроди намические характеристики течения.
С точки зрения гидродинамики требуется определить внешние условия, определяющие течение, например, плотность внешних сил. Можно также вместо отсутствующего краевого условия на части границы рассматривать переопределение на другой части границы или другую дополнительную информацию о решении. При этом специфика задач протекания приводит к ограничениям в виде неравенств. Задачи такого типа будем называть граничными обратными задачами для системы Навье - Стокса.
При исследовании задач указанных типов методы и результаты, полученные для вариационных неравенств Навье - Стокса применяются к изучению условий оптимальности в экстремальных задачах, также имеющих форму вариационных неравенств. Особенностью предлагаемого метода исследования обратных задач является постановка их в форме вариационных неравенств или экстремальных задач и использование результатов, полученных при рассмотрении проблем типа (а),(б).
Результаты диссертации изложены для абстрактных нелинейных систем типа Навье - Стокса в гильбертовом пространстве, что позволяет получать приложения к различным гидродинамическим моделям и разным типам граничных условий.
3. Рассмотрим теперь вкратце содержание отдельных глав.
Впервой главе рассматриваются стационарные вариационные неравенства для оператора Навье - Стокса, связанные с системой (4). Исследование вариационных неравенств гидродинамики стимулировалось возникновением задач, содержащих ограничения типа неравенств (односторонние условия) на гидродинамические величины. Теория односторонних задач для уравнений Навье - Стокса впервые начала разрабатываться Ж.-Л.Лионсом [36], [129] им были рассмотрены примеры односторонних ограничений, при которых удается доказать разрешимость задач, интересные только в теоретическом плане. В работах А.В.Кажихова [10],[26],[27] рассмотрены постановки односторонних эволюционных задач гидродинамики, имеющие ясную физическую интерпретацию. Различные модификации эволюционных неравенств для операторов Навье - Стокса рассматривали H.Brezis [102][103], G.Prouse [135], M.Muller, J.Naumann [130],[131]. Рассматриваемые в диссертации постановки стационарных неравенств являются новыми и допускают различные физические приложения, поскольку позволяют моделировать широкий класс нелинейных граничных условий. Отметим также, что результаты первой главы могут быть использованы для исследования новых краевых задач гидродинамики, не содержащих неравенств, таких как задачи с заданным на границе течения полным напором или с заданной зависимостью между полным напо- ром течения и другими гидродинамическими характеристиками. Результаты главы 1 заключаются в следующем: исследована корректность класса стационарных неравенств для оператора Навье - Стокса; получены условия разрешимости (без ограничений типа малости) и единственности (при малых числах Рейнольдса); описана структура множества решений вариационных неравенств как конечномерного компакта; последнее является обобщением классических результатов C.Foias, R.Temam [115] на случай субдифференциальных краевых задач; даны приложения полученных результатов для односторонних стационарных краевых задач для системы Навье - Стокса, в том числе и для задач с неоднородным краевым условием для касательной компоненты скорости течения; изучена проблема исчезающей вязкости методом вариационных неравенств, на основе моделирования течений с ограниченным вихрем, при этом описана структура решения предельного неравенства как новой модели динамики идеальной жидкости.
Вторая глава посвящена изучению стационарных вариационных неравенств в модели неоднородной несжимаемой жидкости (3) , а также субдифференциальных краевых задач для модели тепловой конвекции (4), (6)-(7). Учет неоднородности среды вносит существенные трудности при исследовании этой системы даже в случае двумерных течений. Первая краевая задача для эволюционной модели неоднородной жидкости исследована в работах А.В.Кажихова [10],[25],[27], а в стационарном случае - Н.Н.Фроловым [65],[66]. Эволюционные неравенства также рассматривались А.В.Кажиховым при изучении односторонних краевых задач [26]. В диссертации доказана разрешимость в целом для класса стационарных неравенств в модели неоднородной несжимаемой вязкой жидкости. Получены приложения к односторонним краевым задачам, а также к задачам с классическими краевыми условиями и задачам типа регулирования.
Далее во второй главе вводится класс обобщенных операторов типа На-вье - Стокса, позволяющий, в качестве приложения, исследовать как классические задачи гидродинамики, так и более сложные модели, учитывающие, например, тепловые эффекты. Для операторов указанного класса исследуются вариационные неравенства. Основной результат - теорема о разрешимости - применяется к различным односторонним задачам тепловой конвекции вязкой жидкости. Следует отметить, что указанный результат является аналогом принципа Лере-Шаудера для стационарных неравенств с обобщенным оператором типа Навье - Стокса. Применение данного обобщения известного принципа позволяет исследовать нелинейные краевые задачи с неравенствами и для более сложных моделей гидродинамики таких как модель среды с внутренними степенями свободы и модель неоднородной жидкости с учетом диффузии [10, с.148-155].
В главе 3 рассматриваются экстремальные задачи динамики вязкой жидкости. Основное внимание уделяется интересным для приложений задачам граничного управления. Предлагается новый подход к проблемам оптимизации течений, основанный на рассмотрении негладких граничных управлений класса L2. При выводе условий оптимальности применялся не классический принцип Лагранжа, а использовались методы непосредственных оценок производной функционала качества, либо аппроксимация задачи на основе метода штрафа. Это позволило более точно учитывать алгебраическую структуру задачи и в ряде случаев получить результаты, не содержащие ограничений типа малости. Введено новое понятие - регулярности множества допустимых управлений относительно течения. При выполнении условия ре- гулярности вывод необходимых условий (или достаточных) оптимальности в форме принципа максимума Понтрягина не связан с ограничениями типа малости или регулярности оптимальных течений. Основные результаты главы 3 заключаются в следующем.
Получены условия корректности задач оптимального управления стационарными уравнениями Навье - Стокса, где управляющим параметром является полный напор течения. Описана структура множества решений экстремальных задач и построены системы оптимальности. Описаны условия достаточности принципов максимума в задачах управления для уравнений гидродинамики.
Предложен метод получения и обоснования условий оптимальности для экстремальных задач связанных с нелинейными стационарными системами типа Навье - Стокса и даны приложения для задач оптимизации течений вязкой жидкости. Предложенный метод обоснования принципов максимума не содержит ограничений типа малости или регулярности на оптимальное состояние.
Доказаны нелокальные по времени принципы максимума в задачах граничного и стартового управления эволюционными системами Навье - Стокса.
Построены субоптимальные управления в экстремальных задачах гидродинамики при малых числах Рейнольдса и предложен асимптотический алгоритм решения задач оптимального управления.
Четвертая глава связана с исследованием обратных задач для системы Навье - Стокса. Обратные задачи для нестационарных уравнений гидродинамики изучались А.И.Прилепко и И.А.Васиным в работах [51]-[53],[134],[142], где рассмотрены постановки об определении плотности внешних сил по интегральному или финальному переопределению. В работе автора [71] рассмотрена линейная обратная задача гидродинамических потенциалов.
Обратные задачи для уравнений Навье - Стокса, рассматриваемые в дан- ной главе, связаны с нахождением не только скорости течения жидкости, но также и внешних условий, вызывающих это течение. При этом с прикладной точки зрения более реалистичным является определение граничных условий, определяющих движение жидкости. Для постановки таких обратных задач к системе уравнений следует добавить соотношения, содержащие дополнительную информацию о решении. Здесь в качестве условия переопределения рассматриваются субдифференциальные соотношения. Обычное интегральное переопределение является при этом частным случаем субдифференциального условия, а с другой стороны, такое условие позволяет рассмотреть широкий класс физически интересных постановок. Изучение поставленных обратных задач сводится к исследованию класса стационарных вариационных неравенств для оператора Навье - Стокса на основе результатов главы 1, а также к изучению эволюционных нелинейных неравенств, теория которых здесь строится. В данной главе рассмотрены новые постановки обратных задач с субдифференциальным переопределением для уравнений гидродинамики. Получены теоремы о разрешимости, единственности и структуре множества решений обратных задач для стационарных систем типа Навье — Стокса. Кроме этого исследованы обратные задачи для эволюционных систем типа Навье - Стокса, в том числе класс вариационных неравенств в гильбертовом пространстве для уравнений с квадратичной нелинейностью. Результаты - теоремы разрешимости и единственности - доказаны в целом по времени. Получены приложения для обратных задач об определении правых частей или граничных условий в системе Навье - Стокса, а также для задач типа управления или регулирования.
Введенный в работе класс нелинейных задач позволяет, в частности, изучать обратные задачи о нахождении граничных условий, определяющих течение, по заданным интегральным характеристикам течения. Для рассмотренного класса обратных задач получено условие на "регулярность"нелинейных членов, гарантирующее существование слабого решения на произвольном вре- менном промежутке. При дополнительной регулярности "исходных данных и нелинейного члена доказано существование и единственность сильного решения. Полученные результаты применяются для исследования задачи определения граничных условий (перепада полного напора) при протекании вязкой жидкости через ограниченную область по заданному расходу течения. Для трехмерных течений доказано существование слабого решения обратной задачи "в целом "по времени, а для двумерных течений - существование и единственность сильного решения. Отметим, что полученные результаты близки к классическим результатам о корректности краевых задач для уравнений Навье - Стокса [30],[31],[59].
4. Перечислим вкратце основные используемые методы.
Вариационные неравенства, экстремальные и обратные задачи исследуются сначала для абстрактных нелинейных операторов типа Навье - Стокса (с квадратичной нелинейностью) в гильбертовом пространстве. Это позволяет сразу изучать целый класс нелинейных краевых задач гидродинамики с единой точки зрения, пользуясь лишь компактностью нелинейной части оператора Навье - Стокса и хорошо известным свойством ортогональности.
При получении результатов данной диссертации использовались методы исследования разрешимости краевых задач гидродинамики в шкалах функциональных пространств Соболева Wj,; свойства решений эллиптических и параболических краевых задач; теория и методы выпуклого анализа и многозначных отображений; методы регуляризации; методы исследования сингулярных экстремальных задач в гильбертовых пространствах.
Все рассмотренные в работе задачи логически связаны следующим образом. Методы исследования, развитые для изучения вариационных неравенств гидродинамики, и соответствующие результаты используются (или применяются непосредственно) для анализа субдифференциальных обратных задач, а также для обоснования систем оптимальности в задачах управления.
Отметим также стандартные (в настоящее время) методы исследования нелинейных задач, такие как метод априорных оценок решения и метод компактности, основанный на компактности оператора вложения некоторых пространств Соболева в пространства Лебега. Методы и результаты, изложенные в работе могут быть перенесены на широкий класс экстремальных и обратных задач для нелинейных систем. Практическая ценность работы следует из возможных приложений полученных в диссертации результатов при исследовании инженерных задач оптимизации течений вязкой жидкости. В частности, разработанные асимптотические алгоритмы решения экстремальных задач позволяют заменить трудоемкий процесс моделирования течений на основе нелинейной системы Навье - Стокса на задачу определения субоптимальных управлений, решаемую на основе линейных моделей гидродинамики.
5. По теме диссертации автором опубликовано более 50 печатных работ. Основные результаты представленные в диссертации опубликованы в работах [11], [21], [22], [28], [71]-[91], [96], [97], [104]-[109]. Работа выполнялась в рамках темы НИР "Экстремальные задачи математической физики ", номер государственной регистрации 01.9.80.009612. Кроме того работа поддерлсивалась грантами на конкурсной основе:
Грант С.Петербургского Конкурсного центра фундаментального естествознания, 1993. Исполнитель.
Грант программы "Университеты России "по направлению "Фундаментальные проблемы математики и механики", проект 1.5.53, 1993-95. Руководитель.
Грант Российского фонда фундаментальных исследований, проект 96-01-00256, 1996-98. Руководитель.
Персональный грант губернатора Приморского края в области науки. 1997.
Грант 6-го конкурса - экспертизы научных проектов молодых ученых
РАН по фундаментальным и прикладным исследованиям. 1999. Руководитель.
Персональный грант международной Соросовской программы образования в области точных наук. 2000.
Автор признателен указанным программам и фондам без чьей финансовой поддержки работа над диссертацией осложнилась бы.
Автор выражает особую благодарность своим учителям и коллегам за интересные и полезные обсуждения многих вопросов, изложенных в диссертации:
А.В. Кяжиуову,|В.II. Коробейников^ в.Н. Монахову, П.И. Плотникову, А.В. Фурсикову, A.M. Хлудневу, В.В. Шелухину. Особая признательность научному руководителю А.В. Кажихову, в дискуссиях с которым появились постановки многих задач, рассмотренных в диссертации.
Ряд ценных замечаний и советов высказали:
О.А. Ладыженская, Н.Н. Уральцева, Н.М. Ивочкина, Н.В. Кузнецов, А.И. Прилепко, В.В. Катрахов, А.Г. Зарубин, Р.В. Намм, А.Г. Подгаев, Д.С. Ани-конов, Л.Т. Ащепков, Н.Н. Фролов. Автор выражает им искреннюю благодарность.
Автор выражает признательность Г.В. Алексееву за пристальное внимание к работе.
Обозначения и символы
М - числовая прямая (—со, со) W1 - d-мерное евклидово пространство R+ = [0, +оо), М- = (-00,0], 1 = (-со; +со]
Г2 - открытое множество в Ша
Г = dQ - граница 0, Q = ft х (О,Т), S = дП х (О, Т), где 0 < Т < со || ||х - норма в линейном нормированном пространстве X X' - сопряженное пространство, множество всех линейных непрерывных функционалов, определенных на X < у, х >= (у,х) - значение функционала у Є X' на элементе х Є X df - субдифференциал / : X —> R, df{x) = {увХ': f(a) - f(x) >(y,a- x) Va Є X} A* - оператор, сопряженный с оператором А
С - замыкание множества С measC - мера Лебега множества С С signx = и Ті , если х ф 0, х Є X \\ot\ ( \
9Xj J ...^Ij Dau{x) = ai u^Jad , a = (ai,a2,...,ad), |a| = ax + ... + ad, a, > 0, * = l,d Ck(Cl) - пространство вещественных функций, определенных на ft, к раз непрерывно-дифференцируемых,
0< к< оо
С (Г2) - подпространство функций из Ck(Q) с компактным носителем в Q >(fi) =С (ft) D'(Q) - пространство распределений (обобщенных функций) на Q
Ск(&) - пространство функций, определенных на Cl , к раз непрерывно-дифференцируемых в Q, производные до к-го порядка которых допускают непрерывное продоллсение на 0,0 < к < оо LP(Q) - пространство р-интегрируемых функций и : П —> Ш с нормой ІМІР = (la HxWdxfl*, 1<р<оо, ||«||оо = supxen ess\u(x)\ для р = оо W(Q) - пространство Соболева {и Є ^{0,)-, Dau Є ЬР(П), \а\<т}, 1 < р < оо Wp (Q) - замыкание D(Ct) по норме пространства W(fi) W~m(fi,) - пространство, сопряженное к Wp (Q), ^ + ^ = 1 ^зГ—в(Г2) - пространство сопряженное к W2 (Г2), s > 0. Lp(a, b; X) = LP{X) - пространство р-интегрируемых функций f : (a,b) —ї X, X - банахово пространство, 1 < р < оо, —оо < о < b < оо
С([а,Ь];Х) - пространство непрерывных функций f:[a,b]^X
Пространства вектор-функций обозначаются, если это не вызывает недоразумений, тем же символом, что и пространство, к которому принадлезкат все компоненты вектор-функции, принадлежащей рассматриваемому пространству. При этом, если вектор-функция и = {щ}і=і Є X, то, как правило, \\и\\х = (]Ci llu*llx) в том случае) когда пространство X - гильбертово, или Nlwp«(fi)= lJ2 hi\\Pw.mJ для пространства Соболева.
Будем говорить, что оператор А : X —^Y является слабо непрерывным если он слабо сходящиеся в X последовательности переводит в слабо сходящиеся в У последовательности; компактным если он ограниченные в X множества переводит в компактные в У множества; вполне непрерывным если он непрерывен и компактен; усиленно непрерывным если он слабо сходящиеся в X последовательности переводит в сильно сходящиеся в У последовательности.
Априорная оценка решения вариационного неравенства
Обозначим через 1Z множество всех решений задачи (1.5) (соответственно вариационных неравенств (1.6) или (1.10)), ЛЕММА 1.4. Множество 1Z компактно в пространстве V. Доказательство. Пусть последовательность {ит} TZ такова, что В силу компактности вложения V С W, заключаем (при необходимости перейдя к подпоследовательности) : Запишем неравенство (1.10) для элементов um,Uk Є TZ и положим соответственно v = Uk в первом, v = ит во втором, а затем сложим два неравенства. Аналогично выводу неравенства (3.4), получаем Воспользуемся равенством вытекающим из (1.2). Тогда из (3.8) выводим, с учетом (3.2), оценку При этом заметим, что Полученные утверждения о сходимости позволяют совершить предельный переход в неравенстве (1.6), записанном для ит Є V и получить, что и Є 7?.. Лемма доказана. Согласно теореме 1.2 и оценке (3.5), решение задачи (1.5) единственно, если v достаточно велико. Покажем теперь, что в случае произвольного v О множество всех решений 1Z обладает конечномерной структурой. ТЕОРЕМА собственные значения В силу компактности вложения V С Н и на основании теоремы Гильберта-Шмидта, заключаем, что имеется счетное множество собственных чисел [32], [43] ТП-+0О и соответствующая последовательность собственных элементов {u j}, образующая ортогональный базис в V и в Н (поскольку V плотно в Н), при этом (wi,Wj) = Sij. Определим подпространства причем Am — +00, при т — +оо. Из (3.13) сразу следует неравенство Обозначим через М величину sup{i/, v 7Z}, конечную в силу оценки (2.10). Как будет показано ниже, для разности двух решений и = и\ — U2, щ 71, U2 Є 7Z справедлива оценка Предположим теперь, что и Є Vm, где число т таково, что Тогда из (3.14), (3.15) вытекает, что и = 0. Обозначим через L ортогональное дополнение кУт в пространстве V, через Р - оператор проектирования на L и рассмотрим отображение Покажем, что это отображение взаимно однозначно. Действительно, если Ри\ = P112, где и\ Є 1Z, u-i Є ТІ, тогда Здесь элементы vi и V2 принадлежат подпространству Vm, и поэтому (ui — U2) Є Vm. Если т удовлетворяет (3.16), то и\ — щ = 0. Таким образом, оператор Р осуществляет однозначное соответствие между 7Z и некоторым компактом в L = V Q Vm, причем непрерывность обратного отображения вытекает из компактности множества Л. Так как подпространство Vm имеет конечную коразмерность (га— 1), то доказательство теоремы 1.3 будет полностью завершено, если мы докажем неравенство (3.15). Здесь М = sup{iu, w Є Щ. Доказательство. Аналогично оценке (3.4) получаем Тогда, в силу (3.1), (3.2), заключаем поскольку ui М. Отсюда следует утверждение леммы. Теореме 1.3 можно дать иную формулировку. Решение вариационного неравенства типа Навье - Стокса однозначно определяется его проекцией на подпространство пространства V, образованное первыми (т — 1) собственными элементами задачи (3.12), при этом число т определяется априори на основании оценки (3.16).
Действительно, если и\ и U2 - решения (1.5) и при этом то, следовательно, (и\ — г/г) Є Vm и тогда из (3.15), (3.16) вытекает и\ = мг-Таким образом, для однозначного определения решения вариационного неравенства достаточно знать первые (т — 1) коэффициентов Фурье в разломсении по базису {WJ} С V. Цель данного параграфа - рассмотреть приложения результатов 1-3 к субдифференциальным краевым задачам для уравнений Навье - Стокса, описывающих течение 1.3. Пусть выполняются условия (2.6), (2.7). Тогда множество TZ гомеоморфно компакту, лежащему в конечномерном пространстве. Доказательство. Рассмотрим задачу на собственные значения В силу компактности вложения V С Н и на основании теоремы Гильберта-Шмидта, заключаем, что имеется счетное множество собственных чисел [32], [43] ТП-+0О и соответствующая последовательность собственных элементов {u j}, образующая ортогональный базис в V и в Н (поскольку V плотно в Н), при этом (wi,Wj) = Sij. Определим подпространства причем Am — +00, при т — +оо. Из (3.13) сразу следует неравенство Обозначим через М величину sup{i/, v 7Z}, конечную в силу оценки (2.10). Как будет показано ниже, для разности двух решений и = и\ — U2, щ 71, U2 Є 7Z справедлива оценка Предположим теперь, что и Є Vm, где число т таково, что Тогда из (3.14), (3.15) вытекает, что и = 0. Обозначим через L ортогональное дополнение кУт в пространстве V, через Р - оператор проектирования на L и рассмотрим отображение Покажем, что это отображение взаимно однозначно. Действительно, если Ри\ = P112, где и\ Є 1Z, u-i Є ТІ, тогда Здесь элементы vi и V2 принадлежат подпространству Vm, и поэтому (ui — U2) Є Vm. Если т удовлетворяет (3.16), то и\ — щ = 0. Таким образом, оператор Р осуществляет однозначное соответствие между 7Z и некоторым компактом в L = V Q Vm, причем непрерывность обратного отображения вытекает из компактности множества Л. Так как подпространство Vm имеет конечную коразмерность (га— 1), то доказательство теоремы 1.3 будет полностью завершено, если мы докажем неравенство (3.15). Здесь М = sup{iu, w Є Щ. Доказательство. Аналогично оценке (3.4) получаем Тогда, в силу (3.1), (3.2), заключаем поскольку ui М. Отсюда следует утверждение леммы. Теореме 1.3 можно дать иную формулировку. Решение вариационного неравенства типа Навье - Стокса однозначно определяется его проекцией на подпространство пространства V, образованное первыми (т — 1) собственными элементами задачи (3.12), при этом число т определяется априори на основании оценки (3.16). Действительно, если и\ и U2 - решения (1.5) и при этом то, следовательно, (и\ — г/г) Є Vm и тогда из (3.15), (3.16) вытекает и\ = мг-Таким образом, для однозначного определения решения вариационного неравенства достаточно знать первые (т — 1) коэффициентов Фурье в разломсении по базису {WJ} С V. Цель данного параграфа - рассмотреть приложения результатов 1-3 к субдифференциальным краевым задачам для уравнений Навье - Стокса, описывающих течение однородной вязкой жидкости в ограниченной области. Классические краевые условия получаются из субдифференциальных условий как
Протекание вязкой жидкости через ограниченную область при заданном перепаде полного напора
Рассмотрим задачу отыскания решения системы (4,1)-(4.2) с граничными условиями: Отметим, что в данном случае не задается знак нормальной компоненты вектора скорости ип на Гі или Г2. Условие (4.45) описывается следующей функцией Множество К, описывающее эффективную область функционала Ф(и), совпадает с подпространством пространства V, определенного в 4.1, Поэтому вариационное неравенство (4.22), определяющее обобщенное решение, эквивалентно следующему интегральному тождеству. Определение 1.4. Элемент и Є К называется обобщенным решением задачи (4.1), (4.2), (4.45), если В данном случае проверка всех условий теорем 1.1-1.3 очевидна. ТЕОРЕМА 1.6. Пусть f EV ,l Є 2(Гі UT2). Тогда множество всех обобщенных решений задачи (4-1), (4-%) (4 4 ) "непусто и гомеоморфно конечномерному компакту. Если данное обобщенное решение и удовлетворяет условию то оно единственно. Замечание 1.6. Пусть Го = 0. В этом случае можно задавать значения полного напора h на всей границе Г Слабое решение задачи (4.1), (4.2), (4.46) вводится определением 1.4, где Г = Гі U Гг. При этом условие (4.46) выполняется с точностью до постоянной, своей для каждой компоненты связности границы (см. условие (4.8) ) Отметим, что близкие постановки гидродинамических задач с заданным напором или давлением рассматривались в [54], [55], [100]. Рассмотрим пространства Н, V, определенные в 4.1, и операторы А, В заданные формулами (4.15), (4.16). Пусть Ао : V -» V оператор такой, что : (AQU, и) = ( rot и, rot v) Vi; Є V. Тогда A = VAQ И МОЖНО определить операторы: пространстве V замкнутое выпуклое множество (Л 0) ТЕОРЕМА 1.7. Пусть и О, І Є 12(Г), Л 0. Тогда существует решение ии Є К\ неравенства (5.1) такое, что \\uv\\ A(measn)1/2. (5.2) Доказательство. Разрешимость неравенства (5.1) вытекает из теоремы A(measQ)1/2. Отметим, что оценка (5.2) является равномерной по вязкости v.
Замечание 1.7. Интерпретация неравенства (5.1) является весьма тонким вопросом. Однако формально можно разбить область Q на две части QQ И А определяемые условиями где u(x) - решение неравенства (5.1). Если и Є К\ - достаточно гладкое решение вариационного неравенства (5.1), например и Є C2(l), то на множестве 0% вектор-функция и удовлетворяет системе уравнений Навье - Стокса. Действительно, пусть где D = D С OQ- Тогда, полагая в (5.1) v = и ± atp, где заключаем, что В силу выбора ip V и произвольности замкнутого множества D СП$, получаем На множестве Г2д, согласно определению, выполняется уравнение другой природы Предельный переход при стремлении вязкости жидкости к нулю является в теоретической гидродинамике весьма трудной задачей, и достигнутые результаты относятся к отдельным частным случаям [3], [5], [36, с.99], [73], [110]. Роль вязкости и 0 состоит в том, что она служит малым параметром при старших пространственных производных в уравнениях движения и, следовательно, при стремлении вязкости к нулю должен измениться тип граничных условий. Кроме того, вязкость отвечает за диссипацию энергии, которая может и не убывать при и — 0, чем создается принципиальная разница по сравнению с идеальной жидкостью, в которой и = 0. Таким образом, в пределе при и —» 0 может не получиться движение невязкой жидкости. С другой стороны, при моделировании течений идеальной жидкости часто используются схемы, в которых рассматриваются зоны с постоянной завихренностью. Здесь мы предлагаем моделировать течения идеальной жидкости с помощью вариационных неравенств, которые получены путем предельного перехода при и —ї +0 из соответствующих неравенств типа (5.1) для оператора Навье -Стокса. Обозначим через uv Є К\ решение неравенства (5.1). Оценка (5.2) позволяет выбрать последовательность v\ — +0, к — со такую, что при этом элемент и Є К х- Отбросим неотрицательное слагаемое и{Аии, uv) в левой части (5.1), а также учтем, что (5[u ],u ) = 0. Тогда На основании (5.4) можно перейти к пределу в неравенстве (5.5) при v = Uk — О, поскольку отображение В[и] усиленно непрерывно. Таким образом, приходим к следующему результату. ТЕОРЕМА 1.8. Пусть І Є 2(Г),А 0. Тогда существует решение и Є К\ вариационного неравенства для оператора Эйлера Пусть и Є К\ достаточно гладкое решение неравенства (5.6). Как и в замечании 1.7 разобьем формально Q на два множества: Тогда в Г2о выполняется уравнение Эйлера Обозначим через 7 множество Г оПГ, Г = дО, и предполоисим, что measr{7} 0. Положим в (5.6) г; = и ± аїр, где Є V П C2(fi), /?n = 0,х є Г\7 (это возможно, т.к. v Є .Кл ПРИ достаточно малых а 0) и сравним с равенством (5.7), скалярно умноженным в L2(f2) на (и — v). Тогда Поэтому, учитывая, что f (pnds = 0, заключаем Таким образом, область Q разбивается на части, в одной из которых выполняются уравнение Эйлера (5.7), а в другой уравнение
Разрешимость краевых задач с неоднородным условием для касательной компоненты скорости
Пусть fi С M.d,d = 2,3, - ограниченная область, имеющая границу Г класса С0 1. В области Q рассматривается система уравнений Навье-Стокса для вектор-функции и = и(х) - скорости течения и скалярной функции р = р(х) - давления : вместе с граничными условиями Здесь Го,Гі,Г2 - открытые непустые множества на Г, причем Г2 является объединением конечного числа простых гладких поверхностей (кривых, если d = 2), граничащих с Го, а множество Г — Го — Гі — Гг состоит из конечного числа простых замкнутых гладких кривых при d = 3; п -единичный вектор внешней нормали к Г, ит = и — (и п)п. Вектор-функции / = f(x), х Є fi, д = д{х), х Є Гі и скалярная функция q = q(x) являются заданными, при этом что, вообще говоря , необязательно, то Гі является участком втекания, Г2 -участком вытекания, а Го - непроницаемой частью границы. Через Ф : M.d — К = (—оо, +оо] обозначена заданная функция, обладающая свойством выпуклости и слабой полунепрерывности снизу, Ф ф +оо. В данном параграфе разрешимость нелинейной краевой задачи (6.1)-(6.3) будет получена как следствие результатов 1-3. Отметим, что постановка (6.1)-(6.3) включает в себя, как частный случай, краевые задачи с заданными на Г2 значениями ит или (n х rotu). Ранее разрешимость такого типа задач с ненулевыми значениями ит была доказана лишь при малых числах Рейнольд-са [111] . Замечание 1.8. Рассмотрение субдифференциального краевого условия на участке вытекания в виде (6.3) связано с такой постановкой задачи протекания, в которой касательные компоненты вектора скорости не задаются в явном виде, а вместо этого формулируется вариационный принцип, определяющий "недостающее"краевое условие. Последнее связано с тем, что если на участках Гі и Го совершенно естественно задавать условия Дирихле для скорости, то на участке Г2 поведение жидкости определяется внутренней структурой течения, которая заранее неизвестна. В данном случае указанный вариационный принцип имеет вид: Соотношение (6.5) при различном выборе функции Ф позволяет моделировать различные зависимости между завихренностью течения на границе (rotw х п) и касательными составляющими скорости, учитывающие энергетические характеристики течения. Постановки такого типа краевых условий на участке вытекания активно исследуются в последние годы [127], [128]. Рассмотрим несколько примеров. где I = 1(х), х Є Г2 заданная на Г2 вектор - функция, I п = 0. В этом случае получаем краевое условие где А = А(ж) 0, х Є Г2 заданная на Г2 скалярная функция.
Тогда имеем краевое условие где / = 1(х), х Є Г2 заданная на Г2 вектор-функция, Ї n = 0. Тогда условие (6.3) эквивалентно заданию на Г2 полного вектора скорости где vо 0 заданное число, ограничивающее модуль касательной компоненты скорости. Тогда субдифференциальное условие (6.3) приводит к следующим ограничениям на Г2: = т{х) 0 скалярная функция (заранее неизвестная). Скалярное произведение в гильбертовом пространстве V, определим формулой следующие операторы: Определение 1.5. Вектор-функция w if называется обобщенным решением задачи (6.1)-(6.3) если V v К Действительно, если {и,р} достаточно гладкое решение краевой задачи (6.1)-(6.3), то, умножая уравнение импульсов, записанное в форме Лэмба на m « (и — v) и интегрируя по области Q, получим Воспользуемся неравенством, вытекающим из (6.3), В результате получим (6.13). Справедливо и обратное, если и Є К достаточно гладкая вектор-функция, то полагая в (6.13) Отсюда вытекает выполнение уравнения импульсов в Q, из которого путем умножения на (и — v), интегрирования по П и сравнения с (6.13), выводим что означает справедливость граничного условия (6.3). Лемма 1.11. Операторы А, В, определяемые (6.10), (6.11), удовлетворяют условиям (1.1)-(1.3). Доказательство. Условия (1.2), (1.3) проверяются также, как в лемме 1.7. Покажем справедливость условия (1.1), для чего достаточно доказать неравенство где С 0 не зависит от и Є V.
Вариационные неравенства для обобщенного оператора типа Навье - Стокса и односторонние задачи для уравнений вязкой теплопроводной жидкости
В главе 1 и в 1-4 данной главы рассматривались вариационные неравенства для моделей гидродинамики, не учитывающих тепловых эффектов. Учет влияния теплопроводности жидкости на ее физические характеристики приводит в рамках модели Буссинеска к появлению дополнительных нелинейных операторов по сравнению с классической моделью Навье - Стокса. В настоящем параграфе рассматривается класс стационарных неравенств для операторов типа Навье - Стокса, связанных с моделью динамики вязкой несжимаемой теплопроводной жидкости (м нелинейности соответствующих операторов не изменяется. Результат о разрешимости вариационных неравенств для операторов типа Навье - Стокса применяется далее в 6 к односторонним краевым задачам для системы Буссинеска. Отметим, что указанным способом можно также исследовать задачи тепловой конвекции вязкой нсидкости с краевыми условиями не содержащими неравенств [19], [20], а также с различными нелинейными краевыми условиями на скорость и температуру, имеющими монотонный характер. Пусть Y и Z вещественные гильбертовы пространства такие, что Y С Z,Y плотно в Z и вложение Y в Z компактно. Отождествляя Z с его сопряженным и обозначая через Y сопряженное к Y, можно рассматривать Z как подпространство в Y ,Y С Z С Y . Обозначим через нормы в пространствах Y, Z, Y соответственно, а через (/, у) - значение функционала / Є Y на элементе у У, совпадающее со скалярным произведением в Z, если / Є Z, ((, )) - скалярное произведение в пространстве Y. Определение 2.2. Оператор N : Y — Y будем называть обобщенным оператором типа Навье — Стокса, если Пусть Ф : Y —У Ж = (—оо; +оо] выпуклый полунепрерывный снизу функционал, являющийся собственным в следующем смысле: Главным объектом исследования в данном параграфе будет следующее включение (уравнение с многозначным оператором) Здесь F Є Y заданный элемент. В силу определения дФ(у) включение (5.4) равносильно вариационному неравенству Как будет показано ниже, в виде (5.4) или (5.5) можно записать ряд нелинейных краевых задач для уравнений динамики вязкой теплопроводной жидкости. ЛЕММА 2.1. Обобщенный оператор типа Навъе - Стокса N является псевдомонотонным. Доказательство вытекает из полной непрерывности отображения у —У (В[у] + Т(у)) и монотонности оператора А (см. главу 1 и [36, с.201]). Пусть К С Y замкнутое выпуклое множество являющееся эффективным множеством функционала Ф, при этом ЛЕММА 2.2.
Для произвольного г О существует, решение у G Ковариационного неравенства одель тепловой конвекции). Естественно ожидать, что результаты для таких вариационных неравенств будут аналогичны соответствующим результатам для неравенств в модели однородной несжимаемой вязкой жидкости без учета тепловых эффектов, поскольку характер нелинейности соответствующих операторов не изменяется. Результат о разрешимости вариационных неравенств для операторов типа Навье - Стокса применяется далее в 6 к односторонним краевым задачам для системы Буссинеска. Отметим, что указанным способом можно также исследовать задачи тепловой конвекции вязкой нсидкости с краевыми условиями не содержащими неравенств [19], [20], а также с различными нелинейными краевыми условиями на скорость и температуру, имеющими монотонный характер. Пусть Y и Z вещественные гильбертовы пространства такие, что Y С Z,Y плотно в Z и вложение Y в Z компактно. Отождествляя Z с его сопряженным и обозначая через Y сопряженное к Y, можно рассматривать Z как подпространство в Y ,Y С Z С Y . Обозначим через , , нормы в пространствах Y, Z, Y соответственно, а через (/, у) - значение функционала / Є Y на элементе у У, совпадающее со скалярным произведением в Z, если / Є Z, ((, )) - скалярное произведение в пространстве Y. Определение 2.2. Оператор N : Y — Y будем называть обобщенным оператором типа Навье — Стокса, если Пусть Ф : Y —У Ж = (—оо; +оо] выпуклый полунепрерывный снизу функционал, являющийся собственным в следующем смысле: Главным объектом исследования в данном параграфе будет следующее включение (уравнение с многозначным оператором) Здесь F Є Y заданный элемент. В силу определения дФ(у) включение (5.4) равносильно вариационному неравенству Как будет показано ниже, в виде (5.4) или (5.5) можно записать ряд нелинейных краевых задач для уравнений динамики вязкой теплопроводной жидкости. ЛЕММА 2.1. Обобщенный оператор типа Навъе - Стокса N является псевдомонотонным. Доказательство вытекает из полной непрерывности отображения у —У (В[у] + Т(у)) и монотонности оператора А (см. главу 1 и [36, с.201]). Пусть К С Y замкнутое выпуклое множество являющееся эффективным множеством функционала Ф, при этом ЛЕММА 2.2. Для произвольного г О существует, решение у G Ковариационного неравенства Здесь Оператор N является псевдомонотонным, а неравенство (5.8) равносильно неравенству: где Kr = {z Є К : z = {z,a}, \\z\\ + \ct\ r},F = {F, —1}. В силу ограниченности Kr вариационное неравенство (5.9) имеет по крайней мере одно решение [36, с.258]. ТЕОРЕМА 2.8. Пусть для достаточно больших г 0 произвольное решение неравенства (5.8) удовлетворяет априорной оценке где С не зависит от у, г. Тогда множество решений вариационного неравенства (5.5) непусто. Доказательство. Получим оценку решения у неравенства (5.9), соответствующего решению у Є КТ неравенства (5.8). Положим в (5.9) =
