Спектральные задачи для оператора смешанного типа с сингулярным коэффициентом и применения Ильясов Радик Рафикович

Содержание к диссертации

Введение

1 Краевые задачи для гиперболического и эллиптического уравнений с сингулярным коэффициентом 22

1.1. Спектральные задачи, соответствующие задачам Дарбуи Гурса 22

1.2. Решение задач Коши и Гурса 28

1.3. Построение решений задач Дарбу 39

1.4.0 неединственности решения задачи Коши для эллиптического уравнения с сингулярным коэффициентом 46

2 Спектральные задачи для оператора Пулькина 50

2.1. Постановка спектральной задачи Т\ 50

2.2. Построение собственных значений и соответствующих им собственных функций задачи 52

2.3. Исследование на полноту в Li системы собственных функций задачи 60

2.4.Спектральная задача TN\\ с производной по нормали к части эллиптической границы 70

2.5. Спектральная задача TNi\ с производной по нормали к линии сингулярности 76

2.6. Спектральная задача TN\ с производной по нормали к эллиптической границе 79

3 Построение решений краевых задач для уравнений с оператором Пулькина 81

3.1. Построение решения задачи Трикоми для уравнения Пулькина 81

3.2. Построение решения задачи Трикоми для уравнения Пулькина с комплексным параметром 99

3.3. Построение решения задачи TN\ 107

3.4. Построение решения задачи ТЛ^ 114

3.5. Построение решения задачи TN 116

3.6. Построение решения пространственной задачи Трикоми для уравнения смешанного типа 118

Литература 124

• Решение задач Коши и Гурса
• Исследование на полноту в Li системы собственных функций задачи
• Спектральная задача TNi\ с производной по нормали к линии сингулярности
• Построение решения задачи Трикоми для уравнения Пулькина с комплексным параметром

Введение к работе

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа, в силу своей прикладной и теоретической значимости, является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Начало исследованию краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми [53, 54] и С. Геллер-стедта [61], где впервые были поставлены и изучены краевые задачи для модельных уравнений. Так, Ф. Трикоми рассмотрел уравнение

У и_хх + и_уу — 0 (0.1)

в области D, ограниченной гладкой кривой Г, расположенной в верхней полуплоскости, с концами в точках А и В оси у = 0, и характеристиками АС (х + у ~ 0) и С В (х — у ~ 1) уравнения (0.1). Им была поставлена

Задача Трикоми. Найти в области D решение и(х, у) уравнения (0.1) из класса функций

и (х, у) Є C(D) П C\D) П C²(D \ AB),

удовлетворяющее граничному условию

и (ж, у) = щ (х, у), {х, у) Є AC U Г,

где щ (яг, у) — заданная и достаточно гладкая функция.

Трикоми доказал существование и единственность решения этой задачи при условии, что гладкая кривая Г оканчивается в точках Ли В двумя сколь угодно малой длины дугами "нормальной" кривой уравнения (0.1), а в остальной части отклоняется от этой кривой наружу.

Геллерстедт решил задачу Трикоми для уравнения

У^т и_хх + и_уу-си = F(x,у),

где т = 2к — 1, к Є N, с — достаточно малая константа, F(x_t у) — заданная функция, при тех же ограничениях на кривую Г, что и у Трикоми. Ему также принадлежит постановка краевой задачи, известной как задача Геллерстедта, которая является обобщением задачи Трикоми.

В 40 - х годах Ф.И, Франкль [56, 57] обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике. В 50 - е годы в работах Ф.И. Франкля [58], А.В. Бицадзе [5] -[7], К.И. Бабенко [1] было положено начало современной теории краевых задач для уравнений смешанного типа. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены новые краевые задачи, которые в дальнейшем изучались многими авторами как в нашей стране, так и за рубежом. Основные результаты этих работ и соответствующая им библиография приведены в монографиях А.В. Бицадзе [7, 8], Л. Берса [3], К.Г. Гудерлея [11], М.М. Смирнова [50] - [52], М.С. Салахитдинова [48], Т.Д. Джураева [13], Е.И. Моисеева [23].

Прикладная значимость полученных результатов в теории краевых задач для уравнений смешанного типа указана в работах О.С Рыжова [34], А.Д. Пилия и В.И. Федорова [28], Э.Г. Шифрина [60], Г.Г. Черного [59], А.Г. Кузьмина [20] в связи с проблемами теории сопел Лаваля, теории плазмы и другими вопросами.

Одним из направлений в теории краевых задач для уравнений смешанного типа является изучение соответствующих им спектральных задач. В качестве примера приведем формулировку спектральной задачи, соответствующей задаче Трикоми, для оператора Лаврентьева-Бицадзе

Ви~ и_хх + sgnyu_yy

в области D.

Спектральная задача Т\ . Найти значения комплексного параметра X и соответствующие им функции и (х, у) со свойствами:

и {х, у) є C(D) П C\D) П C²(D \ AB),

Ви(х,у) + \и(х,у) = 0, (re, y)eD\AB_} u(x_ty) = 0₎ (x,y)t1CuT.

Отметим нелинейный характер постановки спектральной задачи — неизвестные А и и (х_у у), называемые собственными значениями и соответствующими собственными функциями задачи Т\, входят в виде произведения в дифференциальное уравнение.

Спектральные задачи изучались Моисеевым Е.И. [23], Пономаревым СМ., Кальменовым Т.Ш., Сабитовым К.Б., Мамедовым Я.Н., Вагаповым В.З., Карамовой А.А., Кучкаровой А.Н., Хасановой С.Л. и другими.

Пономарев СМ. [29] в случае специальной области — полукруга для оператора Лаврентьева-Бицадзе методом разделения переменных нашел собственные значения задачи Т\ как нули функции Бесселя. Также им были выписаны в явном виде соответствующие собственные функции и исследованы на полноту в пространстве Ьч>

В работе [17] Кальменовым Т.Ш. было установлено существование одного собственного значения спектральной задачи, соответствующей задаче Трикоми, для оператора sgny и_хх + и_уу в случае произвольной области.

Сабитов К.В. [40] исследовал спектральную задачу для оператора Лаврентьева - Бицадзе, соответствующую задаче Франкля.

Мамедовым Я.Н. [22] решена спектральная задача, соответствующая задаче Трикоми, для оператора и_хх-\-уи_уу-\-аи_у для значений 0 < а < 1. При а > 1 спектральная задача изучена в работе Вагапова В.З. [9]

Карамовой А.А [45] изучены спектральные задачи для операторов смешанного типа с двумя линиями изменения типа. Кучкаровой А.Н. [44] изучена спектральная задача, соответствующая задаче Геллерстедта, для различных уравнений смешанного типа. Хасанова С.Л. [47] исследовала спек-

тральные задачи для уравнений с характеристическим вырождением. В указанных работах в случае специальных областей найдены собственные значения и в явном виде выписаны соответствующие собственные функции, а также выполнено исследование построенных систем собственных функций на полноту в пространстве Ьч,.

Моисеев Е. И. в работах [25], [26] на основе спектрального анализа предложил новый способ построения решений краевых задач в специальных областях для уравнений смешанного типа с комплексным параметром А, отличным от собственных значений соответствующих спектральных задач, в виде сумм биортогональных рядов. Развитием этого метода для других классов уравнений смешанного типа занимались Сабитов К.Б., Полосин А.А. [30], Вагапов В.З. [9], Карамова А.А., Кучкарова А.Н, Хаса-нова С.Л. и другие.

Среди уравнений смешанного типа неизученным с точки зрения спектральной теории является уравнение СП. Пулькина с сингулярным коэффициентом вида

Su ~ и_хх + sgny Щу Н и_х = 0, q Є R \ {0}, (0.2)

которое заменой переменной можно свести к уравнению смешанного типа с характеристическим вырождением на части эллиптической границы смешанной области.

Интерес к уравнению Пулькина вызван тем, что решение пространственной задачи Трикоми для уравнения смешанного типа

Lu = и_хх 4- и_уу + sgn z u_zz = 0 (0.3)

в теле вращения представимо в цилиндрических координатах в виде тригонометрического ряда Фурье [33], коэффициенты которого являются решениями плоской задачи Трикоми для уравнения (0.2).

Пулькиным СП. [1-3] для уравнения (0.2) при q > 1/2 были: 1) в области гиперболичности решены задачи Коши и Дарбу; 2) в области эллиптичности построена теория потенциала, используя которую были решены

граничные задачи первого и второго родов для областей с произвольным контуром, содержащим отрезок оси х = 0; 3) в смешанной области установлен принцип максимума и методами теории интегральных уравнений доказана теорема существования задачи Трикоми в случае произвольной области,

В связи с уравнениями смешанного типа второго рода отметим также исследования по краевым задачам для модельных уравнений Каро-ля И. Л. [18] и Сабитова К.Б. [35].

Целью данной работы является изучение следующих вопросов:

1. исследование корректности постановок задач Коши, Дарбу и Гур-са для гиперболического и задачи Коши для эллиптического уравнений с сингулярным коэффициентом и комплексным параметром: построение решений указанных задач для гиперболического уравнения в случае их корректных постановок;

2. построение собственных значений и собственных функций спектральных задач для оператора Пулькина с различными граничными условиями на эллиптической границе; исследование построенных систем собственных функций на полноту в Z,2;

3. построение решений задачи Трикоми и других краевых задач для уравнений с оператором Пулькина;

4. построение решения пространственной задачи Трикоми для уравнения смешанного типа (0.3).

Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав. В пределах каждой главы принята сквозная нумерация параграфов и формул.

В главе 1 в параграфах 1.1 - 1.3 изучаются краевые задачи для гиперболического уравнения

Lu = u_xx-u_yy~\ и_х + А и — 0, (0.4)

где <7т^0 ^и А Є С , в области G, ограниченной характеристиками АС (х+ у = 0), С В (х-у = 1), BD (х+у = 1) и DA (х-у = 0) уравнения (0.4).

В 1.1 для уравнения (0.4) в областях D- ~ G П {у < 0} и 7 ставятся спектральные задачи, соответствующие задачам Дарбу и Гурса.

Спектральная задача D\\ . Найти значения параметра А и соответствующие им функции и (х, у), удовлетворяющие условиям:

и (х, у) Є C(D.) П C²(D.), (0.5)

Lu(x, г/) = 0, (x, y)e!L, (0.6)

«(as, y) = 0, (і, у)еЖиЖ (0.7)

Спектральная задача Z?2A- Найти значения параметра А и со-ответствующие им функции и (х, у) из класса

и (х, у) Є С(Я_) П С¹^- U ЛВ) П С²(>_), (0.8)

удовлетворяющие уравнению (0.6) и условиям:

и (аг, у) = 0, (х, 2/) Є Ж; и_у (х, у) = 0, (х, у) Є АВ. (0.9)

Спектральная задача Гд Найти значения параметра А и соответствующие им функции и (х, у), удовлетворяющие условиям:

и(х, y)eC(G)C\C²{G), (0.10)

Lu(x, у) = 0, (и, л) Є G, (0.11)

и (г, у) = 0, (ж, г/) ЄЛСиЗШ. (0.12)

Найдены условия, при которых задачи Di\, -Сгл и /д имеют непрерывные спектры собственных значений. Методом разделения переменных в явном виде выписаны соответствующие собственные функции этих задач.

Теорема 1.1. Если q < — 1, то любое комплексное А ф 0 является собственным значением задачи (0.5) - (0.7), которому соответствует собственная функция

U (X, _У) = -\у ty\(x* - у²))"³"і_₉_і(^А(х2 - у2)) ,

где J_a{ ) есть функция Бесселя порядка а.

Теорема 1.2. Если q < 0, то любое комплексное А ф 0 является собственным значением задачи (0.6), (0.8), (0.9), которому соответствует собственная функция

и {х, у) = (^(^-У²))"^-,^*²-^)) . (0.13)

Теорема 1.3. Если q < 0, то любое комплексное А ^ 0 является собственным значением задачи (0.10) - (0.12), которому соответствует собственная функция (0.13), где {х, у) Є G.

В 1.2 для уравнения (0.4) при д>0 в областях D- и G ставятся, соответственно, задачи Коши и Гурса.

Задача С . Найти функцию и (ж, у), удовлетворяющую условиям:

и {х, у) Є С(П.) П C\D. U ЛВ) П C²(D_), (0.14)

Lu{x_ty) = Q, [x_ty)eD._y (0.15)

«(ж, 0) = т(х), 0 < яг < 1; и„ (х, 0) = 1/(аг), 0 < х < 1, (0.16)

где г(а:) и і/(ж) — известные и достаточно гладкие функции.

Задача Г . Найти функцию и {х, у), удовлетворяющую условиям:

и{х_: y)sC{G)nC²{G), (0.17)

— и (х, —х) = -^(а:), и = и {х, х) = <р{х), 0 < х < -, (0.19)

Lu(x_yy) = 0, {x,y)eG, (0.18)

где V^і(^)) У (я) ^— заданные и достаточно гладкие функции, ф(0) = (р{0) . На плоскости характеристических координат , = х + у и ц = х — у решение задачи Коши определяется формулой Римана

"К* ^Ч[(г^У^т«> ⁺ (И!іг)'^т^ ^{+ (а20)}

+/ г(0 [Щ К, Єо, чо) - л. К, ; f о, чо)] <*-/ КО л К, : Со, fjo) df
0 0

где R (, tj; oj т/о) есть функция Римана, которая имеет вид

ДК, »7; 0, і?о) = (-гіг-)

Чо + Чо/

х

_{*'>+/4^)[M^]*}

(0.21)

F₉(o-fF (q_t q, 1; a),

(-fo)07-77o)

(7 =

0 = K-Mfo-4o),

( + Чо)(о + ч)'

F( ) есть гипергеометрическая функция, a «7o( * ) ^— функция Бесселя порядка нуль.

Теорема 1.4. ifo/ш при q > 0 функции т(х) Є С[0, 1] П С²(0, 1) « і/(х) Є L[0, 1] ПС¹ (0, 1), то существует единственное решение задачи (0.14)-(0.16)_; определяемое формулой (0.20), в которой следует поло-житъ₀ = х + у, г)₀ = х-у, v(₀, r]₀) = и (ж, у).

Решение задачи Гурса в характеристических переменных определяется формулой

/V (f) [щ К. о; fo, чо) - ! Я К, 0; Со, Чо)] # ~

/ ф (|) [я, (0, т?; Со, Чо) - ;; Я (0, _т Со, Чо)

(0.22)

Теорема 1.5. Если при q > 0 функции <р{х), ф(х) Є С[0, 1/2] П С²(0, 1/2) и <р(0) = ^(0) = 0, то существует единственное решение задачи (0.17)-(0.19), определяемое формулой (0.22), в которой следует положить Со - я + 2/, г)о = х-у, v(Со, Чо) = и(х, у).

В 1.3 для уравнения (0.4) при д>0 в D_ ставятся задачи Дарбу. Задача D\. Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям:

(0.23) (0.24) (0.25)

(0.26)

u(x,y)eC(D-)nC²{D-),

Lu(x, у) = 0, (ге, у) Є D-, _=и(х, -х) = ф{х), 0<х<-,

= и(х, 0) = т(х), 0 <х < 1,

где т(х), ф(х) — заданные и достаточно гладкие функции, г(0) = ф(0). Задача Di. Найти функцию и(х, у) из класса

и (яг, у) Є C(D.) П C\D. U ЛВ) П C²(D.), удовлетворяющую уравнению (0.24), краевым условиям (0.25) «

(0.27)

— и_у (я, 0) = v{x), 0 < х < 1,

где г/(гс) - известная и достаточно гладкая функция. Решения задач Дарбу задаются формулами :

Чо + Чо/ 5

(0.28)

(0.29)

dt-

⁺ A(f) (^^0; ^^-f ^дк- ; ^' Чо)

^ - (0.30)

"A(I) (⁷^⁰^ ^о, */о) - - Л (0, i|; о, r?o) <*Ч, - А (|) [^ К, 0; 0, Чо) - | Л К, 0; о, чо)

_-7'

#?(0, ^ Со, *?о)--Д(0, »7; о, *?о) drj-\-
L Ц J

+ /КС)й(С,С;Со,г?о)сгс.

Теорема 1.6. Если при q > 0 функции т(х) Є С[0, 1] Л С²(0, 1) и ф(х) Є С[0, 1/2] П С²(0, 1/2), причел* т(0) = ^(0) = 0, то существует единственное решение задачи (0.23)-(0.26), определяемое формулой (0.29), в которой следует положить Со — ^х + у, т/о = # — У, vi (Со, *7о) = «(а;, у).

Теорема 1.7. Ясли при g > 0 функции ф(х) Є С[0, 1/2]ПС²(0, 1/2), ^(0) = 0 и v{x) Є L[0, і] Г\С¹(р, 1), mo существует единственное решение задачи (0.24), (0.25), (0.27), (0.28), определяемое формулой (0.30), в которой Со = ж + у, г)₀ = х-у> v₂ (Со, rjo) = и (х, у).

В 1.4 для эллиптического уравнения

2q
Lu = и_хх + и_уу Н Ид; + А гг = 0, (0.31)

где ?7^0 и АеС,в области D , ограниченной отрезком KN оси х = 0 и кусочно-гладкой кривой Г, лежащей справа от оси х = 0, с концами в точках К и N, ставится спектральная задача, соответствующая задаче Коши с данными на отрезке KN .

Спектральная задача С\ . Найти значения параметра А и соответствующие им функции и (х, у), удовлетворяющие условиям:

и (х, у) Є С(П) П C^l(Di U KN) Л C²{D)_y (0.32)

Lu {х, у) = 0, (а?, у) Л, (0.33)

и (ж, г/) = 0, (ж, у) Є Ж; u_z {х, у) = 0, (г, у) Є /OV. (0.34)

Имеет место

Теорема 1.8. Если q < 0, mo любое комплексное А ^ 0 леллетсл собственным значением задачи (0.32) - (0.34), которому соответствует

собственная функция

и(*, у) = (VXx)¹'²⁴ (^Щ^+y¹j)⁹~¹J^_q (у/Ц^Щ

В главе 2 изучаются спектральные задачи для оператора Пулькина. В 2.1 уравнение смешанного типа

Su + \и = и_хх + sgnг/ и_уу Н «г + Aw = 0, (0.35)

где q Є R \ {0} и А Є С , рассматривается в области D, ограниченной характеристиками АС (х + у — 0) и С# (х - у = 1) уравнения (0.35); отрезком Л/f оси х = 0, if = (0, /г), А; > 0 и кусочно-гладкой кривой Г, лежащей в первой четверти, с концами в точках К а В. Обозначая D- = D Л {у < 0}, D+ = D Г\ {у > 0}, для уравнения (0.35) в зависимости от q ставится спектральная задача, соответствующая задаче Трикоми.

Спектральная задача T\{q< 1/2 ). Найти значения параметра А и соответствующие им функции и (х, у), удовлетворяющие условиям:

и (х, у) в C(D) Л C\D) П С²(>_ U >+), (0.36)

5«(яг, г/) + Агф, у) = 0, (ж, у) Є >_ U >+, (0.37)

u (х, 2/) = 0, (яг, у) еЛСиЛКиТ. (0.38)

Спектральная задача Т\ {q > 1/2). Найти значения параметра X и соответствующие им функции и (х, у) из класса (0.36), удовлетворяющие уравнению (0.37) и условию

и (х, у) = 0, (х, у) в ~Ш U Г. (0.39)

В 2.2 в случае, когда кривая Г совпадает с четвертью единичной окружности Го = {(х, у) \ X^і 4- J/² = 1, х > 0, у > 0} , методом разделения переменных найдено счетное множество положительных собственных значений и соответствующие им собственные функции задачи Т\.

Теорема 2.1. Если q < 1/2, mo собственными значениями спектральной задачи (0.36)-(0.38) являются положительные корни A_n,_m,

m Є N, уравнения J₂r*-g-|(v^) = 0> n Є N . Соответствующие собственные функции имеют вид

, ч \К,т(^х>У)і (x,y)D_+}

У) = (\/Кт{х² + У²)) J2n-q-\{^Km{x² + y²)) X

( x² N*"* /3 1 3 x² \

^{X(^T?J ^^-п,і + п-,,--,; __J,}

/i²-^"¹,/ 11 ₀ 1 x²-y²\

_ r(n + j)r(f-_g) ^fcn-r(|-n)r(2n-, + |)-

Теорема 2.2. ifc/ш д > 1/2 , mo собственными значениями спектральной задачи (0.36), (0.37), (0.39) являются положительные корни К,т > т Є N, уравнения «7_2п+?_з( \/Х)= 0, п є N. Соответствующие им собственные функции имеют вид

/ \ \ ^ип,т [^х*

у), (х, у) Є >+,

"-"^«-^^„(х,»), (x,y)eD^

Un,m(^x> У) = (\/Ап,ш(г² + ї/²)) %_п+я-ї(\/К,_т{х² + У²)) X

„/З 3 1 я² \

4 2 х¹ -\- у¹1

(-

2\n+9-f

^f зі

n + q- -, n- -, 2n + g

1 x² — y^T

2'

*"-Г(|-„)Г(2п + _?-І)-

В 2.3 построенная система собственных функций задачи Тд исследуется на полноту в г

Теорема 2.3. Система собственных функций спектральной задачи Т\ при q > 1/2 полна с весом x^2q~^l в L2(D₊).

Теорема 2.4. Система собственных функций спектральной задачи Т\ при q > 1/2 не полна с весом x^2q~^l в L2(D), причем размерность дефекта равна бесконечности.

Теорема 2.5. Система собственных функций спектральной задачи Т\ при q < 1/2 полна в L,2(D₊) и не полна в L₂{D)₁ причем размерность дефекта равна бесконечности.

В параграфах 2.4 — 2.6 в области D поставлены следующие спектральные задачи.

Спектральная задача TN\ д . Найти значения А и соответству
ющие им решения и(х_у у) С(П) Г) C^l(D U Г) П C²(D- U D+) уравне
ния (0.37) с условиями и =0; и = 0 при q < |; J^ =0.

Спектральная задача ТЩ д . Найти значения А и соответствующие им решения и(х, у) eC(D)r\C¹(DuAK)r\C²(D-UD+) уравнения (0.37) при q > 0 с условиями и\ = 0; и_х =0 при 0 < q < \\

= 0.

— 0 при

Спектральная задача TN\ . Найти значения А и соответствующие им решения и (х, у) Є C(D) П C\D U АК U Г) П C²{D- U >₊)

= 0:

~Ш

= 0.

уравнения (0.37) при 0 с условиями и 0<Ч<Ь Ш

В случае Г = Го найдены собственные значения и выписаны в яв-

ном виде собственные функции указанных спектральных задач. Системы собственных функций исследованы на полноту в 1^2-

В главе 3 на основании работ Е.И. Моисеева [25], [26] построены решения краевых задач, соответствующих спектральным задачам Тд, TNi д, T7V2A и TN\, для уравнения с оператором Пулькина и комплексным параметром, отличным от собственных значений спектральных задач.

В 3.1 для уравнения Пулькина

25
Su = и_хх + sgny - Uyy Н и_х = О,

х где q > 0 , в области D ставится

Задача Т. Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям:

и (х, у) є C(D) П C\D) П С²(Г>_ U >+), (0.40)

Su{x,y) = 0_t (x, у) Є >_ U D_+J (0.41)

и(х, y) = Q, (я, у) Є Ж, (0.42)

и {х, у) = 0, (х, у) Є АК, 0 < q < 1/2, (0.43)

u(x,y) = f(x,y), (х,у)єТ, (0.44)

где f(x, у) — заданная и достаточно гладкая функция, f(K) =0 при 0

Единственность решения задачи X следует из принципа максимума для уравнения Su — 0 при д>0 в области D , установленного в [31, 37].

Решая в области D- вторую задачу Дарбу, получено функциональное соотношение между следом и (х, 0) решения и следом и_у (zr, 0) нормальной производной решения на отрезке АВ, на основании которого задача Т сведена к нелокальной эллиптической задаче в области D+.

Задача Т+. Найти функцию и(х, у) Є C(D₊) П C^l(D+ U АВ) П C²(D+), удовлетворяющую уравнению Su = 0 в D+, условиям (0.43), (0.44) и

_«(*>)=/{rhT^F₍^q_>«^1; _{(rrf Г)}^Uy{t_'^0)dt_{' -}^x_-^h

В случае, когда Г = Го, решение задачи Т₊ построено в виде суммы биортогонального ряда. Вычислив след суммы ряда при у = 0 и подставив его в формулу решения задачи Дарбу, получено решение задачи Т в D_. Теорема 3.1. Если 0 < q < 1/2 и функция f(tp) Є С[0, тг/2]> /(7г/2) = 0 и дифференцируема в (0, 7г/2), f(Є ^2/(1+) [О» тг/2], то существует единственное решение задачи (0.40) - (0.44), имеющее вид

^ /_п «J (х, у) , (х, у) Є >+,

Ап/пЧ. (я> У), (ж, у)ел_,

п=1

J.J \Н>

„(,,„) = ,*->Н/_^1 _х

„/3 13 х² \

2 _ „,2\ 2п-Ч-\ Ї³

ЦГ (*,») = «*-*-* (^дї

/1 1 1 _ж2 _ 2\

х J^n--_fn-g+-,2n-₉ + -; —^2—J,

где коэффициенты f_n определяются в работе по формулам (3.32).

Теорема 3.2. Если 1/2 < q <Х и функция f((p) Є С[0, тг/2] w t?u$-ференцируема в (0, тг/2), /'(то существует единственное решение задачи (0.40) - (0.42), (0.44), которое имеет вид

2 Л «J (яг, у), (ж, у) Є D+,

Ф,У) = < "~_Г ," , ч , ч _п (⁰-⁴⁵)

Е / /_п «_Л (ж, у), (я, у) >_,

п=1

х² + у² у

«J(s, У) = Г а^² -Ь 2/² J * Wj-n. n + 9~4' 2 ^{+ 9І}

ї /~2_„2\*Н-<Н

^(^ї/) = (^²-г/²)^П '(^^І х

3 1 x²-y²'

+ q--_}2n + q ' ^ы

x F \n - -, n

4' ' * 2* x² У ' где коэффициенты f_n определяются в работе по формулам (3.43).

В случае q > 1 решение задачи Трикоми также выписывается в виде суммы биортогонального ряда при дополнительных условиях разрешимости на граничную функцию f(ip). Приведем результат для значений q = т 4-1/2, m = 0, 1, 2, ... .

Будем говорить, что функция /(<>) удовлетворяет условиям (А), если:

⁷ Г1

/ffmWcOs[(2n + 0fl ^0 = 0, f=^ '

_{о 1»}

/Ы Є С⁺¹[0, тг/2], /(тг/2)=0,
*/²- /_Лч г, ,ч_Л1 ,_{Л Л} , (1, т = 2Л,

m=2fc + l,

V^ ij (cosi — cos0)i L \2 /J

sin0d0

*= ^{x d}

Теорема 3.3. Пусть q — m + 1/2, m = 0, 1, 2, ... w функция f((p) удовлетворяет условиям (А). Тогда существует единственное решение задачи (0.40) - (0.42), (0.44), которое имеет вид (0.45), где коэффициенты f_n вычисляются по формулам

Л = -рз- / 9т {в) cos [(2п + т 4- 1) в] М, Д„ = 2'

V2 "^/2

_ \^тт\.

В параграфах 3.2-3.5 в области D для уравнения с оператором Пулькина при 0 < q < 1 и комплексным параметром, отличным от собственных значений спектральных задач Тд, TNi\, TN2X и TNx, поставлены соответствующие краевые задачи. Решения этих задач при Г = Го представлены в виде сумм биортогональных рядов.

В 3.6 рассмотрена пространственная задача Трикоми для уравнения смешанного типа (0.3) в теле G, ограниченном: 1) при z > 0 поверхностью вращения S : z = а{г), г² = х² + у², где а{г) Є С[0, 1], а(г) > 0 для г Є (0, 1), причем сг(0) = (т₀ > 0, <т(1) = 0; 2) при z < 0 боковыми поверхностями конусов К\ : z = — г, 0 < г < 1/2 и К₂ : z = г — 1, 1/2 < г < 1.

Задача Г. Найти функцию и(х,у, z) со свойствами:

и(х, у_} z) є C(G)r\C¹(G)r\C²{GiUG₂), Lu (, у, z) = 0, (x, у, z) Gj U G₂,

-ц

=u(s, y_t ст(г)) = Ф(аг, у), 0<ж² + у² < 1, - = u(x,y, -г) =Ф(ж, у), 0<о:² + г/²<~,

Л1 Z

где Gi = GC){z > 0}, G₂ = Gn{z < 0}, Ф (ж, у) « Ф (х, у) — заданные и достаточно гладкие функции.

Отметим, что задача Т изучалась в работе [33]. Аналогичная краевая задача с граничным условием на конусе К₂ рассматривалась в [4].

Используя подход работы [33], вопрос существования решения задачи Т рассмотрен в случае, когда Е есть полусфера, Ф (х, у) = 0 и функция Фі (г, 9) = Ф (г cos в, г sin в) допускает разложение в равномерно сходящийся на [0, 1] х [—7г, х] ряд Фурье:

+оо _г 1

^фі(^г, 8) = r^m\A_m(r) cos гпв + B_m(r) sin тЄ\.

Показано, что при некоторых ограничениях на коэффициенты А_т(г) и В_т(г) решение задачи Т представляется в виде суммы равномерно сходящегося на G тригонометрического ряда Фурье:

+оо _r ,

и (г, в, z) = r^m P_m (г, z) cosmO + Q_m (r, z) sinml? , (0.46)

m=0 ^{L J}

функциональные коэффициенты P_m (r, z) и Q_m (r, z) которого на плоскости (r, z) являются решениями задачи Трикоми для уравнения Пуль-

кина при q — т+ 1/2 с граничными условиями:

_г=Лп(г), Q_m--B_m{r),

Выписаны представления функциональных коэффициентов Р_т (г, z) и Qm (^г» z) в виде сумм рядов. Обоснована равномерная сходимость на G повторного ряда (0.46), а также возможность его почленного дифференцирования в области G.

Решение задач Коши и Гурса

Для уравнения (1.1) в областях D- и G поставим, соответственно, задачи Коши и Гурса. При этом, учитывая результаты 1.1, будем считать, что q 0. Случай q = 0 изучен, см., например [39]. Задача С. Найти функцию и (ж, у), удовлетворяющую условиям: и ди где г (г) и и(х) — заданные и достаточно гладкие функции. где ф{х) и ip(x) — известные и достаточно гладкие функции, для которых выполняется условие согласования ф(0) = р(0). На плоскости (х, у) перейдем к характеристическим переменным = х-\-у и rj — x — y. Тогда уравнение (1.1) примет вид L0v = V& + - - (vz + v j + - v = 0, (1.32) где v (, 7)) = и (х, у), а область G плоскости (ж, у) отображается в область Go на плоскости (, rj), ограниченную отрезками характеристик ДА ( = 0), СоВо h = 1), ДА (Є = 1) и DQA0 (Ч = 0) уравнения (1.32). Соответственно, область Z?_ отображается в область Д = ?0П{ 7/}. Задачи Коши и Гурса на плоскости (, rj) ставятся так. Задача С. Найти функцию v (, 77) удовлетворяющую условиям Отметим, что задача Коши для уравнения (1.32) при q 1/2 и А = О в области D- изучена в работе [32, с.42], где методом Римана доказана теорема существования и единственности решения. В случае уравнения (1.32) при q ф 0 и Й + Ч0Ж0 + Г7) где й, 77), (0, 770) Є Д F( ) — гипергеометрическая функция. Используем метод Римана для построения решений задач С и Г для уравнения (1.32) при q 0 и А ф 0. Будем рассматривать более общее, чем (1.32), уравнение где /() Є С[— 1, 0]. Сопряженным к (1.42) является уравнение L =ШЙ - j j h+ш )+[jiTw+№"v)]w= (L43) Определение 1. Функцией Римана для уравнения (1.42) называется функция R(, i)\ Со, г]о), которая по переменным (, г/) в области Д удовлетворяет уравнению (1.43) и условиям: Известно также, что функция Римана по переменным (о, Т?о) в области Д является решением уравнения (1.42) (см. например, [21, с.452]). Справедлива Лемма 1.3. Пусть имеет место соотношение Щ, т Со, Vo) = (т- 1— Г(С, У\ Со, »7о). \Со + о/ Функция Я(, 77; 0, 7о) является функцией Римана уравнения (1.42) тогда и только тогда, когда функция г(, г); о, 770) есть функция Римана самосопряженного уравнения Доказательство. Заметим, что уравнение (1.47) получается из уравнения (1.43) заменой функции является функцией Римана уравнения (1.42). Значит, по определению, R(, г}\ 0, о) по переменным (С, т?) удовлетворяет уравнению (1.43) и краевым условиям (1.44)-(1.46). В силу замены (1.48) это возможно тогда и только тогда, когда г(, Т)\ Со, Цо) по переменным (, /) удовлетворяет уравнению (1.47) и краевым условиям г Ко, т Ы Vo) = г (, 7?0; о, Чо) = (0, Ї?О; о, Чо) = І- То есть, по определению, г(, г/; о, Чо) является функцией Римана для уравнения (1.47). Лемма доказана.

По лемме 1.3 функция ri(, т/; о Чо) = (0 является функцией Римана уравнения (1.47) при f(i) = 0. Предположим, что для уравнения (1.42) при q — 0 нам известна его функция Римана Д2Й» VI о Чо)-Очевидно, #2Й5 г/; о Чо) есть функция Римана для уравнения (1.47) при q = 0. Тогда функция Римана уравнения (1.47) согласно работе [27] в переменных (х, у) задается формулой Возвращаясь обратно к характеристическим переменным и заменив получим ЯК, ч, Co, Чої ) = [i?2 + _, - _; - -, —J—Jj где roK, r/; Co, »їо) = го (і, у; яго, Уо) Формула (1.49) и лемма 1.3 позволяют выразить функцию Римана для уравнения (1.42) при q 0 через ее известный вид в случае q = 0. Так, для уравнения (1.32) при q = 0 функция Римана есть [21, с.455] ЯгК, ; 6, т/о) = Jo [VJS], 0 = й - Со)(ч - чо), (1-50) можно переписать 0 Cr/o \Co + w J Для произвольной точки (Co) Цо) из области Д и Со С /о имеем — 1 OQ 0. Значит, функции Fq((?o), F4 {GQ) И Fqff(a0) равномерно ограничены в области Д. При 0 s 1 справедливо ?о S сг0(1 - а) 1-fffcS 0. Поэтому функции Fq( To(l-s)/(l- r0s)) Fq( ro(l-s)/(l-aQs)) и F ((T0(l-s)/(l — TQS)) также равномерно ограничены В Д х [0, 1]. Следовательно, функции гиг ограничены по С для фиксированной точки (Со, "По) Отсюда получаем, что если функция т(С) Є С[0, 1], a f(C) Є L[Q, 1], то функция v(oj Wo) , задаваемая формулой (1.55), является непрерывной на Д и удовлетворяет условию (1.35). Если т() Є С1 (0, 1) и и() є С(0, 1), то f(Co, Wo) Є СХ(Д U AQBO) и для функции (1.55) выполняется условие (1.36). А также v oVo Є С(А) и f(Co, 7о) в области Д удовлетворяет уравнению (1.32). Итак, имеет место Теорема 1.4 . Если при д 0 функции т() Є С[0, 1] П С1 (0, 1) u v() Є L[0, 1] П C(0, 1), то существует единственное решение задачи (1.33)-(1.36), которое определяется формулой (1.55). Из теоремы 1.4 следует Теорема 1,4. Если при q 0 функции т(х) Є С[0, 1] П С2(0, 1) и v(x) Є [0, 1] П С1 (0, 1), то существует единственное решение задачи (1.24)-(1.27), определяемое формулой (1.55), в которой следует положить (о = х + у, г]о = х-у, v(o» »їо) = u(xj у). Решение задачи (1.37)-(1.40) в точке (Со, Wo) Є Go представляется формулой

Исследование на полноту в Li системы собственных функций задачи

Исследуем систему собственных функций спектральной задачи Т\ при q 1/2 на полноту в пространстве г ( +) Гипергеометрическую функцию в собственной функции (2.34), обозначим через Затем, заменив ip = тт/2 — 6, выразим Fntq(smO) через присоединенную функцию Лежандра первого рода Р( ) по формуле [2, с. 148] rd-rt ccff)» ( ) .pg + -fi, --f, 1-« -in ). где 0 в тг/2. К получившемуся выражению применим формулу Мелера-Дирихле [2, с. 160] В результате при q 0 , учитывая, что = 1/2 — q и і/ = 1 — q — 2n, имеем Лемма 2.4. Система функций {Fn}o(sm9)}=1 полна в г[0, 7г/2]. Система функций {Fnt(}(sm9)}=1, q 0, полна с весом sin29 1 в 2[0, тг/2]. Доказательство. Вначале предположим, что 0 q 1. Допустим, что в І-2І0, 7г/2] существует функция д(9) такая, что для всех п Є N. Покажем, что д(в) = 0 почти всюду на сегменте [0, тг/2]. Используя интегральное представление (2.37), перепишем равенство (2.38) в виде Из работы [24] следует, что система косинусов {cos(2n + q — 3/2)0} ! полна в г[0, тг/2], поэтому G(i) = 0 почти всюду на сегменте [0, 7г/2]. В интегральном относительно функции д(9) уравнении (2.39) заменив t = arccos(l — re) и 6 — arccos(l — s) и учитывая, что G(t) = 0, получим однородное интегральное уравнение Абеля вида В силу единственности решения уравнения Абеля в классе суммируемых функций [49, с.41) имеем, что g(t) = 0 почти всюду на [0, тг/2]. Если 5 = 0, то с учетом формулы [2, с. 110] получим систему функций Fnj0(sme) = F ( - п, п - -, -; sin2 6J = cos [ 2n - -) tf] , которая полна в г[0, тг/2] [24]. Если 5 = 1, то имеем систему функций A которая также полна в Ьг[0) т/2] Пусть теперь m q т + 1, где m Є N. Воспользовавшись рекуррентным соотношением [2, с. 162] имеем равенство (2.38), получим Последний интеграл, заменив і Пі _i (sin 0) интегральным представлением (2.37) и поменяв порядок интегрирования, преобразуем к виду K} T{q-l) { (cost- cos 0)2" Переходя к пределу при п — со и используя теорему Римана-Лебега, имеем, что Ап — 0, и т. к. последовательность {Ап} стационарна, то Ап 0. Используя последние рассуждения несколько раз, получим что тг/2 / (sin 0) -)-1 ,_m (sin 0) р(0) dQ = 0, о где 0 q — т 1. По доказанному, функция ?(#) — 0 почти всюду на [0, 7г/2]. Лемма доказана. Лемма 2.5. Существует система функций {#„(0)} , #п(0) с . 2 1+1 ( при q = 0 биортонормированая на сегменте [О, 7г/2], при g 0 биортонормированая с весом sin2g_10 на сегменте [0, 7г/2] к системе {Fnt g(sm 0)} Доказательство. Лемму докажем по индукции. Вначале положим О q 1. Из работы [24] известно, что при 0 q 1 система функций { 2 " 1 hn{9) = - (2cos0)« Сії cos[(2fc - 1)6] (2.40) т. е. я-/2 . 1, n = m. hm(e)de = { 0, пфт. биортонормирована на [0, 7г/2] к системе функций {cos(2n+g—3/2)0} JJllf J cos I Г2n + g - -j о Рассмотрим интегральное уравнение "(} Щ / (co.t-co.qi-.1 /»- r + 5J. 2-41) где hn(9) есть функция из системы (2.40), Нп(в) — некоторая функция. Уравнение (2.41) замеИспользуя интегральное представление (2.37), перепишем равенство (2.38) в виде

Из работы [24] следует, что система косинусов {cos(2n + q — 3/2)0} ! полна в г[0, тг/2], поэтому G(i) = 0 почти всюду на сегменте [0, 7г/2]. В интегральном относительно функции д(9) уравнении (2.39) заменив t = arccos(l — re) и 6 — arccos(l — s) и учитывая, что G(t) = 0, получим однородное интегральное уравнение Абеля вида В силу единственности решения уравнения Абеля в классе суммируемых функций [49, с.41) имеем, что g(t) = 0 почти всюду на [0, тг/2]. Если 5 = 0, то с учетом формулы [2, с. 110] получим систему функций Fnj0(sme) = F ( - п, п - -, -; sin2 6J = cos [ 2n - -) tf] , которая полна в г[0, тг/2] [24]. Если 5 = 1, то имеем систему функций A которая также полна в Ьг[0) т/2] Пусть теперь m q т + 1, где m Є N. Воспользовавшись рекуррентным соотношением [2, с. 162] имеем равенство (2.38), получим Последний интеграл, заменив і Пі _i (sin 0) интегральным представлением (2.37) и поменяв порядок интегрирования, преобразуем к виду K} T{q-l) { (cost- cos 0)2" Переходя к пределу при п — со и используя теорему Римана-Лебега, имеем, что Ап — 0, и т. к. последовательность {Ап} стационарна, то Ап 0. Используя последние рассуждения несколько раз, получим что тг/2 / (sin 0) -)-1 ,_m (sin 0) р(0) dQ = 0, о где 0 q — т 1. По доказанному, функция ?(#) — 0 почти всюду на [0, 7г/2]. Лемма доказана. Лемма 2.5. Существует система функций {#„(0)} , #п(0) с . 2 1+1 ( при q = 0 биортонормированая на сегменте [О, 7г/2], при g 0 биортонормированая с весом sin2g_10 на сегменте [0, 7г/2] к системе {Fnt g(sm 0)} Доказательство. Лемму докажем по индукции. Вначале положим О q 1. Из работы [24] известно, что при 0 q 1 система функций { 2 " 1 hn{9) = - (2cos0)« Сії cos[(2fc - 1)6] (2.40) т. е. я-/2 . 1, n = m. hmнами t = arccos(l — х) и 9 = arccosfl — s) сводится к интегральному уравнению Абеля с показателем q. Обратив его и вернувшись к переменным t и 8, получим H«W - JfO V) і (cos t - cos ву {2A2) При этом имеет место оценка: ЯП(0) С п. Покажем биортонормированность с весом (sin 0)2q l системы функций {Нп(6)}=1 к системе функций {Fn1q{sia9)} _1. Учитывая представление (2.37), имеем

Спектральная задача TNi\ с производной по нормали к линии сингулярности

Для уравнения (2.1) в области D (см. 2.1), в случае когда кривая Г совпадает с четвертью единичной окружности Го = {(х, у) \ х2 + у2 = 1, х 0, у 0} при q 0 поставим следующую спектральную задачу. Спектральная задача ТЛ л Найти значения параметра (Л и соответствующие им функции и(х, у), удовлетворяющие условиям: Го 2 В области D+ перейдем к полярным координатам (г, (р) . Затем разделим переменные, представив и (х, у) = R(r) Ф( р) 0 . Тогда получим где fi — константа разделения. Ограниченным на сегменте [0, 1] решением уравнения (2.61), удовлетворяющим условию Л(0) = 0, является функция где Jp{ ) — функция Бесселя порядка р и при А 0. Для функции Ф((р) имеем: Для решения уравнения (2.63) с условиями (2.64) используем общее решение Ф(ір) = с $i( p) + d Фг(у), задаваемое формулой (2.17). 0К Если 0 q 1/2, то функции Фі(у ) и Фг( ) ограничены на [0, 7г/2]. Если q 1/2, то функция Фі( ?) ограниченна, а функция Фз( ) не ограничена на [0, 7г/2]. Найдем производные от функций Фі( ) и Фг(9) Следовательно, ограниченным при q 0 решением уравнения (2.57), удовлетворяющим при 0 q 1/2 условию (2.59) является функция Также, как и в доказательстве леммы 1.1 из 1.1, можно показать, что при р q функция и+ (х, у), задаваемая формулой (2.20), принадлежит классу C(D+) П C(D+ U ЛВ U ЛЯ"). Ограниченное в области D- решение уравнения (2.57), удовлетворяющее нулевому условию (2.58) имеет вид где к — некоторая константа. По лемме 1.1 при р q оно принадлежит классу C(U_) П C(D- U АВ). Согласно условию (2.56) имеем и (х, 0) = и+ (х, 0), 0 х 1, и 0е» 0) = гг+ (гг, 0), 0 х 1. (2.65) Г к В 2.2 найдены р = / „ = 2п+3-3/2 ,пЄЯи = п = Г[!? ДЦ\) , удовлетворяющие системе (2.65). Поскольку р„ д, то функция Л (г), задаваемая формулой (2.62) удовлетворяет условию R(0) = 0. Потребовав выполнения условия i?(l) = 0, получим уравнение которое по теореме Ломмеля при рп — 1 имеет счетное множество положительных корней. Пусть Хп,т есть тп — ый положительный корень уравнения (2.66), соответствующий значению рп. Тогда справедлива Теорема 2.8.

Собственными значениями спектральной задачи (2.56)-(2.60) при # 0 являются положительные корни \щт уравнения (2.66), где рп = 2п + q — 3/2 и п, т Є N. Собственные функции в областях D+ и ZL определяются, соответственно, по формулам: Собственные функции задачи (2.56)-(2.60) при q 0 полий с весом х29-1 б пространстве L2(D+) и не полны с весом x2q l в пространстве L2{D), причем размерность дефекта равна бесконечности. Для уравнения (2.1) в области D (см. 2.1), в случае, когда кривая Г совпадает с четвертью единичной окружности Го при q 0 поставим следующую спектральную задачу. Спектральная задача TN\ ( 0 q 1/2). Найти значения параметра А и соответствующие им функции и(х, у), удовлетворяющие условиям: и (х, у) Є C(D) Л Cl{D U АК U Г0) П C2(D- U D+), (2.67) Su (х, у) + А и (х, у) = 0, (ж, j/)eD.U +, (2.68) и (х, -х) = 0, 0 х -, (2.69) их (0, у) = 0, 0 у 1, 0 4 -, (2.70) — u(г cosу , г sin(р)\ =0, 0 у — . (2-71) Так же, как и в 2.5 методом разделения переменных построим ограниченные при q 0 решения уравнения (2.68), удовлетворяющие при 0 q 1/2 условию (2.70). В областях D+ и _ они имеют вид, соответственно Удовлетворив u+(x, у) условию (2.71), получим уравнение которое по теореме Ломмеля при рп — 1 имеет только счетное множество положительных корней. Пусть \п,т есть тп — ый положительный корень уравнения (2.72), соответствующий значению рп. Тогда справедлива 4 Теорема 2.9. Собственными значениями спектральной задачи (2.67) (2.71) при q 0 являются положительные корни An m уравнения (2.72), где рп = 2n + q — 3/2 и п, т Є N. Собственные функции в областях D+ и D- Собственные функции задачи (2.67)-(2.71) при g 0 полны с весом xiq l в пространстве L2(D+) и не полны с весом х2?_1 в пространстве L2(D), причем размерность дефекта равна бесконечности. где q ф 0 , в области Д ограниченной характеристиками АС (х + у = 0) и С В (х — у = 1) уравнения (3.1); отрезком АК оси х = 0, К = (0, к), fc 0 и кусочно-гладкой кривой Г, лежащей в первой четверти, с концами в точках К и В. Для уравнения (3.1) в области D поставим задачу Трикоми. Задача Т. Найти функцию и (х, у), удовлетворяющую условиям: где D_ = D П {у 0}, Г + = I? П {у 0} и f (х, у) заданная и достаточно гладкая функция, причем f (0, к) — 0 при q 1/2. Отметим, что условие (3.5) налагается на функцию и(х, у) для значений q 1/2, в случае же q 1/2 решение и(х, у) ищется в классе ограниченных на отрезке АК функций (по этому поводу см. 2.1).

Построение решения задачи Трикоми для уравнения Пулькина с комплексным параметром

Для уравнения (3.62) при 0 q 1 в области D (см. 3.1) при Г = Го, поставим следующую краевую задачу в случае, когда параметр А ф Хп,т где An m являются собственными значениями задачи TNi\. Задача TN\. Найти функцию и (#, у) со свойствами: . 1. Рассмотрим случай, когда А = 0. Представим решение задачи TN\ в области гиперболичности D- как решение задачи Дарбу для уравнения (3.93) при А = 0, т. е. для уравнения (3.1), с условиями (3.94) и функция і/(х) Є Х[0, 1] Г)С1(0, 1). Решение задачи Дарбу определяется формулой (3.10). Найдя след решения (3.10) на отрезке АВ, задачу TNi сведем к нелокальной эллиптической задаче. Задача TNi . Найти в области D+ решение и{ху у) C(D) П Cl(D U AB U Го) П C2(D- U D+) уравнения Su = 0, удовлетворяющее условиям (3.95), (3.96) и (3.11). Решение задачи TNf будем искать в виде ряда оо где дп — некоторые коэффициенты и функции ип (х, у) в полярных переменных имеют вид При этом функции w„ (х, у) удовлетворяют условиям задачи ТІУ , за исключением условия (3.96) (см. 3.1). При любом г го 1 ряд (3.97) сходится равномерно и допускает почленное дифференцирование по переменным г и (р любое число раз, за исключение точки (0, 0). Предположим, что ряд (3.97) допускает почленное дифференцирование по переменной г при 0 г 1. Удовлетворив функцию (3.97) условию (3.96), получим разложение Если функция g(ip) непрерывна на [0, т/2], д(тг/2) — 0, дифференцируема в (0, тг/2) и (v) Є 1 /(1+2) [0, /2]) то ряд в правой части разложения (3.99) равномерно сходится на [0, 7г/2] к функции д( р). В силу равномерной ограниченности коэффициентов дп и гипергеометрических функций в (3.98), получим, что ряд в (3.97) равномерно на D+ сходится и допускает при 0 г 1 почленное дифференцирование по переменной г, а также допускает при 0 г 1 и 0 р тг/2 почленное дифференцирование по переменным г и (р любое число раз. Таким образом, сумма ряда (3.97) является решением задачи TN\ в области D+ .

Для построения решения задачи TN\ в области Z _ найдем след производной по у от функции (3.97) на отрезке АВ и подставим его в формулу (3.10) решения задачи Дарбу. Справедлива Теорема 3.6. Если 0 q 1/2, А = 0 и функция д((р) непрерывна на сегменте [О, тг/2], р(тг/2) = 0 и дифференцируема в интервале (0, 7г/2), (/(v) Є 2/(1+2 ) [0» я"/2]) то существует решение задачи (3.92)-(3.96), которое имеет вид коэффициенты которого также, как и в 3.1, определим по формулам hn{$) = -(2cos 0)И CrJl cos[(2fc - 1)0], /? = - = Г fі + g) . T fc=i 2 a \Лг \2 у Для построения решения задачи TN\ в области D- также найдем след производной по у от решения задачи TN на отрезке АВ и подставим его в формулу (3.10) решения задачи Дарбу. Теорема 3.7. Если 1/2 g 1, А = 0 к функция ?( /?) непрерывна на сегменте [0, 7г/2] и дифференцируема в интервале (0, тг/2), д ( ) Є - 2/(3-2)[0J тг/2], mo существует решение задачи (3.92)-(3.94), (3.96), которое имеет вид 2. Пусть теперь А т 0. Решение задачи ТЛ в области Z?_ представим как решение второй задачи Дарбу для уравнения (3.62) с краевыми условиями: Если v{x) Є Ь[0, 1] ПС О, 1), то единственное решение задачи Дарбу в классе функций C(pJ)r[G\D-\JAB)riCP(DJ) имеет вид (3.68). Найдем след решения (3.68) на отрезке АВ и задачу TN\ сведем к нелокальной эллиптической задаче в области D+ . Задача TN?. Найти функцию и(х, у) из класса C(D+)C\C1(D+U AB)f)C2(D+), удовлетворяющую уравнению Su + \u = 0 в D+ и условиям (3.72), (3.95), (3.96). Так же, как и в 3.2, при 0 q 1/2 методом разделения переменных построим функции 2 удовлетворяют условиям эллиптической задачи TW , за исключением граничного условия (3.96). Решение задачи TN? будем искать в виде ряда где функции и(э;, у) определяются по формуле (3.102), дп —неизвестные пока коэффициенты. Будем предполагать, что ряд в формуле (3.103) равномерно сходится на )+ и допускает почленное дифференцирование в D+ U Го Удовлетворив (3.103) условию (3.96), получим разложение (3.99), ко эффициенты которого определяются по формуле (3.100). При этом учи г тывая, что коэффициенты дп и гипергеометрические функции в (3.103) равномерно по п ограничены и имеет место оценка

Похожие диссертации на Спектральные задачи для оператора смешанного типа с сингулярным коэффициентом и применения

Задачи на собственные значения для операторов смешанного типа с двумя линиями степенного вырождения и примененияЧиганова Наталья Викторовна

Краевые задачи с обобщенными операторами дробного интегродифференцирования для уравнений гиперболического и смешанного типов Гайсина Лилия Рамильевна

О законе композиции операторов дробного интегродифференцирования с различными порядками и их приложения к решению краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типовКосимов, Хурсанали Нурматович

Спектральный анализ одного класса дифференциальных операторов типа Штурма-Лиувилля с негладкими коэффициентамиДжабраилова, Лейла Мусаевна

Экспоненциальная характеристика линейных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами и интегрального оператора Вольтерра с ядром экспоненциального типа Мудракова Ольга Александровна

Схемы конечномерных редукций фредгольмовых уравнений и их применения в задачах бифуркационного анализаСмольянов Владимир Анатольевич

Прямой метод решения интегрального уравнения I рода с логарифмической особенностью и его применение к задачам дифракции и гравиметрииКасымова, Мавлюда Джамаловна

Применение пространств Орлича в задачах динамики идеальной несжимаемой жидкостиУваровская Мария Ивановна

Применение метода эквипотенциалей в задачах гидродинамики свободных турбулентных течений и фильтрацииГребенев Владимир Николаевич

Применение метода эквипотенциалей в задачах гидродинамики свободных турбулентных течений и фильтрации Гребнев Владимир Николаевич