Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Схемы конечномерных редукций фредгольмовых уравнений 17
1.1. Редукция Каччиополи и ее обобщение 17
1.2. Метод Ляпунова-Шмидта 21
Глава 2. Нечетные деформации фредгольмовых уравнений вблизи особой точки типа двумерной сборки 24
2.1. Дискриминантные множества и Ьг/-расклады для нечетных деформаций двумерных сборок 24
2.2. Применение к двухточечной краевой задаче 28
Глава 3. Нахождение периодических решений автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений 31
3.1. Бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа 31
3.2. Фокус со слабым резонансом 42
3.3. Фокус с резонансом 1:3 67
Глава 4. Бифуркации автоколебаний в RC-генераторах 71
4.1. Математические модели RC-генераторов 71
4.1.1. Описание RC-структуры с распределенными параметрами 71
4.1.2. Одноламповый автогенератор с распределенными параметрами 73
4.1.3. Автогенератор на фильтре верхних частот с распределенными параметрами..74
4.1.4. Автогенератор на двух каскадно-соединенных гибридных RC-структурах с распределенными параметрами ...75
4.1.5. Модели автогенераторов в случае замены RC-структур с распределенными параметрами системами элементов с сосредоточенными сопротивлениями и емкостями 77
4.2. Вычисление параметров автоколебаний в RC-генераторах 81
4.2.1. Одноламповый автогенератор с сосредоточенными параметрами 81
4.2.2. Автогенератор на фильтре верхних частот с сосредоточенными параметрами 85
4.2.3. Автогенератор на двух каскадно-соединенных гибридных RC-структурах с сосредоточенными параметрами 91
4.2.4. Одноламповый автогенератор с распределенными параметрами 106
4.2.5. Автогенератор на фильтре верхних частот с распределенными параметрами 121
4.3. Анализ результатов расчетов 139
Заключение 143
Литература 144
Приложение
- Дискриминантные множества и Ьг/-расклады для нечетных деформаций двумерных сборок
- Фокус со слабым резонансом
- Вычисление параметров автоколебаний в RC-генераторах
- Автогенератор на фильтре верхних частот с распределенными параметрами
Введение к работе
Широко известно, что многие нелинейные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными допускают запись, при соответствующей операторной трактовке, в виде абстрактного нелинейного уравнения F(x)=0, (0.1) в котором F - гладкое фредгольмово нулевого индекса отображение, действующее из банахового пространства Е± в банахово пространство 2. Исследование фредгольмова уравнения (0.1) часто можно осуществить переходом (редукцией) к конечномерному уравнению S(4) = 0. (0.2)
Впервые математически строго обоснованные схемы редукций бесконечномерных систем к конечномерным были предложены А. М. Ляпуновым и Э. Шмидтом (см. [45], [94]). С помощью схем конечномерной редукции (вариантов метода Ляпунова-Шмидта), описанию которых посвящены работы [9], [42], [81], [82], [59], [39], [7], [23], [24], [90], [91], [65], [62], были исследованы многие нелинейные краевые задачи, при этом наибольшее количество результатов имеется в области локального анализа и теории бифуркаций. Вместе с тем, в бифуркационном анализе до настоящего времени не использовалась в практических расчетах схема нелокальной редукции, предложенная Р. Каччио-поли для построения теории степени фредгольмовых отображений (см. [87], [88], [7] и библиографию в этих источниках). Как удалось недавно выяснить (см. [75]), данная схема особенно полезна при исследовании бифуркаций в условиях нарушения непрерывных симметрии.
Применение тех или иных схем конечномерной редукции преследует цель эффективного сведения анализа фредгольмова уравнения (0.1) и его возмущений к эквивалентной, но более простой задаче анализа уравнения (0.2) в конечномерном пространстве с условием, что левая часть конечномерного уравнения является полиномиальной. Уравнение (0.1), допускающее такое сведение, называется конечноопределенным. При реализации идеи конечной определенности возникает необходимость не только в ее обосновании, но и в разработке алгоритмов, позволяющих извлекать точную информацию об алгебраической структуре полинома S(Q и его возмущений. Важную роль при этом играют результаты и методы теории особенностей гладких отображений, позволяющие получать существенные продвижения в решении проблемы многомерного вырождения, основными составляющими которой являются задачи описания структур бифуркационных диаграмм и раскладов решений, бифурцирующих из особых точек. Однако до сих пор остаются неисследованными бифуркационные диаграммы многих особенностей, имеющих прикладную актуальность. В частности, особый интерес представляют ситуации, связанные с многомодовыми вырождениями, в которых количество и асимптотика бифурцирующих решений определяются кубическими слагаемыми тейлоровских разложений левой части уравнения (0.2). Такие особенности возникают, как правило, в связи с изучением бифуркаций периодических и условно-периодических решений из сложного фокуса (см. [4], [55], [43], [44] и литературу в этих источниках).
В настоящее время в исследованиях периодических решений выделяются (по количеству применений) метод нормальных форм (А. Пуанкаре, Дж. Биркгоф, В. И. Арнольд, А. Д. Брюно и др. (см. [2], [46], [84])) и метод конечномерной редукции (метод Ляпунова-Шмидта с его модификациями). Начало современного этапа в развитии и применениях второго из этих методов (на основе функционального анализа и теории операторов) связывают с работами В. И. Юдовича по бифуркации циклов в гидродинамических системах (см. [85], [86]). Однако, несмотря на внушительные достижения в развитии теории бифуркаций периодических решений, многие ее задачи остались до сих пор недостаточно изученными. Например, мало исследованы случаи многомерного вырождения в сложных фокусах при наличии сильных резонансов (см. [84],- [4], [43]).
Основная цель настоящей диссертационной работы - развитие методов конечномерной редукции гладких фредгольмовых уравнений и получение новых применений редуцирующих схем к задачам бифуркационного анализа, а также разработка подходов к описанию дискриминантных множеств и ^-раскладов решений параметрических семейств нелинейных краевых задач в условиях многомодового вырождения.
В работе рассмотрены схема конечномерной редукции Каччиополи с ее обобщением и схема конечномерной редукции Ляпунова-Шмидта, а также их приложения к некоторым бифуркационным задачам. Кроме того, исследованы дискриминатные множества и б/^расклады для нечетных деформаций двумерных сборок вида G(4) = (i -(i +^-^i\ >2 '\а'^л +^>2j) > ^ =(^1'^>2)Г- Известно (см. [44]), что к данной форме сводятся (линей- ным преобразованием) многие регулярные кубические отображения, действующие из R в R2. Однако, полного анализа бифуркационных эффектов (включая информацию о геометрическом строении дискриминантного множества), вызванных деформациями такой особенности, до настоящего времени проведено не было.
В качестве одного из возможных приложений развитых в диссертации методов конечномерной редукции рассмотрена задача вычисления параметров периодических решений, бифурцирующих из нулевой точки покоя автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкой правой частью. При исследовании данной задачи в случае сложного фокуса использована конечномерная редукция по обобщенной схеме Каччиополи, дающая, с нашей точки зрения, новое освещение процедуры вычисления циклов, бифурцирующих из сложного фокуса по двум модам. Опираясь на данную схему и метод Ляпунова-Шмидта (см. [9], [59]), можно построить эффективную процедуру вычисления и анализа бифурцирующих циклов (включая случаи сильных резонансов).
Другой рассмотренной в диссертации задачей является задача вычисления параметров автоколебаний в RC-генераторах. Как известно, автогенераторы — источники незатухающих автоколебаний, т. е. колебательных процессов, существующих без внешнего периодического воздействия, - находят широкое применение в современной радиотехнике. При этом RC-генераторы, т. е. автогенераторы, созданные на основе RC-структур с распределенными параметрами, представляют особый интерес, так как обладают рядом преимуществ по сравнению с LC-генераторами, в частности, удовлетворяют требованиям уменьшения размеров устройств, повышения надежности и простоты конструкции. В связи с этим, исследование процессов в RC-генераторах, в частности, расчет параметров автоколебаний, является весьма актуальной задачей, к которой обращались многие авторы (см., например, [10], [26]-[38], [48] -[54], [92], [93]). При этом использовались, главным образом, метод малого параметра и метод нормальных форм. В настоящей диссертации задача вычисления параметров колебаний в RC-генераторах рассмотрена с позиции методов конечномерной редукции фредгольмовых уравнений в бесконечномерных банаховых функциональных пространствах.
Дискриминантные множества и Ьг/-расклады для нечетных деформаций двумерных сборок
Впервые математически строго обоснованные схемы редукций бесконечномерных систем к конечномерным были предложены А. М. Ляпуновым и Э. Шмидтом (см. [45], [94]). С помощью схем конечномерной редукции (вариантов метода Ляпунова-Шмидта), описанию которых посвящены работы [9], [42], [81], [82], [59], [39], [7], [23], [24], [90], [91], [65], [62], были исследованы многие нелинейные краевые задачи, при этом наибольшее количество результатов имеется в области локального анализа и теории бифуркаций. Вместе с тем, в бифуркационном анализе до настоящего времени не использовалась в практических расчетах схема нелокальной редукции, предложенная Р. Каччио-поли для построения теории степени фредгольмовых отображений (см. [87], [88], [7] и библиографию в этих источниках). Как удалось недавно выяснить (см. [75]), данная схема особенно полезна при исследовании бифуркаций в условиях нарушения непрерывных симметрии.
Применение тех или иных схем конечномерной редукции преследует цель эффективного сведения анализа фредгольмова уравнения (0.1) и его возмущений к эквивалентной, но более простой задаче анализа уравнения (0.2) в конечномерном пространстве с условием, что левая часть конечномерного уравнения является полиномиальной. Уравнение (0.1), допускающее такое сведение, называется конечноопределенным. При реализации идеи конечной определенности возникает необходимость не только в ее обосновании, но и в разработке алгоритмов, позволяющих извлекать точную информацию об алгебраической структуре полинома S(Q и его возмущений. Важную роль при этом играют результаты и методы теории особенностей гладких отображений, позволяющие получать существенные продвижения в решении проблемы многомерного вырождения, основными составляющими которой являются задачи описания структур бифуркационных диаграмм и раскладов решений, бифурцирующих из особых точек. Однако до сих пор остаются неисследованными бифуркационные диаграммы многих особенностей, имеющих прикладную актуальность. В частности, особый интерес представляют ситуации, связанные с многомодовыми вырождениями, в которых количество и асимптотика бифурцирующих решений определяются кубическими слагаемыми тейлоровских разложений левой части уравнения (0.2). Такие особенности возникают, как правило, в связи с изучением бифуркаций периодических и условно-периодических решений из сложного фокуса (см. [4], [55], [43], [44] и литературу в этих источниках).
В настоящее время в исследованиях периодических решений выделяются (по количеству применений) метод нормальных форм (А. Пуанкаре, Дж. Биркгоф, В. И. Арнольд, А. Д. Брюно и др. (см. [2], [46], [84])) и метод конечномерной редукции (метод Ляпунова-Шмидта с его модификациями). Начало современного этапа в развитии и применениях второго из этих методов (на основе функционального анализа и теории операторов) связывают с работами В. И. Юдовича по бифуркации циклов в гидродинамических системах (см. [85], [86]). Однако, несмотря на внушительные достижения в развитии теории бифуркаций периодических решений, многие ее задачи остались до сих пор недостаточно изученными. Например, мало исследованы случаи многомерного вырождения в сложных фокусах при наличии сильных резонансов (см. [84],- [4], [43]).
Основная цель настоящей диссертационной работы - развитие методов конечномерной редукции гладких фредгольмовых уравнений и получение новых применений редуцирующих схем к задачам бифуркационного анализа, а также разработка подходов к описанию дискриминантных множеств и -раскладов решений параметрических семейств нелинейных краевых задач в условиях многомодового вырождения.
В работе рассмотрены схема конечномерной редукции Каччиополи с ее обобщением и схема конечномерной редукции Ляпунова-Шмидта, а также их приложения к некоторым бифуркационным задачам. Кроме того, исследованы дискриминатные множества и б/ расклады для нечетных деформаций двумерных сборок вида G(4) = (i -(i + - i\ 2 \а л + 2j) =( 1 2)Г- Известно (см. [44]), что к данной форме сводятся (линей ным преобразованием) многие регулярные кубические отображения, действующие из R в R2. Однако, полного анализа бифуркационных эффектов (включая информацию о геометрическом строении дискриминантного множества), вызванных деформациями такой особенности, до настоящего времени проведено не было.
В качестве одного из возможных приложений развитых в диссертации методов конечномерной редукции рассмотрена задача вычисления параметров периодических решений, бифурцирующих из нулевой точки покоя автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкой правой частью. При исследовании данной задачи в случае сложного фокуса использована конечномерная редукция по обобщенной схеме Каччиополи, дающая, с нашей точки зрения, новое освещение процедуры вычисления циклов, бифурцирующих из сложного фокуса по двум модам. Опираясь на данную схему и метод Ляпунова-Шмидта (см. [9], [59]), можно построить эффективную процедуру вычисления и анализа бифурцирующих циклов (включая случаи сильных резонансов).
Другой рассмотренной в диссертации задачей является задача вычисления параметров автоколебаний в RC-генераторах. Как известно, автогенераторы — источники незатухающих автоколебаний, т. е. колебательных процессов, существующих без внешнего периодического воздействия, - находят широкое применение в современной радиотехнике. При этом RC-генераторы, т. е. автогенераторы, созданные на основе RC-структур с распределенными параметрами, представляют особый интерес, так как обладают рядом преимуществ по сравнению с LC-генераторами, в частности, удовлетворяют требованиям уменьшения размеров устройств, повышения надежности и простоты конструкции. В связи с этим, исследование процессов в RC-генераторах, в частности, расчет параметров автоколебаний, является весьма актуальной задачей, к которой обращались многие авторы (см., например, [10], [26]-[38], [48] -[54], [92], [93]). При этом использовались, главным образом, метод малого параметра и метод нормальных форм. В настоящей диссертации задача вычисления параметров колебаний в RC-генераторах рассмотрена с позиции методов конечномерной редукции фредгольмовых уравнений в бесконечномерных банаховых функциональных пространствах.
Фокус со слабым резонансом
В разделе 3.3 рассмотрен случай, когда при є = 0 две пары собственных значений А,1)2(є) = ах(є) ± / w{(є) и А,3,4(є) = a2(є)-г - wi(є) матрицы Л (є) трансверсально переходят в правую полуплоскость комплексной плоскости с резонансом 1:3 (т. е. w1(0) = w0, w2 (0) = 3 w0 ). Показано, что в этом случае Во всех рассмотренных случаях разработаны алгоритмы, позволяющие вычислять коэффициенты уравнений разветвления, а на основе анализа уравнений разветвления получены формулы для параметров возникающих колебаний (теоремы 3.1.1-3.1.3, 3.2.1-3.2.5, 3.3.1). При исследовании уравнения разветвления в случае сложного фокуса использована обобщенная редукция Каччиополи, позволяющая эффективно вычислять и анализировать бифурцируюпще циклы (включая случаи сильных резонансов). -10 Глава4 посвящена приложению развитых методов конечномерной редукции фредгольмовых уравнений к вычислению параметров автоколебаний в некоторых RC-генераторах: в одноламповом автогенераторе, в автогенераторе на фильтре верхних частот и в автогенераторе на двух каскадно-соединенных гибридных RC-структурах. В разделе 4.1 дается описание данных RC-генераторов и приводятся их математические модели. Неотъемлемым элементом таких автогенераторов является RC-структура с распределенными параметрами, уравнения которой выводятся в разделе 4.1.1. В разделе 4.1.2 рассмотрен одноламповый автогенератор с распределенными параметрами, математическая модель которого имеет вид где u{x,t) - напряжения в точках RC-структуры с распределенными параметрами, х безразмерная координата, t - безразмерное время, к0, кх, к2 — коэффициенты аппроксимации нелинейной характеристики усилителя полиномом третьей степени f{z) = (к0 z + k{- z -k2-z ), причем kQ 0, к2 0 . В разделе 4.1.3 рассмотрен автогенератор на фильтре верхних частот с распределенными параметрами, математическая модель которого имеет вид где u(x,t) - напряжения в точках RC-структуры с распределенными параметрами, х безразмерная координата, t— безразмерное время, к0, кх, к2 - коэффициенты где u(x,t) и v(y,/) - напряжения в RC-структурах, x и у - безразмерные координаты, t-безразмерное время, к0, кх, к2 - коэффициенты аппроксимации нелинейной характе ристики урилителя полиномом третьей степени f(z) = -(Аг0 Z + ki Z -k2 z ), причем k0 0, k2 0. В разделе 4.1.5 получены уравнения: рассматриваемых автогенераторов в случае замены каждой из RC-структур с распределенными параметрами системой п элементов с сосредоточенными сопротивлениями и емкостями, что при больших п является достаточно хорошей их аппроксимацией.
В разделе 4.2 с помощью развитых в диссертации методов конечномерной редукции фредгольмовых уравнений получены формулы для расчета параметров автоколебаний в рассматриваемых RC-генераторах. В разделах 4.2.1 - 4.2.3 вычисляются параметры автоколебаний в одноламповом автогенераторе, в автогенераторе на фильтре верхних частот и в автогенераторе на двух каскадно-соединенных гибридных RC-структурах с распределенными параметрами в случае замены RC-структур с распределенными параметрами системами элементов с сосредоточенными сопротивлениями и емкостями (теоремы 4.2.1-4.2.5). В этом случае задача расчета автоколебаний в RC-генераторах сводится к вычислению параметров периодических решений, бифурцирующих из нулевой точки покоя автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкой правой частью вида (0.4), что дает возможность использовать для расчета параметров автоколебаний результаты Главы 3. Для однолампового автогенератора и автогенератора на фильтре верхних частот имеет место случай бифуркации Хопфа. Показано, в частности, что формулы для амплитуд и периодов колебаний напряжения на входе усилителя в данных автогенераторах имеют вид Для автогенератора на двух каскадно-соединенных гибридных RC-структурах имеет место случай бифуркации циклов из сложного фокуса со слабым резонансом по двум модам, однако поскольку частоты возникающих автоколебаний несоизмеримы, то при расчете двухчастотных колебаний используется лишь формальный перенос алгоритма, полученного в разделе 3.2. К сожалению, прямого аналитического обоснования применимости данного алгоритма к расчету двухчастотных колебаний в рамках рассматриваемого в диссертации подхода пока не существует, тем не менее, его использование позволяет получать формулы для расчета параметров автоколебаний, хорошо согласующиеся с результатами численного моделирования работы данного автогенератора.
Вычисление параметров автоколебаний в RC-генераторах
Результаты численного моделирования для однолампового автогенератора и для автогенератора на фильтре верхних частот при различных п и различных значениях параметров к0, кх, к2 показали, что формулы разделов 4.2.1 и 4.2.2 для амплитуд и периодов колебаний напряжения на входе усилителя хорошо аппроксимируют при малых є = к0 -к У (и) амплитуды и периоды полученного численного решения, причем
амплитуды аппроксимируются с порядком 0(г), а периоды — с порядком 0(г ).
В случае автогенератора на двух каскадно-соединенных гибридных RC-структу-рах результаты численного моделирования при различных п и различных значениях параметров kQ, кх, к2, (3, s показали, что формулы раздела 4.2.3 для амплитуд и периодов одночастотных колебаний напряжения на входе усилителя также хорошо аппроксими-руют при малых значениях параметра є = (є ,Єр,є5) амплитуды и периоды полученного численного решения, причем амплитуды аппроксимируются с порядком 0(є), а
Особый интерес представляет определение условий существования устойчивых двухчастотных колебаний в рассматриваемом автогенераторе. Результаты численного моделирования работы данного автогенератора показали
Все расчеты по вычислению коэффициентов в формулах для параметров колебаний и численному моделированию работы рассмотренных RC-генераторов были выполнены с помощью системы инженерных и научных расчетов Matlab 5.3. Результаты расчетов для RC-генераторов приведены в Приложении 2.
В заключение отметим, что материалы по теме диссертационной работы опубликованы в работах [70] - [79]. Они докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры математического моделирования, кафедры нелинейных колебаний ВГУ, отдела нелинейного анализа НИИМ ВГУ, на 1-й Всероссийской научной конференции студентов-радиофизиков в Санкт-Петербурге (1997 г.) и на Воронежской зимней математической школе в 2001 году.
Автор глубоко благодарен Ю. И. Сапронову за постоянное внимание и ценные советы при написании данной работы, а также В. И. Непринцеву за помощь при составлении математических моделей RC-генераторов и обсуждение полученных формул для параметров автоколебаний.
Пусть Ех, Е2 - банаховы пространства и В:Е1- Е1 - линейный непрерывный оператор, ядро Кег (В) и коядро СоКег(В) = Е2 \1тВ которого имеют конечные размерности: dim Кег (В) +оо, dim CoKer (В) +оо. Такой оператор В называется фредгольмовым, число ind(B) = dim Кег (В)- dim CoKer (В) называется (фредгольмовым) индексом фредгольмова оператора В.
Нелинейное отображение F : Q-» Е2 класса Сг (г 1), где Q - открытое под 8F множество в Ei, называется фредгольмовым, если его производная Фреше —(а) является фредгольмовым оператором в каждой точке а є Q. Фредгольмовым индексом нелинейного оператора F, заданного на связном подмножестве Q, называется индекс оператора
Схема Каччиополи естественно переносится на случай, когда вместо одного проектора Р задано гладкое семейство проекторов Р(х) с образами постоянной размерности, dim(ImP(x)) = п, с условием, что Мявляется регулярным множеством нулей векторного поля (7 - P(x))F(x). Исходное уравнение сводится при этом к эквивалентному уравнению &() = 0, Е, є М, в котором 0( ) = P(QF(Q - сечение гладкого «-мерного векторного расслоения над М, порожденного пучком и-мерных подпространств їтР(х).
Пусть Ех и Е2 - банаховы пространства и F: Ех - Е2 - гладкое фредгольмово отображение нулевого индекса. Гладкое «-мерное с пустым краем подмногообразие М а Еі будем называть редуцирующим для уравнения F(x) = 0, если на некоторой окрестности 0(М) этого подмногообразия можно задать такой гладкий пучок проекторов Р(х) с образами из Е2 постоянной размерности п, что выполняются следующие два
Заметим, что поле т(х) является сечением гладкого векторного расслоения 3 над М, порожденного гладким пучком векторных пространств 1тР(х). Если задать набор векторных полей ei(x), ..., еп(х), являющихся сечениями 3 над Ми образующими базис в 1тР(х) для каждого х из некоторого открытого множества U а М, то векторное поле т(х) на U естественно отождествляется с векторным полем ,(х), х є U, значения которого принадлежат Rn, а его компоненты (х) являются коэффициентами разложения т(х)
Нетрудно установить, что точка а є 0(М) является нулем F тогда и только тогда, когда ЙЁМИ т(а) = 0. Более того, такая точка имеет одинаковые размерности вырождения (размерности ядер) и изоморфные локальные кольца особенностей для F и т. Размерность вырождения и локальное кольцо особенности в нуле сечения т определяются через координатное представление сечения.
Определение локального кольца особенности гладкого конечномерного отображения ,: R" —» Rn дается следующим образом (см. [3]): в кольце i?[[x]] вещественных фор мальных степенных рядов от х = (х1;...,хп) (с вещественными коэффициентами) рассматривается идеал /, порожденный тейлоровскими разложениями компонент этого отображения. Факторкольцо Q = R[[x]]/1 называется локальным кольцом особенности , в начале координат. Его размерность (как вещественного линейного пространства) называется кратностью нулевой точки относительно отображения , и обозначается (х(,,0). Локальные кольца в ненулевых точках а определяются аналогичным образом - через кольцо формальных степенных рядов i?[[x-a]] или, что эквивалентно, сведением к случаю начала координат заменой у = х - а. Это определение без особых трудностей переносится на случай фредгольмовых отображений бесконечномерных банаховых пространств. Заметим, что если и-мерное подмногообразие М = х является совокупностью всех нулей F в некотором открытом подмножестве U с Ех, и при этом вьшолняется условие
Для компактных редуцирующих подмногообразий имеют место теоремы о структурной устойчивости, аналогичные теоремам о структурной устойчивости квазиинвариантных подмногообразий функционалов (см. [67], [69]). В случае уравнений с непрерывной симметрией (см. [17] - [19]) могут появляться многообразия (орбиты) нулей, которые можно истолковать как ключевые подмногообразия. Если действующая группа компактна, то регулярные орбиты нулей F структурно устойчивы, что позволяет применять описанную выше схему нелокальной редукции при нарушениях и понижениях непрерывных симметрии. Как и в случае квазиинвариантных подмногообразий, нарушающие симметрию возмущения приводят к рождению редуцирующих подмногообразий (вблизи распадающихся компактных орбит нулей), диффеоморфных исходным орбитам нулей.
Автогенератор на фильтре верхних частот с распределенными параметрами
Во всех рассмотренных случаях разработаны алгоритмы, позволяющие вычислять коэффициенты уравнений разветвления, а на основе анализа уравнений разветвления получены формулы для параметров возникающих колебаний (теоремы 3.1.1-3.1.3, 3.2.1-3.2.5, 3.3.1). При исследовании уравнения разветвления в случае сложного фокуса использована обобщенная редукция Каччиополи, позволяющая эффективно вычислять и анализировать бифурцируюпще циклы (включая случаи сильных резонансов). Глава4 посвящена приложению развитых методов конечномерной редукции фредгольмовых уравнений к вычислению параметров автоколебаний в некоторых RC-генераторах: в одноламповом автогенераторе, в автогенераторе на фильтре верхних частот и в автогенераторе на двух каскадно-соединенных гибридных RC-структурах. В разделе 4.1 дается описание данных RC-генераторов и приводятся их математические модели. Неотъемлемым элементом таких автогенераторов является RC-структура с распределенными параметрами, уравнения которой выводятся в разделе 4.1.1. В разделе 4.1.2 рассмотрен одноламповый автогенератор с распределенными параметрами, математическая модель которого имеет вид где u{x,t) - напряжения в точках RC-структуры с распределенными параметрами, х безразмерная координата, t - безразмерное время, к0, кх, к2 — коэффициенты аппроксимации нелинейной характеристики усилителя полиномом третьей степени f{z) = (к0 z + k{- z -k2-z ), причем kQ 0, к2 0 . В разделе 4.1.3 рассмотрен автогенератор на фильтре верхних частот с распределенными параметрами, математическая модель которого имеет вид где u(x,t) - напряжения в точках RC-структуры с распределенными параметрами, х безразмерная координата, t— безразмерное время, к0, кх, к2 - коэффициенты где u(x,t) и v(y,/) - напряжения в RC-структурах, x и у - безразмерные координаты, t-безразмерное время, к0, кх, к2 - коэффициенты аппроксимации нелинейной характе ристики урилителя полиномом третьей степени f(z) = -(Аг0 Z + ki Z -k2 z ), причем k0 0, k2 0. В разделе 4.1.5 получены уравнения: рассматриваемых автогенераторов в случае замены каждой из RC-структур с распределенными параметрами системой п элементов с сосредоточенными сопротивлениями и емкостями, что при больших п является достаточно хорошей их аппроксимацией. В разделе 4.2 с помощью развитых в диссертации методов конечномерной редукции фредгольмовых уравнений получены формулы для расчета параметров автоколебаний в рассматриваемых RC-генераторах. В разделах 4.2.1 - 4.2.3 вычисляются параметры автоколебаний в одноламповом автогенераторе, в автогенераторе на фильтре верхних частот и в автогенераторе на двух каскадно-соединенных гибридных RC-структурах с распределенными параметрами в случае замены RC-структур с распределенными параметрами системами элементов с сосредоточенными сопротивлениями и емкостями (теоремы 4.2.1-4.2.5). В этом случае задача расчета автоколебаний в RC-генераторах сводится к вычислению параметров периодических решений, бифурцирующих из нулевой точки покоя автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкой правой частью вида (0.4), что дает возможность использовать для расчета параметров автоколебаний результаты Главы 3.
