Обратные задачи спектрального анализа для некоторых дифференциальных операторов в частных производных Дубровский Владислав Владимирович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Вспомогательные утверждения 26

1.1. Предварительные сведения 26

1.2. Оператор Лапласа и его степень 33

1.3. Об одной аналитической функции 37

1.4. Некоторые свойства одной числовой последовательности 39

1.5. Основные спектральные тождества 44

Глава 2. Обратные спектральные задачи для возмущенного оператора Лапласа и его степеней в случае краевой задачи Дирихле 56

2.1. Возмущенная степень оператора Лапласа с потенциа лом на прямоугольнике 56

2.2. Возмущенный оператор Лапласа с потенциалом на пря моугольнике 69

2.3. Возмущенная степень оператора Лапласа с потенциа лом на n-мерном параллелепипеде 79

Глава 3. Обратные спектральные задачи для возмущенного оператора Лапласа и его степеней в случае краевой задачи Неймана 86

3.1. Возмущенная степень оператора Лапласа с потенциа лом на прямоугольнике 86

3.2. Возмущенный оператор Лапласа с потенциалом на пря моугольнике 92

3.3. Возмущенная степень оператора Лапласа с потенциа лом на n-мерном параллелепипеде 98

Список литературы

• Оператор Лапласа и его степень
• Некоторые свойства одной числовой последовательности
• Возмущенный оператор Лапласа с потенциалом на пря моугольнике
• Возмущенный оператор Лапласа с потенциалом на пря моугольнике

Введение к работе

Диссертация посвящена решению обратных задач спектральной теории для дифференциальных операторов в частных производных. Под обратными задачами спектрального анализа понимают задачи восстановления возмущающего оператора по его некоторым заданным спектральным характеристикам, к которым можно отнести спектры при различных краевых условиях, спектральную функцию, нормировочные числа и т.д.

Постановка задачи. В сепарабельном гильбертовом пространстве 1>2(П) рассмотрим оператор То, определяемый краевой задачей Дирихле либо краевой задачей Неймана для однородного уравнения Гельмгольца, где П — прямоугольная область, у которой отношение квадратов сторон — иррациональное число.

\ЫЕ{\),

Введем степень оператора То, т. е. оператор Т =

о где -Е'(А) — спектральное разложение единицы оператора То, /3 > 1,

X¹³ > 0 при А > 0.

Пусть Р — действующий в 1/2(П) оператор умножения на вещественную функцию р Є Z/2 (П). Оператор Р называется оператором возмущения, а функция р — потенциалом.

Обозначим через {Af}^i последовательность однократных собственных чисел оператора Т, занумерованных в порядке возрастания их величин, а через {^}^ — последовательность собственных чисел оператора Т + Р, занумерованных в порядке возрастания их

действительных частей с учетом кратности. Оператор Т + Р называется возмущенным оператором.

Рассмотрим следующую обратную задачу спектрального анализа пусть дана последовательность комплексных чисел {6}t^i> близких в некотором смысле к собственным числам Л(. При различных (3 > 1 требуется доказать

(ОЗ) существование и единственность оператора Р такого,

что спектр а(Т + Р) совпадает с последовательностью

Актуальность темы диссертации. Центральное место в исследовании обратных задач занимают проблемы существования и единственности решения. Что касается проблемы существования, то и до настоящего времени нет четких критериев глобального решения данного вопроса. Имеются ряд теорем существования для малых потенциалов, но даже в этом случае задачи не были полностью решены. Это связано со значительными математическими трудностями, вызванными нелинейностью уравнений, к которым сводятся обратные задачи. Нужно также заметить, что многие обратные задачи имеют неединственное решение. Поэтому одним из основных вопросов в исследовании проблемы единственности является выявление дополнительных условий, обеспечивающих единственность решения обратной задачи. Основная идея приложений обратных задач заключается в следующем: по результатам измерений определенных спектральных характеристик пытаются получить информацию об интересующих физических величинах. Обратные задачи играют фундаментальную

роль в различных разделах математики и имеют множество приложений в естествознании, например, в квантовой механике при определении внутриатомных сил по известным уровням энергии, в радиоэлектронике при синтезе параметров неоднородных линий передач, в теории упругости при определении размеров поперечных сечений балки по заданным частотам ее собственных колебаний, в геофизике и т. д.

В настоящее время теория обратных спектральных задач интенсивно развивается благодаря появлению новых приложений в естественных науках.

Историография вопроса. Наиболее полно изучены обратные спектральные задачи для оператора Штурма — Лиувилля

Ty = -y" + q(x)y. (0.0.1)

Первый результат в этом направлении принадлежит В.А. Амбар-цумяну [81]. Он доказал следующую теорему:

Пусть До < Ai < А2 < ... собственные значения задачи Штурма — Лиувилля

-у" + q(x)y = Ay, i/(0) = у'(7г) = 0,

где q Є С[0,7г]. Если Х_п = п², п = 0,1,..., то q = 0.

Однако результат В.А. Амбарцумяна является скорее исключением, и одного спектра, как выяснилось впоследствии, недостаточно для однозначного восстановления оператора (0.0.1).

В связи с этим, в дальнейших исследованиях по решению обратных задач спектрального анализа помимо спектра задавались еще

и дополнительные спектральные характеристики. Обычно используют спектральные данные {A_n,a_n}_n>o, где Л_п — собственные числа,

а_п = f ip²(x, X_n)dx — нормировочные (весовые) числа, у?(ж, Л_п) — соб-

х ственные функции краевой задачи.

Вместо спектральных данных часто задают спектральную функцию, которая для классической задачи Штурма — Лиувилля есть функция скачков

Р(А) = Е f.

функцию Вейля, которая для той же задачи имеет вид

оо ₁

^{M(A)=S^^)'}

или ее обобщение — матрицу Вейля. Из этих спектральных характеристик однозначно определяют другие. Опишем основные методы использующие эти спектральные данные.

Метод операторов преобразования. Впервые операторы преобразования появились в теории обобщенного сдвига в работе Б.М. Левитана [37]. Операторы преобразования для произвольных уравнений Штурма — Лиувилля были построены А.Я. Повзнером [49] и использовались при решении обратных задач И.М. Гельфандом [15], Б.М. Левитаном [36], В.А. Марченко [46] и др. Основной результат фундаментальной работы В.А. Марченко [47] заключается в следующем: спектральная функция оператора Штурма — Лиувилля определяет этот оператор. Для дифференциальных операторов высших поряд-

ков с интегрируемыми коэффициентами

п-2

Ту = У^{п) + Y,Pj^)v^{i\ п>2

3=0

обратная задача более сложна для изучения по сравнению с оператором Штурма — Лиувилля. В различных постановках она исследовалась в работах А.Ф. Леонтьева [42], М.К. Фаге [66], И.Г. Хача-тряна [69], где выяснено, что оператор преобразования при п > 2 имеет сложную структуру, что затрудняет его использование для решения обратной задачи. Однако, в случае аналитических коэффициентов операторы преобразования имеют такой же "треугольный" вид, как и для оператора Штурма - Лиувилля ([59], [69]). В частности, М.Г. Гасымов [12], И.Г. Хачатрян [72] исследовали обратную задачу восстановления самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси по спектральной функции, а также обратную задачу рассеяния с помощью "треугольного" оператора преобразования. Более универсальным методом в теории обратных задач является метод спектральных отображений. Он позволяет эффективно исследовать обширный класс обратных задач для дифференциальных операторов произвольных порядков, дифференциальных операторов с особенностями и точками поворота, пучков дифференциальных операторов и многих других. Метод спектральных отображений можно рассматривать как вариант метода контурного интеграла, адаптированный к решению обратных задач. Заключается он в применении интегральной формулы Коши к специально построенной по спектральным данным аналитической по Л функции. Тем самым сводят

обратную задачу к основному уравнению, которое является линейным в соответствующем банаховом пространстве последовательностей. Идеи метода контурного интеграла к исследованию обратных задач для случая оператора Штурма — Лиувилля первым применил Н. Левинсон [84]. Дальнейшее развитие метод получил в работах Е.А. Барановой [3], [4], З.Л. Лейбензона [39] - [41], М.М. Маламуда [44], В.А. Юрко [76], [77], [79] и др.

В методе эталонных моделей строится последовательность модельных операторов, которые, в опреденном смысле, приближают искомый оператор и позволяют строить потенциал "шагами". Метод дает эффективный алгоритм решения обратной задачи и работает для многих важных классов обратных задач, в то время как другие методы оказываются неприменимыми. Например, В.А. Юрко [78] исследовал так называемые неполные обратные задачи для дифференциальных операторов высших порядков, когда только некоторая часть спектральной информации доступна для измерения, но имеется априорная информация об операторе или его спектре. Однако этот метод можно применять при довольно сильных ограничениях на оператор. Например, для оператора Штурма — Лиувилля метод работает в классах кусочно-аналитических потенциалов.

Четвертый метод решения обратных задач носит имя шведского математика Г. Борга. В своей работе [82] Г. Борг предложил совершенно иную постановку обратной задачи: найти потенциал по двум известным спектрам двух краевых задач с общим дифференциальным оператором и одним общим краевым условием. В методе Борга

обратная задача сводится к нелинейному интегральному уравнению, которое может быть решено локально. Для вывода и исследования нелинейного уравнения Борга используется полнота или базисность по Риссу произведения собственных функций рассмотренных краевых задач. Хотя для операторов Штурма — Лиувилля метод Борга слабее, чем возникший позднее метод спектральных отображений, однако он оказывается полезным, когда другие методы не работают, как, например, в работах [55], [69].

Теория обратной задачи Штурма — Лиувилля изложена в монографиях Б.М.Левитана, Б.М.Левитана и И.С. Саргсяна [36], [38], В.А. Марченко [47].

Обратные задачи для уравнений с частными производными исследовались в работах Ю.Е. Аниконова [1], А.Л. Бухгейма [8], [9], М.М. Лаврентьева [33], [35], Л.П. Нижника [48], А.И. Прилепко [85], А.Г. Рамма [50], В.Г. Романова [52], [53], К. Шадана [74], Л.Д. Фаддеева [68] и других математиков.

Обратная спектральная задача для оператора Лапласа с потенциалом была впервые поставлена Ю.М. Березанским в работах [5], [6]. В работе [6] было доказано, что в уравнении, заданном в некоторой конечной или бесконечной области G трехмерного пространства,

—Аи + с(р)и = Хи, 1тс(р) = 0

с граничным условием

— + а(р)и = 0,

где а(р) — непрерывная вещественная функция точки р на границе Г области G, спектральная функция р(р₁ q, А) (р, q Є її, —оо < Л < сю) однозначно определяет коэффициент с(р) в классе кусочно - аналитических коэффициентов, а также граничное условие на некоторой части границы Г, т. е. функцию сг(р). Таким образом, Ю.М. Бере-занский связывает решение многомерной обратной задачи с ее спектральной функцией. В этой же работе Ю.М. Березанский отмечает, что, к сожалению, так и не найден "эффективный" метод восстановления потенциала..

Дальнейшее развитие теория обратных задач для оператора Лапласа с потенциалом получила в работах В.А. Садовничего, В.В. Дубровского и их учеников [10], [24] - [30], [55] [56], [60].

В работе [55] доказана теорема единственности решения обратной задачи только по одному спектру для абстрактных операторов и при условии "малости" возмущающего оператора. Результаты применяются к степени оператора Лапласа, заданного на прямоугольнике П с потенциалом из 1^(11). К этой работе по своей тематике и методам примыкает статья [25]. Здесь сформулированы условия, при которых потенциал может быть восстановлен в классе ограниченных по максимуму функций. В работах [27], [28] разработан метод восстановления потенциала по спектру невозмущенного оператора и доказана его единственность. Результаты этих работ можно сформулировать следующим образом.

Рассмотрим в 1/2 (П) краевую задачу:

—Av = Xv, v\gn — О» 13

где То = —А — оператор Лапласа, дії — граница прямоугольника

,а²

П = {(х, у) : 0 < х < а, 0 < у < 6}, (-^- — Иррациональное»

ное число). Введем оператор Т = X^dE(X) и обозначим через

Jo ^vk_mn (k,m,n = 1,2,...) его собственные ортонормированные функции, отвечающие собственным значениям А&_тп, расположенным в порядке возрастания. Обозначим с4 = min |А&—X_s\. Пусть Р — оператор

s,s^k

умножения на функцию р Є L(П), удовлетворяющую условиям

р(а - х, ij) = р(х, у) = р(ж, Ь - у) для п. в.(х, у) Є П, (0.0.2)

// p(x,y)cos I J dxdy= // p{x,y)cos (—7—) dxdy = 0,

(т,п = 0,1,... ,00). (0.0.3)

АГ N

ЕСЛИ /? > 3, /J^fc¹ < СО И 2_\ 16: ~ ^к\ < Сє (N < оо), ТО В За-
к=1 к=1

мкнутом шаре U(0,e) = {р{х,у) : ||р||ьоо(п) < ^} существует один и только один потенциал, удовлетворяющий условиям (0.0.2), (0.0.3) и такой, что числа _t являются собственными значениями оператора Т + Р. Если же в качестве оператора возмущения Р рассмотреть оператор умножения на функцию р Є Ь₂(П), удовлетворяющую условию (0.0.2) и

Н р{х, y)dxdy = 0, (0.0.4)

то при Р > 2, 5 для последовательности чисел

6 = ^kmn + ^ат + Рп + %

такой, что

ОО ОО 1 ОО 1_

(EW' + ElA-l²)^*'. ( Е Ь\²У<6₂,

т=\ п—1 т,п—1

где 5₁ = 5і(є), 5₂ = 6₂(є), в шаре U(0,s) = {р(х,у) : ||р||ь₂(п) < є} существует единственный потенциал, удовлетворяющий условиям (0.0.2), (0.0.4) и такой, что числа & являются собственными значениями оператора Т + Р.

В работе [29] исследуется устойчивость решений обратных задач, полученных в [27], [28].

В статьях [27], [28], [29], [55] рассматривались операторы, которые имеют ядерную резольвенту. Для того чтобы обеспечить ядер-ность резольвенты, вводилась степень оператора Лапласа. Однако, в квантовой механике практический интерес представляют именно операторы, полученные из оператора Лапласа в результате "малого" возмущения, а не их степени. Поэтому задача по уменьшению показателя степени (5 является весьма актуальной. Но при /3 = 1 резольвента оператора Лапласа становится неядерным оператором и решение поставленной задачи значительно усложняется.

Данная диссертация лежит в русле упомянутых выше исследований по изучению обратных задач для оператора Лапласа с потенциалом.

Целью данной работы является доказательство теорем существования и единственности решения обратных спектральных задач для возмущенного оператора Лапласа и его степеней, порожденного краевой задачей Дирихле либо краевой задачей Неймана на прямо-

угольнике и многомерном параллелепипеде.

Методы исследования. Для решения поставленной задачи используются методы теории регуляризованных следов операторов, разработанные научной школой академика РАН В.А. Садовничего, теории возмущений, спектрального и функционального анализа.

Научная новизна. Результаты диссертации, выносимые на защиту, являются новыми и состоят в следующем:

1. Доказаны теоремы существования и единственности решения обратных задач для возмущенной степени оператора Лапласа с ядерной резольвентой, причем этот оператор задается на прямоугольнике либо краевой задачей Дирихле, либо Неймана.

2. Доказаны теоремы существования решения обратных задач для возмущенного оператора Лапласа с неядерной резольвентой, при этом оператор Лапласа задается на прямоугольнике либо краевой задачей Дирихле, либо Неймана.

3. Доказаны теоремы существования решения обратных задач для возмущенной степени оператора Лапласа с неядерной резольвентой, причем данный оператор задается на многомерном параллелепипеде либо краевой задачей Дирихле, либо Неймана.

Краткое содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих одиннадцать параграфов, и списка литературы. Во Введении приводится постановка задачи, формулируются цели диссертации, описываются методы исследования, дается обзор работ, относящихся к теме диссертации, и кратко изложено содержании диссертации.

Список литературы содержит 108 названий работ отечественных и зарубежных авторов, а также работ автора, составляющих базу диссертации.

Первая глава посвящена доказательству некоторых вспомогательных утверждений, полученных диссертантом, и состоит из 5 параграфов. Кроме того, в ней вводятся обозначения, использующиеся в формулировках основных результатов:

R₀(X) = {T-XE)-\\eC\a(T)-

. НА* —Aj_i| |At+i — \t\\ . _e

^at =

_lrt = {А Є С : |A_t - А| = г,};

' ⁿ = ^mm{ 2 ^; 2 )' ^Го = «^^r,;

/ ^^ 1 \ 1

^s= (Е^гКй^"^Ло(Л)"0 ) '^0<г<тіп{з5^₀}; tt_r = {\C: \X_t-X\ >r}, Я = тах||Я₀(А)||₂;

_/.»-.(^)'(i⁽ⁱ_-^;_4(i,K

где нормирующие множители Л_t ф 0 выбраны из условия ft(Xj) = 5_tj, j, t Є N, S_tj - символ Кронекера;

9tW = / ft{z)dz\

P_t= вир(|АМЛ(А)|).

ReA>0

В параграфе 1.1 приводятся некоторые необходимые сведения из теории симметрично-нормированных идеалов компактных операторов. В параграфе 1.2 рассматривается понятие степени оператора Лапласа. В параграфе 1.3 вводятся аналитические функции /*(А) и доказывается их ограниченность в правой полуплоскости. Параграф 1.4 содержит оценки числовых рядов, используемых в дальнейшем. В параграфе 1.5 доказаны основные спектральные тождества для воз-

мущенного оператора Лапласа и его степеней.

Вторая глава посвящена решению обратных спектральных задач для возмущенного оператора Лапласа и его степеней, определенных на прямоугольных и многомерных областях краевой задачей Дирихле.

В параграфе 2.1 доказываются теоремы существования и единственности решения обратной задачи для возмущенной степени оператора Лапласа на прямоугольнике П = {(ж, у) : 0 < х < а, 0 < у < &}, а > О, Ъ > 0. Для решения задачи вводится множество Mi

функций р из пространства 1>2(П), обладающих свойствами (0.0.2),

Т\ аЪ (0.0.3) и свойством ||р||х₂(п) < —^—> а, также множество Мг функ-

ций р из 1*2(П), обладающих свойствами (0.0.2), (0.0.4), свойством

ІІРІІМП) < -у-

3 Теорема 2.1.1. Если/3 > - и для последовательности комплексных чисел {6}t^i выполняется неравенство

\

|6-А«|²<₅(1-"),

t=\

где ш = 3rS < 1, то в М\ существует единственный потенциал р такой, что для любого t Є N имеет место равенство p._t — &> где

Ы?₌₁ = о-(т + р).

Накладывая более жесткие требования на последовательность

{t}t?=i можно усилить этот результат.

3 Теорема 2.1.2 Если (3 > - и для последовательности комплекс-

пых чисел {mn}mn=i выполняется неравенство

('

₊

п—>оо

т,п=1

< ' I п.—кчп т—VOO

2\ 1/2

lim (_mn - A_mn) + У \ lim (_mn - A_mn) I < -=(1 - и),

|n-»oo I ^-'|m-»oo / л/2

m=l n=l ^v

где и = 3rS < 1, то в замкнутом множестве M₂ существует един-

ственный потенциал р такой, что для любых т, п Є N имеет место равенство \х_тп = _тп, где {^тп}т,п=1 = ^а(^Т + Р)-

В параграфе 2.2 доказывается теорема существования решения обратной задачи для возмущенного оператора Лапласа на прямоугольнике. Для решения задачи вводится множество Мз функций р из пространства L_0O(II), обладающих свойствами (0.0.2), (0.0.3) и свойством ||р||ьоо(П) < ТГ- Д^ля понижения степени (3 пришлось вме-сто последовательности {^t}^i использовать значения функции g_t в точках {^)^1- В результате была доказана следующая

Теорема 2.2.1. Если для последовательности комплексных чисел {t}^i существует подпоследовательность {q}^i С {at}^ такая, что выполняются неравенства

оо _я

t=l

mo б Мз существует потенциал р такой, что для любого t Є N имеет место равенство

|/ij|t |jl <с*

где{^)Т₌₁ = а{Т + Р).

Также доказывается

Теорема 2.2.2. Если ft > 1 и для последовательности комплексных чисел {Ct}t^i существует подпоследовательность {c_t}^Zi С

(i)w = 2r₀R²T^

{^at}t^i ^такая, что выполняются неравенства

/

_(")

_{Е »(&) - Е *м}

t=\

\Zj\ Aj

mo в Мз существует потенциал р такой, что для любого і G N имеет место равенство

Доказано, что последовательность {6}^і? удовлетворяющая условию (іі) существует.

В параграфе 2.3 доказывается теорема существования решения обратной задачи для возмущенной степени оператора Лапласа на п-мерном параллелепипеде П_п = {х = (хі,Х2,...,х_п) ' 0 < ^xj < a,j,j = 1,..., n}, a,j > 0. Для решения задачи вводится множество М± функций р из пространства 1^(П_п), обладающих следующими свойствами:

р(а_г-х_и х₂, ...,х_п) = p(xi,a₂-x₂, ...,х_п) = ...= р(х₁,х₂,..., а_п-х_п) = р(х1,х₂, ,х_п) для почти всех (#i, ж₂₎ , х_п) Є П_п, (0.0.5)

/.../ р(хі,х₂,... ,х_п) JJcosf — Jc?a;i...dx_n = 0 при

Д m,- = О, my = 0,1,..., (0.0.6)

lblUoo(n„) < у.

(0.0.7)

и рассматривается возмущенная степень оператора Лапласа на многомерном прямоугольном параллелепипеде, для которого доказана следующая

Теорема 2.3.1. Если(3 > — и для последовательности комплексных чисел {t}2:i существует подпоследовательность {(}^ С {at}^ такая, что выполняются неравенства

ОО о

(і) и = 2ⁿ~^lr_QR² J2 - < 1, t=i ^Q

П)

|j|лі<^с*

_(»)

t=l

то в М± существует потенциал р, такой, что для любого t Є N имеет место равенство

Y^ 9*М ⁼ Y1 ^(6)'

^Ы^1 = ^(Т + Р).

Третья глава посвящена решению обратных спектральных задач для возмущенного оператора Лапласа и его степеней, определенных на прямоугольных и многомерных областях краевой задачей

Неймана. При этом специфика рассматриваемой задачи позволила ослабить требования к последовательности {t}t^i- В каждом параграфе этой главы множества Мі (і = 1,2,3,4) определяются также как и в параграфах 2.1 — 2.3.

В параграфе 3.1 рассматривается возмущенная степень оператора

Лапласа на прямоугольнике и доказывается следующая

3 Теорема 3.1.1. Если /3 > — и для последовательности комплексных чисел {mn}mn=o выполняется неравенство

_{л Ей}

^ т,п=1

Amn|² < "(1 -W),

где и = 3rS < 1, то в Mi существует единственный потенциал р такой, что для любых т, п Є N имеет место равенство fi_mn = _тп, где{ц_тп}%_пя=0 = <т(Т + Р).

В параграфе 3.2 рассматривается возмущенный оператор Лапласа на прямоугольнике и доказывается следующая

Теорема 3.2.1. Если для последовательности комплексных чисел {6}f^i существует подпоследовательность {(}^ С {a*}^i

такая, что выполняются следующие неравенства

(і)и; = 2гоД²У^<1,

то в Мз существует потенциал р такой, что для t Є N, выбранного

в соответствии с нумерацией чисел Xt =

_{(и) Е'}

t=l

_{Е »й) - Е »&)}

<%(1-ш),

7Г²т²

а'

+ -^-, m,n Є N,

имеет место равенство

\fij\ \j\

2де{^}Г^=Сг(Т + Р).

Штрих у суммы обозначает, что суммирование ведется по тем t, для которых га, п > 0.

В параграфе 3.3 рассматривается возмущенная степень оператора Лапласа на многомерном прямоугольном параллелепипеде П_п, для

которой доказана следующая

п Теорема 3.3.1. Если (3 > — и для последовательности комплексных чисел {t}tli существует подпоследовательность {(н}^₌₁ С {a_t}%Li такая, что выполняются следующие неравенства:

(i)u = 2ⁿ-¹r₀R²Y'^

t=l \j\_t Xj

то в M~4 существует потенциал p такой, что для t ЄН, выбранпо-го в соответствии с нумерацией чисел X_t = У, 1 —2 ) > ^пР^ичем rrtj Є N_; имеет место равенство

\Hj\_t \tj\

где {Mi = o{T + P).

Штрих у суммы обозначает, что суммирование ведется по тем t, для которых TTij > 0.

Аппробация результатов. По теме диссертации опубликовано 20 работ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах

[89], [94], [95], [97] - [99], [103] - [105]. В совместных работах [97] -[99], [103] - [105]. В.А. Садовничему, В.В. Дубровскому, А.И. Седову принадлежит постановка задач. Получение конкретных результатов принадлежит диссертанту.

Результаты работы докладывались на Международной конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи"(г. Москва, МГУ, 2001), на Международной конференции "Дифференциальные уравнения в частных производных" (г. Алушта, 2003), на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, 2004), на Международной конференции по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2004), на Всероссийской конференции "Современные методы теории краевых задач"(г. Воронеж, 2004), на Всероссийской конференции "Современные проблемы теории функций и их приложения"(г. Саратов, 2004), на Всероссийской конференции "Современные проблемы физики и математики"(г. Стерлитамак, 2004), на Всероссийской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи"(г. Самара, 2005);

Результаты работы обсуждались на семинаре по спектральному анализу под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Дубровского В.В. (г. Магнитогорск, 2000 — 2002 г.г.); на научно-исследовательском семинаре под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Свиридюка Г.А. и кандидата физ.-мат. наук, доцента Седова А.И. в Магнитогорском государственном университете (г. Магнитогорск, 2002 — 2006 г.г.); на семинаре под руководством док-

тора физ.-мат. наук, профессора Султанаева Я.Т. в Башкирском государственном университете (г. Уфа, 2006); на семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Сабитова К.Б. и доктора физ.-мат. наук, профессора Ка-лиева И.А. в Стерлитамакской государственной педагогической академии (г. Стерлитамак, 2006).

Диссертационная работа была поддержана Министерством образования РФ и Правительством Челябинской области (шифры проектов 001.01.01.-04БМ, 001.01.01.-05БМ), грантом для аспирантов вузов Министерства образования РФ (шифр АОЗ-2.8-59), стипендией Президента Российской Федерации (2004 г.) и стипендией Законодательного собрания Челябинской области (2003 г.).

Благодарности. Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю кандидату физ.-мат. наук Седову Андрею Ивановичу и академику РАН, доктору физ.-мат. наук Садовничему Виктору Антоновичу за поставленные задачи, ценные советы и конструктивные замечания, ректорату, кафедре математического анализа и кафедре прикладной математики и вычислительной техники Магнитогорского государственного университета за поддержку и интерес к работе.

Работа посвящается светлой памяти моего отца Владимира Васильевича Дубровского

Оператор Лапласа и его степень

Для того чтобы оператор А Є 9\(7і) имел конечный матричный след необходимо и достаточно, чтобы А Є і оо Если А Є і, то сумма (Л , ) не зависит от выбора оргпо нормированного базиса {y j}JL\ пространства %. Эта сумма обозначается через SpA и называется [матричным) следом оператора А. Теорема 1.1.7. Если А, В Є і; то 1. Sp(aA + /ЗВ) = а SpA + /3 Sp5, a, 0 Є С. 2. SpA = SpA Теорема 1.1.8. Если А Є оо5 В Є9\, причем АВ Є і и ВА Є ь mo Sp(AB) = Sp(SA). Фундаментальное свойство ядерных операторов выражает Теорема 1.1.9. [43] (Лидский В.Б.) Если А Є і, то матричный след оператора А совпадает с его спектральным следом SpA = J2 №)- (1.1-8) з Теорема 1.1.10. [75, с. 260] Если А Є ь то \SpA\ \\А\\г. Теорема 1.1.11. [57] Если А — самосопряженный оператор, R(X,A) Є і, В — ограниченный в Ті оператор, {Xj} = а(А) {fij}JL1 — о {А + В), числа Xj занумерованы в порядке возрастания, а числа Hj занумерованы в порядке возрастания действительных частей, то п lim п— оо U=i = 0, (1.1.9) где {y?n} Li — ортонормироваппый базис в Ті из собственных векторов оператора А. Теорема 1.1.12. [54, с. 205] Если А Є 62; В є 9 то \\АВ\\2 ВЛ2иВЛа ВЛ2 Определение 1.1.9. [18] Спектральное миооїсество — такое подмножество спектра т(А), которое одновременно открыто и замкнуто в его относительной топологии. Каждому спектральному множеству о соответствует проектор (ср. с. (1.1.1)) E(a) = 2m T( R{X,A)dX. (1.1.10) где контур Г(сг) С р(А) содержит внутри себя только точки о.

Посредством соотношения (1.1.10) с каждым ограниченным оператором А, действующим в банаховом пространстве, связана спектральная мера Е, определенная на семействе спектральных множеств оператора А.

Теорема 1.1.13. [19, с.358] Пусть А — самосопряженный, вообще говоря неограниченный, оператор. Тогда его спектр действителен и существует однозначно определенная регулярная счетно аддитивная самосопряженная спектральная мера Е, определенная па борелевских множествах плоскости, обращающаяся в нуль па р(А) и связанная с оператором А соотношениями (i) DomA = \ х : х Є Ті, / X2(dE(X)x, x) соJa(A) XdE(X)x, x Є DomA. -n /

Определение 1.1.10. [19, с.361] Единственная спектральная мера, связанная с самосопряженным оператором. А так, как описано в теореме 1.1.13, называется разложением единицы для оператора А.

Теорема 1.1.14. [19, с.362] Пусть Е — разложение единицы для самосопряженного оператора А и f — комплексная борелевская функция, определенная почти всюду по мере Е на вещественной оси. Тогда f(A) — замкнутый оператор со всюду плотной областью определения. Более того (г) Domf(A) = L: f \f(X)\2(dE(X)x,x) оо j , / +оо f{X)(dE(X)x,-y), xedomA, уєП. -оо Следствие 1.1.1. Положив в качестве f степенную функцию f(x) = х 3, (З Є М+, определим степень оператора А : / +оо ХЧЕ(Х). (1.1.И) 1.2. Оператор Лапласа и его степень Пусть П = {{х,у) : 0 х а, 0 у 6}, где а О, Ъ 0. (1.2.1) а2 Будем предполагать, что — Є Ш \ Q. сг Пусть % = 1/2 (П) — сепарабельное гильбертово пространство со скалярным произведением (f,h) = // f(x,y)g(x,y)dxdy, генерирующее норму h = yj(h,h). В пространстве % рассмотрим оператор Лапласа То, определенный краевой задачей Дирихле -Av = Aw, v\dIl = 0, (1.2.2) где А — оператор Лапласа, дИ — граница П. Известно [19, с. 910], что оператор Лапласа, определенный краевой задачей Дирихле является дискретным, самосопряженным, положительным оператором.

Некоторые свойства одной числовой последовательности

Под единственностью представления понимается то, что последовательности {Cm}, {еп}, {г}тп} определяются однозначно и каждый член последовательности {vnm} может быть представлен в виде суммы соответствующих членов последовательностей {Cm}, {Єп}, {f]mn} Кроме того, из доказательства леммы 1.4.2 [28] следует представление: Cm = Ит vmn, т = 1, оо, п-юо еп = lim итп, п = 1,оо, т- оо mn = %n Sm n, 77., 72—1, 00. 1.5. Основные спектральные тождества Лемма 1.5.1. Пусть \\Р\\ г/2, где 0 г г0, тогда оператор Т + Р — дискретен и его собственные числа fit имеют такую otce кратность, что и А(, причем (і) если Ro(X) Є бд, то R(X) Є 5q, 1 q сю, (ii) если Xt Є С \ Ort, то fj,t Є С \ Ctrt. Доказательство. Рассмотрим очевидное операторное тождество, справедливое при всех А Є О: Т + Р - \Е = (Е + РДо(А))(Т - АЯ).

Так как Д0(А) = d a{T)Y Т ІРІ?о(Л)І1 Г - І Значит существует линейный ограниченный в { оператор оо (Е + РЛо(А))-1 = -l)fc(Pi?o(A)) , А:=0 причем ряд сходится по норме равномерно по А Є Пи (Е + РІ?о(А))-1 2. Тогда всюду на П, существует линейный ограниченный оператор Д(А) = (Т + Р- ХЕ) 1 = Д (А)(# + PR0{X))-\ (1.5.1) Отсюда по теореме 1.1.5 следует, что оператор R(X) Є q и для него справедливо разложение в сходящийся по норме ряд оо Д(А) = 2{-l)kRo{X){PR0(X))k, А Є П. (1.5.2) А;=0 Так как Я(Л) — компактный оператор в %, то оператор Т + Р дискретен. Норма разности проекторов Рисса, при любом t Є N 2тгг lrt (Д(А) - Ro(X))d\ J Я(Л).РІ?о(Л)МЛ 2 1, —2ттп1, 2-к го 2 поэтому в силу леммы 1.1.1 все корневые подпространства оператора Т + Р имеют такую же размерность, как и у оператора Т, т. є. являются одномерными. п Кроме того, если Xt Є С \ 0Гп то jj,t є С \ Q, Спектр а{Т + -Р) = {/ t} i будем также нумеровать по возрастанию его действительных частей с учетом алгебраической кратности. Теорема 1.5.1. Если (5 3/2, Р г/2, где О г г0, сг(Т) — однократный, то для любого t N имеет место спектральное тоэюдество: lit = \f\-(Pvt,vt) + at(p), (1.5.3) где а (р) = 2ттг 7rt (At - A)Sp Л(А)(рДо(Л)) dA. оо 1 Доказательство. Поскольку /5 3/2, то у — оо и RQ{X) Є — Af і, А Є О. Рассмотрим операторное тождество: Д(А) = Ло(А) - RQ(X)PR0(X) + Я(А)(РЛ0(А))2, А Є П. Возьмем след от обеих частей данного тождества, затем умножим А -А его на ——— и проинтегрируем по окружности 7rt- Тогда получим 27гг 2ттг 77rt - f (Af - A)Spfl(A)dA =2 / ( - A)Sp 0(A)c/A-1 Г (\t-\)Sp(R0(\)PRo{\))d\+ 2 77f4 (At-A)SP(i?(A)(Pi?0(A))2)dA.

Далее, воспользуемся теоремой В.Б. Лидского о равенстве матричного и спектрального следов ядерного оператора [43], и ортонор-мировашюстыо собственных функций операторов Т и Т-\-Р. Получим при всех А Є О оо оо Sptf(A) = YSR{\)uh,uk) = J2 —Ту (L5-4) к=1 fc=l fc 00 00 1 Spi o(A) = YYifc K ) = V -. (1.5.5) =i =i Afc A 00 -. 00 В силу сходимости рядов 2_] т гэ /J г и ограниченности fc=l Afc А fc=l А контура 7rt РЯДЫ в правых частях равенств (1.5.4), (1.5.5) сходятся равномерно по А из 7п при любом t Є N. Поэтому і(Л1-Л)ЗрЛ(Л),Л Л = -Е/ " А - А 27ГІ ti Ut к -A Аналогично, находим ±-( (А - A)SP#0(A)c/A = 0. 2ТЇІ ., -, in Используя равенство (R0(X)PRo(X)vt,vt) = ——и справедливі - А)2 вое при всех А Є Q, получаем Sp(R0(\)PRo(\)) = Y, ТГ І- (L5-6) Поскольку Ло(А) Є і, то ряд (1.5.6) сходится равномерно по А Є 17. Поэтому 1 27гг 7„ (А, - A)Sp(H0(A)PH0(A)) iA = -(Put, ut). D Аналогично доказывается следующая Теорема 1.5.2. Если /3 3/2, Р г/2, 0 г г0, г(Т) -однократный, то для любых т,п Є {0} U N имеет место спектральное тождество l mn == Лтп -\- \-LVrnnt Vmn) г Ctmn[P)i 1.0.1) где С тп(р) = 7Г - і і тп - A)Sp 2m J1П R(X)(PRo(X)) dX. Лемма 1.5.2. Справедливо неравенство РРо(А)2 4тЫ-Яо(А)2. yao Доказательство следует из равенства Pj = = и неравенства vab РДо(А)І2 Р-ЦД)(А)І2 [54, с. 205]. Лемма 1.5.3. Если \\Pj\\ r/2, j = 1,2, 0 г г0; то для любого t Є N имеет место неравенство \oLt(pi) - at{p2)\ —=:maxi?o(A) pi — p2 л/аЪ A 7rt Доказательство.

Обозначим Rj(X) = (T + Pj — ХЕ)-1, j — 1,2. Воспользуемся теоремой 1.1.10 и обозначениями теоремы 1.5.1. Оценим разность ЫРО -at(p2)\ = (Xt - A)Sp [Rl(X)(P1RQ(X))2 - Я2(А)(Р2Р0(А))2] d\ 7rt ті max ШХ Р.ЩХ))2 - R2{X){P2R0{X))% . АЄ7г4 При А Є 7rt имеем Ri(\)(PiRo(\))2 - R2(X)(P2R0(X))2 = (Ді(А) - Л2(А))(Р!Ло(А))2+ +P2(A) [Ріі2о(А)(Рі - Р2)Ро(А) + (Рі - Р2)Ро(А)Р2Ло(А)]. Далее имеем Лі(А) - ЩХ) = Рі(А)(Р2 - Рі)Р2(А) = = Ді(А)(Р2 - Pi)Ro(X) + Рі(А)(Р! - Р2)Р2(А)Р2Р0(А). Учитывая неравенство i2j(A) 2Р0(А), j = 1,2, лемму 1.5.2, получим max AG7rt ІДІСАХРІДОСА))2 - (AXPb oCA))2!!, тах(Ді(А) \\(Рг - Р2)Яо(А)2РіРо(А) Р1Д0(А)2+ +Ді(А) (Р2 - Рі)Ло(А)І2ІР2Л2(А) РіЛо(А) P 0(A)2+ +Ла(А) РіДо(А)2(Рі - Р2)Ро(А)2+ +Р2(А) (Рі -Р2)Ро(А)2Р2Ро(А)2) г поскольку — 1, то получим п Яг ( )-7=-тікЛо(А)ЙЬі-й. П V abrt ЛЄ7г4 Пусть Р — оператор умножения на вещественную функцию р Є Loo(n). Из [31, с. 186] известно, что норма оператора Р в % равна ЦР = ІИІоо, ГДЄ ІІРІІоо = eSS SUp \р(х,у)\. Из последовательности {at} i выберем подпоследовательность в 1 {ctj -i так, чтобы Vt Є N выполнялось неравенство 2_, — t=1 ct 2r0R2 где R = max Д0(А)2. Теорема 1.5.3. Если /3 = 1, \\Р\\ г0/2, о (Т) — однократный, то для любого t Є N имеет место спектральное тооюдество где at(p) = -- 1 J 9tWSp [P(A)(PP0(A))2] d\ Г = {А Є С : ReA = cj, Є N =і Л Доказательство. Поскольку /3 = 1, то Yj Т2 и Ro{X) Є @2 Л Є П. Рассмотрим операторное тождество Я(Л) = Я0(А) - Я0(А)РЯ0(А) + Я(Л)(РЯо(Л))2, Л Є П. Умножим его обе части на ——г-, проинтегрируем по прямой Г и 27гг найдем след. Получим SP -/ gt(X)R(X)dX = SP -/ (A)i2o(A)dA "Sp2 / 9t(X)R0(X)PRo(X)dX + Sp -. J gt(X)R(X)(PRo(X))2dX. В силу компактности Яо(А) и Я(А) [54, с. 270] имеем представление в виде ряда [31, с. 348] »( = Е ігЧ+ - л(д) = Е - 4+ew. ГХ Afc А і П _ Л где 14 и Qk — проекторы на собственные подпространства, соответствующие собственным числам А и //,

Возмущенный оператор Лапласа с потенциалом на пря моугольнике

В пространстве 7i = 2 (11) рассмотрим оператор Лапласа Т = Т0, определенный краевой задачей Дирихле (1.2.2). Область определения DomT = {v ЄН: Tv ЄН] плотна в U. Оператор T : DomT - U является дискретным, самосопряженным, положительным. В этом параграфе вместо нижнего индекса Ьоо(П) в обозначении нормы будем использовать индекс со. /ч л Л 22 2 m Собственным числам Amn = —-—1—-г— оператора Т соответ аг о1 ствуют ортонормированные в % собственные функции vmn(x,y) — 2 . сктх\ . /ппу\ —= sin sin —г— , т. п Є N. y/ab U / \ И

Будем предполагать, что а2/Ь2 иррациональное число, тогда спектр сг(Т) оператора Т однократный. Для удобства будем нумеровать упорядоченные по возрастанию величин собственные числа оператора Т и связанные с ними спектральные объекты одним натуральным индексом t. Рассмотрим вещественные функции р Є Т = - (П), обладающие следующими свойствами: р[х, Ь — у) — р(х, у) — р(а — х, у) для почти всех (х, у) Є П, (2.2.1) р(х, у) cos ( ) dxdy = п V а / / / р{х._ у) cos (- j dxdy = О, тп = 0, со, (2.2.2) ІІРІІоо j- (2.2.3) В качестве таких функций можно взять, например, функции го {2-птх\ {2itny\ — cos cos —-— , где m, n = 1, oo. 2 \ a J \ b J Обозначим через Мз — множество функций р Є Т, обладающих свойствами (2.2.1) — (2.2.3). Лемма 2.2.1. Множество Мз замкнуто в Т.

Доказательство, а). Рассмотрим множество М ъ = {р Є Т : р{х\у) — р(а — х,у)} и докажем, что оно замкнуто в Т. Введем линейный оператор В\ : F —» J- , B\p{x,\j) := р(а -х,у)- р(х, у), тогда ker Вх = М ъ. Докажем, что оператор В\ непрерывен. Рассмотрим Урі,р2 Є Т. Справедливы соотношения = ess sup \p1(a-x,y)-pi(x,y)-(p2{a-x,y)-p2(x,tj))\ {Х,У)ЄП ess sup [\pi(a-x,y)-p2(a-x,y)\ + \pi(x,y)-p2(x,y))\) {х,у)П v ess sup \p1{a-x,y)-p2(a-x,y)\ + ess sup \pi{x,y)-p2{x,y))\ = {x,y)eU (х,у)еП = \\pi(a-x,y) -P2(a-x,y)\\oo + \\pi(x,y) -р2(ж,у)оо = = 2рі(ж,у) - p2(x,у)\\оо 25 := є,

Тогда для \/є 0 35 = - : рх -p2U = #іРі - ір2оо є, т. є. Бі — непрерывный оператор и его ядро замкнуто. Значит множество М ъ замкнуто в Т. Аналогично доказывается замкнутость множества М ъ = {р Є J7 : Р(х,У) =р(х,Ь-у)} в Т. Ь). Рассмотрим множество Мз" \реТ \ II р(х, у) cos ( 7:тХ ] dxdy = 0, т = 0, со I. Докажем, что оно замкнуто в J7. Введем линейный функционал F\ Т — М, і \р := р(ж, у) cos I ) dxdy, тогда ker Fi = М ъ". Докажем, что функционал F\ ограничен, т. е. \F\p\ const\ Имеем [2ттх\ ш = / / Р{х, у) cos ( zi L_ j \l/2 " " /2-ктх\ І2 , Л // p(z,y)2d:rd2/J (// cos у J dxdy ess sup \p(x,y)\ab = абЦрЦоо. (х,у)єп Т. к. J7 — нормированное пространство, то из ограниченности функционала Fi следует его непрерывность. Значит, множество M z" замкнуто в Т. Аналогично доказывается замкнутость множества Ml = р Є Т : / / р(х, у) cos ( - \ dxdy = О, п = 0,оо I в пространстве Т. с). Рассмотрим множество Мд = \р : роо -, которое, очевидно, замкнуто в Т. Таким образом, множество Мъ = М ъ{\МЦf]Mg f]М3 flА з замкнуто в Т.П Обозначим через и4 = \(х,у) : 0 х —,0 у - вспо v Zi Zi s могательныи прямоугольник и введем полную, ортонормированную в пространстве Q = 1/2 (ГЦ), систему функций, определенную выражением (2.1.6).

Возмущенный оператор Лапласа с потенциалом на пря моугольнике

В этом параграфе" нижний индекс в обозначениях скалярного произведения (-,-) и нормы 11 будем опускать, если И = 2(П), где П определяется выражением (1.2.1). а2 _ Будем предполагать, что —г Є R \ Q. о2, В пространстве % рассмотрим оператор Лапласа То, определенный краевой задачей Неймана dv —Av = Xv, _ dv = 0, - (3.1.1) an где Л — оператор Лапласа, v — нормаль к границе дїї прямоугольника П. Оператор То является дискретным, самосопряженным, неотрицательным. /оо Введем оператор Т = / \pdE{\), где Е(Х) — спектральное разложение единицы оператора То, Р 0, Хр 0 при Л 0. Область определения оператора DomT = {v Є Ті : Tv Є Ті] плотна в Ті. 7T2m2 7Г2П2\ Нетрудно показать, что собственным числам Лтоп = — Ь „ . \ а2- Ъ2 J оператора Т соответствуют ортонормированные в % собственные і / \ 2 fnmx\ /тгш/\ функции vmn{x, у) = cos ( J cos ( —- J , m,n = 0, oo.

Поскольку а2/Ь2 иррациональное число, тогда легко показать, что спектр сг(Т) оператора Т однократный. Для удобства будем нумеровать упорядоченные по возрастанию величин собственные числа оператора Т и связанные с ними спектральные объекты одним натуральным индексом t. Рассмотрим вещественные функции р Є Ті, обладающие следующими свойствами: р(х, Ъ — у) = р(х, у) = р(а — х, у) для почти всех (я, у) Є П, (3.1.2) Я ( тгтпх \ р{х, у) COS ( J dxdy = — I I p(x, у) cos I —-— ) dxdy = 0, m = 0, oo, (3.1.3) ,, ,, ry/ab . л AS ІІРІІ -у-- (3.1.4) Обозначим через M\ множество функций из Ті, обладающих свойствами (3.1.2) - (3.1.4). оо 1 Поскольку при /3 1 ряд У, т г сходится, то для любого Л Є р(Т) резольвентный оператор RQ(X) Є і. Согласно лемме 2.1.1 множество Mi замкнуто в ТЇ.

Обозначим через П4 = { (х,у) : 0 х -, 0 у -\ вспо-могательный прямоугольник и введем полную, ортопормированную в пространстве Q = 2(П4), систему функций { Ртп}т,п=0 . . , 2-ктх 2тгпу Vmn[X, У) = hmn cos cos —г—, (3.1.5) h 4 и h 2 і і, 2 ТЯ где nmn = —=; nQn = nm0 = —7=, m,n = 1, oo; fi00 = —=. Иногда будем нумеровать эти функции одним натуральным индексом: , . . 2-ктх 2ппу /п . (pt(x, у) = hmn cos cos ——, (3.1.6) (X (J /тг2т2 тг2п2\ в соответствии с числами Xt — — 1——— , занумерованными \ az bz J в порядке возрастания. Теорема 3.1.1. Если (3 - и для комплексной последовательности {mn}mn=o выполняется неравенство vab x/ab л/аЬ Г \ XI 16 гпп\2 «(1 - ), ТП.П—1 где и = 3rS 1, mo в Mi существует единственный потенциал р такой; что для любых т, п Є N имеет место равенство: fimn = fmn, Замечание 3.1.1. Множество последовательностей {(ш}"п_ о непусто. Например, в качестве {mn}mn=o можио взять последова 1\ г 1 \ 1 тельность лтп + -. -г- , где а —, є - малое число. I (тп + !)" J m,n=0 2 Доказательство. В гильбертовом пространстве Q рассмотрим уравнение относительно р: р = а0-а(р), (3.1.7) где оо а0 = Vab 2_ {тп - Amn)y?mn, m,n=l оо а(р) = Vab 2 атп(р) Ртп-т,п=1 В силу условия теоремы ао Є Q. оо Из разложения р = Y_, (jPiVmnjg Ртп, вытекает, что все т,п=1 функции, удовлетворяющие уравнению (3.1.7), обладают свойством (3.1.3). Пусть М[ — множество функций из Я, обладающих свойством (3.1.3) с интегрированием по Щ и (3.1.4). Аналогично лемме 2.1.1 можно показать, что множество М[ замкнуто в пространстве Q. Покажем, что уравнение (3.1.7) имеет единственное решение ро Є М[. Введем оператор А : М[ С Q - Q, определяемый равенством:

Похожие диссертации на Обратные задачи спектрального анализа для некоторых дифференциальных операторов в частных производных

Обратная задача спектрального анализа для некоторых сингулярных дифференциальных операторов второго порядкаТипко, Алексей Николаевич

Спектральный анализ дифференциальных операторов с нерегулярными краевыми условиямиКубенова, Шолпан Ивановна

Самосопряженность и вопросы спектрального анализа дифференциальных операторов эллиптического типа Брусенцев Александр Григорьевич

Анализ дифференциальных операторов на многообразиях со слоением Кордюков Юрий Аркадьевич

Спектральный анализ одного класса дифференциальных операторов типа Штурма-Лиувилля с негладкими коэффициентамиДжабраилова, Лейла Мусаевна

Спектральный анализ одного класса несамосопряженных дифференциальных операторов Оруджев Ашраф Давуд оглы

Обратная спектральная задача для операторов Штурма-Лиувилля с разрывными коэффициентамиСедипков, Айдыс Алексеевич

Спектральные задачи для оператора смешанного типа с сингулярным коэффициентом и применения Ильясов Радик Рафикович

О спектре оператора, возникающего в задаче об устойчивости волн на глубокой водеХабахпашева, Татьяна Ивановна

Краевые задачи с обобщенными операторами дробного интегродифференцирования для уравнений гиперболического и смешанного типов Гайсина Лилия Рамильевна