Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Композиционные свойства обобщенных операторов дробного интегродифференцирования с гипергеометрической функцией в ядре ... 19
1.1. Обобщенные операторы дробного интегродифференцирования .. 19
1.2. Преобразование Меллина 21
1.3. Вывод композиционных свойств 26
1.3.1. Формулы-композиции для оператора 1^' ^'' f(x) 26
1.3.2. Формулы-композиции для оператора Iа' f(x) 31
Глава 2. Локальные и нелокальные задачи для гиперболических уравнений 36
2.1. Задачи Дарбу и краевые задачи для уравнения гиперболического типа с сингулярным коэффициентом 36
2.1.1. Постановказадач
2.1.2. Решение задач Дарбу 38
2.1.3. Разрешимость задач с обобщенным оператором дробного интегродифференцирования в краевом условии 45
2.2. Нелокальные задачи с интегральным условием 52
2.2.1. Постановка задач и решение задачи Коши 52
2.2.2. Сведение задачи 1 к интегральному уравнению 56
2.2.3. Разрешимость задачи II . 65
Глава 3. Нелокальные задачи для уравнения смешанного типа в неограниченной области 71
3.1. Постановка задач Т] и Т2 71
3.2. Эллиптические задачи 79
3.2.1. Решение задачи Г, в области эллиптичности 79
3.2.2, Решение задачи Т2 в области эллиптичности 82
3.3. Единственность решений задач 7", и Т2 84
3.4. Существование решения задачи Тх 87
3.5. Существование решения задачи Т2 95
Заключение 100
Литература 101
- Обобщенные операторы дробного интегродифференцирования
- Задачи Дарбу и краевые задачи для уравнения гиперболического типа с сингулярным коэффициентом
- Разрешимость задач с обобщенным оператором дробного интегродифференцирования в краевом условии
- Решение задачи Г, в области эллиптичности
Введение к работе
Теория краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов является одним из важнейших разделов современной теории дифференциальных уравнений в частных производных. Практический интерес к данной области связан с применением уравнений гиперболического и смешанного типов в газовой динамике трансзвуковых течений, в математической биологии, в теории лазерного излучения, в теории упругости, в теории оболочек, в теории плазмы и других разделах науки и техники.
Впервые на важность уравнений смешанного типа обратил внимание С.А. Чаплыгин в 1902 году в работе «О газовых струях». Он показал, что движение газа в условиях перехода от до звуковой к сверхзвуковой скорости описывается уравнением смешанного типа, которое в настоящее время называется уравнением Чаплыгина.
Следующим этапом в развитии исследований в теории уравнений смешанного типа явились работы Ф.И. Франкля [79,80], в которых он разработал важные практические применения задач для уравнений смешанного типа в газовой динамике. Так, если рассмотреть задачу перехода через звуковой барьер установившихся двухмерных без вихревых течений идеального газа в соплах, когда сверхзвуковые зоны примыкают к стенкам сопла вблизи минимального сечения, то она сводится для линейных уравнений смешанного типа с частными производными второго порядка, в упрощенной постановке, к задаче Трикоми.
В 60-х годах прошлого столетия А.В. Бицадзе была выдвинута проблема поиска корректно поставленных краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя независимыми переменными, когда все точки гиперболической части границы равноправны как носители граничных условий.
Важную роль при решении данной проблемы сыграли исследования A.M. Нахушева. В 1969 году A.M. Нахушев предложил ряд нелокальных задач нового типа [52,54], которые явились непосредственным обобщением задачи Трикоми и вошли в математическую литературу под названием краевых задач со смещением. В отличие от задачи Трикоми здесь задается условие, связывающее значение искомого решения или его производной, вообще говоря, дробной, в трех точках, две из которых лежат на граничных характеристиках из разных семейств, а третья - на линии вырождения уравнения.
Подобные граничные условия возникают при изучении вопросов тепло и массообмена в капилляро-пористых средах, математическом моделировании задач газовой динамики, теории плазмы, излучения лазера, при изучении процессов размножения клеток, в теории распространения электромагнитного поля в неоднородной среде [58]. В направлении развития теории краевых задач со смещением появилась серия работ A.M. Нахушева [52-54,57,58], В.КЖегалова [25], В.Ф. Волкодавова [16-17], М.М.Смирнова [75,76], М.С. Салахитдинова и Б. Исломова [73], Т.Д.Джураева [23], Е.И.Моисеева [48], С.К.Кумыковой [36], О.А.Репина [63-69], А.А.Андреева [5], их учеников и последователей.
Первые работы по исследованию задач со смещением в краевых условиях содержали классические операторы Римана-Лиувилля. Естественным обобщением этих операторов являются операторы, введенные Э.Лавом (E.R.Love,Австралия) [85,86], А.Мак-Брайдом (A.C.McBride, Англия) [87], М.Сайго (M.Saigo, Япония) [90].
Д.Аманов [4], Б.Исломов [28], А.Хасанов [81], С.И.Макаров [41,42] изучали задачи с нелокальными краевыми условиями, содержащими операторы, введенные Э.Лавом, для уравнения с двумя линиями вырождения в случае, когда порядок вырождения различен.
Краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений с нелокальными краевыми условиями, содержащими операторы Сайго, рассматривали М.Сайго [88-93], О.А.Репин [63-69]. В работе А.А.Андреева и Е.Н.Огородникова [5] получены законы композиций для операторов М.Сайго на матричный случай и исследованы нелокальные краевые задачи для вырождающихся систем гиперболического типа, где широко используются операторы Римана-Лиувилля, Эрдейи-Кобера, М.Сайго в матричном представлении.
В совместных работах М.Сайго, А.А.Килбаса и О.А.Репина [84,88] рассмотрены краевые задачи, содержащие операторы в смысле М.Сайго для уравнения Бицадзе-Лыкова и параболо-гиперболических уравнений.
И все-таки, в настоящее время, нелокальным задачам, содержащим обобщенные операторы дробного интегродифференцирования посвящено меньше работ, чем задачам с граничными условиями, содержащими классические операторы. В связи с этим исследование таких задач является важным и актуальным.
Настоящая диссертация посвящена изучению новых нелокальных и локальных краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов с вырождением первого и второго рода. Поставленные и исследованные в работе задачи характерны тем, что содержат в краевых условиях производные и интегралы дробного порядка с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре.
Методы исследования. В работе используется аппарат специальных функций, методы теории интегральных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными, операторов дробного интегродифференцирования, известные принципы экстремума для гиперболических и смешанных уравнений.
Научная новизна. Результаты работы примыкают с одной стороны к направлениям, связанным с краевыми задачами для уравнений гиперболического и смешанного типов, с другой — к направлению, связанному с теорией дробного интегродифференцирования.
1. Получены новые формулы для композиций обобщенных операторов дробного интегродифференцирования, которые широко применяются при решении задач со смещением.
2. Исследованы новые нелокальные краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов.
Положения, выносимые на защиту:
1. Новые композиционные свойства для интегралов и производных дробного порядка с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре, полученные на основании аппарата специальных функций и преобразования Меллина.
2. Постановка и исследование новых нелокальных задач для уравнений гиперболического и смешанного типов, краевые условия которых содержат обобщенные операторы дробного интегродифференцирования. 3. Доказательство существования и единственности решений задач со смещением на основании метода редукции этих задач к сингулярным интегральным уравнениям или интегральным уравнениям Вольтерра и Фредгольма.
Практическая и теоретическая ценность. Результаты работы носят теоретический характер и являются важным вкладом во внутреннюю завершенность соответствующего раздела дифференциальных уравнений с частными производными; они могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов, а также для решения прикладных задач, приводящихся к таким уравнениям.
Апробация работы. По теме диссертации опубликовано одиннадцать печатных работ. Результаты исследований докладывались и обсуждались на X Научной межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2000г.), на Международной конференции молодых ученых «Актуальные проблемы современной науки» (Самара, 2000г.), на XXVII Самарской областной студенческой научной конференции (2001г.), на Международной конференции «Математическое моделирование, статистика и информатика в современном управлении экономикой» (Самара, 2001г.), на V Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2002г.), на Всероссийской Научной конференции «Математической моделирование и краевые задачи» (Самара, 2004г.), на семинарах кафедры «Прикладная математика и информатика» Самарского государственного технического университета (руководитель — профессор, доктор физико-математических наук В.П.Радченко, 2003-2004гг.), на научных семинарах кафедр МА, ПМиИ и ТФ физико-математического факультета Стерлитамакского государственного педагогического института (руководитель - профессор, доктор физико-математических наук К.Б.Сабитов, 2004г.), на научном семинаре Института механики УНЦ РАН (руководители - профессор, доктор физико-математических наук С.В.Хабиров, профессор, доктор физико-математических наук Т.А.Акрамов, г.Уфа, 2004г.).
Диссертация состоит из введения, трех глав и девяти параграфов. В каждой главе своя нумерация параграфов, а в каждом параграфе своя нумерация формул и теорем.
Первая глава посвящена изучению свойств обобщенных операторов дробного инте гро дифференцирования и получению различных формул-композиций для них.
Автор диссертации выражает глубокую благодарность научному руководителю - профессору, доктору физико-математических наук Олегу Александровичу Репину за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также профессору, доктору физико-математических наук Камилю Басировичу Сабитову за ценные замечания.
Обобщенные операторы дробного интегродифференцирования
Теория краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов является одним из важнейших разделов современной теории дифференциальных уравнений в частных производных. Практический интерес к данной области связан с применением уравнений гиперболического и смешанного типов в газовой динамике трансзвуковых течений, в математической биологии, в теории лазерного излучения, в теории упругости, в теории оболочек, в теории плазмы и других разделах науки и техники.
Впервые на важность уравнений смешанного типа обратил внимание С.А.Чаплыгин в 1902 году в работе «О газовых струях». Он показал, что движение газа в условиях перехода от дозвуковой к сверхзвуковой скорости описывается уравнением смешанного типа, которое в настоящее время называется уравнением Чаплыгина.
Первыми систематическими исследованиями в области уравнений смешанного типа являются работы Ф. Трикоми. В работе [78] он рассмотрел теперь хорошо известную задачу Трикоми - задачу отыскания решения уравнения смешанного типа с двумя переменными принимающего заданные значения на эллиптической части а границы dD области D задания уравнения и на одной из двух характеристик АС или ВС образующих гиперболическую часть Г = AC U ВС границы dD = a U Г. Результаты Ф. Трикоми в тридцатые годы обобщил С. Геллерстедт [83]. Для уравнения где т - натуральное нечетное число, С. Геллерстедт исследовал задачи, краевые условия которых задаются на двух кусках характеристик различных семейств, выходящих из внутренней точки линии вырождения уравнения или на кусках этих характеристик. Используя идею Ф, Трикоми, С. Геллерстедт свел решение этих задач к вопросу разрешимости сингулярных интегральных уравнений.
Следующим этапом в развитии исследований в теории уравнений смешанного типа явились работы Ф.И. Франкля [79,80], в которых он разработал важные практические применения задач для уравнений смешанного типа в газовой динамике. Так, если рассмотреть задачу перехода через звуковой барьер установившихся двухмерных безвихревых течений идеального газа в соплах, когда сверхзвуковые зоны примыкают к стенкам сопла вблизи минимального сечения, то она сводится для линейных уравнений смешанного типа с частными производными второго порядка, в упрощенной постановке, к задаче Трикоми.
В 60-х годах прошлого столетия А.В. Бицадзе была выдвинута проблема поиска корректно поставленных краевых задач для уравнений смешанного типа с двумя независимыми переменными, когда все точки гиперболической части границы равноправны как носители граничных условий.
Важную роль при решении данной проблемы сыграли исследования A.M. Нахушева. В 1969 году A.M. Нахушев предложил ряд нелокальных задач нового типа [52,54], которые явились непосредственным обобщением задачи Трикоми и вошли в математическую литературу под названием краевых задач со смещением. В отличие от задачи Трикоми здесь задается условие, связывающее значение искомого решения или его производной, вообще говоря, дробной, в трех точках, две из которых лежат на граничных характеристиках из разных семейств, а третья - на линии вырождения уравнения.
Подобные граничные условия возникают при изучении вопросов тепло и массообмена в капилляро-пористых средах, математическом моделировании задач газовой динамики, теории плазмы, излучения лазера, при изучении процессов размножения клеток, в теории распространения электромагнитного поля в неоднородной среде [58]. В направлении развития теории краевых задач со смещением появилась серия работ A.M. Нахушева [52-54,57,58], В.КЖегалова [25], В.Ф. Волкодавова [16-17], М.М.Смирнова [75,76], М.С. Салахитдинова и Б. Исломова [73], Т.Д.Джураева [23], Е.И.Моисеева [48], С.К.Кумыковой [36], О.А.Репина [63-69], А.А.Андреева [5], их учеников и последователей.
Первые работы по исследованию задач со смещением в краевых условиях содержали классические операторы Римана-Лиувилля. Естественным обобщением этих операторов являются операторы, введенные Э.Лавом (E.R.Love,Австралия) [85,86], А.Мак-Брайдом (A.C.McBride, Англия) [87], М.Сайго (M.Saigo, Япония) [90].
Д.Аманов [4], Б.Исломов [28], А.Хасанов [81], С.И.Макаров [41,42] изучали задачи с нелокальными краевыми условиями, содержащими операторы, введенные Э.Лавом, для уравнения с двумя линиями вырождения в случае, когда порядок вырождения различен.
Краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений с нелокальными краевыми условиями, содержащими операторы Сайго, рассматривали М.Сайго [88-93], О.А.Репин [63-69]. В работе А.А.Андреева и Е.Н.Огородникова [5] получены законы композиций для операторов М.Сайго на матричный случай и исследованы нелокальные краевые задачи для вырождающихся систем гиперболического типа, где широко используются операторы Римана-Лиувилля, Эрдейи-Кобера, М.Сайго в матричном представлении.
В совместных работах М.Сайго, А.А.Килбаса и О.А.Репина [84,88] рассмотрены краевые задачи, содержащие операторы в смысле М.Сайго для уравнения Бицадзе-Лыкова и параболо-гиперболических уравнений.
Задачи Дарбу и краевые задачи для уравнения гиперболического типа с сингулярным коэффициентом
Перейдем к исследованию ядра сингулярного интегрального уравнения (3.40). Сначала построим функцию H0(x,t), имеющую те же линии особенностей, что и функция H(x,t), и такую, что сингулярное интегральное уравнение с ядром H0(x,t)допускает решение в замкнутом виде, а затем покажем, что сингулярное уравнение (3.40) приводится к уравнению Фредгольма. В качестве ядра HQ (х, t) возьмем выражение
Воспользовавшись разложением ctgz на простейшие дроби [38,с.402] перепишем уравнение (3.40) в виде Совершив замену z = sin3-—, = sin2—, TJ(Z) = JJ(X), S(z) = q(x), c\{z) = c2(x) сведем уравнение (3.41) к уравнению Уравнение (3.42) является характеристическим сингулярным уравнением на конечном отрезке [ОД]. Вычислим его индекс, используя результаты и обозначения [74]. Для отыскания индекса уравнения (3.40) составим функцию и предполагая, что функция fi(x) удовлетворяет условиям Известно [20], что, если для уравнения (3.40) выполняется условие с2 (JC) + d2 0(jt/) и индекс х = 0, то для него существует регуляризатор, приводящий к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Отсюда и из единственности искомого решения вытекает существование решения нашей задачи. Таким образом, справедливо следующее утверждение. #)(0) = 0, с2 (x) + d2 0(xE:J). Тогда обобщенное решение U(x,y)E:R2 задачи Т2 для уравнения (3.1) существует и оно единственно. заключение Выполненные в настоящей диссертационной работе исследования позволяют сформулировать следующие основные результаты: 1. С помощью аппарата специальных функций получены формулы композиций для интегралов и производных дробного порядка с гипергеометрической функцией Гаусса в ядре. Даны приложения композиционных свойств этих операторов при решении краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типов. 2. Для гиперболических уравнений поставлены и исследованы новые краевые задачи, характерной особенностью которых является наличие в условиях обобщенных операторов дробного интегродифференцирования. 3. Изучены задачи для уравнения смешанного типа, в которых с помощью обобщенных операторов дробного интегродифференцирования задается линейная комбинация, связывающая след искомой функции на линии перехода и ее же след на характеристике уравнения. Доказаны существование и единственность решений этих задач с помощью метода редукции этих задач к сингулярным интегральным уравнениям. Методы и результаты работы могут быть использованы в теоретических исследованиях в таких математических дисциплинах, как дробное исчисление, дифференциальные и интегральные уравнения, при решении краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными, а также при исследовании конкретных задач математической физики.
Разрешимость задач с обобщенным оператором дробного интегродифференцирования в краевом условии
Аналогично пЛ.3.1, используя лемму 1.2, получены тридцать шесть формул-композиций для операторов I "j77fp / К ). Эта композиционные свойства представляют самостоятельный интерес, так как могут использоваться при решении задач с обобщенными операторами интегродифференцирования в краевых условиях. Вторая глава посвящена краевым задачам для уравнений гиперболического типа. В 2.1 рассматривается уравнение Поставлены и изучены следующие задачи. Задача Дарбу I. Найти функцию U(x, у), удовлетворяющую условиям где у/(х),т(х) - заданные достаточно гладкие функции. Задача Дарбу П. Найти функцию U(x,y), удовлетворяющую условиям (5), (6), (7), и, кроме того, / 1 \2р где y/(x),v(x) - заданные достаточно гладкие функции. Задача III. Найти функцию U(x,y), удовлетворяющую условиям (5), (6), (8) и, кроме того, точка пересечения характеристики, выходящей из точки (д:,0) с характеристикой AC; A ,A2,avfa- постоянные коэффициенты;у/(х) т(х) -заданные достаточно гладкие функции. Задачи IV. Найти функцию U(x,y), удовлетворяющую условиям (5), (6), (9), и, кроме того, AJZ -Vtoix)] = А,(Г0 х т\х) + р(х), О х , где т(х) = U(x,0), при OSATSI; A3,A4,a2,fiz -постоянные коэффициенты; (р(х), v(x) - заданные достаточно гладкие функции. Определение 2.1. Регулярным в Q решением уравнения (4) назовем функцию U(x, у), удовлетворяющую следующим условиям: U(x,y)eC(Q)CiC2(Q), LU(x,y) = Q, {х,у)ЄП. Лемма 2.1. Если т(х) ЄС[0Д] ПС2 (ОД), у(х)ЄС2(0Д) и в точках х-О, я: = 1 имеет особенность порядка меньше, чем 1 - р, то решение задачи Коши для уравнения (4) является регулярным в Q [8], [30]. Определение 2.2. Функцию lf( ,fj) назовем обобщенным решением в Q уравнения (4), если существует последовательность {Uk( ,rf )} регулярных в Q решений с начальными данными тк(), vA( ), которая равномерно в Q сходится к функции {/(,?/), где тк( ) на [ОД] и vA() на (ОД) сходятся равномерно соответственно к г() и v( ). Лемма 2.2. Если г()ЄС[ОД], v()GC(0,l) и в точках х = 0, х=Х имеет особенность порядка меньше, чем 1-», то обобщенное решение дифференциального уравнения (4) существует. Решения поставленных задач ищутся в классе обобщенных решений. В п.2.1,2. задачи Дарбу I и II сводятся «в смысле однозначной разрешимости» к уравнениям Вольтерра второго рода. Получены формулы связи между решениями задач Коши и Дарбу для уравнения (4) в явном виде, и доказаны следующие утверждения. Теорема 2.1. Если г(х)ЄС[0,і], (х)ЄС[0,і], то задача Дарбу I для уравнения (4) имеет единственное обобщенное решение. Теорема 2.2. Если v( )GC(0,l), у(х) Є С (0,1), то задача Дарбу II для уравнения (4) имеет единственное обобщенное решение. Отметим, что К.Б.Сабитовым [71] были установлены формулы связи между решениями первой и второй задачами Дарбу и между решениями задач Коши и Дарбу для телеграфного уравнения. Вероятно, такие связи имеют место и для других уравнений, хотя, как было отмечено А.М.Нахушевым [58] такие формулы связи не всегда существуют: «Из корректности задачи Коши не следует, вообще говоря, корректность соответствующих задач Дарбу, если порядок вырождения уравнения больше или равен двум». Задачи III и IV примечательны тем, что в их краевых условиях задана линейная композиция обобщенных операторов дробного интегродифференцирования. В п.2.1.3. данные задачи сводятся «в смысле однозначной разрешимости» к решению интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Доказаны следующие утверждения. Теорема 2.3. Если г(і)ЄЯА [ОД], у/(х)ЄН [ОД], 1 -2р А, ; 1, 1 + а,- р Х2 .\, 0 а, р, Д 1э то задача III для уравнения (4) имеет единственное обобщенное решение. Теорема 2.4. Если г(х)ЄЯ (0Д), (р(х)ЄНя (0,1), а2 + р АА 1, 0 а2 р, рг "і - р, то задача IV для уравнения (4) имеет единственное обобщенное решение. В 2.2. рассматривается уравнение где — a l, 1 /? —, в области D, ограниченной характеристиками АС: х+ у =0, у s 0, ВС: VJC + -J- у = 1 и отрезком [ОД]. Характерной особенностью задачи является наличие в краевом условии обобщенного оператора дробного интегродифференцирования, с помощью которого связывается след искомого решения на характеристике и нормальная производная на линии вырождения уравнения.
Решение задачи Г, в области эллиптичности
Рассмотрим уравнение в области D, ограниченной полупрямыми х = 0, д: = 1 с концами в точках А(0,0) и В(1,0)} расположенными в полуплоскости у 0, и характеристиками АС: х + у = 0; ВС: х - у =1 уравнения (3 Л), выходящими из точек А, В и пересекающимися в точке С (l/ 2,-1/2).
Рис.3.1 Примем следующие обозначения Dx = D П {у О}; D2 = D П {у О}; J единичный интервал 0 х 1 прямой у=0; 0(х) - аффикс точки пересечения характеристики уравнения (3.1), выходящей из точки (х,0), xEiJ с характеристикой АС. Для уравнения (ЗЛ) изучим следующие нелокальные краевые задачи. Задача Тх (0 2J? 1). Найти функцию U(x,y), удовлетворяющую следующим условиям U(x,y)(=C(D) П Cl(D\j)n C2(D \j), LU(x,y) MO, (x,y) ED, lim U(x, y) = 0 равномерно по x Є J , lim y2 U,(x,y)- ШІ-уГ ІІ у), хЄІ, y- U+U у—»-0- заданные функции, a, b, Л-,, A2, A3 - некоторые постоянные. Задача T2 (-1 2р 0). Найти функцию U(x,у), удовлетворяющую следующим условиям U(x,y)C(D)nC (p\j)r\C2(D\j), LU(x,y) шО, (x,y)D, lim U(x, у) = 0 равномерно по х Є / , где v_(x)= lim (-y)2pUЛх,у), T(X) = U(X,0), qx{y),q2{y),a(x),(a(x)- задан ные функции, я, Ь, Ах, А2 , А3 - некоторые постоянные. Данная работа является продолжением исследований подобных задач, рассмотренных в [40]. Изучим задачу Тх в области гиперболичности. В этой области уравнение (3.1) принимает вид 0. (3.4) .V Для уравнения (3.4) в области D2 выпишем решение видоизмененной задачи Коши с условиями: z(x)-U(xQ), хЄУ, В характеристических координатах = х + у, г} = х- у уравнение (2.86) принимает вид с,-"Г-( - ) = 0- (3.5) Решение видоизмененной задачи Коши с условиями , ЄУ, для уравнения (3.5) в области D, определяется формулой [58] Определение 3.1. Регулярным в D решением уравнения (3.1) назовем функцию U(x,y), удовлетворяющую следующим условиям: U(x,y)&C(D)nC2(D), LU(x,y) = 0, (х,у)ЄО. Лемма 3.1. Если г(х)ЄС[0,Г] ПС2(0,1), v(x)GC2(0,\) и в точках jc-0, х - 1 имеет особенность порядка меньше, чем 1 - р, то решение задачи Коши (3.6) является регулярным в D решением уравнения (3.1) [76]. Определение 3.2. Функцию U(g,jf) назовем обобщенным решением в D уравнения (3.1), если существует последовательность {U (.( ,Г])\ регулярных в D решений с начальными данными тк(%\ v ( ?) которая равномерно в D сходится к функции /(,//), где тк( ) на [0,1] и vk() на (0,1) сходятся равномерно соответственно к г() и v(). Лемма 3.2. Если г()ЕС[0Д], у()ЄС(0Д) и в точках х = 0, х = 1 имеет особенность порядка меньше, чем 1-р, то обобщенное решение (3.6) дифференциального уравнения (3.1) существует. Доказательство аналогично доказательству леммы 2.2. Лемма 3.3. Если т(х) Є Я [О Д], 11 1-р, v(;t)Gtf (0,1), Л2 р, то обобщенное решение уравнения (3.1) обладает следующими свойствами: U(x,y)eC(D)nCi(D2UJ) lim у lpU v (х, у) = v(x) для всех д; Є (ОД). Такое обобщенное решение принадлежит классу J?,, введенному К.И.Бабенко [б]. Доказательство. Так как функции г (лг) Є Я [0 Д], Л, 1 - р, у(х)ЄН (ОД), Л2 р, то их можно представить в виде v(x) = v(0) +f(t - s)p Uy{s)ds. где є 0 достаточно мало, a p(s\\j/(s)ЄС[0Д]. Подставляя эти равенства в формулу (3.6), меняя порядок интегрирования и используя интегральное представление гипергеометрических функций, получаем
