Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Построение экспоненциальной характеристики линейных дифференциальных уравнений 19
1.1. Экспоненциальная характеристика обыкновенного линейного дифференциального уравнения п -го порядка 21
1.2. Экспоненциальная характеристика линейного дифференциального ч уравнения 1-го порядка в банаховом пространстве 40
1.3. Экспоненциальная характеристика одного линейного дифференциального уравнения в частных производных 57
Глава 2. Построение экспоненциальной характеристики интегрального оператора Вольтерра. Применение 78
2.1. Построение экспоненциальной характеристики интегрального оператора Вольтерра и линейного интегрального уравнения Вольтерра второго рода с ядром типа функции Коши 83
2.2. Экспоненциальная характеристика линейного дифференциально-разностного уравнения 105
2.3. Экспоненциальная характеристика интегрального оператора Вольтерра с ядром, имеющим различный порядок роста по каждой из двух переменных 121
2.4. Экспоненциальная характеристика интегрального оператора Вольтерра с ядром, зависящим от 2л переменных. Применение к линейному дифференциальному уравнению гиперболического типа 139
Заключение ..166
Библиографический список использованной литературы 167
- Экспоненциальная характеристика линейного дифференциального ч уравнения 1-го порядка в банаховом пространстве
- Экспоненциальная характеристика линейного дифференциально-разностного уравнения
- Экспоненциальная характеристика интегрального оператора Вольтерра с ядром, имеющим различный порядок роста по каждой из двух переменных
- Экспоненциальная характеристика интегрального оператора Вольтерра с ядром, зависящим от 2л переменных. Применение к линейному дифференциальному уравнению гиперболического типа
Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация относится к области качественной теории дифференциальных уравнений. В ней исследуется поведение на бесконечности решений некоторых эволюционных уравнений. Наряду с дифференциальными (обыкновенными, с частными производными, с запаздывающим аргументом) рассматриваются также линейные интегральные операторы Вольтерра и уравнения Вольтерра второго рода.
Как известно, одна из основных задач теории устойчивости по Ляпунову состоит в выяснении условий, при которых системы дифференциальных уравнений (линейных или "близких" к линейным) с аргументом, изменяющимся на полуоси, имеют ограниченные решения при всяких ограниченных правых частях.
Во многих задачах механики, теории автоматического регулирования, теории связи, биологии изучаемые процессы, вообще говоря, не остаются ограниченными во времени, в этих случаях не следует требовать, чтобы отклонения от предвычисленных значений были непременно малы или ограниченны. Они (отклонения) могут возрастать с течением времени, но скорость этого возрастания должна быть меньше или не превышать скорости возрастания самого процесса. Поэтому наряду с исследованиями ограниченности решений запросы практики приводят к исследованию экспоненциального роста решений в зависимости от соответствующего поведения правых частей модельного уравнения. Вопросы такого рода, восходящие своими истоками к работам А. Пуанкаре [1], П. Боля [2], A.M. Ляпунова [3], О. Перрона [4], получили дальнейшее развитие в исследованиях М.Г. Крейна [5, 6, 7], Ю.Л. Далецкого [8, 9], М.А. Рутмана [ - ], З.И. Рехлицкого [ , ]. М.А. Рутман [ ] в году впервые ввел понятие, которое следуя Л.К. Орлик [ , ] будем называть экспоненциальной характеристикой линейного дифференциального уравнения.
Это основное понятие, связанное с изложенными в диссертации задачами.
Рассмотрим линейное пространство Еа функций, показатели экспоненциального роста которых не превышают а. Пусть это пространство подвергается некоторому преобразованию V и аг — нижняя грань тех показателей /?, для которых V :Еа - Ер. Зависимость ae(V;a) называем экспоненциальной характеристикой преобразования V.
В настоящей работе рассматриваются преобразования, порожденные решением задачи Коши линейных дифференциальных уравнений и преобразова-ния, определяемые интегральными операторами Вольтерра. Результаты, полу-ченные для интегральных операторов Вольтерра, позволяют исследовать линейные дифференциальные уравнения с частными производными гиперболического типа, а также дифференциально-разностные уравнения.
Тема диссертации входит в раздел "Исследование устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений, краевых задач с непрерывными коэффициентами" плана научной работы НВ РХБЗ ВС РФ по спецтеме, регистрационный номер .
Основная цель диссертации - получить вид экспоненциальной характеристики ряда преобразований определяемых линейными эволюционными уравнениями - дифференциальными и интегральными. А именно: построить экспо- ь. ненциальную характеристику линейного дифференциально-разностного урав нения I порядка в банаховом пространстве с ограниченными на полуоси семей ствами операторных коэффициентов, интегральных операторов и уравнений Вольтерра второго рода с ядрами типа функции Коши, с матричным ядром экспоненциального типа, с ядром, зависящим от 2п переменных, а также некото рых дифференциальных уравнений в частных производных с двумя и п незави- , симыми переменными, когда коэффициенты уравнений являются веществен ными или комплексными ограниченными функциями.
Общие методы исследования. Использованы методы классического и линейного функционального анализа; в частности рассматривается понятие полуупорядоченности [ ], полуупорядоченность осуществляется с помощью эле ментов экспоненциального типа, а также геометрический аспект теории полуупорядоченных пространств - теория конусов Крейна [ - ]. Важную роль в этих исследованиях играет классическая теорема Банаха о замкнутом операторе [ ].
Научная новизна. Для линейных интегральных операторов и уравнений Вольтерра с ядрами экспоненциального типа, в том числе с матричным ядром; с ядром типа функции Коши, для линейных дифференциально-разностных уравнений в банаховом пространстве с ограниченными, вообще говоря, непериодическими ядрами и операторными коэффициентами экспоненциальные характеристики исследованы впервые.
Доказана теорема о связи между экспоненциальными характеристиками оператора Вольтерра с матричным ядром /С(f, s) = (/С» (/, s))? и скалярнымядром /C(f,.s). Причем матричное ядро имеет различный порядок роста по двум переменным.
В работе приведен конструктивный способ определения критической точки экспоненциальной характеристики линейного интегрального оператора Вольтерра по заданному ядру, зависящему от 2/1 переменных.
Результаты, относящиеся к обыкновенному дифференциальному уравнению п -го порядка, также не следуют непосредственно из имеющихся результатов. Однако мы рассматриваем их как определенную пропедевтику, дающую возможность в сравнительно простой ситуации проиллюстрировать применяемый нами метод.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит характер теоретического исследования. Ее можно рассматривать как определенный раздел теории устойчивости по Ляпунову. Само понятие устойчивости получает здесь некоторое естественное расширение. С практической точки зрения результаты, полученные в работе, могут оказаться полезными в теории линейных механических и электрических систем, в задачах дифракции электромагнитных волн, в вопросах теории управления (задача оптимальной линейной фильтрации, определение импульсной функции линейной системы), в некоторых разделах биологии (проблемы устойчивости биологических сообществ), при моделировании динамической системы океан-атмосфера, в том числе запаздывающих воздей 4 ствий в этой системе.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались ежегодно на военно-научных отчетных конференциях профессорско-преподавательского состава Военного Университета радиационной, химической и биологической защиты ( - гг.), - на научном семинаре кафедры высшей и прикладной математики Московской академии тонкой химической
% технологии им.
М.В. Ломоносова, - на кафедре математики Военной академии ракетных войск стратегического назначения имени Петра Великого, - на кафедре математики
- Военно-инженерной академии, - на Всероссийской математической конферен ции, г. (г. Самара), - на Международной конференции по дифференциаль i
ным уравнениям и динамическим системам, г. (г. Суздаль) (два доклада), на конференции "Современные методы теории функций и смежные проблемы" в Воронежском государственном университете, г; на семинаре "Интегральные уравнения и их применение" под руководством проф. Захарова Е.В., Лифанова И.К. (МГУ, ВМиК, ).
Публикации. Основные результаты опубликованы в печатных работах у [
Структура и объем работы. Диссертация содержит страницы маши нописного текста и состоит из введения, семи параграфов, объединенных в две главы, и списка литературы, включающего наименований.
Состояние проблемы. Теория показателей Ляпунова изучает скорость
роста различных решений систем линейных дифференциальных уравнений по сравнению с экспонентами. Числа (показатели экспонент), характеризующие
такую скорость, называются показателями Ляпунова или показателями роста решений дифференциальных уравнений. (Они отличаются знаком от характеристических чисел, введенных A.M. Ляпуновым в году). Эти показатели используются для исследования устойчивости по отношению к возмущению
начальных данных или к постоянно действующим возмущениям (в зависимости от постановки одной из двух классических ляпуновских задач).
Основополагающие результаты Ляпунова тесно связаны с понятием гене- 4 ральных показателей решений дифференциальных уравнений, которое было введено П. Болем в году [2], а последнее использовалось К.П. Персидским [ — ] в связи с изучением асимптотической устойчивости решений систем дифференциальных уравнений, коэффициенты которых - функции со "слабой вариацией на бесконечности".
Дальнейшее развитие идей Ляпунова в "классическом" направлении связано с исследованиями Б.Ф. Былова, Р.Э. Виноградова, Д.М. Гробмана, В.В. Не-мыцкого [ ], И.Г. Малкина [ , ], Н.Г. Четаева [ , ], В.А. Якубовича [ , ], Б.П. Демидовича [ , ].
Впервые вопросы устойчивости решений линейных дифференциальных 4 уравнений в банаховом пространстве были исследованы М.Г. Крейном. В году М.Г. Крейн сделал сообщение на заседании московского математического общества и опубликовал статью [5], где для построения общей теории устойчивости механических систем с бесконечным числом степеней свободы с применениями к конкретным задачам математической физики ввел в рассмотрение — вместо обычных систем дифференциальных уравнений - дифференциальные уравнения в общем пространстве Банаха. Он рассмотрел краевую задачу ) ) A(t)y = f(t); y(0) = y0(0 t ), полагая, что /(/) и у = y(t) — элемент-функции, все значения которых принад-лежат некоторому пространству Банаха, у0 - элемент этого же пространства, A(t) - компактное семейство линейных операторов, непосредственно зависящих от t и имеющее "слабую вариацию".
Им были впервые получены спектральные признаки устойчивости по Ляпунову для обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Эти исследования получили развитие в работах Ю.Л. Далецкого [ - ], Д.Л. Кучера [ ], М.А. Рутмана [ ], З.И. Рехлицкого [ , ], X. Массера и X. Шеффера [ ]. В этих работах установлены критерии устойчивости для широкого класса дифференциальных уравнений (обыкновенных, в частных производных, операторных, с запаздывающими аргументом).
Естественной явилась следующая постановка вопроса.
Функция f(t), заданная на полуоси R+ = [0,оо), называется функцией экспоненциального типа или а-ограниченной, если существует вещественное а такое, что
При каких условиях (спектральных, коэффициентных) можно утверждать, что при всех «-ограниченных правых частях линейных дифференциальных уравнений решение также а -ограничено?
Столь же естественно возникает более общий вопрос о зависимости между экспоненциальным классом Еа — всех «-ограниченных функций (а ) фиксировано), которому принадлежат правые части уравнений и экспоненци альными классами, покрывающими соответствующую совокупность решений, с помощью метода функционального анализа.
Эта зависимость впервые была исследована М.А. Рутманом для некоторых систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными в банаховом пространстве [ ]. Он показал [ , ], что вопрос о ляпуновской ус-тойчивости некоторых дифференциальных уравнений с частными производными, а в некоторых случаях и вопрос об оценке экспоненциального роста решений, может быть сведен к исследованию операторных уравнений специального вида в пространствах, полуупорядоченных при помощи некоторого конуса. За писывая решение этих уравнений при помощи контурных интегралов, М.А. Рутман получил критерии а -ограниченности таких операторных уравнений и эквивалентных им дифференциальных краевых задач [ , , ].
Развитый М.А. Рутманом метод был применен З.И. Рехлицким [ , , , , ] к исследованию устойчивости некоторых систем уравнений с запаздывающим аргументом.
В году Рутман М.А. и Орлик Л.К. определили вид зависимости между экспоненциальным классом, из которого берутся правые части уравнения, и "минимальным" экспоненциальным классом, покрывающим соответствующую совокупность решений, для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений л-го порядка с периодическими коэффициентами [ ].
Орлик Л.К. этот результат [ ] распространила на линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, назвав исследуемую зависимость экспоненциальной характеристикой дифференциального уравнения.
Ею были рассмотрены линейные интегральные операторы Вольтерра с ядром, зависящим от 2-х и от 4-х переменных, соответствующие линейные интегральные уравнения Вольтерра второго рода [ , ], а также двухчленное уравнение в частных производных гиперболического типа [ ].
Отметим, что во всех упомянутых результатах коэффициенты линейных дифференциальных уравнений или ядра интегральных операторов предполагались периодическими функциями.
Оказалось, что в случае периодических коэффициентов линейных дифференциальных уравнений или ядер интегральных операторов и уравнений Вольтерра 2-го рода экспоненциальная характеристика имеет канонический вид: ае(а) = ог0, при а а0; х(а) = а, при а а0, где а0 -некоторый порог, определяемый рассматриваемым преобразованием.
В предлагаемой работе развиваются различные методы, с помощью которых экспоненциальная характеристика вычисляется для некоторых (сравнительно широких) классов краевых задач в банаховом пространстве.
Получен канонический вид экспоненциальной характеристики интегрального оператора, зависящего от 2и переменных и как следствие, задачи Гурса для полного гиперболического уравнения п -го порядка, приведенного к харак- теристикам, и я-мерного интефального уравнения Вольтерра второго рода в случае периодических коэффициентов и ядер [ ].
Оказывается, что и в случае матричного ядра экспоненциального типа, не обладающим периодичностью, экспоненциальная характеристика интефального оператора Вольтерра может иметь вид близкий к каноническому с одной 1 точкой излома [ ].
При отказе от периодичности коэффициентов линейных дифференциальных уравнений или ядер интефальных операторов из [ , , , ] при определенных условиях приходим к квазиканонической экспоненциальной характеристике: существуют (- со ) а0 /?о YQ ( + ) такие, что ае(а) = /?о ПРИ г а а0; х(а) = / при а у0. (В промежутке (а0 ; Уо) ае(«) - неубывающая функция).
Экспоненциальная характеристика линейного дифференциального уравнения с сосредоточенными запаздываниями с офаниченными операторными коэффициентами является квазиканонической. В случае периодических коэффициентов - канонической [ ]. ) В частном, конечномерном, случае получается результат Рехлицкого - Ру \ даковой [ ].
Обозначение. Нумерация парафафов осуществляется двумя цифрами (например, [1.2]). Первая цифра указывает номер главы, вторая - номер парафафа в этой главе. Внутри каждой главы формулы имеют свою собственную нумера цию. Все они также нумеруются двумя числами, первое из которых указывает номер главы, второе — номер формулы. Используется "сквозная" нумерация теорем. Второй индекс (если он имеется) - номер теоремы в пределах данного парафафа. Леммы занумерованы аналогично.
Краткое изложение основных результатов. Рассматриваются следующие начальные и краевые задачи. В [1.1]: 4У) =/(0. (0 / со) 1 (0) = 0./(0) = ,..., (0) = -1, (1) где Ь(у) = у п + -РІ(0У +- + Рпі )У линейный дифференциальный оператор с непрерывными коэффициентами, ограниченными на полуоси \Рк {t)\ Рк оо, \к = 1, п)\ _y(f), /(f) - непрерывные функции на 0 t оо. В [1.2]:
Z-A(t)y = f(t\ (0Sf co) .У(0) = .И ,
(2)
где A(f) - семейство линейных операторов, действующих в банаховом пространстве X ; y(t), f(t) - непрерывные вектор-функции со значениями в этом пространстве. В [1.3]:
5/
(0, 2) = М) = 0,
О
5Г5Г - a( i 2)y = f(h h) (0 i, 2 °°)
(3)
где а(/і,ґ2)-0 -непрерывный офаниченный коэффициент; y{t\,t2), fih l) непрерывные функции в области 0 fj,r2 «э.
В [2.2]:
-lAj(t)y(t-aj)=№ (О К со)
U( )=o ( о),
(4)
где 0 а± ... ап [a: eR); A At) - ограниченные на полуоси 0 t оо семейства линейных операторов, действующих в банаховом пространстве X; y(t), f(t) - непрерывные вектор-функции со значениями в этом пространстве, и
L(y)-f,Aj(t)y(t -aj)= /(f), (0 f +co) •( ) = 0 (t 0),
(5)
где L(y) = y +Pl(t)y -lK... + Pmy; P,(t) (ї = 1,яі) и Aj(t) (; = 1, її) - ограниченные на полуоси 0 f со семейства линейных операторов, действующих в банаховом пространстве X ; j(f), f(t) - непрерывные вектор-функции со значениями в этом пространстве. В [2.4]:
дпу , , дп 1у , ч дпЛу
д/ з ...д/л
д ді2...діп 1V1 n dt2...dtn
"М і»—Лі)"ЗГ 5: л І і —Л)
dt3...dtn
dtldt2i...dtn_l
j/i-2.
Я — v
ctx...dtn_2
у(0, ,...,Іп)=У(Н& 2 — 1п) = — = У(Н — п-1$) = ® (6)
(o f;- co, у = 1,/і),
где a\{ti,...,tn),...,ai2, n{t\,...,tn) - непрерывные ограниченные коэффициенты в области 0 ti,...,tn оо; y{t\,...,tn), f(ti,...,tn) -непрерывные функции в
этой области.
Рассматриваются интегральные операторы: в [2.1]
(Kf)(t)= \K(t,s)f(S)ds = y(t) (7)
о
где K(t,s) - непрерывное ядро в области 0 s t оо, /(f), y(t) - непрерывные
на полуоси 0 f оо, со значениями в банаховом пространстве. В [2.4]: л (KfYtlf...,tn)= 1...1 ,..., /5 ...,5 )/( ,...,5 ) 1... = ( !,..., J (8) О О
где K(ti,...,tn;sl,...,sn) - непрерывное ядро при 0 5,- f,- оо [і = 1,/і); f{t\,---,tn)- непрерывна в области 0 /і,...,/„ оо. В [2.3]:
(Kf)(t)=\K{t,s)f(s)ds = y(t), (9)
о
где K(t,s) = \Kj i(t,s)f! - матричное ядро; /C«(f,s) - непрерывны при
0 5,- /,• со; ЯО МУІМ- ЛОЬ /(0 = co/o/[/l(4 —»/л( - непРе" рывны в области 0 ,..., tn оо.
Рассматриваются интегральные уравнения Вольтерра второго рода:
в [2.1]
p{t)= f(t)+ lK(t,sMs)ds ( )
о
где K(t, s) - непрерывное ядро при 0 s t оо; f{t\ q {t) - непрерывны на полуоси 0 t со. В [2.4]
h tn ( 1»—Л)=/( і,-•., „)+ ]—\K{tlt...,tn;s1 ... sn)g (s1 ...tsn)ds1...dsn ( )
о о
где K(tl,...,tn;sl,...,sn) - непрерывное ядро при 0 s,- /,• со (/ = 1, л); f(t\,...1tn),(p{ti,...itn) — непрерывны в области 0 /],...,/„ со.
Во всех парафафах, кроме [2.4], для задач (1) - (4), (7), (9), ( ) предполагается, что коэффициенты дифференциальных уравнений являются ограниченными, вообще говоря, непериодическими функциями; ядра интегральных операторов и интегральных уравнений предполагаются функциями экспоненциального типа также непериодическими. Для задач (5), (6), (8), ( ) предполагается периодичность коэффициентов дифференциальных уравнений и ядер интегральных операторов.
Вводится понятие экспоненциальной характеристики данной краевой (начальной) задачи или интегрального уравнения (оператора). Это понятие строится следующим образом.
В [1.1] предполагается, что f(t) — функция экспоненциального типа на полуоси 0 t оо с экспоненциальным показателем а:
a= lim {t 4n\f(t)\)
/- (в[1.2],[2.1]
a=Um{r4n\\f(t]\x)).
t oo
Множество функций с экспоненциальным показателем, не превосходящим а, является линейным пространством
а
Е„ =
f(t):lim(r4n\f(t)\) /- а
(в [1.2], [2.1]
Еа= f(t):lim(r4n\\f(t}\x) a
Г- оо
Совокупность соответствующих y(t) ( p(t)) из (1), (2), (7) (( )) покрывается пространством Ер при достаточно больших /?. Нижнюю грань таких /? обозначим через х(а):
in/ /?=эе(а).
Неубывающую функцию х(а) назовем экспоненциальной характеристикой (1), или (2), или (7), или (( )).
В [2.4] предполагается, что f(ti,...,tn) - функция экспоненциального типа в области 0 ti,...,tn со с экспоненциальным показателем не превышающим а. Множество таких функций является линейным пространством
Ea=\f(h,...,t„): lim 1 ,:: ,1=0, V 0b
Г,+...+/я- оое
(а+)( !+...+ „)
(В [1.3] я = 2).
Легко видеть, что совокупность соответствующих y(ti,...,tn) ((p(ti,...,tn)) из (3), (6), (8), (( )) покрывается пространством Ел при достаточно больших р. Нижнюю грань таких /3 обозначим ае(ог):
inf /? = эе(а).
Неубывающую функцию ае(а) назовем экспоненциальной характеристикой (3) или (6), или (8), ((H)).
Для задач (1), (2), (3), (4), (7) и ( ) с ограниченными (непериодическими) коэффициентами и ядрами экспоненциального типа (непериодическими) экспоненциальная характеристика имеет так называемый "квазиканонический" вид: существуют (- co )aQ fio Уо ( +с0) такие, что
ас(а) = До ПРИ а - ао» х(а) = а при а у0.
В промежутке («о,/о) &{а) -неубывающая функция.
Здесь /?0 - показатель экспоненциального роста по t и yQ — показатель экспоненциального роста по обеим переменным s и t ядра Коши, через которое представляются решения начальных (краевой) задач для дифференциальных уравнений: обыкновенных (1), (2), в частных производных (3), дифференциально-разностного (4), или - ядра типа функции Коши интегрального оператора Вольтерра (7).
Для такого ядра показатель экспоненциального роста K s(t,s) должен быть
не выше показателя экспоненциального роста K(t,s). При нарушении этого требования теорема о квазиканоническом виде экспоненциальной характеристики теряет силу.
Рассмотрим ядро
K(t,s) =
[Ч К- ПриМ5} Є-( Ч n
0 при \ p(s] e-{t-s ,
Из 0 Kit, s) 1 и #(ґ,0) = 1 следует, что /?0 = 0.
При а -\ [\f(t\ Ce + lj х(а) = -1, тогда как по теореме
аг(а) = /?0 = О при а а0 0.
Теорема не выполняется, так как показатель экспоненциального роста ядра K(t,s) равен 0, а показатель экспоненциального роста K s(t,s) равен 1.
В случае периодического коэффициента а§ = /?0 = у$ •
В задачах (5), (6), (8), ( ) экспоненциальные характеристики имеют канонический вид: существует вещественное а0 такое, что Е(а) = тах(а,а0).
Для (6), (8) и ( ) org определяется предельными свойствами матрицы
оо
,где
1 1
(вь...,вп)= \...\к(піі +Ql,...,mn +0n;Sl,...,Sn)dS1...dSn
о о
(о 0; \,1Щ eN,i = l,n)
В [2.3] доказана теорема о совпадении экспоненциальных характеристик интегральных операторов Вольтерра (9) и (7) соответственно с матричным
ядром K(t,s) = (Ki j(t,s)j! и скалярным ядром AT(/,s).
В случае матричного ядра экспоненциального типа
при 0 s t со,
Л/ 0, А /?2,
если K(t,s) = e&t+/ S(p(t,s) и 3 lim « jV(n,s fc = 0, то
экспоненциальная характеристика имеет одну точку излома.
Экспоненциальная характеристика линейного дифференциального ч уравнения 1-го порядка в банаховом пространстве
Рассмотрим уравнение: где у{t), f{t) - непрерывные вектор-функции со значениями в некотором (действительном или комплексном) банаховом пространстве X; Ait) семейство линейных операторов, действующих в этом пространстве, равномерно ограниченное по норме: Пусть /(/) - правая часть уравнения (1.15) пробегает линейное пространство Обозначим через аг(а) нижнюю грань тех /?, при которых пространство Ер содержит все решения начальной задачи (1.15) - (1.17). Назовем ге(а) экспоненциальной характеристикой этой задачи. В данном параграфе выясняется вид экспоненциальной характеристики ае(ос) уравнения (1.15) с ограниченным операторным коэффициентом (1.16) и нулевым начальным условием (1.17). В [16] Орлик Л.К. рассматривался случай, когда коэффициент A{t) уравнения (1.15) является периодической функцией: Было показано, что если «Q генеральный показатель однородного уравнения ассоциированного с (1.15), тото есть, экспоненциальная характеристика имеет канонический вид. Следующую теорему о так называемом "квазиканоническом" виде экспоненциальной характеристике уравнения (1.15) с ограниченным, но не периодическим операторным коэффициентом (1.16) можно рассматривать как обобщение [16]. (в промежутке («о» о) ж(«) _ неубывающая функция). Для уравнения (1.15) с периодическим коэффициентом A(t) aQ = /?0 = yQ. Решение начальной задачи (1.15)-(1.17) задается интегральным оператором где K(t,s) —эволюционный оператор уравнения (1.15), выраженного через оператор Коши U(t): 43 Известно [38], что оператор Коши U(t) однородного уравнения, ассоциированного с (1.15) - функция экспоненциального типа с показателем экспоненциального роста /?0, равного старшему показателю этого уравнения. Пусть у о - генеральный показатель, /?0 - старший показатель однородного уравнения Тогда И При НеКОТОрОМ SQ Очевидно, PQ YQ. Доказательство теоремы 2 разобьем на несколько этапов. Докажем а). Покажем, что &{a) max{yQ,a) при всех а. Покажем, что ас (а) а при всех а, то есть для любого є О найдется такая вектор-функция /(0 удовлетворяющая (1.18), что для соответствующего решения yc{t) задачи (1.15) —(1.17) имеет место: Если правая часть / задачи (1.15)-(1.17) пробегает пространство Ва то соответствующая совокупность решений этой задачи y(t) включается в пространство ж(а) и значит, в силу включения (1.24), покрывается пространством Ваг Таким образом, линейный оператор К из формулы (1.19) действует так: Этот оператор замкнут и, следовательно, по теореме Банаха, является ограниченным: Рассмотрим произвольный вектор fQ из ЛҐ, Ц/оЦд- = ! Так как K(tQ,t0) = I, то ( о о)/о =/о (0- о 00 о -фиксированно). Строим вектор-функцию 0 Очевидно, ftQ(s)eBa ,-/, в. = 1. Рассмотрим далее начальную задачу если А - достаточно мало (равномерная малость А по /Q вытекает из офани-ченности K s(tQ,s) в полосе: t0 -A s t0 ) Далее Это противоречит (1.25), пос
Следующую теорему о так называемом "квазиканоническом" виде экспоненциальной характеристике уравнения (1.15) с ограниченным, но не периодическим операторным коэффициентом (1.16) можно рассматривать как обобщение [16]. (в промежутке («о» о) ж(«) _ неубывающая функция). Для уравнения (1.15) с периодическим коэффициентом A(t) aQ = /?0 = yQ. Решение начальной задачи (1.15)-(1.17) задается интегральным оператором где K(t,s) —эволюционный оператор уравнения (1.15), выраженного через оператор Коши U(t): 43 Известно [38], что оператор Коши U(t) однородного уравнения, ассоциированного с (1.15) - функция экспоненциального типа с показателем экспоненциального роста /?0, равного старшему показателю этого уравнения. Пусть у о - генеральный показатель, /?0 - старший показатель однородного уравнения Тогда И При НеКОТОрОМ SQ Очевидно, PQ YQ. Доказательство теоремы 2 разобьем на несколько этапов. Докажем а). Покажем, что &{a) max{yQ,a) при всех а. Покажем, что ас (а) а при всех а, то есть для любого є О найдется такая вектор-функция /(0 удовлетворяющая (1.18), что для соответствующего решения yc{t) задачи (1.15) —(1.17) имеет место: Если правая часть / задачи (1.15)-(1.17) пробегает пространство Ва то соответствующая совокупность решений этой задачи y(t) включается в пространство ж(а) и значит, в силу включения (1.24), покрывается пространством Ваг Таким образом, линейный оператор К из формулы (1.19) действует так: Этот оператор замкнут и, следовательно, по теореме Банаха, является ограниченным: Рассмотрим произвольный вектор fQ из ЛҐ, Ц/оЦд- = ! Так как K(tQ,t0кольку \f\B = 1 Итак, при всех а гс(а) а. Из а) и б) следует, что ас(ог) = а при а уд Докажем в). Покажем, что существует фиксированное «о такое, что ас(«) /?0 при a aQ . Рассмотрим неравенство (1.22) при произвольном, но фиксированном t. Далее зафиксируем 5: s = 5j. Из дифференцируемое K(t,s) по s следует: dK(t,s{) л Предположим, что —— 0. OS Можно считать:
Экспоненциальная характеристика линейного дифференциально-разностного уравнения
Рассмотрим начальную задачу (2.25) где 0 aj ... ап , [cij eRJ,f(t),y(t) - непрерывные вектор-функции со значениями в некотором (действительном или комплексном) банаховом пространстве X; A:(t) - ограниченные на полуоси 0 t х семейства линейных операторов, действующих в X. Пусть и далее Очевидно, Еа - линейное пространство, Ва — банахово пространство с нормой: Если /(f) в (2.25) пробегает Еа, то соответствующая совокупность решений y(t) покрывается пространством Ер при достаточно большом /3. Нижнюю грань таких /? обозначим через ае (а) и назовем экспоненциальной характеристикой уравнения (2.25). Теорема 5.1 Для задачи (2.25) экспоненциальная характеристика имеет квазиканонический вид: существуют «о А), /о: (-00 ) ао - Л) - У о ( +0) такие, что (В промежутке (а0 /о) (а) - неубывающая функция). В [2.1] аналопічньїй результат был получен для экспоненциальной характеристики интегрального оператора ядро которого удовлетворяет следующим условиям: 4 существует s0 такое, что К(t, SQ ) не является финитной функцией. (Напомним: (р{{) называется финитной, если ЗТ = Т такое, что p(t) = 0 при t Т). Для доказательства теоремы отметим прежде всего, что решение задачи (2.25) задается интегральным оператором где K(t,s) (0 s t co) семейство линейных операторов, действующих в X, удовлетворяет дифференциально-разностному уравнению Очевидно, (2.27)-(2.28) эквивалентно интегро-разностному уравнению (удобно положить K(t,s) = 0 при t s). Для (2.25) и (2.29) имеет место теорема существования и единственности (см., напр. [54]), которую легко получить с помощью алгоритмического по строения. Ввиду ее существенного значения для дальнейшего и не желая отсылать читателя к другому источнику, приведем это построение здесь. Сделаем это для уравнения, несколько более Сейчас ci2( О) будет играть ту же роль, какая в первом случае принадлежала а±. Именно: при s t s + а2 будет к[т - a j,s)= 0 (т.к. t - а s) и одно 5 значно определяет K(t,s); далее, при s + a2 t s + 2a2 будет:К{т - a .-,s) = О для тех j, для которых 2я2 +s-a: 5, а: 2я2; поэтому где берется по тем j, для которых а .- 2я2; при этом (3) г-ау s + 2a2-cij s + a2y т.е. в последних интегралах /c(r-a.-,s) уже известно - и т.д.
Покажем теперь, что имеет место следующее равенство: Его, очевидно, можно рассматривать как обобщение известного соотношения: Ks(t,s)= -K(t,s)A(s), которому удовлетворяет эволюционный оператор K(t,s) = U(tp-l(s) задачи u (t) = A(ty(t); U{o)=I. Для доказательства (2.31) продифференцируем по s обе части уравнения (2.29 Сравнивая полученные равенства (2.32) и (2.33) и учитывая единственность решения уравнения (2.30), приходим к соотношению (2.31). Теорема 5 будет доказана, если мы докажем, что ядро K{t, s) удовлетворяет условиям 1 - 4. Очевидно, 1 следует из (2.28), 2 следует из (2.27), 3 следует из (2.31); из этого же равенства легко получить 4. Более того, мы покажем, что при любом s0 ядро /С(ґ,50)не является финитной функцией. Доказательство поведем от противного. Пусть K(t,s0) - финитная функция, то есть 3Т такое, что при t Г:/С(?,5"о) = 0. Зафиксируем /0 Т. При этом К( ),5()) = 0. Ядро K(t0,s) является решением линейного однородного дифференциального уравнения (2.31) в банаховом пространстве с ограниченным операторным коэффициентом при нулевом начальном условии. В силу теоремы существования и единственности оно тождественно равно нулю при s є [0,f0]. Ясно, что такое рассуждение можно провести при любом фиксированном t Т: K(t,s) = 0 в области 0 s t, t Т. Отсюда следует, что K(t,s) не может быть тривиальным ядром интегрального оператора (2.26). Действительно, если Kit, s) = 0 при t Т, то y(t) = 0; — = 0. Значит для любого f(t) левая часть уравнения (2.25) на луче dt (г0,о) есть тождественный нуль. Противоречие налицо. Нам еще понадобится следующая Лемма 5 . Пусть (р {t) (0 t оо) - дифференцируемая вектор-функция со значениями в банаховом пространстве. Если 0 ау «2 ап со и ПРИ ка" ждом t ап: основного неравенства (2.34) следует Откуда вытекает: Отсюда при h 8: В ап t an + 5 + 5 , более широком, чем (ап,ап + 5). Покажем, что (2.35) имеет место в любом промежутке [ап,ап +Т]. Предположим противное. Пусть [ап,ап + TQ] — "максимальный" промежуток, в котором верно неравенство (2.35). Заменяя ап на ап + Т0 и повторяя рассуждение получим: в промежутке ап + Г0 t an + Т0 + 5". Так как то в промежутке an t an +TQ +S" более широком, чем "максимальный": ап t an+TQ. Итак, откуда Лемма доказана. Замечание. Если p(t) не является финитной функцией, то показатель экспоненциального роста вектор-функции p(t) отличен от - оо. Применим доказанную лемму к ядру K(t,s), положив K(t,s) = (p{t){t s,s-фиксировано). В силу (2.27) выполняется неравенство: откуда, учитывая (2.28), сразу получаем, что
Экспоненциальная характеристика интегрального оператора Вольтерра с ядром, имеющим различный порядок роста по каждой из двух переменных
В [2.1] построена экспоненциальная характеристика интегрального оператора Вольтерра с ядром типа функции Коши, имеющим одинаковый порядок роста по обеим переменным. В настоящем параграфе устанавливается вид экспоненциальной характеристики интегрального оператора с ядром экспоненциального типа, имеющим различный порядок роста по двум переменным. Построение экспоненциальной характеристики применительно к оператору (2.38) вводится следующим образом. Обозначим через X банахово пространство, которому принадлежат (при фиксированном г) вектор-функции /(/) и (/). Очевидно, Еа — линейное пространство, Ва - банахово пространство с нормой менной s: 0 s t со значениями в банаховом пространстве линейных операторов в X и удовлетворяющих следующему условию: существуют такие Л/ 0 и / /?2 такие, что Если fit) пробегает линейное пространство Еа и ядро K(t,s) удовлетворяет условию (2.39), то соответствующая совокупность (/) покрывается пространством Еп при достаточно большом J3. Нижнюю грань таких J3 обозначим ае(ог) и назовем экспоненциальной характеристикой интегрального оператора (2.38). Если fit) принадлежит банахову пространству Ва и ядро K(t,s) удовлетворяет условию (2.39), то оператор К = (К f)(t) принадлежит банахову пространству В а ( J pi), то есть Оператор К замкнут. Это непосредственно вытекает из того, что сходимость по норме пространств В а и В а влечет равномерную сходимость на каждом конечном промежутке [О,Г], принадлежащем полуоси 0 t оо. В [2.1] было показано, что экспоненциальные характеристики аз (or) и ге (а) соответственно операторов где ядро K(t, s) - скалярная функция экспоненциального типа с одним показателем роста по обеим переменным, совпадают. Нам удалось обобщить этот результат, доказав следующую Теорему 6.1 Экспоненциальные характеристики интегральных операторов Вольтерра (2.38) (Kf)(t)c матричным ядром K(t,s) = [K;j(t,s)J? и і, j—і ((К/д/) со скалярным ядром \K(t,s)[ совпадают. Опираясь на этот факт приходим к Теореме 6.2 Если ядро интегрального оператора (2.38) удовлетворяет условию и существует то экспоненциальная характеристика ге (or) оператора (/С /)(/) имеет вид (2.41). Для доказательства теоремы 6.1 напомним основные понятия геометрического аспекта теории полуупорядоченных пространств - теории конусов Крей-на[20]-[24]. Пусть В - вещественное пространство Банаха. Множество W cz В называется выпуклый, если из Xi ,х2 є W следует то есть с каждыми двумя точками оно содержит и отрезок, соединяющий любые две его точки. Замкнутое выпуклое множество Р с В называется конусом, если выполнены условия а) из х є Р следует, что ЛхеР при всех Я 0, б) из хеР (хФО) следует, что -х ёР, то есть из каждой пары элементов x,-xeW по крайней мере один не лежит в Р, если х 0. С геометрической точки зрения конус Р - это такое замкнутое выпуклое множество банахова пространства, которое вместе с каждым элементом х содержит весь луч Ах (О Я со) и которое не содержит полностью ни одну прямую. В п -мерном евклидовом пространстве Еп конус Р состоит из всех векторов с неотрицательными координатами. Конус Р называется нормальным, если существует такое 5 0, что при любых Хі,Х2 єР, xi = 2 =1 выполнено неравенство
Геометрически это означает, что угол между двумя векторами (элементами) из Р не может быть сколь угодно близким к к. В произвольном вещественном пространстве Банаха можно построить нормальный конус Р с внутренней точкой, выбрав фиксированный элемент и є Р, ]м = 1 и приняв за Р множество элементов {х} вида где 0 q 1 - фиксированное число, Я 0 - произвольный скаляр, z - произвольный элемент из Р с нормой, не превышающей единицу. Конус Р называется острым, если в нем существует такой положительный элемент и, что множество элементов {х} удовлетворяющих неравенству является ограниченным. В этом случае для любой пары векторов Хі,х2 є Р имеет место неравенство Геометрически это условие означает, что угол между двумя любыми векторами конуса не превосходит —. Конус является телом, то есть содержит внутренние точки. Как известно, всегда существует так называемый экстремальный элемент х оператора А:Р Р — вектор, на котором реализуется норма оператора: Приведем доказательства сформулированных теорем. Доказательство теоремы 6.1. Пусть в линейном пространстве Еп действует семейство операторов, задаваемых квадратной матрицей п -го порядка: Пространство Еп представим в виде объединения конечного числа острых конусов: 128 Из непрерывности вектор-функции K(t,s)f(s) и замкнутости Р следует замкнутость S,. Если точка s принадлежит нескольким S,-, то отнесем ее к 5",- с наименьшим номером. Получим новые множества без общих точек. Замкнем их и снова обозначим через 5/, тогда При фиксированном t оператор-функция K(t,s) является равномерно непрерывной по S , то есть Рассмотрим разбиение отрезка [0,f]: такое, что 5/+i -Sf 8, и соответствующие операторы Пусть XQ,Xi,...,xnl — экстремальные элементы этих операторов: При 56(5,,5,.,.1) имеем Назовем f(s) псевдоэкстремальной вектор-функцией оператора K(t,s). Она зависит от фиксированного t: f(s)= /,(5), ее разрывность в точках 5 несущественна. Так как Оценим левую часть неравенства (2.456) снизу. Из (2.44) следует (2.46) Учитывая (2.43) и псевдоэкстремальность вектор-функции f{s), приходим к следующей оценке Обозначим экспоненциальную характеристику интегрального оператора (Kf)(t) с матричным ядром K(t,s) = \Ki j(t,s)j! через зг(а), а экспоненци альную характеристику соответствующего оператора (j/C/)(f) со скалярным ядром \\K(t, sj\ = Ш-і {t, syf. через аг (а). Ясно, что ае(а) se (а). Пока I »/11 жем,что х(а) = х (а). Доказательство поведем от противного. Положим, что при некоторых а Для любого є 0 существуют последовательности f„- oo, Мл- оо кие, что В соответствии с (2.46), 1=1 N то есть найдется хотя бы одно і, для которого откуда, учитывая (2.47), получаем где f(s)= ft (s) - квазиэкстремальная вектор-функция оператора K(t,s). Положим что противоречит (2.49). Значит при любом а: эе(а) = ае (а). Таким образом, мы доказали совпадение экспоненциальных характеристик аз(сг)и аз (а) соответственно операторов (Kf\t) и (К/)(ґ). Отсюда следует равенство экспоненциальных характеристик из операторов (2.40). Доказательство теоремы 6.2. Так как экспоненциальные характеристики операторов (Kf\t) и \\К\ /)(/) из (2.40) совпадают, то можно считать Рассмотрим последовательность tn =п, гдеneN и f{s) = eas, тогда В силу (2.51) R = конечный радиус сходимости ряда Если е 2 /? = -, то есть а - /?2 -/я , то ряд (2.53) сходится: и, следовательно
Экспоненциальная характеристика интегрального оператора Вольтерра с ядром, зависящим от 2л переменных. Применение к линейному дифференциальному уравнению гиперболического типа
Пусть в области 0 tl,...,tn оо задана непрерывная вещественная или комплексная функция f(ti,...,tn) с экспоненциальным показателем не превышающим а: lim /( ,...,016-( - )=0 Ц +...+tn - оо Обозначим через Еа множество таких функций. Это линейное пространство. Пусть далее Ва множество функций из Еа, удовлетворяющих условию: Чт ((1)...,,„)е-«("+-+ «)) » /і+...+ /„-»0 Ва — банахово пространство с нормой = sup- (/„...ЛК — »)) 0 rlv..,rn oo Рассмотрим интегральный оператор « Я і»—Л) = L.JK(tl,...,tn;s1,...,sn)f{sl,...,sn)ds1...dsn = о о 2-56 = (KfY?lt...,ta) непрерывным периодическим ядром K(tx +mlcal,...,tn +mncon;sx +mi(ol,...,sn +mncon) = = K(tv...,tn;sx,...,sn) (2.57) (o st tt oo; m,- є N, і = 1, n\ удовлетворяющим условию: 1 ,..., /5 ...,5,, 0 - - -- С 0,-op r +oo (2.58) (K(tlf...,tn;Sir..,sn) -ядро "экспоненциальноготипа"). Пусть функция f{ti,...,tn) пробегает пространство Еа. Из (2.56) следует, что совокупность соответствующих y{t\f...,tn) покрывается экспоненциальным классом Еп при достаточно большом /?. Нижнюю грань таких /? обозначим через ае(а). Эту неубывающую функцию назовем экспоненциальной характеристикой оператора (2.56). Теорема 7.1 Пусть (2.56) - интегральный оператор с непрерывным периодическим (2.57) ядром экспоненциального типа (2.58). Существует вещественное а0 такое, что ге(а) = ао приог ог0 ае(«) = а при а а0. Здесь "пороговый показатель" org точная нижняя грань всех вещественных а 0, для которых lint п "М п № "М " п \о о га(г,+...+/л)=0 Доказательству теоремы предпошлем Лемму 6. Экспоненциальные характеристики &(а), зе (сг) соответственно операторов l,...,tn;s1,...,sn)f(s1,...,sn)ds1...dsn и о о i\K\fXh,...)tn)=\...\\K(tl,...,tn;sl,...,sn)\f(sl ...,sn)dsl...dsn о о совпадают. Ясно, что ае (а) ее (а). Покажем, что ш {а) = & (а). Доказательство поведем от противного. Положим, что при некотором а ae (a) as(a) Для интегрального оператора с неотрицательным экспоненциальным ядром, в частности, для \К\ — экспоненциальная характеристика реализуется на функциях f(slt...,sn) = ea +-"+Sn\ Произвольно зафиксируем ті,...,тп,0 Ті,...,тп оо. ea(si+...+sn)te-iargK(Ti r„;s,,...,s„) Рассмотрим /Г1 Ta(slt...,sn) = n f0 5,-5 , і=ї 1 51» — 5М»5і+1»"«» л C0J ea(Sl+...«„); у {s. T.}. /=1,/1 к = 1. Если при \si ,...,sn):K\Ti,...,Tn;si ,...,snJ=0, то полагаем Лі,.,г.(ч л)= Полученная разрывная функция fT.mm)T (?!,...,,,) путем переопределения на множестве сколь угодно малой меры может быть заменена непрерывной фуНКЦИеЙ f\h...,Tn{Sl "- Sn) При этом 1/-1 . Подставляя /г Гл(si,...,$„) в(2.56)получим: l Or О О х c- (ri- ;5, 5Л) &і = О о хеа(5,+...+5л) е-/« А (г1,...)Гл;51,...,5л) &і В частности, в точке (г!,...,гл) имеем: = }... j\K(Tl,...,Tn;sl,...,sft}ea -+5 ) dsl ...ds„. Оператор К замкнут и, следовательно, по теореме Банаха, ограничен: K/lw l lk Отсюда sup \(Kftu...J(.Tb...,T„)\e- a -- M 0 tv...,tn co Значит, при tl =Tlf...,tn =тп К..,,„ (r„.... r„) e - ") M, то есть T\ n {..Jl ,..., ,... (2.59) 0 0
С другой стороны, так как ае (ог) экспоненциальная характеристика /С, то SI// J...J о о J... {1 ,..., / ,...,5,,)1 - 4 ... / „ ,(аг («НХг1+-+гл) = 00, то есть при некоторых г} ,..., т\ , ц +... + г -»оо: J-Л О О )... ( ),..., ),-,,,..., )1 ( - ) , ...д„ =м, еМ.МЙ +.. ), ML - СО. Сравнивая последнее неравенство с соотношением (2.59), получаем Jp {a)-e)tikh...+Tp) м e( 4,(i)wrW) или Мк М e( ) (a)+2S)(4kK...+rik)) что невозможно при ае (а) ге (а). Значит, эе (а) = эе(а). Лемма доказана. Сделаем теперь следующие замечания. 1. Для простоты и не в ущерб общности полагаем щ =... = соп = 1. K(h +М2 ---Л; і +1, 2,...,5,, )=K(ti,:.,tn;slt...sn); Ку\ 12 + Мз "«» ц/ si s2 +1»5з»" 5л ) — K\$\f tn; si,...sn); K\ti,...,tn_i,tn +\;s\,...,sn_i,sn +\) = K(ti,...,tn;si,...sn). Действительно, обозначив K(coltb...,o)ntn;o)lsl,...,consn) = L(tl,...,tn;sl,...,sn)i имеем L(h +ht2,...,tn;sl +1,52,.. sn) = = К(0)( +1), CQ2t2 - -, V/,, »1 ( 1 + 1), &№ nsn ) = = / ( +COl,G)2t2,. .,(Ontn;a)1Sl+0 ,0)252,...,0) , = = K(coltl,(o2t2,...,0)ntn; 0) ,0)252,...,0) = L(tl,...,tn;sl,...,sn). Аналогично Ц і» 2 +1» 3» «» 51 »52 +1fs3 -" sn) = L{tl t2f" tn sl s2 --- sn) LQl — tn-l tn +h si,...,sn_1,sn +l) = L(tl,...,tn;sl,...,sn). 2. Можно считать, что \K(ti,...,tn; s1,...,sn)\ 1. Действительно, разделим обе части (2.56) на ev"x+"Mn УІ!\ — п) J\ tnrK(t1,...,tn;s1,...,s„) /(5,,...,5,,) Обозначим +...+/,)- vi— [(/,-5,)+...+( -,.)] - l i— « l — /(5,,...,5 - + ) = / 5,,...,5,,) Показатели экспоненциального роста y(tiftn) f(si "-fsn) и ЛГ( ,,..., ,,/5,,...,5,,) понизились на v и равенство (2.56) приняло вид: і я У (Гі,...,Гл)= /... (їі,...,/„;51,...,5я)/ (51,...,5и)Л1...Лл о о При достаточно больших v экспоненциальный показатель оператора К будет неположительным. Учитывая, что экспоненциальные характеристики К и СК (константа С 0) совпадают, можно считать, что \K (tlt...,tn;sh...,sn)\ l. Утверждение доказано. Из всего сказанного следует: не уменьшая общности, можно считать, что ядро K(t1,...,tn;sl,...,sn) интегрального оператора (2.56) удовлетворяет условиям: K(tl + m1,...,tn+mn;sl+m1,...,sn+mn) = K(tl,...,tn;sl,...,sn), (2.60) [nij eN,i = l,n) 0 Кк1}...,1п;5Ъ...,5п) 1 (2.61) Рассмотрим теперь бесконечную матрицу оо с элементами О 1 атх,...,тп{ві - Єп)= \-]к(т\ +0і,..., «л +0„; Ti,...,(Tn)dal...dan К(тх + в1г...,т„ +en;al,...,(Tn)dal...dcTn о о _ (2-62) О0{1, / = 1,л При иіі,...,ш„ 1 подынтефальная функция определена; однако при іщ = 0 (или одном из nij = 0, j = 2,/і), когда tt jj (/ = 1,/ij , ядро определено не было. Для сокращения записи положим K(t,...,tn; Ti,...,an) = 0 вне области \0 сг,- /,;/ = 1,л} Тогда можно будет писать: і mi,o о(01 —А)= l-"lK(mi +0і,в2}...)вп;сть...устп)с1(71 ...dan; о о і і а0,т2,0,...Ав1 — вп)= \. \K{el,m2+e2}e3,...,en;cjlt... cTn)dc7l...(lan; о о і і о о Из (2.61) вытекает: о , Мл(Єх,...,Єп)й\. Ясно, что при всяком а 0 равномерно по 0 ...,0п\ Вт {ащ,.., ІР1,...,Оп)с-а - т-))=а ті+...+/ия-»оо (2.63) Рассмотрим теперь все а (из R), для которых имеет место (2.63) - равномерно по 0і,...,0п. Пусть aQ =inf{a} . Назовем CCQ( 0) показателем экспоненциального роста или просто показа телем матрицы ат1,...,тп( 1 --- п\ оо О Если показатель an конечен ( -оо), то для любого є О Вт "щ ИлЙ,..., )с- 0о+с»(""+-+и" = 0; (2.64) ті+...+/лл- о + т - оо; ),..., є[ОД): \ пе(ао-)№)+ лт»к)) V M(«W — « G 0 A " (2-65) Пусть - = Nt + в І ; 0 в І 1 (#, = 1,2,...; і = 1, л). Оценим интегральный оператор (2.56), положив f(si,...,sn) = ea Sl+ "+Sn . y(h,...,tn)=y(Nl+Ol,...,Nn+en) = = \../]K(Nl+ei,...,Nn+9n;sl,...,Sn)ea +--+S»)dsl...dsn + 0 О Nx+dx Nn+0n + J... \к(Ыг +0u...,Nn +6n;sx,...,sn)x Nx Nn N, N2+02 Мп+вп + J J... \K(Nl+Ol,...,Nn+On;s1,...,sn)x 0 N2 Nn хс«( і+«.+ Я)Лі_Лі + + J J J... J/c + ,..., + ,- ,...,5„)x Ni+(h Nn_x+0n_x #„ (2.48) + J... J 1 ( + ,..., Nn+On;su..., sn)x Ni N„-i 0 Преобразуем первое слагаемое правой части последнего равенства (2.66), используя периодичность ядра (2.60): IVI /v„ .dsn = J... \K(N1+0v...,Nn +9n;sl,...tsn)ea +-+s")ds1 о о N\ Nn Pi Pn = Z-Z J- $K(Ni +0i.-,Nn +en;sv...,sn)ea +-+s»)dSl...dsn = Pl=1 Pn=1 P\-\ p„-l Ni Nn 1 1 = Z-Z J-.]K{Nl + 61,...yNn+en;Pl-l + cjly...,pn-l + an)x Pi=l Pn=l о 0 x ( -1+ +...+ -1+0 d(Jn = ва(р,-1+...+Л-1) x Pl=1 Лі=1 1 1 xJ...J (JV! + 6 -/ +1,..., + 0„ - +1 ,..., +-+ ... 0 0 = Z-Z eaW +P l..\K(Nl+el -Pl,...,Nn +вп -pn;vlt..., rn)x / l=0 Ял=0 о о Xea +-"+(T")dCTl...dC7n =ea +-+Nn) Z- "а(-+,"л)Х mj=l m„=l x J... »!! + ,...,тл + ,- ,..., )6 +-+ ) ... ,, . о о Далее преобразуем третье слагаемое: tf, N2+02Nn+$„ 0 ЛГ2 iV„ tf, Pi N2+02Nn+en = Z J J- J ( + ,..., + ;5„...,5л)вв +-+5- Л1...Лл = Pl=l Pl-1 N2 Nn Ni 1 2 On = 1 I J» .J i+ 1,...,JV„ +вн;р1-1 + т1,..., pn-l+crn)x ft=l 0 0 0 ( -1+ 2+ 2+-+ +) ... = e«(A-l+ 2+".+ «)x ft=l 1 02 On x J J... }/ :(#!+0 2+02 -- +6n;p1-l + a1,N2 + a2,...,Nn+an) x 0 0 1+-+) ... = 5je«(ft-l+ 2+.»+ )x x J J... к(ЛГ, -Pl +\ + el,e2,...,0n;au...,cyn)ea +-- dcyl...dcjll = 0 0 0 = ев +...+ ) !еал J ...}/c( 1-p1+l + 6?1 2,..., ;a1,...,ajx Pl=0 0 0 0 xe rfff,... =ea( l+ 2+...+ ) e-e«i x mj=l 1 02 x J JK(WI +0lf02 ...,0n;alf...,an)ea +-+(T dax ...d n . 0 0 Аналогично последующие слагаемые. И, наконец, последнее слагаемое:
