Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Инварианты характеристик уравнений газовой динамики в эйлеровых координатах 15
1.1 Основные понятия и утверждения 16
1.2 Одномерная нестационарная газовая динамика. Политропный газ с постоянной энтропией 18
1.2.1 Построение точных решений 23
1.3 Неполитропный газ с переменной энтропией 25
1.3.1 Инварианты нулевого порядка и их применение . 25
1.3.2 Инварианты высших порядков 29
1.3.3 Двумерная газовая динамика 34
1.3.4 Трехмерная газовая динамика 36
Глава 2. Инварианты характеристик уравнений магнитной гидродинамики 38
2.1 Одномерный нестационарный случай 39
2.2 Двумерная магнитная гидродинамика 45
2.3 Трехмерная магнитная гидродинамика 47
Глава 3. Инварианты характеристик уравнений газовой ди намики в лагранжевых координатах 49
3.1 Инварианты нулевого порядка 50
3.2 Точные решения 53
3.3 Интегрирование уравнения Мутара с помощью преобразований Дарбу 56
3.4 Нелокальные инварианты 68
3.5 Инварианты первого порядка 70
Заключение 77
Литература
- Одномерная нестационарная газовая динамика. Политропный газ с постоянной энтропией
- Инварианты высших порядков
- Двумерная магнитная гидродинамика
- Интегрирование уравнения Мутара с помощью преобразований Дарбу
Введение к работе
Дифференциальные уравнения в частных производных используются для описания разнообразных процессов реального мира. Несмотря на то, что развитие современной вычислительной техники позволяет применять эффективные численные алгоритмы для решения нелинейных систем уравнений, тем не менее, построение точных решений по-прежнему остается важной задачей. Эти решения позволяют не только глубже понять качественные особенности описываемых процессов и явлений, но также могут быть использованы в качестве тестовых примеров для асимптотических, приближенных и численных методов.
Данная работа посвящена методам интегрирования нелинейных гиперболических систем уравнений в частных производных первого порядка. Рассматриваются уравнения, описывающие движения идеального газа в эйлеровых и лагранжевых координатах, а также уравнения магнитной гидродинамики.
Можно сказать, что в настоящее время уравнения классической газовой динамики изучены достаточно хорошо, в то время как магнитная гидродинамика является сравнительно новой областью математический физики. Известно пс так много точных решений для уравнений магнитной гидродинамики, поэтому развитие аналитических методов редукции и интегрирования этих систем представляет дополнительный интерес.
В книге [23] Курант отмечал ключевую роль интегралов характеристик при интегрировании уравнений с частными производными:
Самым важным фактом теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка является эквивалент-
ность задач интегрирования дифференциального уравнения с частными производными и характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Под интегралами характеристической системы понимаются функции, принимающие постоянные значения вдоль характеристических кривых. Утверждение Куранта носит более общий характер, и применимо не только к уравнениям первого порядка.
Так один из первых методов интегрирования нелинейного уравнения в частных производных второго порядка
F{x, у, % их, иу, ихх, иху, иуу) = О (1)
был предложен Моижем, а позднее улучшен Ампером. Чтобы воспользоваться методом Монжа-Ампера, необходимо найти уравнение первого
порядка
f(x,у,и,их,иу) =с, се R (2)
такое, что каждое его решение удовлетворяло бы уравнению (1) при любом с. При этом функцию / называют первым интегралом уравнения (1). Для построения первых интегралов необходимо искать функции, постоянные вдоль направлений характеристик уравнения (1). Если имеется два первых интеграла j\ и /2 Для данного семейства характеристик, то интегрирование уравнения (1) сводится к решению уравнения первого порядка
G(/i,/2) = 0s
где G — произвольная гладкая функция.
В 1870, Г. Дарбу представил обобщение метода Монжа-Ампера. Он предложил строить дополнительные дифференциальные уравнения в частных производных второго (и более высоких) порядков
д(х, у, и, иХ: иу, ихх,иХу,иуу) = с. (3)
Функция д также должна сохраняться вдоль характеристик уравнения (1), и в этом случае она называется инвариантом характеристик урав-
нения (1). Подробное описание этого метода, с большим числом примеров, имеется в книге [44], другое изложение метода можно найти в монографии [43].
Несмотря на то, что уравнения, интегрируемые по Дарбу, возникают сравнительно редко, тем не менее они представляют значительный интерес. Е. Вессио [52,53] классифицировал уравнения вида
иху = w{x,y,%ux:uy),
интегрируемые методом Дарбу, и нашел общее решение для каждого из полученных уравнений.
Основную роль в развитии этого метода играли французские математики. Российскими и советскими исследователями также были получены интересные результаты [6.24]. В последнее время вновь появились публикации, посвященные данному мето;гу [7,8.19,34,36,37.39,51].
О-В. Капцовым [18] были введены инварианты характеристик систем гиперболических уравнений первого порядка, как функции, сохраняющиеся вдоль направлений характеристик. Эти функции могут включать независимые и зависимые переменные системы, а также частные производные до некоторого порядка. Классическими примерами инвариантов характеристик для трехмерных стационарных уравнений газовой динамики с произвольным уравнением состояния р = р(р. s) являются энтропия, инвариант Бернулли
и2 + v1 + w2 Г р' ,
—2— + J 7dA
а также инвариант Эртеля
(Vs,rottf)
где U = (u,v}w) — вектор скорости, р — плотность, р — давление, 5 —
энтропия.
Инварианты характеристик обобщают известные инварианты Рима-на. Они представляют самостоятельный интерес, а также могут использоваться для построения редукций и точных решений исходных систем
уравнений. Уравнения, обладающие достаточным количеством инвариантов характеристик, могут быть сведены к обыкновенным.
В данной работе также рассматривается метод, основанный на применении дифференциальных преобразований первого порядка (преобразований Дарбу). В третьем томе «Интегрального исчисления» Л. Эйлер [35] исследовал задачи интегрирования линейных уравнений с частными производными. Он нашел, в частности, дифференциальные преобразования, переводящие решение одного уравнения в решение уравнения того же вида.
Дарбу [42] использовал преобразования вида
z = M{x)(ux + s(x)u) (4)
для интегрирования гармонических уравнений вида
иху = [ф(х - у) + ф{х + у)\и.
Мутар [48] применял преобразования вида (4) при построении решений обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
у" + {к + ф))у'-\Л{х)у = 0. (5)
Кроме того, Мутар выписал условие, при выполнении которого уравнение (5) интегрируется в явном виде. Это условие формулируется в виде нелинейного дифференциального уравнения на функцию А. Он указал также способ интегрирования этого нелинейного уравнения.
В данной работе метод преобразований Дарбу используется для построения точных решений уравнения Мутара
zxy + \{х - y)z = О, (6)
получаемого из уравнения Эйлера-Дарбу
иху + 9{х - у){их - иу) =0
с помощью замены t(x,y) — а(х — y)z(x)y), где а' = ад.
Со времен Эйлера хорошо известны решения уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу
uxx + G(x)ux = иуу, (7)
соответствующие функции
G{x) = Ц, nZ.
Дарбу [42] несколько расширил список уравнений, приводимых к (7) точечными преобразованиями и допускающих общее явное решение.
Уравнение (7) возникает в исследованиях по газовой динамике и теории упругости [2,28]. Все линейные дифференциальные подстановки первого порядка, соответствующие указанной функции G, получены в [1]. Групповой анализ произвольного линейного уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными выполнен академиком Овсянниковым в [27]. В настоящее время интересы школы Л.В. Овсянникова сместились в сторону досконального изучения подмоделей газовой динамики [29]. В работе [30] методы группового анализа применяются для исследования уравнений газовой динамики в лаграижевых координатах.
Современный интерес к преобразованиям Дарбу связан, в основном, с исследованиями в области теории солитонов и дифференциальной геометрии [47,50]. В последние годы ведется поиск многомерных аналогов преобразований вида (4), переводящих решения одних линейных уравнений в другие. Также следует отметить работы [38,40,41], посвященные уравнению Шредингера и его обобщениям.
Цель диссертационной работы состоит в нахождении инвариантов характеристик систем уравнений газовой динамики и уравнений магнитной гидродинамики, а также в применении полученных инвариантов для построения редукций и точных решений.
Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех основных глав, заключения и одного приложения.
В первой главе рассматриваются инварианты характеристик уравнений движения идеального газа в эйлеровых координатах. Вводный па-
раграф 1.1 содержит основные определения и теоремы, позволяющие конструктивным образом подходить к задаче нахождения инвариантов характеристик и их применения для интегрирования гиперболических систем уравнений.
Б параграфе 1.2 рассматриваются уравнения, описывающие одномерные изоэнтропические течения политропного газа. Используя общее определение, строятся известные инварианты характеристик нулевого порядка (инварианты Римана), а также приводятся условия, при которых существуют дополнительные инварианты нулевого и высших порядков. Заключительная часть параграфа посвящена построению точных решений. С помощью преобразования годографа исходная система уравнений линеаризуется, и сводится к одному линейному уравнению второго порядка — уравнению Эйлера
UH ft-l'-fc(*ft-*fc) = 0, reR. (8)
Используя каскадный метод Лапласа [3,4], уравнение (8) интегрируется в явном виде при некоторых значениях г. Интересен факт, что условия интегрируемости уравнения (8) по Лапласу связаны с условиями существования инвариантов характеристик высших порядков исходной системы уравнений.
Инварианты характеристик одномерных уравнений газовой динамики с непостоянной энтропией и произвольным уравнением состояния рассматриваются в параграфе 1.3. Показывается, что система обладает инвариантами нулевого порядка звуковых характеристик тогда и только тогда, когда зависимость скорости звука от давления и плотности имеет специальный вид с(р,р) = д(р)р~"1, где д — произвольная гладкая функция. Полагая один из инвариантов равным нулю и переходя к переменным годографа, получаем решение, зависящее от двух произвольных функций.
Условие существования инвариантов характеристик первого порядка имеет вид с(р,р) — (а + Ьр)2^р~1, где a. b Є R. Таким образом, при
выполнении этого условия вдоль каждой из характеристик сохраняется по два инварианта, и, следовательно, система является интегрируемой по Дарбу. Применяя схему Дарбу, исходная система (трех) уравнений в частных производных сводится к двум обыкновенным дифференциал ь-ным уравнениям.
Оставшаяся часть первой главы посвящена нахождению инвариантов характеристик высших порядков для одномерных уравнений газовой динамики, а также уравнений, описывающих двумерные и трехмерные течения. Рассматриваются случаи нестационарного- и установившегося движения газа. Приводятся известные инварианты характеристик — энтропия, интеграл Бернулли, инвариант Эртеля. Рассматриваются способы построения инвариантов высших порядков, в частности, с помощью операторов инвариантного дифференцирования.
В второй главе рассматривается система уравнений магнитной гидродинамики (МГД). В параграфе 2.1. посвященном одномерным уравнениям, показывается, что если первая компонента вектора магнитной индукции равна нулю, то система обладает пятью инвариантами характеристик нулевого порядка, сохраняющимися вдоль траекторий. С помощью этих инвариантов, а также одного инварианта первого порядка, исходная система (семи) уравнений сводится к одному уравнению второго порядка — уравнению Мои>ка-Ампера. Налагая дополнительные условия на уравнение состоянии так. чтобы характеристики уравнения Монжа-Ампера были кратными, и интегрируя его, получаем в итоге общее решение исходной системы в неявном виде.
Инварианты характеристик двумерных и трехмерных уравнений магнитной гидродинамики рассматриваются соответственно в параграфах 2.2 и 2.3. Ввиду значительной вычислительной сложности, большая часть расчетов проводилась с помощью компьютера, с использованием разработанного автором пакета аналитических вычислений.
В нестационарном случае показывается, что инварианты высших по-
рядков можно получать с помощью оператора
_. BlDz + B2Dy + BzDt
М) = >
выбирая энтропию s в качестве «начального» инварианта. Кроме того, для двумерных уравнений МГД перечислены все инварианты до второго порядка включительно. В трехмерном случае полный анализ удается провести лишь до первого порядка, тем не менее в параграфе 2.3 указаны способы построения некоторых инвариантов второго и третьего порядков, а также бесконечных серий инвариантов высших порядков.
Расчет инвариантов характеристик стационарных уравнений МГД, как правило, представляет собой более сложную вычислительную задачу. В параграфе 2.2 приводятся инварианты нулевого порядка, сохраняющиеся вдоль линий тока в двумерном случае, а также показывается, что оператор V = (ир)~]Д;, является оператором инвариантного дифференцирования, и, следовательно, может быть использован для построения бесконечной инвариантов высших порядков.
Третья глава посвящена инвариантам характеристик системы уравнений одномерной газовой динамики в координатах Лагранжа. В параграфе 3.1 показывается, что инварианты нулевого порядка существуют, если уравнение состояния имеет специальный вид. Эти инварианты используются в параграфе 3.2 для построения частного решения, а также сведения исходной системы к уравнению Эйлера-Дарбу, и далее, к уравнению Мутара (6).
В параграфе 3.3 исследуются вопросы применения преобразований Дарбу для интегрирования уравнения Мутара. В качестве простейшего уравнения вида. (6) выбирается волновое уравнение zxy = 0 с известным общим решением z(x,y) = Х(х) + У [у). Перечисляются более сложные виды уравнения (6), получаемые с помощью последовательного применения трех преобразований Дарбу. Полный набор таких уравнений включает 47 случаев, для каждого из которых представлено соответствующее общее решение. В конце параграфа в качестве примера приводится pe-
шение уравнения (6) с потенциалом А в виде рациональной функции. Выполняется обратный переход к исходной задаче, а также восстанавливается вид уравнения состояния. В параграфе 3.4 показывается, что уравнения газовой динамики могут быть сведены к уравнению Эйлера-Дарбу также с помощью нелокальных инвариантов, включающих потенциал Мартина [46]. Это позволяет строить решения исходных уравнений для других видов уравнения состояния, используя решения уравнения Мутара, полученные в предыдущем параграфе.
В заключительном параграфе 3.5 приводятся инварианты характеристик первого порядка. Эти инварианты имеют место при уравнении состояния специального вида. В число рассматриваемых случаев в частности входит политропный газ с постоянной энтропией и показателями адиабаты 7 — 3 и 7 = 1/3 , а также политропный газ с непостоянной энтропией и показателями 7 — -1, 7 ~ 3 и 7 = 3/5. Вычисления производились с помощью компьютера.
Основные результаты диссертационной работы сформулированы в заключении.
В приложении дается описание программного пакета InvChar, разработанного автором для автоматизации основных шагов алгоритма вычисления инвариантов характеристик систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка в среде Maple joj. Кроме описания функций и их входных аргументов, приводится также пример, иллюстрирующий возможности пакета InvChar при нахождении инвариантов характеристик нулевого порядка одномерных уравнений газовой динамики.
На защиту выносятся следующие положения:
Определение инвариантов характеристик уравнений газовой динамики в эйлеровых координатах с непостоянной энтропией. Построение редукций и точных решений.
Построение инвариантов характеристик системы уравнений магнит-
ной гидродинамики и их применение для интегрирования.
Линеаризация и построение точных решений уравнений газовой динамики в лагранжевых координатах с помощью инвариантов характеристик.
Применение метода преобразований Дарбу для интегрирования уравнения Мутара.
Апробация. Результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на следующих конференциях и семинарах;
Конференция молодых ученых "Института вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск, 2004).
Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2004)
Конференция молодых ученых Института вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск. 2005).
IV международная конференция «Лаврентьсвские чтения по математике, механике и физике» (Новосибирск, 2005)
Семинар Института, вычислительного моделирования СО РАН «Математические модели и методы интегрирования» под руководством профессора. О.В. Капцова (Красноярск, 2005).
Конференция молодых ученых Института вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск, 2006).
Конференция молодых ученых Красноярского научного центра СО
РАН (Красноярск, 2006).
— Семинар Института вычислительного моделирования СО РАН «Ма
тематическое моделирование в механике» под руководством профес
сора В.К. Андреева (Красноярск, 2006).
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах [9-15, 21, 45], а также в статье O.V. Kaptsov, A.V. Zabluda Characteristic invariants and Darboux's method, опубликованной в Internet по адресу .
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю Олегу Викторовичу Капцову за советы и постояш-юе внимание к работе.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 04-01-00130)
Одномерная нестационарная газовая динамика. Политропный газ с постоянной энтропией
Дифференциальные уравнения в частных производных используются для описания разнообразных процессов реального мира. Несмотря на то, что развитие современной вычислительной техники позволяет применять эффективные численные алгоритмы для решения нелинейных систем уравнений, тем не менее, построение точных решений по-прежнему остается важной задачей. Эти решения позволяют не только глубже понять качественные особенности описываемых процессов и явлений, но также могут быть использованы в качестве тестовых примеров для асимптотических, приближенных и численных методов.
Данная работа посвящена методам интегрирования нелинейных гиперболических систем уравнений в частных производных первого порядка. Рассматриваются уравнения, описывающие движения идеального газа в эйлеровых и лагранжевых координатах, а также уравнения магнитной гидродинамики.
Можно сказать, что в настоящее время уравнения классической газовой динамики изучены достаточно хорошо, в то время как магнитная гидродинамика является сравнительно новой областью математический физики. Известно пс так много точных решений для уравнений магнитной гидродинамики, поэтому развитие аналитических методов редукции и интегрирования этих систем представляет дополнительный интерес.
В книге [23] Курант отмечал ключевую роль интегралов характеристик при интегрировании уравнений с частными производными:
Самым важным фактом теории дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка является эквивалент ность задач интегрирования дифференциального уравнения с частными производными и характеристической системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Под интегралами характеристической системы понимаются функции, принимающие постоянные значения вдоль характеристических кривых. Утверждение Куранта носит более общий характер, и применимо не только к уравнениям первого порядка.
Так один из первых методов интегрирования нелинейного уравнения в частных производных второго порядка F{x, у, % их, иу, ихх, иху, иуу) = О (1) был предложен Моижем, а позднее улучшен Ампером. Чтобы воспользоваться методом Монжа-Ампера, необходимо найти уравнение первого порядка f(x,у,и,их,иу) =с, се R (2) такое, что каждое его решение удовлетворяло бы уравнению (1) при любом с. При этом функцию / называют первым интегралом уравнения (1). Для построения первых интегралов необходимо искать функции, постоянные вдоль направлений характеристик уравнения (1). Если имеется два первых интеграла j\ и /2 Для данного семейства характеристик, то интегрирование уравнения (1) сводится к решению уравнения первого порядка G(/i,/2) = 0s где G — произвольная гладкая функция.
В 1870, Г. Дарбу представил обобщение метода Монжа-Ампера. Он предложил строить дополнительные дифференциальные уравнения в частных производных второго (и более высоких) порядков д(х, у, и, иХ: иу, ихх,иХу,иуу) = с. (3)
Функция д также должна сохраняться вдоль характеристик уравнения (1), и в этом случае она называется инвариантом характеристик урав нения (1). Подробное описание этого метода, с большим числом примеров, имеется в книге [44], другое изложение метода можно найти в монографии [43].
Несмотря на то, что уравнения, интегрируемые по Дарбу, возникают сравнительно редко, тем не менее они представляют значительный интерес. Е. Вессио [52,53] классифицировал уравнения вида иху = w{x,y,%ux:uy), интегрируемые методом Дарбу, и нашел общее решение для каждого из полученных уравнений.
Основную роль в развитии этого метода играли французские математики. Российскими и советскими исследователями также были получены интересные результаты [6.24]. В последнее время вновь появились публикации, посвященные данному мето;гу [7,8.19,34,36,37.39,51].
Инварианты высших порядков
Бесконечная серия инвариантов высших порядков, сохраняющихся вдоль контактной характеристики, строится с помощью оператора ин вариантного дифференцирования путем многократного применения его к функции I = s. В частности нетрудно убедиться, что 3\ = sx/p является инвариантом.
Будем теперь искать инварианты первого порядка, сохраняющиеся вдоль звуковой характеристики, то есть определенные как решения уравнения (1.26). Искомая функция J может зависеть отї.х.щр.р и обязана зависеть хотя бы от одной из производных их,рх,рх. В этом случае левая часть уравнения (1.26) является многочленом первой степени от ихх, рхх и рхх. Собирая подобные члены при этих переменных приходим к двум уравнениям (третье является их следствием)
Свободное слагаемое в левой части, в силу первого уравнения системы (1.33), можно рассматривать как многочлен первой степени относительно рх. Это дает еще два уравнения
Приводя систему уравнений первого порядка (1.33)-(1.35) в инволюцию, непосредственно или с помощью стандартных программ пакета Maple [5]. можно показать, что эти уравнения имеют решения, зависящие от первых производных только тогда, когда скорость звука задается выражением
В этом случае имеется следующее решение уравнения Если искать решение уравнения (1.6), при L = L3 = Dt + (и — c)Dx, зависящее от первых производных, то оно также существует только при условии (1.36). Соответствующий инвариант задается формулой («+М1/3 ы , Теорема 1.9. [18] Система одномерных уравнений газовой динамики (1.24) интегрируема по Дарбу с помощью инвариантов нулевого и первого порядков тогда и только тогда, когда скорость звука задается формулой (1.36).
Наличие двух инвариантов на каждую из характеристик системы (1.24) позволяет воспользоваться схемой применения инвариантов для построения редукций, предлагаемой в [18].
Замечание. В работе [J8] рассматривается случай с 1/р (соответственно а = 1, b = 0). При этом система (1.24) сводится к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям. В данной работе аналогичная редукция строится для произвольных значений а и Ъ.
Таким образом, справедливо следующее утверждение. Теорема 1.10. Пусть скорость звука задается формулой (1.36). Тогда система уравнений одномерной газовой динамики (1.24) сводится к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям произвольные функции.
Точные решения уравнений газовой динамики можно строить, задавая конкретные виды функций С?2, G$-, Ф, и интегрируя уравнения (1.44).
Определение условий существования инвариантов второго порядка звуковых характеристик системы уравнений газовой динамики представляет собой сложную вычислительную задачу. Однако если ограничиться рассмотрением случаев вида с(р,р) — ра/р, то можно показать, что инварианты второго порядка, отвечающие значениям а = 2 и а — 4/5, имеют вид
В работе [18] приводятся инварианты характеристик уравнений газовой динамики в двумерном случае. В стационарных течениях вдоль линий тока сохраняются энтропия s и функция Бернулли
Также указывается способ построения инвариантов высших порядков с помощью оператора инвариантного дифференцирования А/ up Рассмотрим двумерную нестационарную модель идеального газа с проневольным уравнением состояния р — р(р. s)
Непосредственными вычислениями инвариантов характеристик до третьего порядка включительно можно показать, что энтропия в является очевидным и единственным инвариантом, сохраняющимся вдоль траекторий. Если в уравнении состояния давление р не зависит от ,s, то система, обладает дополнительными инвариантами является оператором инвариантного дифференцирования для системы (1.45)-(1.48) нрир=р(р). Доказательство. Пусть h — некоторый инвариант. По лемме 1.3 . L_D{s,h) /D{s,J) D(x,y)f D{x,y) также является инвариантом. Согласно утверждению 1.2 произведение L и —К вновь является инвариантом.
Заметим, что предположение р = р(р) приводит к распадающейся системе. Первые три уравнения описывают изоэнтропическое движение газа. Пусть р; и и v — некоторые решения уравнений (1.45)-(1,47), тогда в соответствии со схемой Дарбу, полагая s f(J), получаем решение последнего уравнения (1.48) произвольная функция. Утверждение 1.12. Единственным инвариантом порядка к 4 системы уравнений газовой динамики в изоэнтроп и песком случае является Справедливость данного утверждения показывается с помощью прямых вычислений.
Следует отметить, что при расчете инвариантов характеристик высших порядков, особенно в многомерном случае, объем выкладок, как правило, значителен. Для автоматизации расчетов автором был разработан пакет аналитических вычислений. InvChar [И], позволяющий по заданной системе уравнений находить характеристики и составлять систему определяющих уравнений на функцию-инвариант. Получаемая система
Двумерная магнитная гидродинамика
Очевидно, что объединенная система (2.18), (2.19) является переопределенной. Гем не менее, для этих уравнений также вводится понятие характеристик, путем исключения уравнения (2.19) из рассмотрения. В данной работе ограничимся рассмотрением семейства контактных характеристик и инвариантов, сохраняющихся вдоль соответствующих направлений в силу объединенной системы (2.18) и (2.19).
Утверждение 2.5. В стационарном случае система уравнений (2.18). (2.19) обладает двумя инвариантами нулевого порядка, сохраняющимися вдоль линий тока uDx + vDy. IQ — S, її = UB2 - vBi.
Справедливость утверждения показывается с помощью прямых (компьютерных) вычислений. Также несложно доказать, что оператор Т =-2- (2.20) up является оператором инвариантного дифференцирования. Доказательство этого утверждения аналогично доказательству утверждения 2.2.
Применяя оператор V к 70, можно построить бесконечную последовательность инвариантов высших порядков. Заметим однако, что приме {иВ2 - vBi)y нение этого оператора к її дает = U в силу системы, что up не позволяет построить вторую последовательность инвариантов.
В нестационарном случае энтропия s является единственным инвариантом нулевого порядка, а расчет инвариантов первого порядка дает Инвариант J0 также может быть получен из s с помощью оператора инвариантного дифференцирования
Для расчета инвариантов второго порядка необходимо решать систему уравнений, получаемую из приравниванием нулю соответствующих коэффициентов при третьих производных. Ввиду большого числа уравнений и переменных, от которых зависит искомая функция h, непосредственное интегрирование определяющих уравнений представляет из себя сложную вычислительную задачу. Тем пе менее, в работе удается найти все инварианты второго порядка.
Приводя систему и инволюцию и анализируя количество уравнений. можно заключить, что существует четыре функционально независимых ее решения (инварианта). Первые два нам известны — 1$ и Jo, Инварианты второго порядка можно построить, используя операторы Г 0 и
Получаем соответственно Бесконечные последовательности инвариантов высших порядков построятся с помощью операторов VQ, V\, а также леммы 1.3. Трехмерная магнитная гидродинамика
Система уравнений магнитной гидродинамики в трехмерном нестационарном случае обладает одним инвариантом нулевого порядка и одним — первого:
Инвариант Jo можно считать аналогом интеграла Эртеля для магнитной гидродинамики. Он также может быть получен из 1$ с помогцью опера/тора
Ограниченные возможности современных вычислительных систем, к сожалению, не позволяют произвести прямой расчет инвариантов второго порядка. Систему определяющих уравнений не удается привести к стандартной форме, и, поэтому невозможно указать точное количество инвариантов характеристик второго порядка.
Тем не менее, с помощью операторов инвариантного дифференцирования удается построить некоторые инварианты высших порядков. Так. например, нетрудно убедиться, что функция KQ — о( о) сохраняется вдоль траекторий, и. следовательно, является инвариантом второго по-рхдкя.
Интегрирование уравнения Мутара с помощью преобразований Дарбу
Таким образом, результаты, полученные в параграфе 3.3, применимы и для случая (3.48), соответствующего другому классу уравнений состояния. В частности при функции F степенного вида будем иметь интегралы движения политропного газа с непостоянной энтропией.
Данный параграф посвящен вопросам нахождения инвариантов характеристик уравнений (3.2) первого порядка h — h(t, q,u.p.uq,pq). В связи со значительным объемом вычислений, большинство предлагаемых ниже результатов было получено с использованием стандартных и специализированных пакетов аналитических вычислений среды Maple.
Будем искать инварианты, сохраняющиеся вдоль направлений характеристик, соответствующих оператору L+ — Dt + f(p-q)Dq.1 Система определяющих уравнений па функцию h. получаемая пз
Для второй системы характеристик L = Dt — f{p,q)Dq рассуждения амалогичн занулением соответствующих коэффициентов при вторых степенях, имеет вид
Анализ уравнений (3.49) будем проводить с помощью компьютерной процедуры sform, разработанной для приведения линейных систем к стандартной форме [49]. Ниже приводятся некоторые возможные условия на функцию /, при которых система (3.49) обладает нетривиальным решением
Полное исследование случаев, при которых система (3.2) обладает инвариантами первого порядка, состоит в анализе 16 уравнений, подобных уравнениям (3.51)-(3.57), что безусловно является чрезвычайно трудоемкой задачей. В данной работе рассматриваются лишь некоторые случаи.
Так, например, из уравнения (3.50) следует, что функция / должна иметь вид f{p-,q) — F(m(p) 4- q), где F и т — произвольные функции. Подставляя данный вид в уравнения (3.49) и проводя дальнейшее исследование на совместность, убеждаемся, что для существования нетривиального решения требуется, чтобы функция т была линейной. При этом количество уравнений в полной системе на единицу меньше числа неизвестных — соответственно, пять уравнений на функцию h шести переменных. В параграфе 3.1 было доказано существование инварианта нулевого порядка при f{p. q) = F(ap + bq). Этот инвариант естественно является и решением системы (3.49) при тех же условиях. Для нахождения инвариантов, действительно зависящих от первых производных, будем требовать, чтобы полная система состояла из четырех уравнений.
1. Для уравнений одномерной газовой динамики в эйлеровых координатах с непостоянной энтропией найдены инварианты характеристик нулевого и первого порядков, а также некоторые инварианты внісших порядков. С помощью инвариантов нулевого порядка построено решение, зависящее от двух произвольных функций. Указан способ сведения исходной системы к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям, основанный на использовании инвариантов первого порядка.
2. Получены инварианты характеристик уравнений магнитной гидродинамики. В одномерном нестационарном случае исходная система сводится к одному уравнению второго порядка, для которого при некоторых условиях построено общее решение.
3. Для уравнений одномерной газовой динамики в лагранжевых координатах получены все инварианты нулевого порядка, а также инварианты высших порядков. С помощью инвариантов нулевого порядка, а также нелокальных инвариантов, исходная система сводится к уравнению Эйлера-Дарбу и, далее, к уравнению Мутара. Представлены общие решения уравнений Мутара. получаемых из волнового уравнения с помощью последовательного применения трех преобразований Дарбу,
4. Разработан пакет аналитических вычислений InvChar для нахождения инвариантов характеристик систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка в среде Maple.
