Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Граничные задачи и задачи сопряжения для уравнения Гельм-гольца в полосе 10
1. Задача дифракции на перегородке в плоском волноводе 12
2. Криволинейная граница. Метод интегральных тождеств 21
3. Усечение бесконечной области. Конечно-разностная аппроксимация 30
Глава 2. Граничные задачи и задачи сопряжения для системы уравнений Максвелла в цилиндрических областях 37
4. Система уравнений Максвелла в полубесконечной цилиндрической области... 39
5. Разветвление цилиндрического волновода 45
6. Задачи для системы уравнений Максвелла в прямоугольной цилиндрической области 52
Глава 3. Сопряжение полуоткрытых диэлектрических волноводов 59
7. Задача сопряжения для уравнения Гельмгольца в слоистой полуплоскости 61
8. Моды полуоткрытого диэлектрического волновода 62
9. Приближенный метод решения задачи сопряжения 70
Глава 4. Переопределенные граничные задачи для уравнения Гельм гольца 78
10. Граничная задача для уравнения Гельмгольца в смещенной четверти плоскости 79
11. Граничная задача для уравнения Гельмгольца в полуполосе 84
12. Переопределенные задачи в слоистых четвертях плоскости и интегральные уравнения задачи сопряжения полуоткрытых волноводов 88
Литература 94
- Криволинейная граница. Метод интегральных тождеств
- Усечение бесконечной области. Конечно-разностная аппроксимация
- Задачи для системы уравнений Максвелла в прямоугольной цилиндрической области
- Переопределенные задачи в слоистых четвертях плоскости и интегральные уравнения задачи сопряжения полуоткрытых волноводов
Введение к работе
В диссертации исследованы граничные задачи и задачи сопряжения для уравнения Гельмгольца и системы уравнений Максвелла, которые используются при описании процессов распространения и дифракции электромагнитных волн в волновод-ных структурах. Основная цель работы — распространить метод переопределенной граничной задачи на новые классы задач волноводной электродинамики: задачи сопряжения полей с криволинейными границами раздела сред; трехмерные задачи для волноводов произвольного сечения с металлическими стенками и задачи о стыке открытых диэлектрических волноводов.
Метод переопределенной граничной задачи представляет собой модификацию метода частичных областей, который широко используется при исследовании задач математической физики. Если область, в которой рассматривается электромагнитное поле, может быть разбита на отдельные подобласти, то на разделяющих их поверхностях должны быть непрерывны касательные составляющие векторов напряженно-стей электрического и магнитного поля. В двумерном случае на границе раздела сред должны быть непрерывны потенциальная функция (решение уравнения Гельмгольца) и ее нормальная производная. Во многих случаях целесообразно рассматривать в частичных областях вспомогательные граничные задачи, в которых на всей границе или, может быть, только на некоторой ее части, заданы все те величины, которые участвуют в условиях сопряжения. Такие задачи являются переопределенными, поскольку условий на границе задается заведомо больше, чем нужно для выделения единственного решения. Необходимые и достаточные условия разрешимости переопределенных задач задают зависимости между граничными функциями. Эти условия вместе с условиями сопряжения на общих участках границ частичных областей образуют систему функциональных уравнений, интегральных или сумматорных, которая сводится в дальнейшем к регулярному интегральному уравнению или бесконечной системе линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ).
Метод переопределенной граничной задачи стал использоваться при исследовании задач теории распространения и дифракции волн после публикации двух работ. В статье И.Е.Плещинской и Н.Б.Плещинского [64] были получены условия разрешимости ряда переопределенных граничных задач Коши для эллиптических уравнений с частными производными и с их помощью исследованы некоторые задачи сопряжения, в том числе и задача дифракции электромагнитной волны на металлической пластине в плоском волноводе. В работе Н.Б.Плещинского и Д.Н.Тумакова [46] методом переопределенной граничной задачи были решены задачи дифракции электромагнитных волн на металлической полосе, на периодической решетке и на стыке плоских волноводов разной толщины.
Одной из первых была исследована переопределенная задача Коши для уравнения Гельмгольца в полуплоскости. Методом интегрального преобразования Фурье в пространстве распределений медленного роста на бесконечности было получено, что необходимое и достаточное условие разрешимости этой задачи представляет собой простое равенство, которое связывает образы Фурье граничных функций. Было установлено, что условие на бесконечности (условие излучения), обеспечивающее единственность решения граничных задач для уравнения Гельмгольца в полуплоскости, может быть задано в аналогичной форме. Если от образов Фурье перейти к исходным граничным функциям, то условия разрешимости переопределенной задачи вместе с условием на бесконечности превращаются в пару взаимно обращающих друг друга интегральных уравнений (интегральных тождеств). В периодическом случае связи между граничными функциями в переопределенных задачах могут быть сформулированы как зависимости между их коэффициентами Фурье, а интегральные тождества становятся сумматорными (точнее, интегрально-сумматорными).
В работах А.Махера, И.Е.Плещинской, Н.Б.Плещинского, О.А.Раскиной, Д.Н.Ту-макова и автора диссертации метод переопределенной граничной задачи использовался при исследовании различных координатных задач электродинамики (граничную задачу называют координатной, если границы частичных областей являются координатными линиями или поверхностями). Методом интегрального преобразования Фурье были получены необходимые и достаточные условия разрешимости переопределенной задачи Коши в полосе и решение задачи о скачке на границе раздела сред в плоскослоистой среде [63], [22], [18], [19]. Задача Коши в четверти плоскости (квадранте) и задача сопряжения двух квадрантов рассматривалась в работах [G9], [47]. В работах [48], [70] задача о разветвлении плоского волновода методом интегрально-сумматорных тождеств сведена к БСЛАУ, приближенное решение которой может быть найдено методом усечения. Граничные задачи для системы уравнений Максвелла в полупространстве исследованы в работах [26], [40] (см. также обзор [28]).
Метод переопределенной граничной задачи был перенесен на задачи теории распространения и дифракции упругих волн в слоистых средах. Двумерный случай был подробно исследован в работах [44], [45] а трехмерный — в препринте [27]. Аналогичный подход при сведении задач дифракции упругих волн на линейных дефектах использовала А.А.Гусенкова [7]. В работах Д.Н.Тумакова с помощью условий разрешимости переопределенной задачи для системы уравнений плоской теории упругости в полосе были изучены собственные колебания упругой полосы, в том числе и составленной из двух частей.
Различные подходы к решению задач сопряжения для уравнений с частными производными методом переопределенной граничной задачи обсуждались в обзорных статьях [41], [68], [42]. В обзоре [28], п.9 перечислены также некоторые задачи для гиперболических и параболических уравнений, для исследования которых был
использован метод переопределенной граничной задачи.
В главах диссертации имеется обзор публикаций по каждому из направлений исследований, проведенных при выполнении работе.
Основные результаты диссертации состоят в следующем.
Получены необходимые и достаточные условия разрешимости переопределенной граничной задачи для уравнения Гельмгольца в полуполосе с криволинейным срезом. Задача дифракции электромагнитной волны на криволинейной перегородке в плоском волноводе сведена к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений.
Доказано, что задача дифракции электромагнитной волны на ограниченной неоднородности в плоском волноводе эквивалентна граничной задаче для уравнения Гельмгольца в прямоугольнике с нелокальными граничными условиями на боковых стенках. Предложен алгоритм численного решения задачи дифракции на перегородке в волноводе, основанный на конечно-разностной аппроксимации граничной задачи в прямоугольнике.
Получены необходимые и достаточные условия разрешимости переопределенной граничной задачи для системы уравнений Максвелла в полуцилиндрической области с криволинейным срезом. Метод переопределенной граничной задачи распространен на задачу о разветвлении цилиндрического волновода с металлическими стенками и на задачу дифракции электромагнитной волны на криволинейной перегородке в цилиндрическом волноводе.
Найдены собственные волны полуоткрытого диэлектрического волновода (дискретного и непрерывного спектра) и доказано, что система таких собственных волн является ортогональной и полной. Предложен приближенный метод решения задачи сопряжения полуоткрытых диэлектрических волноводов.
Получены необходимые и достаточные условия разрешимости и интегральные представления решений переопределенных граничных задач для уравнения Гельмгольца в смещенной четверти плоскости, в полуполосе и в слоистой четверти плоскости. Задача сопряжения полуоткрытых диэлектрических волноводов сведена к эквивалентному интегральному уравнению.
В диссертации используются в качестве исходных постановок граничных задач и задач сопряжения общепринятые формулировки задач электродинамики: нужно найти решения системы уравнений Максвелла или уравнения Гельмгольца, удовлетворяющие граничным условиям и условиям сопряжения на границе раздела сред, а также условиям на бесконечности в случае неограниченной области. Поэтому основное внимание уделяется не вопросам существования и единственности решений, а разработке таких методов исследования, на основе которых могут быть построены
эффективные алгоритмы численного решения рассматриваемых задач. Методы исследования задач для уравнения Гельмгольца и системы уравнений Максвелла таковы, что не требуется задавать дополнительно какие-либо условия на ребре.
Классы искомых функций выбираются следующим образом. Если исследуемая волноводная структура имеет полную систему собственных волн (главы 1-3), то предполагается, что искомое решение может быть представлено в виде разложения (ряда) по собственным волнам. Операции над суммами таких рядов выполняются формально. В зависимости от того, в каком смысле сходится построенный ряд по собственным функциям, найденное решение будет обобщенным или классическим. Но уравнение Гельмгольца и система Максвелла (для комплексных амплитуд) являются эллиптическими уравнениями с частными производными. Поэтому при достаточной гладкости граничных функций обобщенные решения совпадут с классическими.
Иногда требуется сделать специальное предположение о том, в каком смысле понимается предельное значение (след) решения рассматриваемого уравнения на границе области определения. В самом общем случае (при наличии проводящих экранов на границе раздела сред) предельный переход должен пониматься в смысле теории распределений. Хотя достаточно считать, что искомые решения принадлежат классу локально интегрируемых в области функций и их предельные значения на границе области корректно определены в обычном смысле почти всюду, при переходе к распределениям функции двух переменных нужно рассматривать как обобщенные функции одной из переменных, значения которых — распределения.
В главе 4 переход к распределениям связан с использованием при исследовании переопределенных задач для уравнения Гельмгольца техники интегрального преобразования Фурье в классе распределений медленного роста на бесконечности. Волновые процессы всюду в диссертации рассматриваются в средах без затухания. Поэтому даже для бесконечно дифференцируемых функций егах при вещественном а образы Фурье — сингулярные распределения.
Практическая ценность полученных результатов состоит в том, что для всех рассмотренных граничных задач и задач сопряжения волноводной электродинамики получены эквивалентные им более простые с вычислительной точки зрения задачи: бесконечные системы линейных алгебраических уравнений, регулярные интегральные уравнения или граничные задачи в ограниченной области, допускающие конечно-разностную аппроксимацию. В работе предложены численные алгоритмы для их решения. Были проведены вычислительные эксперименты, подтвердившие эффективность численных методов. Некоторые из результатов контрольных расчетов включены в текст диссертации. Выделены простые частные случаи, когда решения задач сопряжения могут быть найдены аналитически и, следовательно, могут быть использованы при тестировании алгоритмов и отладке программ.
В первой главе исследована двумерная задача дифракции ТЕ-поляризовашюй электромагнитной волны на перегородке в плоском волноводе (на криволинейной границе раздела сред с тонким металлическим экраном). В 1 дана постановка задачи и рассмотрен ее частный случай, когда перегородка в волноводе вертикальная. В этом параграфе содержатся некоторые из результатов работы Н.Б.Плещинского и Д.Н.Тумакова [46]: постановка переопределенной задачи Коши-Дирихле для уравнения Гельмгольца в полуполосе, вывод необходимых и достаточных условий разрешимости этой задачи в форме интегральных и интегралыю-сумматорных тождеств, явное решение задачи о скачке для уравнения Гельмгольца в полосе, эквивалентные исходной задаче дифракции интегральные уравнения двух основных типов и бесконечная система линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения искомого поля по собственным волнам. В 2 рассмотрен случай криволинейной границы раздела сред. Найдена связь между следами потенциальной функции поля и ее производной по нормали на криволинейном срезе полуполосы (условие разрешимости переопределенной задачи) в форме интегральных и интегрально-сумматорных тождеств. Методом переопределенной граничной задачи исходная задача дифракции волны па криволинейной границе раздела сред сведена к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, для численного решения которой может быть применен метод усечения. Рассмотрен частный случай -наклонная граница раздела сред. В 3 показано, что исследуемая задача дифракции эквивалентна граничной задаче для уравнения Гельмгольца в прямоугольнике с нелокальными граничными условиями на боковых сторонах. Построена конечно-разностная аппроксимация граничной задачи в прямоугольнике. Предложен численный алгоритм, основанный на методе прогонки.
Во второй главе метод переопределенной граничной задачи перенесен на трехмерную задачу дифракции электромагнитной волны на перегородке в волноводе произвольного сечения с металлическими стенками. В 4 показано, что любое решение системы уравнений Максвелла в полубесконечном волноводе с плоским поперечным срезом может быть разложено по собственным волнам бесконечного волновода. Построен алгоритм восстановления поля по его касательным составляющим на срезе, получено необходимое и достаточное условие разрешимости переопределенной граничной задачи в полубесконечной цилиндрической области с условиями Коши на торце. С помощью условий разрешимости в 5 задача дифракции электромагнитной волны на разветвлении волновода произвольного сечения с металлическими стенками сведена к регулярной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. В качестве примера рассмотрена задача о разветвлении прямоугольного волновода, эта задача решена численно, приведены результаты расчета. В 6 рассмотрен общий случай, когда граница раздела сред в цилиндрическом волноводе — произвольная гладкая поверхность. Получена связь между касательными составляющими элек-
трического и магнитного поля на границе, которая может быть использована при решении ряда задач дифракции на перегородках в волноводе, на его разветвлении и на других неоднородностях.
В третьей главе метод вспомогательной переопределенной задачи распространен на задачу о стыке полуоткрытых диэлектрических волноводов. Как известно, открытые и полуоткрытые волноводные структуры отличаются от волноводов с металлическими стенками тем, что в полном наборе собственных волн содержатся моды дискретного спектра и моды непрерывного спектра. В 7 дана постановка задачи сопряжения решений уравнения Гельмгольца с разрывным коэффициентом в слоистой полуплоскости. Непосредственно к этой задаче сводится задача дифракции ТЕ-поляризованной электромагнитной волны, набегающей на стык полуоткрытых диэлектрических волноводов. В 8 методом разделения переменных найдены все моды полуоткрытого диэлектрического волновода, относящиеся как к дискретному, так и к непрерывному спектру. Суперпозиция всех мод представлена в виде интеграла по сложному контуру на комплексной плоскости, состоящему из полуоси, отрезка прямой и конечного множества изолированных точек. Показано, что моды полуоткрытого диэлектрического волновода образуют ортогональную систему функций: получена формула для вычисления скалярного произведения и найдены его значения при различных вариантах выбора перемножаемых функций. В 9 задача сопряжения полуоткрытых волноводов рассмотрена в приближении волноводных мод, она сведена к конечной системе линейных алгебраических уравнений. Приведены результаты вычислительного эксперимента. Построен приближенный метод решения задачи сопряжения полуоткрытых волноводов, основанный на аппроксимации искомой амплитуды волн непрерывного спектра разложениями по ортогональным полиномам.
В четвертой главе исследованы три переопределенные граничные задачи для уравнения Гельмгольца в областях с координатными границами. В 10 и 11 методом интегрального преобразования Фурье получены условия разрешимости граничных задач для уравнения Гельмгольца в смещенной четверти плоскости и в полуполосе. Связи между граничными функциями получены в форме равенств, в которых участвуют их образы Фурье. Построены интегральные представления решений граничных задач и исследованы их свойства. Уточнены и дополнены некоторые результаты, полученные ранее в работе [47]. В 12 рассмотрена граничная задача для уравнения Гельмгольца в четверти плоскости, составленной из полуполосы и смещенной четверти плоскости. Получено интегральное представление решения этой задачи в виде интеграла по контуру на комплексной плоскости, что дает основание считать: полученная в главе 3 система собственных волн полуоткрытого диэлектрического волновода является полной. Задача дифракции электромагнитной волны на стыке полуоткрытых диэлектрических волноводов сведена к эквивалентным ей интегральным уравнениям.
Результаты диссертации докладывались на I и II Молодежных научных школах-конференциях "Задачи дифракции и сопряжение электромагнитных полей в вол-новодных структурах" (Казань, Юдино, 19-22 октября 2000 г. и Казань, 14-16 октября 2002 г.), на научной конференции "Проблемы современной математики", посвященной 125-летию КГПУ (Казань, 22-24 октября 2001 г.), на Молодежной научной школе-конференции "Численные методы решения линейных и нелинейных краевых задач" (Казань, 19-23 ноября 2001 г.), на научной конференции "Актуальные проблемы математического моделирования и информатики" (г.Казань, 30.01.2002 - 06.02.2002 г.), at the 9th, 10th and 11th International Conferences on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET) (Kiev, Ukraine Sept. 10-13, 2002; Dniepropetrovsk, Ukraine Sept. 14-17, 2004; Kharkov, Ukraine June 26 - Yule 1, 2006), на международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, 26 сентября - 1 октября 2004 г.), на Четвертой молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения — 2005" (Казань, 16-18 декабря 2005 г.), на студенческих научных конференциях и Итоговых научных конференциях КГУ, на семинарах кафедры прикладной математики и отдела прикладной математической физики НИИММ им. Н.Г.Чеботарева Казанского государственного университета.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [29], [30], [65], [36], [37], [66], [31], [32], [33], [34], [35], [67], [38], [39]. Результаты написанных совместно с научным руководителем работ принадлежат авторам в равных долях.
Автор благодарен научному руководителю профессору Н. Б. Плещи некому за постановку задач и помощь при проведении исследований.
Криволинейная граница. Метод интегральных тождеств
Распространим метод интегральных тождеств на случай криволинейной границы раздела сред в плоском волноводе. Потенциальные функции искомого электромагнитного поля в отдельных частях плоского волновода представим в виде ряда Фурье по потенциальным функциям собственных волн. Связь между следами на срезе полубесконечной области решения переопределенной задачи для уравнения Гельмгольца получим в форме интегрального уравнения, ядро которого представляет собой сумму двойного ряда. Тогда задачу дифракции электромагнитной волны на криволинейной границе раздела сред можно свести к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Рассмотрим задачу дифракции электромагнитной волны в плоском волноводе на криволинейной границе раздела сред без экрана. Пусть, как и в 1, потенциальная функция волны, набегающей слева на границу раздела сред, Будем искать потенциальные функции электромагнитного поля слева и справа от перегородки в виде Пусть граница раздела сред z = f(x), 0 х h имеет вектор нормали n = (nx(x),0,nz(х)). Уточним, как вычисляются на границе раздела сред касательные составляющие векторов Е и Н для поля ТЕ-поляризации:
Поэтому на перегородке должны быть непрерывны выражения Еу и nzHx — nxHz или, в терминах потенциальной функции, Таким образом, при 0 х h должны выполняться равенства В этих равенствах содержатся следы на границе раздела сред решений уравнения Гельмгольца и их производных по нормали в левой и в правой полуполосе: Чтобы исключить неизвестные коэффициенты Вп из системы функциональных уравнений (2.5), (2.6), получим связь между их правыми частями в форме интегральных тождеств. Доказательство. Будем искать функцию Kf(t,x) в виде разложения в двойной ряд Фурье Полученные интегральные тождества представляют собой необходимые и достаточные условия разрешимости переопределенных задач Коши-Дирихле для уравнения Гельмгольца в полуполосах с криволинейным срезом. Исключим из уравнений (2.5), (2.6) коэффициенты Вп. Применим к уравнению (2.6) интегральное преобразование с ядром Ki(t,x) (умножим обе части равенства на ядро, проинтегрируем от 0 до К) и вычтем из первого уравнения преобразованное второе. Получим Построим алгоритм приближенного решения задачи дифракции электромагнитной волны на криволинейной границе раздела сред в плоском волноводе, основанный на методе усечения БСЛАУ (2.19). Введем три параметра усечения бесконечных сумм: N, R и S. Можно считать, что все они равны одному и тому же достаточно большому числу. Но при необходимости имеется возможность подбирать соотношения между этими параметрами так, чтобы добиваться хорошей точности при наименьших затратах вычислительных ресурсов.
Усечение бесконечной области. Конечно-разностная аппроксимация
Если все неоднородности в плоском волноводе сосредоточены в ограниченной прямоугольной области, то полунолосы слева и справа от нее можно заменить на нелокальные граничные условия на поперечных сечениях и отбросить. Нелокальные условия представляют собой связи между граничными функциями в переопределенных задачах в полубесконечпых областях. Тогда задача дифракции электромагнитной волны на неоднородностях сводится к граничной задаче для уравнения Гельмгольца в прямоугольнике. При численном решении такой задачи можно использовать метод разностных схем. Рис. 3.1: Выделение прямоугольной области Пусть неоднородность содержится в прямоугольнике 0 х h, 0 г h. Как и раньше, ограничимся случаем ТЕ-подяризованных электромагнитных волн. Получим граничные условия задачи для определения потенциальной функции и[т,,г) поля в прямоугольнике - решения уравнения Гельмгольца бесконечность, должны удовлетворять интегральному тождеству Пусть UQ(X), u\(x) — следы на сечении z — 0 потенциальной функции u(x,z) набегающей на перегородку волны.
Эти функции связаны друг с другом аналогичным тождеством иЦх) = - ful(t)Ki{t,x)dt, о (знак другой, так как волна не уходящая на бесконечность, а приходящая). Но тогда из условий сопряжения полей при z = О о Для правой полуполосы z g следы на сечении z = g потенциальной функции волны, уходящей на бесконечность, удовлетворяют интегральному тождеству о Искомая потенциальная функция и(х, z) в прямоугольнике должна быть решением уравнения (3.1) всюду, кроме точек границы раздела сред z = f(x), 0 х h. Вне экрана должны совпадать предельные значения с разных сторон границы решения и его нормальной производной, а на проводящем экране выполняться условия Теорема 3.1. Задача дифракции электромагнитной ТЕ-волны на криволинейной границе раздела сред z = f(x), О х h с металлическим экраном в плоском вол-поводе эквивалентна граничной задаче для уравнения (3.1) с кусочно-постоянным коэффициентом в прямоугольнике 0 х h, 0 z h с условиями (3.2), (3.4), (3.6) па его границе, условиями (3.7) на экране и стандартными условиями сопряжения на границе раздела сред вне экрана. 3.2. Разностная схема для граничной задачи в прямоугольнике Построим конечно-разностную аппроксимацию граничной задачи для уравнения Гельмгольца (3.1) в прямоугольнике [0,/і] х [0,д] с нелокальными граничными условиями слева и справа при наличии неоднородности внутри. Ограничимся случаем, когда линия разрыва коэффициента уравнения (граница раздела сред) совпадает с диагональю прямоугольника. Зададим равномерную сетку с узлами (xfc,Zj): Так как число узлов по каждой переменной одно и то же, то диагональ прямоугольника пересекает линии сетки только в узлах. Из условий (3.2) на верхней и нижней границах Уравнение Гельмгольца аппроксимируем обычной пятиточечной схемой здесь в простейшем случае значения k(xk,Zj) или &_, или &.
В нелокальных граничных условиях (3.4) и (3.6) заменим интегралы на конечные суммы с коэффициентами квадратурной формулы ау. При аппроксимации стандартных условий сопряжения на границе раздела сред вне экрана целесообразно заменить их уравнением Гельмгольца с "усредненным" коэффициентом При наличии на диагонали металлического экрана в лежащих па нем узлах условия (3.13) заменяются на более простые. Пусть границами экрана на диагонали прямоугольника являются точки (#JVI,2JVI) и (XN2,ZN2)- Тогда условия (3.7) дают уравнения разностной схемы а в уравнениях (3.13) значения индексов от N\ до Л не рассматриваются. Разностная схема представляет собой систему линейных алгебраических уравнений. Матрица коэффициентов этой системы имеет специальный вид, поэтому при вычислении решения целесообразно использовать модифицированный метод прогонки. 3.3. Алгоритм метода прогонки Перейдем в уравнениях разностной схемы к векторно-матричной форме записи. Обозначим v? столбец с номером j в матрице искомых значений (крайние элементы столбца нулевые). Все такие искомые векторы будем искать в виде v? = A uN, где Ai — некоторые (неизвестные пока) квадратные матрицы. При этом считаем, Замечание. Если при реализации алгоритма нужно экономить память, то на шаге 2 достаточно сохранять в цикле значения только двух последних матриц АК Если матрицы Ai не были удалены из памяти, то на шаге 4 можно пользоваться формулами v? = A uN. При наличии проводящего экрана метод прогонки нужно модифицировать. Это связано с тем, что на шаге 2 алгоритма (прямой ход, справа налево) элементы векторов uJ вычисляются в соответствии с формулами (3.17) по элементам двух предыдущих таких векторов. В узлах, лежащих на экране, искомые значения сеточной функции равны нулю. Но в узлах (xk,Zk-i), лежащих левее экрана, ближайшее правое значение Uk k должно быть равно нулю, а предыдущее по строке щ +х не может быть использовано, так как оно было получено из разностного аналога уравнения Гельмгольца с другим коэффициентом. Поэтому добавим к элементам базового вектора uN еще М = N2 - N\ + 1 элементов (см. точки на рис. 3.3 слева от экрана).
Задачи для системы уравнений Максвелла в прямоугольной цилиндрической области
Условия разрешимости переопределенной задачи в полубесконечной цилиндрической области, полученные в 4, можно использовать при исследовании многих других задач сопряжения электромагнитных полей в волноводе произвольного сечения с металлическими стенками. Общая схема рассуждений точно такая же, как и в двумерном случае (глава 1). Рассмотрим несколько задач дифракции на перегородке. Ограничимся случаем, когда волновод прямоугольный. Пусть сечение волновода 5 = [0,а]х [0,6]. Задача о скачке состоит в следующем. В прямоугольной цилиндрической области найти решение системы уравнений Максвелла при z О и при z 0 в классе решений, уходящих на бесконечность, удовлетворяющее условиям: касательная составляющая вектор-функции Е равна нулю на стенках области, а на перегородке z = 0 Ограничимся случаем, когда среды слева и справа от перегородки одинаковые. По аналогии с п. 1.4 будем искать поле слева и справа от перегородки как решения соответствующих переопределенных граничных задач в полуцилиндрических областях — на торцах z = 0 заданы касательные составляющие е±(х,у) и h±(x, у). Удобно воспользоваться готовыми формулами вида (4.14) для представления искомых решений системы Максвелла здесь коэффициенты Фурье заданных функций вычисляются по формулам (6.5), (6.6). Решение СЛАУ (6.11)-(6.14) легко найти, оно имеет вид (6.3), (6.4). Рассмотрим теперь задачу дифракции электромагнитной волны, набегающей на вертикальный бесконечно тонкий проводящий экран М в прямоугольном волноводе (см. рис. 6.2). Для определенности предположим, что волна приходит из области z 0. Как и в п. 1.4 будем считать, что внешнее поле задано по обе стороны экрана.
Если искать решение задачи дифракции в форме задачи о скачке, то из условий сопряжения полей в плоскости z = 0 следует, что в условиях задачи о скачке вектор-функция р(х,у) равна нулю всюду, а вектор-функция q(x,y) равна нулю вне М и остается неопределенной на М. Ее можно найти из условий причем каждое из них дает один и тот же результат. Доказательство. Векторное уравнение (система двух скалярных уравнений) следует из условий (6.15), если подставить в них правые части формул (6.7), (6.8), в которые, в свою очередь, подставлены правые части формул (6.3), (6.4) (с учетом того, что рх,Ру = 0, а интегралы по 5 в формулах (6.6) сводятся к интегралам только по М). Ядро интегрального уравнения (6.16) может быть выражено через следы на сечении функции Грина для системы уравнений Максвелла в полубесконечной прямоугольной цилиндрической области (см. [И]). Интегральное уравнение (6.16) может быть решено численно. Вычислительный эксперимент был проведен в случае, когда экран М — прямоугольник, стороны которого параллельны стенкам волновода. Использовался метод Галеркина, который дает регулярную СЛАУ для нахождения коэффициентов разложения искомых функций. Как показано в работе [43], метод Галеркина при решении интегральных уравнений вида (6.16) равносилен методу полуобращения. Рассмотрим задачу дифракции электромагнитной волны на неоднородности в прямоугольном волноводе. Пусть неоднородность содержится внутри параллелепипеда Q — [0, а] х [О, Ь] х [0, с] (на рис.6.3 в качестве неоднородности показан проводящий экран М на границе раздела сред Р). Как и в плоском случае (см. 3) полубесконечные цилиндрические области слева и справа от Q можно заменить на нелокальные граничные условия на стенках параллелепипеда z — 0 и z — с, эти условия легко выводятся из условий разрешимости соответствующих переопределенных задач. Теорема 6.3.
Задача дифракции электромагнитной волны па проводящем экране, расположенном на границе раздела сред в прямоугольном волноводе (рис.6.3) эквивалентна граничной задаче для системы уравнений Максвелла в параллелепипеде Q с нелокальными граничными условиями на сторонах z = 0 и z = с Доказательство проводится точно так же, что и в случае теоремы 3.1. Например, на левом срезе ограниченной области должны выполняться условия сопряжения где е (х, у), h (x, у) — следы на срезе решения переопределенной граничной задачи в левой полубесконечной цилиндрической области, а е(х,у), Ъ(х,у) — следы на срезе составляющих поля набегающей волны. При этом условие разрешимости переопределенной задачи имеет вид Случай, когда граница раздела сред в плоском волноводе криволинейная, рассматривается по той же схеме, что и случай криволинейной границы раздела сред в плоском волноводе (2). Изложим кратко метод построения условий разрешимости граничной задачи для системы уравнений Максвелла в полубесконечной прямоугольной цилиндрической области с переопределенными условиями на торце.
Переопределенные задачи в слоистых четвертях плоскости и интегральные уравнения задачи сопряжения полуоткрытых волноводов
"Длинные" интегралы преобразуются в интегралы по отрицательной мнимой полуоси точно таким же образом, что и в случае четверти плоскости. da. Из теорем 10.2 и 11.2 следует, что интегральные представления (8.6) дают общие решения уравнения Гельмгольца в полубесконечных слоистых областях. С одной стороны доказано, что эти решения могут быть записаны как интегралы по параметру а (обоснован метод разделения переменных). С другой стороны, представления (8.6) можно получить из формул (10.6) и (11.5), если исключить из условий разрешимости вспомогательных переопределенных задач (теоремы 10.1 и 11.1) образы Фурье 60(0 и Ь\() и оставить в решении только волны, распространяющиеся вправо. 12. Переопределенные задачи в слоистых четвертях плоскости и интегральные уравнения задачи сопряжения полуоткрытых волноводов Рассмотрим теперь две вспомогательные граничные задачи в правой и в левой половинах полуоткрытой волноводной структуры (см. рис. 7.1). В области х 0, z 0 нужно найти решение уравнения Гельмгольца с кусочно постоянным коэффициентом в классе решений, распространяющихся вдоль оси х (вправо), при граничных условиях Эта задача переопределенная, так как на границе х — 0 условий задано больше, чем нужно. В силу того, что искомое решение может быть аналитически продолжено в область х О, можно считать, что требуется найти общее представление волн в бесконечном полуоткрытом волноводе, распространяющихся вправо, по следам потенциальной функции на поперечном сечении х = 0. Вторая вспомогательная задача ставится аналогично. В области х О, z О нужно найти решение уравнения Гельмгольца с кусочно постоянным коэффициентом в классе решений, распространяющихся влево, при граничных условиях Ясно, что в случае волн, распространяющейся в направлении, противоположном направлению оси х, нужно изменить знак в правых частях формул (12.1) и (12.2).
Тогда условия разрешимости этой задачи имеют вид Задача сопряжения двух полубесконечных полуоткрытых волноводов с помощью полученных связей (12.1), (12.2), (12.4) и (12.5) между граничными функциями во вспомогательных граничных задачах может быть сведена к интегральным уравнениям различного вида. Интегральные уравнения можно получить относительно любой из граничных функций. Например, непосредственно из условий сопряжения следует, что Получим интегральное уравнение 2-го рода относительно функции Ui(z) в ходе следующих рассуждений: Рассмотрим интегральное уравнение (12.8). Перепишем его в виде так как удобно считать искомой функцией произведение N+(a)C+(a). Если и(х, z) = Cif (af; г)е га х, то v(a) — 2C?G(a, af). Покажем, как аппроксимировать это уравнение системой линейных алгебраических уравнений, которая может быть построена комбинированным методом — методом механических квадратур и методом моментов.
На участке непрерывного спектра (—к\,0) искомую функцию представим в виде где полиномы Лежандра Pj(a) получены заменой переменных из классических полиномов Лежандра (см. п. 9.2). На участке непрерывного спектра (—гО, -ioo) (мнимая отрицательная полуось) искомую функцию представим в виде где полиномы Лагерра Lj(a) получены заменой переменных из классических полиномов Лагерра. Тогда Аппроксимирующая уравнение СЛАУ состоит из трех групп уравнений. Во-первых, запишем уравнение (12.9) при а — ак и получим Во-вторых, умножим обе части уравнения на i\(a) и проинтегрируем по интервалу (-&i,0).
