Введение к работе
Актуальность темы. Одной из важных задач исследования систем дифференциальных уравнений является задача получения первых интегралов, т. е. таких функций зависимых и независимых переменных (и их производных строго меньшего порядка, чем порядок системы), которые постоянны вдоль интегральных линий. Зачастую именно первые интегралы несут больше информации об изучаемой системе, чем решения, так как имеют глубокий физический смысл. В физике первые интегралы называют законами сохранения, а в случае уравнений движения — еще интегралами движения. С математической точки зрения знание первых интегралов ведет к частичному интегрированию системы уравнений, с физической же — к сокращению числа неизвестных параметров, т. е. к более полному представлению о ее движении.
Связь теории дифференциальных уравнений с другими математическими нау-ками послужила источником развития множества новых направлений и методов в современной математике, таких, как групповой анализ дифференциальных уравнений1'2'3'4, алгебраические и геометрические методы исследования дифференциальных уравнений и многих других. Исключительно плодотворной оказалась идея о наличии связи между симметриями функционалов в вариационных задачах и существованием первых интегралов уравнений Эйлера-Лагранжа. Сюда относится весьма общая теорема Э. Нётер (1918) и ее обобщение на случай так называемых дивергентных симметрии5, предложенное Е. Бессель-Хагеном (1921).
Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978. - 399
с. 2
с. 3
с.
Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике - М.: Наука, 1983. - 280
Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. - М.: Мир, 1989. - 639
Фущич В. И., Никитин А. Г. Симметрия уравнений Максвелла. - Киев: Наукова думка, 1983.
- 200 с.
Лагранжиан вида L(q, q, t) заменяется на калибровочно измененный лагранжиан
L'{q, q, t) = L(q, q, t) + p—, и выписывается нётеров интеграл для функционала
L'(q, q, t) dt.
Движение пробной заряженной частицы в электромагнитном поле / описыва-
ется системой уравнений Лоренца1
е л
тех1 = -glKFkjx3 (1)
(#г = diag(—1, —1, —1,1) — метрический тензор 4-мерного пространства-времени Минковского в галилеевых координатах {х*}, т — масса частицы, е — ее заряд, с — скорость света в вакууме). Расчеты многих физических эффектов основаны на использовании этих уравнений7. Уравнения (1) могут быть получены как уравнения Эйлера-Лагранжа для функционала
S[x] = / (-mcds--Aidxi\ — (2)
действия для частицы с 4-потенциалом Д: (F^- = diAj — djAi).
Из (2) видно, что действие S содержит потенциал Аі, в то время как уравнение Лоренца содержит только поле F^-. Поэтому для применения теоремы Нётер требуется, чтобы инвариантным относительно некоторой группы было не только электромагнитное поле, но и потенциал. Инвариантность действия (2) относитель-но группы преобразований Gg П Ga8 в соответствии с теоремой Нетер приводит к определенному набору сохраняющихся величин — первых интегралов системы (1) следующего вида9
Н = -С (mcgijxj + -ЛЛ . (3)
Замена функционала (2) семейством калибровочно измененных функционалов
Sf[x] = / (-mods - -Д(/) dx*) , A\f) = Д + <%/, (4)
вследствие калибровочной инвариантности уравнений Лоренца может приводить
к новым сохраняющимся величинам . Все группы GqnGAu) содержатся в группе
6Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. - М.: Наука, 1967. - 460 с.
7Соколов А. А., Тернов И. М. Релятивистский электрон. - М.: Наука, 1974. - 391 с. sGg — 10-мерная группа преобразований пространства Минковского, сохраняющих метрический тензор (группа Пуанкаре); Ga — группа преобразований, сохраняющих потенциал А,.
9 С — вектор, определяющий 1-мерную подгруппу этой группы.
1 Это основная идея теоремы Бессель-Хагена — использование дивергентных симметрии для
получения первых интегралов уравнений Эйлера-Лагранжа.
Gs = GgDGp, где Gf — группа преобразований пространства Минковского, сохраняющих тензор Fjj. В связи с этим возникает вопрос: для каких групп симметрии существует потенциал, симметричный относительно всей группы Gs? Ответ отрицательный, например, для всех 6-мерных групп симметрии; для групп размерностей 3-5 есть примеры как положительного, так и отрицательного ответа. Важно отметить, что для однопараметрической группы Gs в случае общего положения ответ на указанный вопрос положительный, и это один из результатов диссертации. Можно сформулировать следующую теорему: если пространство Максвелла11 симметрично относительно r-мерной группы Gs, то система уравнений Лоренца допускает г первых интегралов.
В диссертации изучается основной случай, когда для данной группы Gs симметрии электромагнитного поля Fq не существует общего потенциала, инвариантного относительно этой же группы. Тогда для описания всех первых интегралов уравнений (1) необходимо привлекать потенциалы с меньшей группой симметрии. В этой связи естественно определяется фактор Бессель-Хагена группы Gs (с. 13) как фактор-пространство пространства С дифференциальных 2-форм, допускающих группу Gs, по образу d(P) пространства Р дифференциальных 1-форм, допускающих ту же группу Gs (d - оператор внешнего дифференцирования). Равенство фактора Бессель-Хагена нулю означает, что всех полей F^, инвариантных относительно группы Gs, существует потенциал А\ с этой же группой симметрии, и все интегралы системы уравнений Лоренца являются нётеровыми.
Цель работы. Целью работы является развитие теории симметричных пространств Максвелла и применение этой теории к получению первых интегралов системы уравнений Лоренца.
Основные задачи:
апробация модифицированного алгоритма получения первых интегралов уравнений Лоренца;
нахождение условий нётеровости для классов пространств Максвелла, допускающих нетривиальные группы симметрии;
см. определение пространства Максвелла на с. 7.
нахождение факторов Бессель-Хагена для некоторых подгрупп группы Пуан
каре.
Основные методы исследования. В работе используется математические методы электродинамики, вариационное исчисление, теория Нётер, тензорный анализ, метод разделения переменных для решения систем дифференциальных уравнений.
Научная новизна. Основные результаты диссертации:
предложена и апробирована на примерах модификация алгоритма получения первых интегралов системы уравнений Лоренца с использованием групповых классификаций пространств Максвелла и потенциалов.
получены условия нётеровости для некоторых классов симметричных пространств Максвелла.
найдены факторы Бессель-Хагена для некоторых подгрупп группы Пуанкаре.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории дифференциальных уравнений, в теоретической и математической физике, а также в дифференциальной геометрии.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались
на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010 г.);
на IV международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования" (Воронеж, 2011 г.);
на семинаре кафедры математического анализа в Ивановском государственном университете (2011 г.);
на семинаре по дифференциальным уравнениям в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова (руководители: профессор В. В. Жиков, профессор Е. В. Радкевич, профессор А. С. Шамаев, профессор Т. А. Шапошникова) (2012 г.);
на семинаре по дифференциальным уравнениям во Владимирском государственном университете им. Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых (2012 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах автора, список которых приведен в конце автореферата. Статьи [1], [2] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов кандидатских диссертаций.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы и подразделы, а также заключения и списка литературы, содержащего 60 наименований. Полный объём диссертации составляет 86 страниц машинописного текста.
