Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Изучение свойств интегралов и последних множителей Якоби линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных является основополагающим для многих разделов теории дифференциальных уравнений, механики и естествознания. Такими, например, являются изучение интегралов и интегральных многообразий автономных обыкновенных дифференциальных систем; построение инвариантов для групп инфинитезимальных преобразований; изучение систем с инвариантной мерой; теория поля; теория гидродинамики и др.
Теория интегралов в своих истоках связана с исследованиями J. Jaco-bi, О. Hesse, G. Darbux, В.Г. Имшенецкого, П.В. Пфейффера, Н.М. Гюн-тера, А.Н Коркина, а затем развита Н.П. Ерупшым, К.С. Сибирским, А.И. Яблонским, А.С.Галиуллиным, М.В. Доловым, Н.А. Лукашевичем, Л.А. Черкасом, В.И. Мироненко, Н.И. Вулпе. В настоящее время теория интегралов развивается благодаря тесным связям с механикой и естествознанием.
В исследованиях В.И. Мироненко для обыкновенных дифференциальных систем была решена задача наличия стационарных интегралов. Методы построения первых интегралов по частным интегралам для обыкновенных дифференциальных систем и систем уравнений в полных дифференциалах активно развивается В.Н. Горбузовым. Приложения теории интегралов в качественной теории обыкновенных дифференциальных систем разрабатываются М.В. Доловым и его учениками, Н.А. Лукашевичем, Л.А. Черкасом, Н.И. Вулпе, А.С.Шубэ. Значительно расширен диапозон группового анализа обыкновенных дифференциальных систем Л.В. Овсянниковым, Н.Х. Ибрагимовым , В.Ф. Зайцевым.
Таким образом, всякий прогресс в развитии теории интегралов важен не только как решение чисто математической задачи, но и с точки зрения многих прикладных проблем. Актуальность и недостаточная разработанность вышеуказанного вопроса и предопределили выбор темы диссертации.
Связь работы с крупными научными программами, темами. Диссертационная работа выполнена на кафедре математического анализа Гродненского государственного университета им. Я. Купалы в рамках научно-исследовательской темы «Дифференциальные уравнения и системы типа
2 Пенлеве»(регистрационный номер 1097), предусмотренной республиканской программой «Математические структуры» в 1997 - 1999 г.г.
Цель и задачи исследования. Целью работы является исследование аналитических свойств интегралов и последних множителей Якоби для линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных.
Для этого решаются следующие задачи: существование г-цилиндрич-ных частных интегралов, первых интегралов и последних множителей Якоби линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных; построение первых интегралов и последних множителей Якоби линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных по их частным интегралам и интегральным точкам; построение первых интегралов и последних множителей Якоби линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных по инфинитезимальным операторам; построение базиса первых интегралов якобиевой линейной однородной квадратичной системы уравнений в частных производных с особым типом в проективном пространстве.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются линейные однородные дифференциальные системы уравнений в частных производных.
Предметом исследования являются частные интегралы, первые интегралы и последние множители Якоби линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных.
Методология и методы проведённого исследования. В диссертации применяется методология исследования свойств линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных на основании частных и первых интегралов, последних множителей Якоби, инфини-тезимальных операторов. Установлено существование г-цилиндричных частых интегралов, первых интегралов и последних множителей Якоби для линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных. Разработан метод построения базиса первых интегралов квадратичной якобиевой линейной однородной дифференциальной системы уравнений в частных производных с особым типом в проективном пространстве.
Научная новизна и значимость полученных результатов. Все результаты данной диссертации являются новыми. Получены необходимые условия
и критерии существования у линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных r-цилиндричных частных интегралов, первых интегралов и последних множителей Якоби. Доказаны критерии и достаточные условия построения первых интегралов и последних множителей Якоби линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных по их частным интегралам, интегральным точкам и инфинитезпмальным операторам. На основе полученных результатов проведено построение первых интегралов у яко-биевой квадратичной линейной однородной дифференциальной системы уравнений в частных производных с особым типом в проективном пространстве.
Практическая значимость полученных результатов. Полз'ченные результаты позволили получить ряд новых подходов для изучения аналитических характеристик линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных. Конструктивная основа большинства полученных подходов позволяет широко их использовать в приложениях.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту. Необходимые условия и критерии существования r-цилпндричных интегралов и последних множителей Якоби линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных.
Построение первых интегралов и последних множителей Якоби линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных по их частным интегралам и интегральным точкам.
Построение последних множителей Якоби линейных однородных дифференциальных систем уравнений в частных производных по инфинитезпмальным операторам.
Построение базиса первых интегралов для якобиевой квадратичной линейной однородной дифференциальной системы уравнений в частных производных с особым типом в проективном пространстве.
Личный вклад соискателя. В диссертации включены только те результаты, которые получены лично соискателем. Роль научного руководителя, в соавторстве с которым написана одна статья, состояла в постановке задачи и анализе полученных результатов.
Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационной работы докладывались на:-
VII Беларусской Математической конференции (Минск, 1996);
международной математической конференции «Еругинские
4 чтения - IV» (Витебск, 1997);
межвузовской математической конференции памяти профессора С.Г. Кондратени (Брест, 1998);
международной математической конференции «Еругинские чтения - V» (Могилёв, 1998);
международной математической конференции «Еругинские чтения - VI» (Гомель, 1999);
международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (Минск, 1999).
VIII Беларусской Математической конференции (Минск, 2000);
Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 журнальных статьях и 7 тезисах докладов. Общее количество страниц опубликованных материалов — 42.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, основной части, которая подразделяется на пять глав и списка цитированных источников.
Объём диссертации — 95 страниц; количество использованных источников — 85.
