Введение к работе
Актуальность темы. Важным разделом теории уравнений с частными производными является теория краевых задач для эллиптических уравнении и систем уравнений. Эллиптические по Петровскому системы уравнений в частных производных второго порядка, но удовлетворяющие-требованию сильной эллиптичности по Вишпку, до настоящего времени в прикладных задачах не возникали, хотя сильно эллиптические системы с параметром встречаются в стационарной изотропной теории упругости. Однако для математики исследование таких систем представляет значительный интерес, что подчеркивалось в обзорном докладе И.М.Гельфанда, И.Г.Петровского, Г.Е.Шилова на третьем Всесоюзном математическом -съезде.
В настоящее время достаточно полно исследованы эллиптические системы с, двумя независимыми переменными и сильно эллиптические системы с любым числом независимых переменных (см., например, работы А.В.Бицадзе, М.И.Вишнка, Н.Е.Товмясяна, А.И.Янушаускаса и других автор'оп), есть интересные результаты для не сильно эллиптических систем с" параметром в работах Эжена и Франсуа Коссера, Щ.Б.Халилова, С.Г.Мнхлина, А.И.Янушаускаса, Г.В.Васильевой,' Е.А.Головко и др. Но в теории эллиптических систем имеется еще МЇК/ГО неясных вопросов. Одним из них является вопрос о том, как влияет структура системы на разрешимость задачи Дирихле и как зависит разрешимость этой задачи от области, в которой рассматривается система (работы А.В.Бішадзе). Сильно эллиптические системы ведут себя, в смысле разрешимости классн-
чееких граничных задач, как эллиптическое уравнение. Для не сильно эллиптических систем этот вопрос решается сложнее и он недостаточно исследован. Поэтому становится особенно важ- . ным изучение не сильно эллиптических систем и граничных задач для них, во время которого должны возникнуть различные интересные эффекты разрешимости этих задач. Кроме того, среди не сильно эллиптических систем, в свою очередь, есть системы, для которых классические граничные задачи являют» ' ея корректными, и есть системы, для которых их корректность нарушается, поэтому появляется необходимость такие системы изучать более полно и еще; более тонко их классифицировать. В работах А.И.Янушаускаса и его учеников уже рассмотрен ряд эллиптических по Петровскому систем, не, удовлетворяющих условию сильной эллиптичности, строится классификация таких систем.
Настоящая работа является продолжением исследований но теории разрешимости граничных задач для эллиптических но Петровскому систем.
Целью работы является исследование влияния структуры эллиптической по Петровскому системы, не удовлетворяющей условию сильной эллиптичности, на разрешимость задачи Дирихле для систем с тремя независимыми переменными специального вида и выяснение зависимости характера разрешимости задачи Дирихле от области, в которой рассматривается система.
Научная новизна и практичная значимость работы. Работа посвящена дальнейшему развитию и применению идей методов гармонических функции и интегральных
уравнений для исследования' разрешимости задачи Дирихле п различных областях. Вопрос о разрешимости задачи Дирихле в каждой из рассматриваемых областей для каждой из рассматриваемых систем сводится у изучению уравнения с частными производными второго порядка, которое является условием некоторой классической граничной задачи и для которого уже можно получить практические результаты. Кроме того, доказана инвариантность эллиптичности систем специального вида относительно введения дополнительных параметров в характс-' ристическую матрицу системы.
. Полученные результаты работы являются новыми и представляют интерес для теории эллиптических систем; могут быть использованы, при исследовании разрешимости граничных задач.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научном семинаре кафедры высшей математики Читинского политехнического института (Чита, 1993 г.); на научном семинаре кафедры математического анализа ИГУ под руководством профессора Н.А.Сидорова (Иркутск, 1993, 1994, 1996 г.г.); на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений механико- математического факультета МГУ под руководством академика Е.М.Ландиса (Москва, 1995 г., 17 конференция молодых ученых); на международной конференции по алгебре, геометрии и анализу (Новосибирск-Иркутск, 1995 г'.): на научном семинаре ИрВЦ СО РАИ (Иркутск, 1995, 1996 г.г.); на 18 конференции молодых ученых (Москва, 1996 г.; механико-математический факультет МГУ); на научном семинаре кафедры общей математики факультета ВМК МГУ под руковод-
ством академика В.А.Ильина (Москва, 199G г.); на ляпуновских чтениях на ИрВЦ СО РАН (Иркутск, 1996) и систематически на семинаре кафедры дифференциальных и интегральных уравнений ИГУ под руководством профессора А.И.Янушаускаса,
Публикации. Основные результаты диссертации содержатся D работах []- 5].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, включающего 91 наименование. Объем работы составляет 109 страниц.
На защиту выносятся следующие результаты:
-
сведение вопроса о разрешимости задачи Дирихле, для не сильно эллиптических систем в различных областях к изучению различных уравнений о частными производными второго порядка, являющихся условиями классических граничных задач и зависящих от вида области;.
-
исследование влияния коеосимметрической составляющей системы на характер разрешимости задачи Дирихле в произвольной ограниченной области с ляпуновской границей;
-
полное изучение характера разрешимости задачи Дирихле для не сильно эллиптической системы специального вида в различных областях и различными методами.
