Введение к работе
г
Актуальность темы. Исследованию моделей движения вязкой сжимаемой среды посвящено большое число работ. Значительный интерес к ним обусловлен многообразием постановок, сложностью их решения и многочисленными приложениями. Достаточно полная теория глобальной но времени и данным разрешимости уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой среды построена пока только для одномерных течений с плоскими волнами, когда решение зависит лишь от одной пространственной координаты х и времени t. В 1968 г. Я.И. Канель впервые установил глобальную по времени и данным однозначную разрешимость задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа. Для модели Бюргерса разрешимость задачи Коши и начально-краевых задач была доказана в работах Н. Итая и А. Тани.
Целостная теория глобальной корректной разрешимости основных начально-краевых задач и задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого газа была построена в цикле работ А.В. Кажихова и его учеников В.В.Шелухина, В.Б.Николаева. Разрешимость начально-краевых задач с другими краевыми условиями получили T.Nagasawa, S.Kawashima и T.Nishida. Уравнения движения вязкого баротропного газа с немонотонной функцией состояния и нелинейным коэффициентом вязкости изучены А.В.Кажиховым, В.Б.Николаевым, S.Yanagi. Уравнения движения вязкого теплопроводного газа с функциями состояния достаточно общего вида (уравнения реального газа) рассматривали А.А.Амосов, M.Okada, S.Kawashima, B.Kawohl, D.Hoff, S.Jiang.
Интересный и сложный случай разрывных данных (начальных данных, граничных данных, свободных членов и др.) исследован в работах А.А.Амосова, А.А.Злотника, В.В. Шелухина, D. Serre, D. Hoff, R. Zarnowski, H.Fuijita Yashima, M. Padula, A.Novotny. Наиболее законченные результаты получены в работах А.А.Амосова и А.А.Злотника.
Исследования уравнений динамики вязких сжимаемых сред продолжались в направлении усложнения моделей (введения новых уравнений и исследования сред с более сложными свойствами) и снижения требований к гладкости данных задач.
В последнее время значительный интерес уделяется изучению задач динамики материалов, демонстрирующих нелинейную упругопластичность, так называемых материалов с памятью. К ним относится, например, ряд сплавов. Особенностью их поведения является то, что зависимость упругопластического напряжения от деформации не может быть
1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 09-01-12166), программы Минобразования "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)" (проект 2.1.1/3276) и Федерального агентства по науке и инновациям (государственный контракт 02.740.11.5091).
записана как однозначная функциональная зависимость, поскольку значение напряжения в фиксированный момент времени зависит от всей предыстории деформации. Для подобных материалов имеют место характерные эффекты остаточного напряжения и остаточной деформации.
Операторы, служащие для описания подобной зависимости, называются гистерезисными операторами. Первым фундаментальным трудом по теории гистерезисных операторов стала книга М.А. Красносельского и А.В. Покровского, вышедшая в 1983 году. Позднее появились монографии M.Brokate, J.Sprekels, P.KrejcY, A.Visintin. В них содержатся и результаты о разрешимости начально-краевых задач механики невязких сред, в которых связь между напряжением и деформацией описывается гистерезисными операторами.
Простейшей моделью теории гистерезисных операторов является стоп-оператор (также называемый упором). На его основе определяется оператор Прандтля-Ишлинского, более корректно отражающий поведение реальных упругопластических материалов.
Задачи для сред с упругопластичностью, описываемой гистерезисиьш оператором, и при негладких данных, исследованы гораздо меньше. В настоящее время известны результаты для задач, описывающих динамику невязких сред, и, в основном, с гладкими данными (P.KrejCi).
В 1983 г. Н.С. Бахваловым и М.Э. Эглит была рассмотрена задача усреднения системы уравнений одномерного движения вязкой сжимаемой среды с быстро осциллирующими свойствами, и с помощью метода формальных асимптотических разложений были выведены новые уравнения движения. Предельная система оказалось нестандартной, интегро-дифференциальной. В ее уравнениях "быстрая" переменная не исчезла полностью; в математической теории усреднения такие уравнения принято называть двухмасштабными усредненными (G. Allaire). В 1991 к таким же уравнениям для баротропкого газа пришел D. Serre.
Строгое обоснование двухмасштабного усреднения для некоторых моделей движения вязких сжимаемых сред дано в работах А.А.Амосова и А.А.Злотника.
Проблема обоснования усреднения задач динамики материалов с памятью еще недостаточно исследована. Отметим работу J. Francu и P.KrejM в которой была рассмотрена задача усреднения в случае отсутствия вязкости и при гладких данных.
Цель диссертационной работы. Исследование начально-краевых задач для системы уравнений, описывающей продольные колебания вязкоупругопластического материала Ишлинского, и начально-краевых задач для двухмасштабной усредненной системы Бахвалова-Эглит, а также строгое обоснование двухмасштабного усреднения.
Основные результаты и их научная новизна. В работе получены следующие результаты.
Установлена глобальная однозначная разрешимость начально-краевых задач для системы квазилинейных операторно-дифференциальных уравнений, описывающих продольные колебания вязкоупругопластического материала Ишлинского. Выведены априорные оценки обобщенных решений.
В случае, когда данные задач являются быстро осциллирующими функциями, строго обоснован предельный переход от исходной задачи к задаче для двухмасштабной усредненной системы Бахвалова-Эглит.
Установлена глобальная однозначная разрешимость начально-краевых задач для двухмасштабпой усредненной системы квазилинейных оиераторно-интегро-дифференциальных уравнений Бахвалова-Эглит. Выведены априорные оценки обобщенных решений.
Все результаты о существовании и единственности обобщенных решений задач установлены в предположениях, допускающих негладкие начальные данные и коэффициенты.
При дополнительных условиях на данные доказаны результаты о регулярности и дополнительной гладкости решений задач о продольных колебаниях вязкоупругопластического материала Ишлинского и задач для двухмасштабной усредненной системы, с соответствующими априорными оценками.
Получены оценки погрешности усреднения задачи с быстро осциллирующими данными.
Все результаты получены в целом по времени и при произвольно больших начальных данных.
Общая методика исследования. В диссертации использованы идеи и методы теории обобщенных решений нелинейных дифференциальных уравнений, теории функций и функционального анализа. Существенно использованы методы, разработанные А.А.Амосовым и А.А.Злотником для исследования уравнений движения вязкого газа и двухмасштабяых усредненных уравнений.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты являются вкладом в теорию систем квазилинейных уравнений движения вязких упругопластических сред. Кроме того, на их основе возможно построение численных методов нахождения приближенных решения рассмотренных задач.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре по дифференциальным уравнениям МЭИ под руководством проф. Ю.А.Дубинского (2007-2009 гг.), а также международных конференциях студентов и аспирантов в МЭИ (2006-2009 гг.), международной конференции "Тихонов и современная математика"
(Москва, 2006), III Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики" (Абрау-Дюрсо, 2006), конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А.Садовничего (Москва, 2009), XVI международной научно-технической конференции "Информационные средства и технологии" (Москва, 2008).
Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в 12 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, семи глав и списка литературы, включающего 52 наименования. Объем работы - 132
