Содержание к диссертации
Введение
1- Вспомогательные результаты 19
1. Об одной краевой задаче Римана-Гильберта для квазилинейной эллиптической системы 19
2. Интегральное тождество для элементов ядра A* (rj). 26
3. Периодические решения одной переопределенной системы 28
4. Непрерывная дифференцируемость элементов ядра А*0?) 32
5. О липшицевости по Г) элементов КегА*(т}) 36
6. Непрерывная дифференцируемость по г) элементов КегА*(7/) 39
2. Усреднение квазилинейных эллиптических систем. 45
1. Вспомогательные леммы 45
2. Усреднение квазилинейных эллиптических систем. 52
3. Некоторые свойства усредненной системы 58
4. Примеры по усреднению систем 62
5. Усреднение недивергентных квазилинейных эллиптических операторов второго порядка 11
3. С?-компактность одного класса квазилинейных эллиптических систем 75
1. О G -сходимости одного класса линейных эллиптических систем. 75
2. Некоторые свойства G-предела систем специального вида 81
3. О G-компактности одного класса квазилинейных эллиптических систем первого порядка 86
4. Усреднение систем из класса ^0(^0,^1,7) 92
Литература 96
- Интегральное тождество для элементов ядра A* (rj).
- Непрерывная дифференцируемость по г) элементов КегА*(7/)
- Примеры по усреднению систем
- Некоторые свойства G-предела систем специального вида
Введение к работе
1. Вопрос об усреднении дифференциальных операторов с частными производными и связанный с ним более общий вопрос о G-сходимости последовательности операторов возник в связи с задачами математической физики. В частности, различные задачи механики сильно неоднородных сред приводят к необходимости построения усредненных моделей для этих сред. Физические процессы, рассматриваемые в таких средах, описываются дифференциальными уравнениями с частными производными, причем сильная неоднородность этих сред приводит к изучению уравнений с быстро меняющимися коэффициентами. Такие задачи возникают в теории упругости, в теории гетерогенных сред и композитных материалов. Непосредственное решение таких задач, как правило, невозможно. Поэтому возникает вопрос о постороении моделей для сильно неоднородных сред, приводящих к более простым дифференциальным уравнениям, которые по отношению к исходным уравнениям, описывающим сильно неоднородную среду, называются усредненными. Часто такие дифференциальные уравнения имеют постоянные коэффициенты и дают возможность определить с большой точностью эффективные характеристики первоначальной среды.
Целью данной диссертационной работы является изучение G-сходимости и усреднение квазилинейных эллиптических систем первого порядка на плоскости.
Все результаты, излагаемые в диссертации, являются новыми, полученными впервые.
Термин усреднение в первую очередь ассоциируется с методами нелинейной механики и обыкновенных дифференциальных уравнений, развитыми в трудах А. Пуанкаре, Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митропольского [3].
Для дифференциальных уравнений с частными производными задачи усреднения изучались физиками и механиками еще со времен Максвелла и Рэлея, но они долгое время оставались вне интересов математиков. Однако, начиная с середины 60-х годов 20-го
_ 4 -
столетия, теория усреднения для уравнений с частными производными стала интенсивно развиваться развиваться математиками, что вызвано не только многочисленными приложениями (в первую очередь в теории композитных материалов), но и появлением новых глубоких идей и понятий, важных и для самой математики. Понятие С?-сходимости последовательности операторов было введено в работах С.Спаньоло ([41], [42]) в 1967 г. ив применении к дивергентным уравнениям второго порядка впервые исследовалось в работах Е. Де Джорджи и С. Спаньоло ([40], [41], [42]).
В настоящее время теории усреднения и связанными с ней вопросами асимптотического анализа, G-сходимости, Г-сходимости функционалов посвящена большая математическая литература. Это книги В.А. Марченко, Е.Я. Хруслова [19], А. Бенсусана, Ж.-Л. Лионса, Г. Папаниколау [38], Э. Санчес-Паленсии [24], Н.С. Ба-хвалова, Г.П. Панасенко [1], В.В. Жикова, СМ. Козлова, О.А. Олейник [10] и др.
Для дивергентных операторов произвольного порядка вопросы G -сходимости и усреднения рассматривались в работах Жикова В.В., Козлова СМ,, Олейник О.А. и Ха Тьен Нгоана ([10]).
Для линейных недивергентных операторов вопросы усреднения и G-сходимости рассматривались в работах Фрейдлина [34], Жикова В.В., Сиражудинова М.М. [12], [13], [25]-[28]. Следует отметить, что эти вопросы для недивергентных операторов представляют собой задачу более трудную, чем для дивергентных операторов
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Принята двойная нумерация. Первое число означает номер параграфа в данной главе, второе — номер утверждения или формулы этого параграфа. Если имеется ссылка на утверждение или формулу из другой главы, указывается также номер главы.
В работе ми будем придерживаться следущих обозначений и понятий:
Ш? — евклидово пространство двух измерений (плоскость) со скалярным произведением: х у = Хгу% + Х2У2
R+ — множество положительных действительных чисел.
% — множество целых чисел.
(/, х) — значение функционала / в точке х.
Q — ограниченная односвязная область с гладкой (класса С2) границей.
Cq (D) — множество бесконечно дифференцируемых финитных функций с носителями из D .
-%іос(П2) — множество измеримых квадратично суммируемых на каждом компакте из R2 функций.
V = (д/дхі,д/дх2) — градиент.
V2 = (д2/дх2,д2/дх1дх2,д2/дх2).
V3 = (д3/дх31,д3/дх21дх2,д3/дх1дх1д3/дх1).
Периодической будем называть функцию периода единица по каждой переменной. Пусть и Є Jz%iocQ&2) "— периодическая функция. Через (и); {и(х,у))х обозначим средние значения и(х), и(х,у):
(и) = / u(x)dxt (и(х,у)}х = / u(x,y)dx, Q — [0,1]2.
SI п
Положим и{х) ~ и(є~1х), 0 < є ^ 1, тогда, как известно имеет место слабая сходимость и —» (и) в J^iocC^2) при є —у 0.
Напомним один достаточный признак перестановочности операторов дифференцирования и среднего значения. Пусть и(х,г}) при каждом Г} Є Ж2 периодична по х и пусть и' при каждом х Є О, непрерывна по т} и принадлежит JS?oo(fl х Е2). Тогда, по теореме о дифференцируемости под знаком интеграла Лебега имеем
{и(х,т)))х = {—-и{х,г}))х.
Более того, обе части этого равенства непрерывны (по rj).
Для обозначения пространств Соболева периодических функций (из Jz%ioc(^2)) применяется символ Ж. Например Жх{) —пространство Соболева периодических функций и, таких, что u, @iu, ^2" Є - (^)- (Здесь и далее через ^ обозначаем оператор дифференцирования по Xi, то есть @i = ^-). Обычное пространство Соболева будем обозначать посредством символа И7, например W^{Q),
- в -
Wp(Q), (р ^ 1). Через Wp(Q) обозначим подпространство элементов Wp(Q) с нулевыми следами на dQ.
%p{Q) — подпространство Wp(Q) х Wp(Q), состоящее из элементов и — (и\, и^):
U2\dQ = 0, / «ids = 0.
Символ -1 обозначает слабую сходимость в соответствующем пространстве.
Как правило, предполагается суммирование по повторяющимся индексам.
2. Краткое содержание диссертации, Рассмотрим квазилинейную систему
(@2Щ +an(a;,u)^iU2 + ai2(x,u)@2U2 + аі(ж,и) =/i GJ^P(Q), \-0iUi + a2i(a:,u)^itX2+022(2^)^2^2+02(3, u) =/2 GoS^(Q),
где a,ij(x, у), аДж, у), г, j = 1, 2 — функции, удовлетворяющие условиям Каратеодори (то есть они измеримы по х для Vy Є К2 и непрерывны по у 6 К2 для почти всех х Є Q); ( , i,j = l72 удовлетворяют
(A) условиям эллиптичности
Ло||2**«и(я,!/)&& VycR2, п.в. xeQ, (2)
|ау(я,у)| ^ Лі Vy Є Ж2 п.в. ж Є Q; (3)
где Ао, Аі > 0 — константы;
(B) условию Липшица
\аф,у') - ау(аг,у")| «J А2|у' - у"|, Му1 ,у" Є R2, п.в. т^ (4) Аг > 0 — константа;
(C) функции щ{х,у), і — 1, 2 удовлетворяют условиям
КяУ) - а^я.у")! < ^ W - Л V, з," Є Е2, Уя Є Q, (5)
\<н(х,у)\ ^ Ai(x)\y\ + Bi{x), Vy Є R2, Ух є Q, (6)
где Аі, Ві — неотрицательные функции, принадлежащие J?q(Q)^ q>2.
Рассмотрим теперь для системы (1) краевую задачу с краевыми условиями
w2|ag=0, fuxds = 0, uuu2zW*(Q). (7)
В первом параграфе гл. I доказана
Теорема 1. Существует такое ро — ро{Хо, Ai) > 2, ро < q, что при 2 <р ^.ро краевая задача (1), (7) однозначно разрешима для любых /ь І2 Jp{Q), причем имеет место оценка
h\\w*{Q) < codl/ll^fpCQ) + \\B\\&q(Q)) (8)
(7 = (/1,/2)1 u = (иъ«2), # = (-Bi,52)J, где c0 > 0 —константа, зависящая только от Ао, А і и максимума Ля~норм А\, А-х.
Важным пунктом в вопросах усреднения дифференциальных операторов является вопрос разрешимости вспомогательных уравнений в пространствах периодических (или других) функций.
Пусть Ж~^ — пространство, сопряженное J^Pl(Q,). Обозначим через &(т}) : Жг{Щ —> j?2{ty оператор , определенный формулой
jrf(r))u = {@2ui + ац(х,rj)3>iU2, -9\UX + a2i(x,г})^{и2},
где г] — любой фиксированный вектор из К2 , aij(x,r}), i,j = 1,2 — измеримые периодические функции, удовлетворяющие равномерно по г] Є К2 условиям (А), (В), а также условию
(D) функции aij(x,r)) и (aij)^, k = 1,2 и их производные по Хі
ДО ВТОРОГО ПОрЯДКа ВКЛЮЧИТеЛЬНО 1) Непрерывны ПО {х, Tj) є ft х Е2
и ограничены на Qxl2 (постоянной ко = fco(/) > 0); 2) удовлетворяют условию Липшица по г\ Є R2 равномерно по х Є О, (с постоянной к\ = fci(/) > 0).
Очевидно, что
{&l3;(х, 7}),&2;(х ,7/)} Є J%(ft)i Такие, ЧТО
a J &j(xt щ) Ker&/*(?]), rj Є К2 , более того, любой элемент ядра $*{т\) представляется в виде линейной комбинации &\, &2',
б) среднее (^ij{x,r)))x равно 5ij, i,j ~ 1,2.
В 2-6 гл.I изучаются свойства элементов ядра оператора /*{ri) : J%(^) —^ Jf~l. В частности, в 2, доказывается, что векторы ^{х,Г}) = {^lj(«,7?),^2j (*)»?)} Є J%(^), j = 1)2, являются
периодическими решениями системы
\ Щаи{х,г))^) + %{a2i{x^)^2j) =0, где производные понимаются в смысле распределений. В 3 гл. I рассматривается вспомогательная система
и доказывается существование единственного решения J/j Є Жх (П) этой системы.
Так как <^j = $iJVj +$ij, из второго уравнения (9) получим, что JVk является решением задачи
ЛєЖЦП), (Л)х = 0. В 4 первой главы для jVk получены оценки
<ИИ2> < с, <|v^fc|2) < с, {\ч2л\2) < с, (|v3^|2) < с,
где С > 0 постоянная, зависящая только от Ao,Ai,feo из условий (A), (D).
Из этих оценок следует справедливость
Теорема 2. Функции 0*ij (х,т}) непрерывно дифференцируемы по х и имеют место оценки:
где С > 0 — константа, зависящая только от постоянных Ао, Ai, &о .
Используя свойства jV^x^rj)^ связанные с липшицивостью их и их производных по 77i, г}21 в 5 гл. I доказано утверждение:
Теорема 3. Функции &ц{х,г\) непрерывно дифференцируемы по х и имеют место оценки:
где С > О — константа, зависящая только от постоянных из уело-вий (А), (В), (D).
В б гл. I доказана следующая
Теорема 4. Функции &ij{x,r}), i,j = 1,2, непрерывно дифференцируемы по г}, причем
d&jjjxrf) d&a(xrf)
дг}п
дт}п
^ ф1 - V2
д&
< с, ij,n = 1,2,
где с > 0 — коястанта, определяемая толыео по константам из условий (А), (В), (D).
Интегральное тождество для элементов ядра A* (rj).
Пусть Pj(x,r]) = {&ij(x,r]), 2з(х,г))}, j — 1,2, —линейно независимые элементы ядра оператора srf (77) ( с соответствующими свойствами а) и б) введения). Тогда, согласно определению сопряженного оператора, получим, что (0 j f(r))ip)x = 0 для любого Покажем, что Пусть носители функций (pi(x),(p2(x) принадлежат области D. Область D покроем конечным числом областей Dj, замыкание каждой из которых принадлежит единичному квадрату fij . (Под единичным понимается квадрат со сторонами, параллельными осям координат и длиной равной единице.) И пусть -фі,..., фп — разбиение единицы, соответствующее этому покрытию (то есть tpj Є CQ (DJ) , Очевидно, что Oji = ФЇФЇ и j 2 = 2 имеют носители tlj С fi. Функции # и 2 периодически продолжим на всю плоскость. Понятно, что такое продолжение не влияет на предыдущие равенства. Тогда, в силу того, что 9j — (0ji,dj2), получим I 0 для любых ц \ г Со(М2). Равенство (2.1) доказано. Из (2.1) следует, что векторы &j — { 13, 23} Є -Sf2(fi), і — 1,2, являются (периодическими) решениями системы где производные понимаются в смысле распределений. (На самом деле, эту систему можно понимать в обычном смысле, см. ниже.) В этом пункте изучим дальнейшие свойства сУ (ж, ), связанные с липшицевостью их и их производных по г/1, 7}2. Справедлива следующая Лемма 5.1. Яусть тДг?2 Є Е2 я пусть ajl = aji(x,r}m), Vkm = /k{vrn) m 1)2. Тогда справедлива оценка где С 0 — константа, зависящая только от констант из условий (А), (В) введения, JY = Jf - Доказательство. Согласно (4.1), имеем: Прибавим к обеим частям равенства — (а Лд.2) и запишем его в виде: Умножим это равенство на о и найдем среднее: Тогда, в силу условия (В) и неравенства (2) введения, получим: Для первого слагаемого в правой части (5.1) запишем Для второго слагаемого в правой части неравенства (5.1) с учетом оценки (4.3) имеем: (С О — константа, зависящая только от Ло, Ai и Х2). Лемма доказана. Справедлива следующая Лемма 5.2. Пусть г/1, ту2 Є К2 и пусть af{ = а (х,г]т), JT 1 ьЛк{г)т), т — 1,2. Тогда справедлива оценка где Сі 0 — константа,, зависящая только от констант из условий (А), (В), (D) введения, Jf = Доказательство.
Дифференцируем (5.1) по жп и положим (р = П Ж. Тогда получим: Умножим обе части равенства на р и перейдем к среднему. Получим: Отсюда аналогично леммам 4.3, 4.4 получим: где Сі 0 — константа, зависящая только от постоянных из условий (А), (В), (D) введения. Что и требовалось доказать. Аналогично доказывается следующая Лемма 5.3. Яусть Т]1, 2 Є Ш? и пусть а = а (х,7]т), JV = , (ту"1). Пусть Jf — JY = JY . Тогда справедлива оценка где Сі 0 — константа, зависящая только от констант из условий (А), (В), (D) введения. Справедлива следующая Теорема 5.4. Функции 09ij(x,r}) непрерывно дифференцируемы по х и имеют место оценки: где С 0 — константа, зависящая только от постоянных из условий (А), (В), (D) введения. Доказательство. Пусть &ц = &ij(х,г/1), &fj = & (х,г]2), тогда где Ж = JVZ1 — с/К2. Отсюда, ввиду леммы 4.2, получим, что & є Ж2{$ї). Из теоремы вложения Соболева [17] следует ограниченность вложения Э 2{Щ С Са(П), где а 1 и Са(0.) есть пространство Гельдера с показателем а (при а = 1 — пространство Липшица). Следовательно, Оценим норму в правой части последнего неравенства. Так как 3? = 3i Y и ввиду оценок (5.2), (5.4), (5.6) имеем Отсюда и из (5.8) следует (5.7). Теорема 5.4 доказана. 6. Непрерывная дифференцируемость по ц элементов Кег &/ (г)). 1. Пусть функция 7(77), rj Є Ж2, удовлетворяет условию Липшица (с постоянной EQ ) на всей плоскости R2. Тогда по теореме Степанова-Радемахера (см. [33, стр. 295]) #(77) дифференцируема (в обычном смысле) для почти всех 7} єМ? . Более того, \g (77) j = Q, г = 1, 2 почти всюду. Отсюда и Теоремы 5.4 следует, что ?ij(x,7)) дифференцируема почти всюду как функция ?, причем где, например, а , как выше означает а (ж, т?1) Из этого равенства, ввиду условия (D) введения, неравенства (5.7) теоремы 5.4, оценок (4.3) леммы 4.1, (5.3) леммы 5.1, легко следует оценка (6.6) для &kn Далее, как и ранее, дифференцируя равенство (6.9) по хт получим оценку (6.7), а затем и (6.8). Лемма доказана.
Непрерывная дифференцируемость по г) элементов КегА*(7/)
1. Пусть функция 7(77), rj Є Ж2, удовлетворяет условию Липшица (с постоянной EQ ) на всей плоскости R2. Тогда по теореме Степанова-Радемахера (см. [33, стр. 295]) #(77) дифференцируема (в обычном смысле) для почти всех 7} єМ? . Более того, \g (77) j = Q, г = 1, 2 почти всюду. Отсюда и Теоремы 5.4 следует, что ?ij(x,7)) дифференцируема почти всюду как функция ?, причем (Здесь и ниже f nk — производная от / по щ). Рассмотрим задачу где .yffc -—решение задачи (4.1), аы{х,г}) удовлетворяют условиям (А), (В), (D) введения. Справедлива Лемма 6.1. Задача (6.1) однозначно разрешима, причем имеют место оценки Сі, Сі, Сз 0 — константы, зависящие только от постоянных из условий (A), (D). Доказательство. Докажем (6.2). Согласно (6-1) имеем: Умножим это равенство на #fn и перейдем к среднему. В силу (4.1) имеем В силу (2), (D) введения и оценки (4.3) леммы 4.1 получим Ao }V „2 Oo(l + c)(V n2) /,n = l,2. Или, так как w2)5 — ІІІ?2(ГІ)) имеем где С\ 0 — константа, зависящая только от постоянных из условий (A), (D) введения. Продифференцируем равенство (6.1) по хт, тогда легко получим Умножим равенство на cp и перейдем к среднему: Оценивая каждое слагаемое, в силу (2), (D) введения и оценок (4.3) леммы 4.1, (4.5) леммы 4.3 имеем Отсюда (VV2)2 Сг (С2 О — константа, зависящая только от констант из условий (A), (D) введения), или llV H n) С Так как р = 3?m km окончательно получим: Аналогично, дифференцируя (6.5) по жт, затем по xi получим (6.4). Лемма доказана. Лемма 6-2. Пусть п Є Ж1 (О) , г = 1, 2 —решения задачи (6.1), соответствующие 7] = г]1, і] = 7]2. Тогда справедливы оценки 64,65, Ce 0 — константы, зависящие только от постоянных из условий (А), (В), (D) введения. Доказательство. Согласно (4.1) имеем: где, например, а , как выше означает а (ж, т?1) Из этого равенства, ввиду условия (D) введения, неравенства (5.7) теоремы 5.4, оценок (4.3) леммы 4.1, (5.3) леммы 5.1, легко следует оценка (6.6) для &kn Далее, как и ранее, дифференцируя равенство (6.9) по хт получим оценку (6.7), а затем и (6.8). Лемма доказана. Справедлива следующая Теорема 6.3. Функции @ ц{х,ц), z,j = 1,2, непрерывно дифференцируемы по г], причем где с 0 — константа, определяемая только по константам из условий (А), (В), (D) введения.
Доказательство. Пусть, например: п — 1 и пусть через gh обозначено отношение gh = {g(r\\ + Следовательно, Умножим последнее равенство на {J%k\ — kh) и перейдем к среднему. С использованием (4.1) получим В силу (2) введения имеем; 1. Вспомогательные леммы. 1. Всюду в этом параграфе Q — ограниченная односвязная область с гладкой (класса С2 ) границей. В дальнейшем потребуется следующая Доказательство. Пусть QR — круг радиуса R такой, что Q С Qn (без ограничения общности можно считать, что 0 Є Q и 0 — центр круга), 2R — диаметр области Q. Тогда имеем: где RQ = max{i;R}. Круг \y\ 1RQ накрывается четырьмя квадратами ГІЄ)д0 со стороной - , поэтому Квадрат ГїЄ(я0 = [0, e 1Ro}2 можно вложить в квадрат Під0 со стороной [ -] + 1. А квадрат n Что и требовалось доказать. Лемма 1.2. Пусть функция F(x)7]) периодична по х и принадлежит пространству J?g (П) для любого г} Є R2, причем где Сі О — константа, не зависящая от т) Є R2, F{x,rj) = F{e-lx,V). Доказательство. Непосредственно из Леммы 1.1, если возьмем / = \F\q, следует Так как (П) С по условию, то jFejs?q(Q) С\. Лемма доказана. Лемма 1.3. Пусть иЄк,и Є W {Q), uk — u в W (Q), и пусть VC$(Q), Р(я:,іг) = {Рі(я;,ії))Р2(ж, 7)}є:%(П) и функции Ply Р2 равномерно по х Є П удовлетворяют условию Липшица по 7) б№2 . Тогда Доказательство. Запишем Т(єк) в виде: Покажем, что второе слагаемое справа есть о(є ) при к -+ оо. Так как Pi и Рг равномерно по х ГЇ удовлетворяют условию Липшица, то для них имеет место неравенство вида (5.7) гл. I. Отсюда, ввиду того, что wefcjwl(Q) С имеем: где С 0 — константа. Из компактности вложения Wp(Q) С C(Q), р 2, следует ui, и в C(Q), поэтому (fc) = ірі(єк 1х,и)$2иіЄк - Р2{бь 1x,u)@1uiek} ?dx + о{єк)- Что и требовалось доказать. Лемма 1.4. Пусть иЄк,и Є W {Q)} иЄк — и в Wp(Q), P(x,rj) (Pi(x,i]),p2(x,rj)) — решение системы (2.2) гл.1, причем (Pi) 1, (Рг) = 0и пусть Ji{h) = I {Pi{ellx,u)@2uUk P2{el 1x,u)$iuUk} pdxi Q где 5І = д/дуі, У — внешняя нормаль к границе, v x i — угол между ОХІ и и. Согласно первому равенству системы (2.2) гл.1 имеем: д2Рі(у,и) — діР2Іу,и) 0. Далее, покажем, что в (1.5) все интегралы, содержащие производные от Рі,Рг по ЩчЗ 1,2, стремятся к нулю при — 0. Пусть 9&{х) — ступенчатая функция, такая, что то получим: /(є/c) = с\5, где сі 0 — постоянная. Таким образом, lim. Ji{ek) = - lim / {Pi(fc 4 u)uUk@np- -РгСє" . 1aj, u)u2fc $itp}dx. Далее, легко видеть, что Рі(є " аг,їі)гіі — (Pi ui = г/і, Р2( "1ж,и)гі2єц — 0 в (Q) при Єк —ї 0. Следовательно, имеем Лемма 1.5. Пусть ик,и Wp(Q) иєк - и в Wp(Q), ір Є Co(Q), P{x,r)) — {Pi(x,rj),P2(x,r})} Є JS (fi) —решение системы (2.2) гл. I. Тогда Доказательство. Преобразуем Х(вк) следующим образом:%{єь) = \ \Р\{Ч 1х,и)аи{ 1х В силу компактности вложения Wpl (Q) С C(Q) (при p 2) иЄк — и в C{Q) и ввиду того, что Рі(х,7]),Р2(х,Г}) равномерно ПО 37 Є П согласно теореме 5.4 гл. I удовлетворяют условию Липшица по г) Є R2 , имеем: x p@iu2kdx + a(efc), где a(ejfc) - 0 при Єк -» 0. Следовательно, введения, получим xik) = / ІРі{ек1х:и)ац(єк1х,и) +Р2{єк1х,и)а2і{єк1х,и)1х Q xip@iu2skdx + /З (є k) + (єк), где а(єь) — 0, /?(єь) —У 0 при & — 0. Что и требовалось доказать. Лемма 1.6. Пусть иЄк,и Є Wp(Q) wfe "" " u B Wp{Q)t p Є Co(Q), P(x,rj) — {Pi(x,r))}p2{x,r})} Є JS?2(n) —решение системы (2.2) гл. J, удовлетворяющее условию Липшица, aij{x,ti) удовлетворяют условиям (А), (В), (D) введения я пусть
Примеры по усреднению систем
СЛОИСТЫЕ СРЕДЫ. В этом пункте мы построим усредненные модели для квазилинейных систем вида: где a,ij(xi,Tf)f i,j 1,2 — периодические по одной переменной xi функции. Такого типа системы возникают при изучении слоистых сред с периодической мелкозернистой структурой. Вспомогательная система (2.2) гл. I для (4.1) в данном случае имеет вид: Пример 1. Рассмотрим систему где ац = ац{х 1,1)), а.22 — 22( 1, Ї?) периодические функции по первой переменной Х\ . Вспомогательная система (4.2) в данном случае имеет вид: И она имеет следующие решения Действительно, если 0 ц = (а ) а 1, 21 = 0, .0 2 = 0, 0 22 = 1, то %ъ&\\ — @\3Pi\ — 0 (так как ц не зависит от х2 ) и так как (а ) — число. Следовательно, &\ и &ч удовлетворяют и второму уравнению системы (4.4). Найдем коэффициенты усредненной системы: Таким образом усредненная система имеет вид: периодическая по х\ функция, причем (а) = 0. Покажем, что ЗР\ = (1 0), = {Wlai 1) — решения системы (4.2). Для функций u = 1, 21 = 0; ,0 12 = w 1a; 0 22 - 1, имеем: 2 п =0и 0i 2i = 0; 2 12 = 92(w-l{rf)a{xU7})) = 0 и 1 22 — 0. Отсюда следует справедливость первого равенства системы (4.2). Для второго имеем: Найдем коэффициенты усредненной системы Пример 3. Пусть в системе (4.1) а = .(1,77) — симметрическая матрица. Тогда коэффициенты усредненной системы даются равенствами: оц - (йц) , ai2 = «21 - {ai2«u ) (ап) Действительно, согласно уравнениям (4.2) легко получим 3?\ — ((а 1) аїі\0) —решение системы (4.2). Попытаемся определить &2 со второй компонентой равной единице. Тогда для определения первой компоненты получим уравнение (ан іг + «12) = 0. Из первого уравнения (4.2) следует, что Цґ — 0. Следовательно, «ц 12 -Ь «12 = А, где А — константа относительно Х\. Определим А из условия ( іг) — 0. Тогда получим: 0 2 = (— o,i2/ац + («12« ) (аїі) /«ш 1) Из полученных выражений для &i и 3?ъ согласно (4.2) получим требуемый результат. 2. другие примеры на усреднение. В этом пункте мы рассмотрим частные случаи системы Пример 4. Пусть оц = Й22 = a(xi,r))b(x2,rj), где a(xi,r)),b{x2,r}) — периодические по xi, Х2, соответственно, функции и пусть а\2 — «21-0. Система (4.2) в данном случае запишется в виде: выполняется. (так как (Ь-1) а от х2 не зависит). Следовательно, второе равенство системы (4.7) выполняется. Найдем коэффициенты усредненной системы, «и = { iiau + 0 21ап) = ((а"1)"1 а 1 ) = (а-1)"1 (6), Пример 5. Пусть в системе (4.6) дивергенции векторов (ац,аі2), О- Очевидно, что ЗР\ = (1,0), &2 = (0,1) являются решениями системы: і(аіі ц) + {апРц) + #1( 21 ) + 2(022 ) = 0. Найдем элементы матрицы а = {й }. 5. Усреднение недивергентных квазилинейных эллиптических операторов второго порядка 1. усреднение одной вспомогательной системы.
В этом пункте дается усреднение специальной эллиптической системы, которое потребуется нам для усреднения квазилинейного эллиптического оператора. Пусть {a-ij(% ,v)}i j=i ai2 = a2i — матрица, удовлетворяющая условиям (А), (В), (D) введения и пусть СІ2 = сцъ/о-и- Рассмотрим систему Покажем, что коэффициенты системы (5.1) удовлетворяют условиям (А), (В), (D) введения (возможно с другими константами). выполнено условие (3) введения. Так как Ао2 = o ijij = ani + 2 12 1 2 + «2262 ) после деления на а її, получим Из (2) введения при i = 1, 2 = 0 следует ац(х,г}) о или —). Следовательно, \СІ2\ = (Здесь мы воспользовались тем, что -- j- см. (3) введения.) Проверим условие (В): введения множителем —0 (6-1 ж, 4) Поэтому требуются дополнительные рассуждения при получении второго уравнения усредненной системы. Теперь предел правой части равенства (2.6) гл. II находится по другому. (Рассуждения, касающиеся левой части (2.6) остаются без изменения.) Имеем: Найдем коэффициенты усредненной системы. Элементы &\ и 2 ядра оператора {rf) удовлетворяют системе Отсюда следует, что 0 і = {1; 0}, то есть ц = 1, 21 = 0. Сравнивая систему (5-1) и систему (10) введения, замечаем, что коэффициенты aji системы (10) введения в данном случае даются формулами: «її = СЦ = 1; а12 = ci2 = 0; а2і = 2сі2; а22 = с22. Тогда коэффициенты усредненной системы определяются следующим образом (см. (15) введения): Таким образом доказана Теорема 5.1. Семейство (5.1) допускает усреднение и усредненной для него является система и пусть иіЄк -± ui,U2Ek — u2 в Wp(Q) при к - 0. Тогда Ui,«2 Є Wp являются решением системы @2ui + @iu2 = 0, Доказательство. Заметим, что при получении уравнений усредненных систем (2.3) и (5.4) мы нигде не использовали то, что след иіє на границе равен 0 и что J U2E{x)ds = 0. (Эти условия мы ис- 8Q пользовали для доказательства того, что предел (ui, ) Є Щ){Я) ) Поэтому, проведя рассуждения, аналогично которым были получены уравнения усредненных систем (2.3) гл. II и (5.4), получим, что Wi,ti2 удовлетворяют системе (5.6). 3. усреднение недивергентного квазилинейного эллиптического оператора. Рассмотрим следующую задачу Дирихле аіз(е 1х, Vv)@i@3Ve = f Є JfP(Q), где a,ij(x,7)), і, j = 1,2 — непрерывно дифференцируемые по (х,Г]) функции, удовлетворяющие условиям (А), (В), (D) введения. Причем aij(x,ri) периодичны по х и а\2 = о ч\ Как известно, эта задача имеет единственное решение. Более того, имеет место оценка где 1о 0 — постоянная, не зависящая от є; р 2, р определяется только по Ао и Ах. (См. например: [5], стр. 330-339, [2], стр. 291-296.) Пусть J#(rj) : Ж1{Щ — =%(Ф) — эллиптическая система, опре деленная формулой: f{lj)ip = {@2 Р1 + l 2, — \ -Р\ + 2сі2 1 2 + вторая компонента вектора &ъ Є Кет? (г)). Справедлива следующая
Некоторые свойства G-предела систем специального вида
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КЛАССА AQ{VO,VI,Q). Известно (см. [26]), что любая система вида 92Щ +CU@lU2 + C12@2U2 = /і, , , с измеримыми ограниченными коэффициентами, удовлетворяющими условию Ао, Ai 0 — константы, принадлежит классу A{i/o,vitQ) (определение 4( 0, 1,( ) см. во введении), где о, t i 0 — константы, зависящие только от Ао, А і. Причем система Л, участвующая в определении A{VQ,V\,Q) (см (19) введения) здесь следующего вида где а 0 — константа, зависящая только от Ао, Xi (подробнее см. Обозначим через AQ(ISQ V\,Q) подкласс класса A(UQ,I/I,Q) — A{vo, v\, Q, Ло), состоящий из систем представимых в виде (2.1). Из предыдущих замечаний следует, что класс А${щ,і \, Q) не пуст. Более того, справедливо Предложение» Любая система из класса Ао( о, ъ Q) удовлетворяет условиям (2.2), где AQ, А І 0 — константы, определяемые только ПО VQ, V\. Доказательство. Так как AQ Q I Q) С A(UQ, V\ Q) А[щ и\, Q, Ло), то коэффициенты системы А Є AQ(I/O Ъ Q) ограничены константой, зависящей только от UQ и v\ (см. [26]). Поэтому достаточно доказать нижнюю оценку (2.2). Пусть u = (ui, «2) Є o(Q) вектор вида Подставим (2.4) в неравенство (21) введения, тогда с учетом (2.3), (2.1) получим Отсюда, ввиду произвольности р Є CQ(Q) имеем Предложение доказано. 2. Справедлива следующая Теорема 2.1. Пусть {А } С -4( 0, 1, ) последовательяость си-стем вида (2.1 J и пусть А к — У1. Тогда .А имеет ту же структуру (2.1). Доказательство. Пусть Ак определяется матрицей Cjt — {с -}. Очевидно, что Ак можно представить в виде (20) введения, где вместо а и b мы имеем а — {ajj}, bfe = {& }, а\у = 0, циенты G предельного оператора (см. [26]) даются равенствами (2.6) где x Q есть точка Лебега функций АО\ , i j 1,2; Оператор A : (W iQ))2 —У (J&ziQ))2 —есть расширение С?-предельного оператора, определяемое следующим образом. Пусть s$k : WQ(Q) — &2(Q) — оператор краевой задачи (24) введения: Akuk = fe&2{Q), ukeW0(Q). Рассмотрим последовательность Ffc = stlAk : (W}(Q))2 - 5Го№). (2-7) В силу ограниченности коэффициентов системы Afc постоянной, зависящей только от I/Q і v\ і ввиду (23) введения получим где с 0 — константа. Следовательно, некоторая подпоследовательность {Fk } слабо сходится к F : W2l(Q) — J2{Q).
Искомое расширение G -предел а дается равенством (Подробнее см. [26].) Теперь вернемся к структуре G-предела из нашей теоремы. Согласно (2.6), (2.7), (2.8) имеем где предел понимается как слабый предел в И7 (Q). Заметим, что А&в} = (aiDa2i) (0, — 1). Аналогично получим, что (611,621) = (1,0). Теорема доказана. Следствие. Класс Ао( о, ь 2), Ао о ь Q) С A{vo,vi,Q), за-мкнут относительно G -сходимости. Это следует непосредственно из теоремы 2.1 и предложения П.1. Теорема 2.2. Пусть {А } С А( о, ь Q) последовательность из георемы 6, с& = {с }, с = {cij} — матрицы, определяющие Аь, А. Тогда где 0ь 92, fu h любые элементы J?2{Q) , 9 = (#1, 52) Более того, для Уд0 Є (Jz?2(Q))2 , Vu — v при к — оо в W\{Q) имеет место соотношение где ip — любая функция из C(Q). Доказательство. Первая часть теоремы следует из очевидных равенств ввиду (2.11), слабой в W\{Q) сходимости и\ — uj и ограниченности в J iQ) левых частей равенств (2.13). Действительно, из ограниченности левых частей и слабой сходимости Vu\ — V«i при к —У оо в (j?2(Q))2 получим, что левые части (2.13) имеют слабые пределы в J iQ) (обозначим их Fi и i ), причем 1 = Л — 2 1, 2 — f2 + iui. Отсюда и из соотношений (2.11) получим Fi = 1( 1 2+51)+ 2( 2 2+52)) г = 1,2. Эти соотношения доказывают (2.9). Докажем теперь (2.12). Найдем производную по ж і от первого равенства (2.13), по х2 от второго и сложим. Тогда получим, что ик — есть решение дивергентного эллиптического уравнения Аналогичное уравнение получим и для г 2 : Из Лк — -А, очевидно, следует G-сходимость оператора задачи (2.14) к оператору задачи (2.15). Тогда требуемое соотношение есть ни что иное как «компенсированная сходимость» для (2.14). (Подробнее см. [22, стр. 119].) 3. О G—компактности одного класса квазилинейных эллиптических систем первого порядка. 1. Каждой системе А из класса ДоС сь vul- Q) (определение класса см. во введении) поставим в соответствие оператор D : Справедлива Лемма 3.1. Оператор Г) непрерывен. Доказательство. Пусть {(5J, )1 1 С L{Q) = ( r(Q))2x(- P(Q))4 — произвольная последовательность и пусть (#, 0) Є (Q) ее предел. Оценим норму разности (#о 5fc) Первые два слагаемых справа в (3.2) стремятся к нулю при к — со, поэтому для завершения доказательства достаточно показать, что норма стремится к нулю при к —» со. Предположим дополнительно, что последовательность {( ?о 0fc)}jb=i сходится почти всюду в Q к (#, д). Тогда, ввиду 1) - 3) определения класса AQ(VQ, I,7I Q) (СМ. введение) получим Очевидно, что Jim /Jfc = 0. Рассмотрим Ijк, имеем О Величина под интегралом, в силу свойств 7 сходится почти всюду в Q к нулю, так как #Q — ?о - 0 п.в. в Q, кроме того она ограничена сверху интегрируемой функцией \g j\p sup 7( )- Следовательно, по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла, получим в случае когда последовательность {{9Q ,9k)}t =i сходится не только в метрике L(Q), но и почти всюду в Q. Теперь докажем, что (3.5) имеет место и без дополнительного условия сходимости п.в. в Q. Пусть это не так (доказательство от противного). Тогда найдется последовательность {{до f 9k)}kLi» которая сходится в L(Q) к {д$,д0) со свойством: «о — константа.
Как известно (см. [14, стр. 287]), любая сходящаяся в Jfp(Q), р 1, последовательность соделжит в себе почти всюду сходящуюся (к тому же элементу) подпоследовательность. Тогда для этой подпоследовательности (выделенной из {(ffo # )}fc =i будет выполнено предельное соотношение (3.5), которое, очевидно, противоречит (3.6). Полученное противоречие завершает доказательство леммы. Лемма 3.2. Пусть {uk}kLi С Jt?p(Q), 1 р +оо —произвольная неотрицательная (u 0) последовательность, которая сходится к нулю в Jfp(Q). Тогда последовательность {г } , и& = 7(ufc) сходится к нулю в Jffq(Q) для любого q Є [1; -fee). Доказательство. Функция 7( ): Є М+ ограничена, поэтому последовательность {ія{uk)} L1 ограничена для \fq [1;+оо). Следовательно, согласно теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла [14, стр. 298], нам нужно показать, что 79(nfc) О п в- в Q при к - со или, что эквивалентно Vk - 0 п.в. в Q. Пусть последовательность {wfc} _i обладает дополнительным свойством; xtk — 0 п. в. в Q. Тогда, ввиду непрерывности 7 получим Докажем теперь (3.7) без дополнительного условия Uk — 0 п.в. в Q. Предположим, что (3.7) не имеет места для любой сходящейся к нулю в Jfp(Q) неотрицательной последовательности (доказательство от противного). Тогда существуют последовательность {ufc}fcLi с p{Q) і uk - где ао 0 — константа. Выделим из {wfc} _j сходящуюся почти всюду в Q к нулю подпоследовательность {« } С { } [14, стр. 287]. Для этой подпоследовательности имеет место (3.7), значит по теореме Лебега lim t fc jj? (Q) = 0, что противоречит (3.8). Полученное противоречие завершает доказательство леммы. В последующих пунктах мы покажем, что класс Ao(vo,i i,y,Q) G компактен. 3. В дальнейшем через Bk{go), B{g )\W p{Q) — (hp(Q))4 обозначены операторы краевых задач (32) введения, где в коэффициентах u = 0 и фиксирован ?о- Ясно, что Вк(до) В(до) линейные операторы и при р — 2 они принадлежат классу До( о, ъ Q) -, определенному во введении, для каждого до Є (- r(Q))2 Имеет место {к} и система А Є Ао(щ, fi 7i Q) такие, что Bfc (5o) — - ( о) (в Теорема 3.3. Пусть {Ak} С AQ (L O, УЪ7 Q) произвольная последовательность. Тогда, существуют подпоследовательность {& } С не смысле 1, 2) для любого до Є (j (Q))2 Доказательство. Пусть 5 — {58} Li С (jSfr(Q))2 всюду плотное в (JfriQ))2 счетное множество. Применяя процедуру перехода к подпоследовательностям, ввиду Следствия из 2, получим: существуют подпоследовательность {к } С {к} и система В (до) принадлежа-щая AQ(I/O, V\, Q) для каждого до Є S такие, что Вк(до) В (до). Наша задача заключается в доказательстве этой G -сходимости для Уда Є (ST(Q))2 и в доказательстве принадлежности соответствующей В (до) системы классу Ао(щ: vi,J, Q)
