Содержание к диссертации
Введение
1. Некоторые результаты теории асимптотического интегрирования 12
1.1. Теорема Левинсона 12
1.2. Дихотомия решений линейных систем 16
1-3. Приведение системы к L-диагональному виду 18
1.4. Оценка остаточного члена в асимптотических формулах 21
Заключение 25
2. Усреднение линейных систем ОДУ с колебательно убывающими коэффициентами 26
2.1. Метод усреднения Н.Н. Боголюбова и работы И.З. Штокало 26
2.2. Теорема об усреднении линейных систем с колебательно убывающими коэффициентами 30
2.3. К вопросу о периодическом случае 35
2.4. Вспомогательные утверждения . 39
Заключение 42
3. Адиабатический осциллятор 43
3.1. Периодическое возмущение гармонического осциллятора с исчезающей на бесконечности амплитудой 43
3.2. Один пример колебательного возмущения гармонического осциллятора с исчезающей на бесконечности амплитудой и медленно растущей фазой - 46
3.3. Об одной задаче, возникающей при исследовании четвертого уравнения Пенлеве .. 50
3.4. Возникновение зоны параметрического резонанса на границе области устойчивости решений
некоторых линейных дифференциальных уравнений 55
4. Асимптотическое интегрирование систем с одной и двумя степенями свободы 63
4.1. Одномерное уравнение Шредингера с быстро осциллирующим потенциалом 63
4.2. Система двух линейных осцилляторов с медленно убывающей связью 69
Заключение 87
5. Системы линейных разностных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами 88
5.1. Разностный аналог теоремы Левинсоиа 88
5.2. Разностный вариант теоремы об усреднении линейных систем с колебательно убывающими коэффициентами 91
5.3. Об асимптотике решений
одного ралдостноги уравнения второго порядка с колебательно убывающими коэффициентами , 95
5.4. Дискретный адиабатический осциллятор ,, 101
Заключение 104
Заключение 105
Список литературы
- Приведение системы к L-диагональному виду
- Теорема об усреднении линейных систем с колебательно убывающими коэффициентами
- Один пример колебательного возмущения гармонического осциллятора с исчезающей на бесконечности амплитудой и медленно растущей фазой
- Система двух линейных осцилляторов с медленно убывающей связью
Введение к работе
К линейным дифференчиальным уравнением с переменными коэффициентами приводят многие практические задачи, например, физики и техники. Хорошо известно, что решении таких уравнений удается получить лишь в очень редких случаях. Поэтому ори исследовании такого рода задач приходится использовать либо какие-то результаты качественного характера, либо прибегать к методам приближенного интегрирования. Среди ученых, внесших значительный вклад в изучение качественного характера поведения решений как линейных, так и нелинейных систем, в первую очередь, следует отметить заслуги A.M. Ляпунова (см, [52]), Введенное им понятие устойчивости движения явилось основополагающим для развития теории линейных и нелинейных дифференциальных уравнений. Не следует также забывать и о теории характеристических показателей Ляпунова (см. [М]). оказашпей также весьма плодотворное влияние на дальнейшее развитие математики. Существенный вклад A.M. Ляпунов внес и в изучение липейпых систем с периодическими коэффициентами. Его теория зон устойчивости легла в основу изучения поведения решений линейных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами (см., например, [47]). Вообще, после работ A.M. Ляпунова и А. Пуанкаре довольно много внимания уделялось системам линейных дифференциальных уравнений с периодическим коэффициентами. В этой связи отмстим лишь работу [72], в которой нашли свое отражение многие меюды исследования линейных уравнений с периодическим коэффициентами.
Среди приближенных методов интегрирования дифференциальных уравнений особое место занимают асимптотические методы. В основе этих методов лежит идея о возможности разложения искомого решения в формальный ряд по степеням малого параметра. Несмотря па то, что такие ряды обычпо являются расходящимися, решение, получаемое обрывом формальных рядов на п-оы члене, оказывается весьма удовлетворительным в практических расчетах, Основы асимптотических методов заложили Ж. Фурье, Ж, Лну-шілль, Ж, Штурм. Большой вклад в развитие асимптотического представления решений дифференциальных уравнений был сделан А, Пуанкаре. Дальнейшему развитию в этой области способствовали работы В.А, Стеклова, Г. Биркгофа, Л. Шлезипгера; В.И, Тржи-цинского и др. Существенные результаты получили такие исследователи, как В, Вазов [37] и Л. Чезари [67]. Среди дифференциальных уравнений, довольно часто встречающихся на практике; следует отметить уравнения с медленно меняющимися коэффициентами, к которым, в частности, относятся уравнения с малым параметром при старших производных (сингулярно возмущенные уравнения). В этом направлении укажем па работы С.Ф, Фс-щенко и Н.ІІ Шкиля [см. [65, 68]). Подобным уравнениям посвящены многие работы А.Н. Тихонова и А.Б. Васильевой, а также их учеников.
Особую роль в развитии асимптотических приемов сыграли работы НЛГ. Крылова и Н,Н, Боголюбова, Б частости, ими были разработаны методы для приближенного интегрирования нелинейного уравнения
$х о ,.{ dx \
где 0 < є *С "\- Приближенные формулы, получаемые с помощью методики Крылова-Боголюбова, не содержат так называемых секулярных членов, в результате чего удается провести исследование колебательного процесса на, достаточно большом отрезке времени і. Основываясь на работах Н.М. Крылова и Н,Н. Боголюбова, ИЗ. Штокало [69, 70] разработал метод, позволяющий исследовать устойчивость линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами. Г,И. Бирюк [34] распространила результаты И.З. Штокало на случай нелинейных дифференциальных уравнений.
Другое направление в развитии асимптотических методов было связано с возможностью получения асимптотических формул для решений некоторого класса линейных систем в окрестности точки г - -Ьсо. Основополагающие работы здесь принадлежат Н. Дв-винсону [26, 49]- Он показал, что при определенных предположениях относительно функций Xi[t) (г — 1,... ,т) (условия дихотомии), фундаментальная матрица X(t) системы
Tt=(A(l)+R(l))x, (0.0.1}
где A('t) = diag(A](i)j....Xm[t)) — диагональная матрица, a R[i) Є L-\[l^oo)t допускает следующее асимптотическое представление при і -^ -hoo :
X(t) = (Г+ о(1)) ехр{ І A{s)d*j.
Системы типа (0.0.1), следуя И,М, Рапопорту [58] г, называют Ь-дтяошлъпьти. Результаты Левинсопа были сразу же использованы И.М Рапопортом в спектральной теории сингулярных дифференциальных операторов. Рапопорт ввел также некоторые подстановки, приводящие отдельные типы уравнений к виду (0.01)- Идея метода приведения к L диагональной форме в отдельных случаях применялась уже О. Перроном [27] и Л. Чезари [12]. М.А- Наимарк [54] применил теоремы об асимптотике решений систем дифференциальных уравнений для исследовании индекса дефекта симметрических дифференциальных операторов на полуоси. Более общие результаты этого типа были полуиены в работах М.В. Федорюка [63] и А. Девинаца [17, 18].
Возможность представления фундаментальной матрицы X(t) системы
dt = A(t)x, (0.0.2)
в виде
X{t) = P[t)(l-o{l))ex?{ A(s)d
І -Л +СО
ґ стала основной тематикой целого ряда статей В.А. Харриса и Д.А. Латса (см., [21, 22, 23]). Задача здесь заключалась в построении матрицы Pit) такой, что замена х — P{t)y приводила бы систему (0.0.2) к виду (0.0.1). Существенная роль .здесь отводится так называемому Q-преобразотн-гиїо
x=(l + Q{t))y,
где Q{t) — о(1) при t -4 со и diagQlj) 0, Такая замена в некоторых случаях позволяет улучшить исходную систему в том смысле, что к преобразованной системе уїкє может быть применена теорема Левинсона. В.А, Харрис я Д-А, Лате рассмотрели различные ситуации, в которых удается подходящим образом выбрать матрицу Q(t)* Метод, развитый Харрисом н Латсом, в дальнейшем использовался многими авторами дли исследования задачи об асимптотическом интегрировании линейных систем ОДУ; в этой связи отметим, например, работу [5]. В статье [6] круг задач, связанных с асимптотическим интегрированием систем вида (0.0.1). где R[t) Є Lv їо-со) и р [1,2], рассматривается с позиций общей теории динамических систем. Задаче асимптотического интегрирования линейных систем с помощью теоремы Левиисона посвящена монография [19]. В ней собран довольно обптирный материал по этой тематике.
L0 том, что именно Рапопортом предложено называть системы вида [0,0.1) — системами в L-диагональтюй форме, указывает Чезари [67].
Особенную сложность процесе приведения к L-диагональпой форме приобретает я тех случаях, когда исходная система содержит осциллирующие ваш чипы. В этим отношении особенное значение имеет класс систем с колебательно убывающими коэффициентами, К такого рода системам приводит достаточно широкий крут прикладных задач. Некоторые возможные подходы к изучению систем с колебателы-ю убывающими коэффициентами бшгрг предложены Ю.А. Самохииым и RH. Фоминым (ш. [60, 61]), а также Дж. С. Кас-сел^м [П]. Впервые на возможность использования замен типа тех, которые использовал И.З. Штокало дли исследовании систем с малым параметром, применительно к системам с колебательно убывающими коэффициентами указали Bill. Бурд и В.А. Каракулин [Щ, Предложенный ими подход позволил довольно простым путем получить асимптотические формулы, например, ддя решении уравнения
d2y / 1 \
где Х,(У.— вещественные числя, и 0 < о < 1. В методике; предложенной В.Ш- Вурдом и В.А. Каракулиным, предполагается, что существует лишь одна убывающая составляющая, те. функция c{t) -> 0 при і -> -hou, играющая роль малого параметра е в методе Штокало. Дальнейшие исследования в этой области показали, что для систем дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами такая ситуация, в обіцем-то не является типичной. Достаточно рассмотреть, например, систему
^ = (л0+в(*)п*)-ад)з.
где А$ — постоянная матрица размера т х mf элементами матрицы В (і) размера т у. р являются тригонометрические многочлены, матрица Bit) размера m х т принадлежит классу 1г[/о,оо), а матрица V(i) размера р х т стремится к 0 при і —> -і-сю.
Еще один этап в развитии теории линейных систем с переменными коэффициентами связан с введением понятия дихотомии решений линейной системы. Исследованию дихотомии решений линейных систем посвящено множество работ. Достаточно подробный список литературы на русском языке по этой тематике можно найти, например, в книге [53], Среди прочих работ в этой области, особый интерес для нас представляют исследовании Б.А. Коппеля (см. [15]). В частности, из них следует, что теорема Девинсона есть простое следствие того факта, что обыкновенная дихотомия решений линейной системы является грубой по отношению к возмущениям класса Li'tQ.oo). Результаты, полученные Коппе-лсм. позволили построить разностный" аналог теоремы Лсвиисопа [4|> а также получить аналогичные утверждения для случая, когда динамические системы рассматриваются па произвольных замкнутых подмножествах множества Ш. (см. [8]).
Исторически сложилось так, что разностным уравнениям уделялось значительно меньше внимания, нежели дифференциальным уравнениям. В последнее время в связи с появлением целого ряда задач, в которых дискретные системы оказываются более адекватными математическими моделями, ситуация стала меняться. Оказалось, что многие результаты, полученные для дифференциальных уравнений могут быть с небольшими изменениями перенесены и па разностный случай. Но даже тогда, когда >то действительно было возможно, разностные уравнения во многих аспектах все равно оказывались более сложным объектом для изучения. Асимптотические приемы исследования применительно к разностным уравнениями стали использоваться уже в конце XIX — начале XX века в работах Л. Пуанкаре и О. Перрона. Затем довольно продолжительное время в этой области наблюдалось затишье, пока соответствующие задачи не привлекли внимания целого ряда ученых. Здесь следует отметить работы М,А. Евграфова [45|, А,О. Гсльфопда и ИМ. Ку-бенской [39], Коффмана [13] и др. Попытки сформулировать разностный аналог теоремы
Лешнеона восходят к работам И.М. Рапопорта. Его идеи получили свое продолжение в
работах П.И. Коваля (см., например, [48]), Справедливости ради заметим, что работы Рапопорта и Коваля долгое время оставались малоизвестными за пределами Советского Союза- Дальнейшее продвижение в этой области связано с результатами, полученными Коїшслем для линейных дифференциальных уравнений. Первыми, кто заметил, что соответствующие рассуждения могут быть перенесены и на разностный случай, стали Бензаид и Лате [4]- Именно ими был сформулирован и доказан дискретный аналог теоремы Левинсона. Естественно, что /г л я разностных уравнений возникает та же задача, что и для дифференциальных. С помощью каких преобразований и какие системы могут быть приведены к тому виду, который бы позволил воспой ьзошться дискретным вариантом теоремы Левинсона? Наиболее очевидное решение этой задачи состоит в том, чтобы попытаться распространить соответствующие результаты, полученные для дифференциальных уравнений, и на случай разностных- В этом направлении мы rt-ювь отметим работу [-1], где развивается соответствующий разностный аналог (^-преобразования., а также работу [20], Среди разностных уравнений также молено выделить класс сислем с колсбагелыю убывающими коэффициентами. Как оказывается, для упрощения таких систем целесообразно использовать идеи метода, усреднения.
Цель диссертационной работы
Эта диссертация посвящена развитию идей метода усреднения применительно к .задаче построения асимптотики решений линейных систем дифференциальных и разностных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами.
Актуальность работы
Хороню известно; что д.'їм произвольной линейной системы с переменными коэффициентами крайне редко удается отыскать ее решения в явном виде, По этой причине асимптотические методы интегрирования линейных систем представляют особенный интерес, Дтя того, чтобы получить довольно полную информацию о характере поведения решений системы при і —> -hoc, нам достаточно определить главные члены асимптотического разложении решений, составляющих фундаментальную систему. Для многих практических задач получение подобной информации и составляет основную цель исследования. Естественно, что нельзя указать универсального метода, который решал бы такую задя^ чу. Поэтому вполне очевндпо то положение дел, при котором нес многообразие линейных систем разбивается на классы, и для каждого из таких классов разрабатываются свои асимптотические приемы. Одним из таких классов является класс систем, имеющих 7,-диагопальный вид, а, соответствующий асимптотический прием интегрирования утверждается теоремой Левинсона. Во многих работах авторы выделяют классы систем, которые с помощью подходяших преобразований моїут быть приведены к L диагональной форме (Рапопорт, Перрон, Чезари, Харрис и Лате). Особенную трудность существующие методы приведения к L-диагональному виду приобретают в случае, когда исходная система содержит осциллирующие величины, В этом отношение оказьтнается целесообразным рассмотреть класс линейных систем с колебательно убывающими коэффициентами и разработать вариант метода усреднения и том ею ь*иде, и котором оп использовался в работах ЇІЗ. Штока ло. дтія упрощения подобных систем. Напомним, что И.З. Штокало занимался вопросом об устойчивости нулевого решения следующей линейной системы:
где 0 < < 1, Aq — постоянная квадратная матрица порядка т, есе собственные значения которой вещественны; Ai(t)i (I =- 1....,к) — квадратные матрицы порядка т. при-ргадлежашце классу S; Р(1,е) — матрица, элементами которой являются функции, почти периодичные но і равномерно относительно є Є [П,о] и непрерывные но в интервале [0,єо] равномерно относительно t Є К.
В последнее время в связи с развитием вычислительной техники разностные уравнений приобрели особенную популярность. Несмотря на то, что разностный аналог теоремы Ле-винсона, в сущности, был получен уже Рапопортом [58], его результаты были неизвестны не только западным ученым, но и в советских научных кругах о них мало кто зиял. И, как это нередко случается в математике, похожие результаты были заново получены (правда, с использованием уже других рассуждений) через три десятилетия в работе [4|. Эги результаты, в свою очередь, приобрели значительную известность Б связи с возможностью получения асимптотических формул для ре.нгений довольно широкого класса линейных систем разностных уравнений. В этой связи распространение результатов, полученных для дифференциальных уравнений, на дискретный случай представляется аытору этой диссертационной работы весьма своевременной задачей.
Краткое содержание диссертации
Первая глава носит вспомогательный характер, В разделе 1,1 излагается один из основных результатов в теории асимптотического интегрирования линейных дифференциальных уравнений — теорема Левинсона. Следующий раздел посвящен краткому знакомству с результатами, полученными Конпслем, которые впоследствии были использованы Бетт-заидом и Латеом для построения разностного аналога теоремы Левинсопа. В разделе 1.3 рассматриваются некоторые простейшие способы приведения линейных систем дифференциальных уравнений к L-диатональному виду. Наконец, последний раздел этой главы посвящен опенке члена о(1) в асимптотических формулах; которые получаются с помощью георемы Левинсона. Соответствующие результаты используются для построения асимптотики фундаментальной матрицы системы
где {А^} постоянные матрицы, А^ -ф О, 0 < сщ < от < .,. < а/; < 1, <р > 1. Материал, который излагается в этом разделе, необходим для иоиимания формул, с которыми мы встретимся в третьей и четвертой главах.
Во второй главе разрабатывается, собственно, методика усреднения для упрощения систем с колебательно убывающими коэффициентами. В первом разделе этой главы коротко рассказывается о методе усреднения Крыло в а-Боголюбов а, а также излагается метод Штока, ко исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с близкими к постоянным почти периодическими коэффициентами. В разделе 2.2 формулируется и доказывается осаош-юй результат этой главы — теорема об усреднении дичейиых систем дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами, которые могут быть представлены б следующем виде:
А п
+ V~U*K (')- «*(*) + Щ)ъ * є С1-
Здесьj4u, Aii.,.ii{t)> &{j) —квадратные матрицы размера rnxm, ih(t), vji) -скалярные
функции, а также
Ло ~~ постоянная матрица с вещественными собственными значениями;
ui(t)^ (WO -^0 v^() —^ 0 при ^ со;
Произведение ^(2)^3^)--^) ^ іі[^0іОо) для любого набора 1 < *і < ч < < 4+1 < п;
Матрицы -4И..ЛД^ принадлежат классу Е;
Матрица Д(г) Є Li[t0- от).
В разделе 2,3 обосновывается законность использования теоремы об усреднении в случае периодичности осциллирующей составляющей, т.е. в том случае, когда матрицы _4^. ^(t) ягшяются периодическими с одним и тем же периодом Т > 0. В разделе 2.4 формулируются некоторые утверждения вспомогательного плана, которые оказываются полезными при практическом использовании методики усреднения.
Третья и четвертая главы неликом посвящены асимптотическому интегрированию конкретных систем с помощью метода, изложенного в главе 2. Примеры, которые рассматриваются в этих главах, имеют в основном физический смысл, В главе 3 изучаются несколько представителей так называемого класса адиабатических осцилляторов. Основная задача здесь состоит в том, чтобы показать, что схожие по виду уравнения («стремящиеся* при і —^ -Ьоо к гармоническому осциллятору) демонстрируют совершенно различное асимптотическое поведений решений при і -ї +0О. В разделе АЛ исследуется одномерное уравнение Шредингера с быстро осциллирующим потенциалом при нулевой энергии. Эта задача исследовались в работе [46] в предположении, что осциллирующая составляющая потенциала, функция Р(х). является гладкой периодической функцией с нулевым средним значением. Метод исследования в [46] довольно сложен и основывается на представлении асимптотической формулы с помощью решений уравнения Хилла, содержащих большой параметр, и на дальнейшем исследовании зависимости этих решений от параметра. Используемый нами метод позволяет более просто построить асимптотику решений этого уравнения и нуждается в менее ограничительных предположениях относительно функции Р{х). В разделе 4.2 изучается система с двумя степенями свободы, представляющая собой систему двух линейных осцилляторов с медлеппо убывающей связью. Уже первое и второе приближения позволяют обнаружить довольно богатую асимптотическую картину поведения решений этой системы при /; —v +со.
В пятой їлавс предпринимается попытка построить разностный вариант методики усреднения. В первом разделе пятой главы привидится разностный аналог теоремы Левин-сона, а во-втором - излагается соответствующий разностный вариант теоремы об усреднении. R разделе 5.3 эта методика, демонстрируется на примере построения асимптотики решений одного разностного уравнения второго порядка с колебательно убывающими коэффициентами, Наконец, в разделе 5.4 изучаются два специальных уравнения из класса дискретных адиабатических осцилляторов. Для построения асимптотики решений одного из этих уравнений требуется знакомство с некоторой дополнительной информацией, которая приводится в Приложении А.
В Приложении А собраны основополагающие факты из теории временных шкал (fcimc-ясаіеа), необходимые для формулировки варианта метода, усреднения применительно к уравнениям, заданным на временных шкалах, близких по своему устройству при і —> -f со к «классическим» случаям Т - R (обыкновенные дифференциальные уравнения) и Т = Ъ (разностные уравнении).
Основные результаты, полученные в работе
Предложен общий вид усредняющего преобразования дла упрошений систем с колебательно убывающими коэффициентами.
Продемонстрирована эффективность соответствующих преобразований на примере задачи асимптотического интегрирования систем линейных дифферент анальных уравнений с переменными коэффициентами,
Получены результаты об асимптотическом поведении реттгепий некоторых уравнений из класса адиабатических осцилляторов. В частности, показано, что в пространстве параметров исходного уравнения на границе области устойчивости решений может возникать зона параметрического резонанса (неустойчивости решений).
Построена асимптотика решений одномерного уравнения ІЇІредингера с быстро осциллирующим потенциалом специального вида при нулевой энергии.
Изучено асимптотическое поведение решений системы двух линейных осцилляторов с медленно убывающей связью при і -+ -|-00.
ft. Результаты, полученные для дифференциальных уравнений, перенесены на разностный случай. Дискретный вариант методики усреднения проиллюстрирован на примере построения асимптотики решений некоторых радостных уравнений второго порядка.
Благодарности
Автор выражает огромную признательность своему первому научному руководителю, профессору Бурду Владимиру Шснсслсничу, благодаря которому это исследование не только успешно продвигалось вперед, но и вообще оказалось возможным. С не меньшим удовольствием автор благодарит своего второго научного руководителя, доцента Гльтзина Сергея Дмитриевичу за полезное обсуждение полученных результатов, а также за помощь морального и материального плана, столь необходимую п любом виде деятельности. Разумеется, авюр не мол^ет обойти вниманием людей, поддержка и понимание со стороны которых сыграли немаловажную роль в осуществлении подобного исследования, а именно, своих родителей, Нестерова Николая Константиновича и Нестерову Елену Павловну,
Приведение системы к L-диагональному виду
Теперь становится ясно, что наиболее простой путь для построения асимптотики решений линейной системы такой; попытаться привести систему к 1-диагональному виду, проверить условия дихотомии и применить теорему Левинсона. Оказывается, что путь этот далеко не так прост, и во многих задачах приведение системы к нужному виду вызывает целый ряд трудностей. Особенную сложность процедура приведения системы к L-диагональному виду приобретает в тех случаях, когда исходная система содержит осциллирующие величины. В этом разделе мы опишем некоторые результаты, полученные на этом пути.
Рассмотрим сначала систему (Aa V{t) + ll(t))x, (1.3.1) где А$ — постоянная матрица с различными собственными значениями, матрица V (t) стремится к нулевой матрице при і -+ со, а матрицы V(t) и R(t) принадлежат классу L o, со). Пусть А() — диагональная матрица, на диагонали которой находятся собственные числа
X\[t),.. ч \n[t) матрицы _40 +V{t). Имеет место так называемая лемма о диагокализации переменной матрицы (см. [32, 44, 49, 54]): Лемма 1.3 Л. При достаточно больших і существует ограниченная матрица С(t)? имеющая ограниченную обратную C -[t) и производную С(і) Є Li[in,oo). такая, что замена х — С{ъ)у приводит систему (1,3.1) к Ь-даагоиольному виду =(A(t}+ft(t))tfl (1.3.2) гдеКЛі) = С-Ці)Ші)С{і) - С 1{і)С{і) принадлежит классу L oo). Можно показать, что в условиях этой леммы С (І) — 0(" (Ї)). Применив теорему 1 Л.1 к системе (1.3.2), получаем следующий результат:
Теорема 1.3.1, Егл/а для собственных чисел XL(L),..., Xm(t) матрицы А 4- V[t) выполнены условии дихотомии (1,1.2),(1.1.3k то фундаментальная матрица X(t) системы (1,3.1) имеет следующую асилтаютику при і — +со ; Аг(;)-(п + о(1))ехг,{/л(.Ч)г15}, где П - постоянная матрица, по столбцам, которой стоят собственные векторы матри цы Ау, отвечающие собственным числим Л-, Am (A] = lim Ai(),... ,Ат = lim Am(fi). t—Юй І ICO К слову заменим, чгт H. Левинсон. сформулировал свою теорему именно применительно к системам вида (1.3.1). Задаче приведения исходной системы к L-диагональному виду посвящены, в частности, работы Харриса и Латса ([21. 23]). Они рассматривали системы вида = (л( ) + П Ж 1-3-3) где A(t) = diag(Ai(i),.. . ,Am())3 а матрица V[i) мала при t — --оо в некотором подходящем смысле. Предложенный авторами подход состоит в следующем: если к системе (1.3.3) не применима теорема Левинсона, то сделаем преобразование x-{l + Q(i))y, (1.3.4) где Q(L) = о(1) при I -4 оо и diagQ(i) = 0. Замену вида (1.34) пасто называют Q-преобразовапием. Итак, при помощи такой замены мы приходим к системе f =(A( ) + V1( ))B. (1.3.5) Если к этой системе теорема Л евинсона применима, т.е, если (Vi(t)— dmgVi[t)j Є Ьі[і .со) и матрица A{t) -fdiagVi() удовлетворяет условиям дихотомии, то построение асимптотики завершено. Если же (Vi{t) — diagVi(f)) (р Ь\[tj}?со), но это выражение лучше, исходного в некотором смысле, то Б системе (1.3.5) можно сделать замену типа (1-34) и т,д. Отметим следующие типы систем вида (1.3,3), для которых Харрис и Лате указали алгоритм построения матрицы Q: 1. Aft) — Ад, где До — постоянная матрица,; псе собственные значения которой различны, и V{t) »4 0, і - +ос. 2. Матрица V(t) — diagV(t) интегрируема не в абсолютном смысле, т.е. -Ьсо f (V{s)-d\s,gV{ )ds w. to 3, Элементы матрицы А (і) удовлетворяют следующему условию: Re(Ai(t)-Aj(t)) 5 0, i,j = l,,..,m, 2 7. (1.3.6) Кроме того, (V{t) - diagV(O) ip[ o,oo), 1 р -hoc.
Оказывается, чти к случае, когда имеет место ситуация 3. с помощью методики Q-преобразованші можно дать иное доказательство следующей известной теоремы, принадлежащей Хартману и Винтнеру (см. [24]):
Теорема 1.3.2 (Hartman-Wintner). Пусть в системе (1.3.3) матрицы \{t) и V(i) непрерывны при і IQ. Предположим также, что для элементов матрицы А() выполняю условие (1.3,6), a V[t) Є Lp[to}co), 1 р 2. Тогда фундаментальная матрица X{t) системы (1.3,3) допускает, при і Н- -{-ее- следующее асимптотическое представление: X{t) -= [t-o(l)j ехр{ / [A[s)+d\zgV{s)\d8 Доказательство этой теоремы можно найти в работах [19. 21, 23].
Метод ф-іфбобразованіїя достаточно трудоемок в использовании: вычисления, связанные с 1шм. занимают довольно много места, и шобще эффективность этого метода целиком зависит от удачного выбора замены (1.3,4). Тем не менее после попнлегшя работ Харриса и Латса, были выполнены десятки исследований, в которых использовался этот метод. Результаты этих исследований подытожены в книге [19].
Иногда возникает необходимость оцештіь скорость стремления к нулю члена о(1) в асимп-тоїическом представлении фундаментальной матрицы системы. В ЗТОАІ разделе мы приведем один результат такого рода, который, в сущности, вытекает из доказательства теоремы ЛевЕгнсояа. Итак, пусть рассматривается L-диагональная система (1,1,1], Б исследовании [7], отправной точкой для которого послужила работа Гелъфонда и Кубенской [39], посвященная оценке остаточного члена для скалярных разностных уравнений п-то порядка, получен следующий результат:
Теорема об усреднении линейных систем с колебательно убывающими коэффициентами
Особенную трудность процедура приведения системы к L-ди аго пальному виду приобретает в тех случаях, когда коэффициенты дифференциальпого уравнения убывают колебательным образом, В этом разделе мы разработаем вариант метода И.З, Штокало для исследования подобных уравнений. Попытки развить метод исследования систем с колебательно убывающими коэффициентами предпринимались многими авторами. В работе Ю.А. Самохина и В,Н, Фомина [60] рассматривалась система следующего вида: f = (4о + А Ю(Г ))х, (2.2.1) где А( — постоянные матрицы, / — вещественные числа. Предполагается, что система ах имеет лишь ограниченные при і —f +ео решения. Строится замена переменных, которая преобразует работе [11] Дж. С. Kaece.fr предложил метод исследования асимптотики решений системы где () скалярная функция, которая стремится к 0 при і -4 +оо и () Є і і сс). Предполагается существование целого числа М. что () . Ьм[ , ос) и (г) Є LM-I[ QJ СО). Матрица P{t) — периодическая по і с периодом 27г. Метод, как он излагается Б книге [19], состоит н проведении систему (2.2.1) в систему, которая не содержит осциллирующих коэффициентов. В замены У=exP{at)Pi(t)+em -...+епюрнії}?, которая переводит исходную систему в систему d = (m)T1 + ... + {t)TM + R(t))z, где Г; (і = І,...,А:Ґ) — постоянные матрицы и ІЇ(Ї) Li[t\}ioo). Матрицы РІ{І) (І = lj...,M) яшшшся периодическими с периодом 2тг, Бперввіе вариант метода И.3 Штокало применительно к задаяе асимлтотического интегрирования некоторого класса систем с колебательно убывающими коэффициентами был ралшт R работе В.Ш. Пурда. и В.А. Каракулина [36]. Авторы рассматривали следую-щую систему дифференциальных уравнений: =(4 + $: ( ) + ДЮЬ (2.2.2) где _40 — постоянная матрица, матрицы .4,( ),...,/1 (/) принадлежат классу У Hit) Є Ьі[і0іоо). Вещественное число а и натуральное число к удовлетворяю !1 неравенству О ка 1 [к -\- 1)ск. Показано, что система (2.2.2) при больших і с помощью замены где Уі().., l fc(i) матрицы из класса EQ, приводится к виду = (ли Е-І4 - ( ) j=i с постоянными матрицами A\t..., Лк к матрицей R\{i) Є Li[iQj со). Предложенный метод применим, разумеется, и для исследования систем вида = (А + ЄІШІ) + ІЩ)Х, где скалярная функция () такова, TITO f(r) -4 0 при -4 +оо, функции {(),,,, ,ft(i) по принадлежат классу L\ "із?оо), а (0? Л_Ь1(0 Є ii[io,cso). Неемоірк на то. что с помощью зтого метода удавалось успешно строить асимптотическое представление решений линейных систем во многих практических задачах, ЦЙЛЫЙ ряд, систем с колебательно убывающими коэффициентами оказывался им не охвачен. Действительно) достаточно рассмотреть, например, систему такого вида: Aa+B(t)V{t)+R(t))x, (2.2.3) где о — постоянная матрица размера тхт} все собственные числа которой ветцесткешш, матрица В (і) размера тхр принадлежит классу S, матрица R(t) размера шхт принадлежит классу Li[i0,oo), а матрица V(t) размерар х т обладает следующими свойствами: Г- [V( ) - 0, когда - - +00 2\ V(i)eLi[t0,oo). З7. V"(t)r с L1[ 0TCO) для некоторого г Є N. Излагаемый ниже результат является естественным обобщением работы В.Ш. Бурда и В.А. Каракулина па случай нескольких убывающих составляющих. Рассмотрим систему di = Uc- A:(/ ,(i) і- J2 Ai[i2{t)vtl(t)ujt)+ ...+ 1 іі із п I J] ....„(tj ft (t) +Л(І))Ї, а: Є С. (2.2.4)
Здесь Anj AiL„r (i), li(t) — квадратные матрицы размера rn x т. а г і(і}5....vn{t) - скалярные функции, Пусть 1. А$ постоянная матрица с вещественными собственными значениями. 2. ui(i) — 0, ) - 0,. . .jZjfl() - 0 при н- со. 3. (),1 ( ,..., ) Є L][ito,oo). 1. Произведение (... иік+ [і) е Lj ojoo) для любого набора 1 г і і2 ... Ій+і п. 5. Матрицы Лі3...гДі) принадлежат классу S. 6. Матрица Д() Є LirtLi,co). Автором доказана следующая теорема (см. [55]]: Теорема 2.2.1. Система (2.2.4) при достаточно больших і залівпой ТА 1-і 1 11 їа 7ї s= [ +1 ( н( )+ Е ады к )+---+ + Е -...и к )---- ( )к (2-2-5) ! ?! ... ift n 2 3е / — единичная матрица, а матрицы Уп... (/) принадлежат классу Ер, приводится к виду } п jt = fa+Е М + Е to fi) +. Е Л,...л( )-----"чИ ВДк (2-2-6) l il „. 1,fc rA с- постоянными магпрщами ,4 ,..,;, и матрицей R\{t) Є i[t-J3 сх ).
Доказательство. В сущности, рассуждения, проводимые, нами, в идейном плане повторяют основные моменты доказательства теоремы 2.1.1 f отличаясь от них лишь некоторыми трудностями технического характера, Итак; подставим (2.2.5) в (2.2.4) и учтем (2.2.G). Опуская для сокращения записи пределы суммирования, получаем y ( ) +Е м +Е ( ) А0 Л МО+---+ЕЛ х
Соберем слагаемые из класса Ь\[1о,оо) в (2.2.7) по обе стороны от знака равенства. Имеем в силу условия 2 и ограниченности матриц Yi._j.lt) (они определяются ниже) обратима, и обратная к ней ограничена при t , то из (2.2.8) можно выразить матрицу B.-\(t) и она, очевидно, будет принадлежать классу Li[toTco). Теперь будем приравнивать слаг&слши при v (t) -... v.i,(t)i I /с, находящиеся в обеих частях равенства (2.2.7). Приравнивание «свободных членов дает нам тривиальное тождество
Один пример колебательного возмущения гармонического осциллятора с исчезающей на бесконечности амплитудой и медленно растущей фазой
Рассмотрим следующее уравнение второго порядка: d2y { ш\ф{і) 41+-irJ! =0, (3-21) где й - произвольная действительная постоянная и p(t) = l+alfi1 а 0, 0 1.
В случае, когда а = 1 и а = 0, уравнение (3.2.1) суть уравнение вида (3.0.2), где р = 1/2 и А = 1. Известно (см. [23. 36]), что в этом случае у уравнения (3.0,2) существуют неограниченно растущие решения, или, как говорят, имеет место параметрический резонанс.
Мы покажем, что степенная добавка at13 в аргументе синуса (фаза) делает все решения уравнения (3.0.2) ограниченными. Сначала от уравнения (3.2.1) с помощью замены Ван-дер-Поля У — Xj COS t + Та ЯІГ1/, у = —.Tasini + Г 2 COS І ът перейдем Е системе x = A(f)g{[)x, x= [xux2)7 (3.2.2) A(t) = = где bin2i sin2 \ ,JX _ fiitl + A 3) Поскольку sin( — ai ) — smtcoti(av) + созуш(сгіЛ). то систему (3.2.2) молено привести к ішду (2,2.4) х = AiiiMf) + A2{t)v2{f.) x. ;з.2.з) Здесь ,,, A, , . ,,, ,,, , ч cos і at-d) . , tiniaV3) Л ft Ai(i) =аА )$т A2{i) = aA(t)co$t, vi{t] = - " . v2(i\ = ;
Пусть сначала " a) 0 1/2. В этом случае все требования георемы 2.2.1 выполнены при к = 2. Поэтому систему (3.2.3) с помощью усредняющей замены х =(1 + Yi(i)vi(t) + Y2(t)v2(t) + Уц(ф?(і) + Yu(tMt)v,(t) + Ynii)vl{i))z (3.2.4) можно привести к виду m (3.2.5} где Aij — постоянные матрицы, и Hit) Є Іі[іц, со). Несложно видеть, что Л,-MfA t)! =0 и А3 = М[А2( )] -0. Перед тем, как вычислять матрицы второго приближения, заметим, что ,2 CGSa{orf/J} І-, ,л,ч 2/. sin2(at0) 1 ,_ /ґ , 2і 2t ui(i)ju3("0 = 8Іп(2аГ). С учетом вышесказанного система (3.2.5) примет следующий вид: -(Лп+Аю + АиШ&аі + ІАи - .-422)cos(2trf 3)) + R[t) (3.2.6; Делая замену времени г - tB, получаем систему: 1 г = Ьрт Ап-\ Ап I Al2sm[2ar} -і (Ли - А22) соз(2иг) + #( ) (3.2.7) где Z[T) — z(t(r)). R(r) — Л(і(т)}і (г) и символом обозначена производная по т. Используем теорему 2.2.1 pine раз, проделывая в системе (3.2.7) усредняющую замену z = I-V r lY\{r) и. Окончательно приходим к системе й = .-і. Г-ВД и, (3.2.8) где Rt(r) Є LifvQ, со) и Г = {Ац—А-2ъ)/2р. Для построения асимптотики фундаментальной матрицы системы (3.2.8) можно воспользоваться теоремой Левинсона. Таким образом, нам нухшо вычислить матрицы Ап и _422- "В определении же матрицы Ау _ необходимости нет. Имеем \5 0 где Поэтому 24 \1 0_ Уі = ,1,(0 Ai и Y2 = A.t(t)-Ai. Г = 0 -1 12/3 VI 0
Теперь не составляет труда построить асимптотику фундаментальной матрицы системы (3.2.2): = С0В(!Н Sb ]ntM Ю(1), і -l+oc. ain( kt) -cos( lnt) Поэтому решения уравнения (3.2.1) имеют следующую асимптотику при /; -л +со: .2 (3.2.9) y{i) = ClKm(t-( \nt lv) + a{})., где C i,7i — произвольные действительные постоянные. Пусть теперь б) І/2 3 3/1. Итак, вернемся снова к системе (3.2.3). Заметим, что поскольку функции v-\{t) и г С ) не принадлежат более классу і[іо,оо), то мы не можем воспользоваться теоремой 2.2.1. Тем не менее мы все равно сделаем в системе (3.2.3) замену (3.2.4). Заметим, что ІЬ(І) = -afd-W hmiat?) - ±Г3 2еой(а ),
Очевидно, что вторые слагаемые в выражениях для v-_[t) и щ{) являются абсолютно интегрируемыми функциями, и, естествеппо, могут быть включены в состав слагаемого, принадлежащего классу LI[JQ,OO). Кроме того, обратим внимание на то. что всевозможные произведения i;i(t)vj(t). (i.j = 1,2) представляют собой величины порядка 0(i - ) и поэтому также войдут в состав абсолютно интегрируемого члена. Этот факт позволяет нам сделать ььшод, что \$ результате усредняющей замены (3.2.4) система (3.2.3) преобразуется к виду z= [-(Лп+ +А12яіп(2 ) + (Ли-Л,)соз{2а )) + z, (3,2,10) где П(/;)= П(г), Y2(t) -apY2(t) и R(t) Є Li[to,oo). Впрочем, для нас важен лишь ют факт, что матрицы i\(t) и Y2{t) принадлежат классу Е[. Положим
Теперь мы уже можем воспользоваться теоремой 2.2.1 при этом достаточно вычислить лишь матрицы первого приближения. В системе (3.2.10) мы сделаем усредняющую замену вида: J + YfWHt) + Уа{1)Ы( ) + Yp(t)v\t)+ + YP(t)v?\t) Y$1W )(t)] L- (3.2.11) Вспоминая, что М[ї (і)] - 0, (і - 1,2), получаем систему г"1 ъ -/л = -( + 52 + 12 (20 ) + (Ли -Лм)соб(2 )) +H!(t) где їі\{і) Є Ly i o, со), которая по своей структуре совпадает с системой (3.2.6). Дальнейшее построений асимптотики в точности повторяет рассуждения для случая 0 В 1/2. Окончательно получаем, что решения уравнения (3.2.1) имеют асимптотику вида (3.2.9) и Б том случае, когда 1/2 ,3 3/4. Наконец, рассмотрим общий случай:
Легко видеть, что с помощью замен, которые мы использовали ранее, система (3.2.3) может быть приведена к виду (3.2,10). Далее, выполняя в системе (3,2.10) замену (3.211) и п і выделяя в составе функций щ }{i) и Ь\ !{ї) абсашотио интегрируемые слагаемые, приходим к следующей системе:
Система двух линейных осцилляторов с медленно убывающей связью
Несложно убедиться ь том. что в силу условий (1)-(3} все требовании теоремы 5.L1 оказываются выполненными. Так как невозмущенная система (5Т.П) имеет решение y{i) = е, то система (5.1.10} имеет решение со следующей асимптотикой: вд() = І- о(1). і - -fco.
Далее, в силу произвольности і приходим к тсыводу, что фундаментальная матрица, исход ной системы (5.1.6) допускает асимптотическое представление (5.І.9). Z) Замечание 1. Если А?;() о 0 для всех г — 1,,,, }т, то условие (2} теоремы 5.1.2 заведомо выполнено, если R[l) Є ].. Замечание 2- Отметим следующие условия, достаточные для дихотомии (5Т.7)- (5.1.8). Пусть А (} н- А 0, 1 і т и а) Ai / Aj для Ї / j. Тогда, если ]А?: А то имеет место (5J.7), в противном случае выполнено (5.1.8}. б) Ап — Aj для некоторой пары индексов (itj)7 і =f J- Положим Ai("t)/Aj(t) — l-\-rtj{i)y где rij{t) -н- 0, - +co. Тогда, как несложно показать, если Гц() не меняет своего знака при і 0, ТО условия дихотомии также оказываются выполненными.
Итак, как и: в случае с дифференциальными уравнениями, для того, чтобы построить асимптотику системы разностных уравнений, можпо попытаться привести ее к L-диагональному вид} и затем (если это удается) воспользоваться теоремой 5.1.2. Техника, которая используется на этом пути, зачастую представляет собой разностный вариант соответствующих результатов, полученных для дифференциальных уравнений. ОТМСТИМ, например, работу [4], где для приведения исходной системы к L-диагональному виду используется разностный аналог -преобразования. В работе [20] исследуются системы, в которых ведущая матрица имеет жорданову клетку: y{t + X)-(J-B(i))v[t), где матрица B(i) представляет собой в некотором смысле малое возмущение. Рассмотрим следующую систему разностных уравнений: x[t -г 1) = (-4П 4- V[t) + R(t))x{t)t (5.1 Л 2) где матрица At} невырождена, и все ее собственные числа различны, V(i) 0, і Н- -Ьсо; &Y(t) Є і и R(t) Е i. Имеет место следующий аналог леммы 1.3.1 (см. [4]):
Лемма 5.1Л Существует невырожденная при I (ц матрица C(i). удовлетворяющая свойствам (1) C(t) - П при і — -fco, где матрица П приводит матрицу Ац к диагональному виду. (В) AC(t)el1: татя, что замена x[t) — C(l)y(t) приводит систему (5.1.12) к L-диагональному виду y(t + l) = {A(t) + R1(t))y(t), (5.1.13) где.А.[1) — диагональная матрица, составленная из собспшеп-ных чисел матрицы A -i-VU) ц Дій Є t В частности, из леммы 5.1.і и теоремы 5.1,2 вытекает следующий результат:
Теорема 5.1,3. Если собственные числа матрицы AQ + Vil) удовлетворяют уаюв аям, дихотомии (5.1.7)-(5.1.8), то фундаментальная матрица X{t) системи (5.1.12) имеет следующую асимптотику при і —\ со : -1 ( )=[п + (1)]Пл(0, где по столбцам, лттрицы П располооїсени собственные векторы матрицы AG, а Л (і) -диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы. A0 + V(l).
Идеи методы усреднения, использованные нами для преобразования линейных систем дифференциальных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами; могут быть естественным образом распространены и на случай линейных разностных уравнений. Впервые идеи метода усреднения применительно к задаче о построении асимптотики линейных разностных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами были использованы A3. Бурдом в работе [10]. В этом разделе будет сформулирован и доказан соответствующий разностный аналог теоремы об усреднении 2.2Л.
Пусть рассматривается следующая линейная система разностных уравнений с колебательно убывающими коэффициентами: п x{t + 1) = (А0 + J Ai(t)vi(t) + J2 А ( К С КМ + + ї=1 1 Іі І2 П + .,,., ) (ї) -.---v t) + R(t))x(t). (5.2.1) l H ... ik n Здесь AQ, Ailiimit(t)} R(t) - квадратные матрицы, ({),..., - скалярные функции, x{t) єСтиі END. Пусть 1, А$ — постоянная невырожденная матрица с вещественными собственными значени ями. Кроме того, мы предположим, что спектры матриц AQ И — А$ не пересекаются, 2. i L(t) -4 0, (0 4 0..,,, -4 0 при і - оо. 3.Avl{t),Av2(t)7., Avn{t)Gil. 4. Произведение 1 (4) .. л; г() _ ij для любого набора 1 ц %ъ .,. іь+і л» 5. Матрицы AiVmiii(i) принадлежат классу Е. 6. Матрица R(L) G А Теорема 5.2.1. Система (5.2.1) при достаточно больших і заменой п х = Iі + Е Н М ) + І] УчіЖК ( К( ) + + + У ( Ы )-...- (ф(0, (5-2-2) где I - единичная матрица, а матрицы Yilttiil[t) принадлеоісат классу S0j приводится % виду п v(t+1) = (Ч+Емм + Е A4hvh K{t) + ...+ 1 = 1 1 Ї] Ь2 П + Е Ail..iuvil{t)-...-vill(t) + R1(t))y(t), teN„, (5.2.3) \ ii ,.Xik v с постоянными матрицами А ц и матрицей ДІ(Ї) Є ь Доказательство, Подставим (5.2.2) в (5.2.1) и учтем (5.2.3). Опуская для сокращения записи пределы суммирования, получаем
