Содержание к диссертации
Введение
I Постановка задачи, обзор и вспомогательные утверждения 14
1 Постановка задачи 14
1.1 Прямая и обратная задачи гравиразведки 14
1.2 Решение обратной задачи для контактной поверхности с применением метода регуляризации 21
1.3 Метод аналитического продолжения спектра 23
2 Обзор аналитических и численных методов решения уравнений в свертках и их приложений 25
2.1 Исторические сведения 25
2.2 Понятие корректности и некорректности 31
2.3 Условная корректность 33
2.4 Метод регуляризации Тихонова 33
2.5 Вариационный метод 35
2.6 Итерационные методы 36
2.7 Метод Ныотопа-Капторовича 38
II Итерационные методы решения уравнений в свертках 40
1 Введение 40
2 Приближенное решение уравнений в свертках на векторных компьютерах. 42
3 Приближенное решение уравнения Винера-Хопфа 49
4 Итерационный метод решения уравнения с двумя ядрами 55
5 Приближенное решение парных уравнений 61
6 Итерационные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений 64
6.1 Двумерные сингулярные интегральные уравнения 64
6.2 Дискретные уравнения в свертках 69
7 Приближенные методы одновременного восстановления аппаратных функций и входных сигналов 72
7.1 Одномерные дискретные системы 73
7.2 Многомерные дискретные системы 77
7.3 Одномерные непрерывные системы 79
7.4 Многомерные непрерывные системы 82
7.5 Приближенное решение краевых задач 84
III Приближенные методы решения обратных задач идентификации 88
1 Итерационный метод решения обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности 88
1.1 Двумерная задача 90
1.1.1 Определение границы раздела при известной глубине залегания Н и неизвестном интервале залегания (a, b) 90
1.1.2 Определение границы раздела при известной глубине залегания Н и известном интервале залегания (a, b) 92
1.1.3 Определение границы раздела z(x) при неизвестной глубине залегания Н и неизвестном интервале залегания (а,Ь) 94
1.2 Трехмерная задача 96
2 Восстановление импульсной функции и искаженного атмосферой короткоэкспозиционного изображения 100
2.1 Аналитическое решение многомерных урравнений 101
2.2 Приближенные методы 104
IV Приближенное решение граничных интегральных уравнений 108
1 Приближенный метод решения уравнений теории рассеивания. 108
2 Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа 109
3 Решение задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца 116
V Приложения 135
А Вспомогательные предложения и обозначения 137
А.1 Интегральное преобразование Фурье 137
А.2 Дискретное преобразование Фурье 137
А.З Элементы функционального анализа 137
А.3.1 Линейные операторы 138
А.4 Дифференцирование в нормированных пространствах 139
А.4.1 Производная Фрсше 139
А.4.2 Слабый дифференциал (дифференциал Гато) 139
A.5 Краевая задача Римана 140
А.5.1 Вспомогательные предложения 140
А.5.2 Постановка задачи Римана 142
А.6 Сингулярные интегральные уравнения 143
А.7 Классы функций 143
В Листинги программ 146
8.1 Решение нелинейного интегрального уравнения, описывающего обратную задачу гравиметрии.
Известна глубина залегания и неизвестен интервал определения функции, определяющей геометрию рудного тела (трехмерный случай) 146
8.2 Решение нелинейного интегрального уравнения, описывающего обратную задачу гравиметрии. Известны глубина залегания и интервал определения функции, определяющей геометрию рудного тела (двумерный случай) 151
8.3 Решение нелинейного интегрального уравнения, описывающего обратную задачу гравиметрии. Известны глубина залегания и интервал определения функции, определяющей геометрию рудного тела (трехмерный случай) 158
8.4 Одновременное восстановление входного сигнала и импульсной переходной функции 164
8.5 Вспомогательные процедуры 171
С Решение модельных задач 174
С.1 Определение геометрии поверхности рудного тела в двумерном случае при известных глубине залегания и интервале определения искомой функции 174
2 Определение геометрии поверхности рудного тела в двумерном случае при известной глубине залегания и неизвестном интервале определения искомой функции 176
3 Определение геометрии поверхности рудного тела в трехмерном случае при известных глубине залегания и интервале определения искомой функции 179
4 Одновременное восстановление входного сигнала и импульсной переходной функции 183
5 Восстановление изображения конечного плоского объекта произвольной конфигурации 185
6 Приближенное решение уравнений в свертках 187
- Прямая и обратная задачи гравиразведки
- Приближенное решение уравнений в свертках на векторных компьютерах.
- Итерационный метод решения обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности
- Приближенный метод решения уравнений теории рассеивания.
Введение к работе
Введение. Общая характеристика работы
1.1 Актуальность темы.
Работа посвящена итерационным методам решения обратных задач гравиметрии и идентификации динамических систем, описываемых уравнениями в свертках различных видов.
Уравнения в свертках, начиная с первой работы о таутохроне, принадлежащей Н. X. Абелю, находят широкое применение в различных областях физики и техники. На протяжении 19 и 20 веков были исследованы многочисленные виды интегральных уравнений в свертках; причем получены как качественные результаты, так и приближенные методы их решения. Огромный вклад в разработку методов исследования уравнений в свертках, к которым относятся и сингулярные интегральные уравнения, принадлежит Н. Винеру и Е. Хопфу, Ф. Д. Гахову, Г. Дечу, М. Г. Крейну, Н. И. Мусхелишвили В. А, Фоку, И. М. Раппопорту, предложившим принципиально различные методы решения этих уравнений. Дальнейшее развитие аналитических и численных методов решения уравнений в свертках связано с именами И. В. Бойкова, Г. И. Василенко, А. Ф, Верланя, Ф. Д. Гахова, И. Ц. Гохберга, В. В. Гласко, Б. Н. Енгибаряна, В. В. Иванова, И. К. Лифанова, А. Ф. Матвеева, С. Г. Михлина, Б. И. Мусаева, В. С. Сизикова, Д. Г. Саникидзе, А. М. Тараторила, А. Н. Тихонова, В. И. Старостепко, В. Н. Страхова, К. Е. Atrinson, D. U.Jinyan, М. A. Golbcrg, G. Shmidt, S. Prossdorf и др.
В последнее время активно развиваются новые направления, связанные с применением интегральных уравнений в свертках к решению обратных задач гравиметрии и идентификации динамических систем.
В связи с этим получили развитие ставшие уже классическими метод регуляризации Тихонова, итерационные методы, проекционные методы решения уравнений в свертках. Несмотря на активное развитие численных методов решения уравнений в свертках и на исследование их многочисленых приложений, остался неисследованным ряд принципиальных моментов: известные в литературе итерационные методы решения уравнений в свертках сходятся лишь при очень жестких условиях и не применимы к решению ряда обратных задач гравиметрии; уравнения в свертках используются при решении многочисленных задач физики и оптики, в которых требуется обработка информации в режиме реального времени. Для этого необходима разработка параллельных методов решения уравнений в свертках, которые в настоящее время отсутствуют; — в настоящее время также отсутствуют приближенью методы решения ряда конкретных классов уравнений в свертках, которыми описываются обратные задачи геофизики, астрофизики, и измерительной техники. В частности, весьма актуальным является решение задач одновременного определения формы гравитируюіцего тела и глубины его залегания; восстановление изображения, искаженного турбулентной атмосферой; задачи одновременного восстановления аппаратной функции и входного сигнала, и ряд других аналогичных задач.
Разработке, обоснованию и программной реализации числениымх методов решения перечисленных проблем посвящена данная диссертация.
1.2 Цель работы.
Целью исследования является разработка, обоснование и программная реализация численных методов решения различных классов уравнений в свертках и применение полученных результатов к решению задач гравиметрии и идентификации параметров динамических систем. При этом в работе решены следующие задачи: — предложены и обоснованы итерационные методы решения уравнений в свертках Винера-Хопфа, уравнений с парными ядрами, многомерных сингулярных уравнений, сходящиеся при очень слабых ограничениях; — исследована сходимость итерационно-проекционных методов для приведенных выше классов уравнений; — предложены алгоритмы распараллеливания итерационных и итерационно-проекционных методов решения перечисленных в первом пункте уравнений; — численно решен ряд обратных задач гравиметрии; — численно решены ряд задач одновременного восстановления аппаратной функции и входного сигнала.
1.3 Методы исследования.
В работе использованы методы функционального анализа, прикладного функционального анализа, краевых задач теории функции комплексного переменного, теории сингулярных интегральных уравнений, обратных задач идентификациипараметров динамических систем и обратных задач геофизики. Достоверность научных положений подтверждается соответствием теоретических результатов с результатами математического моделирования тестовых задач.
1.4 Краткое содержание работы.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложений.
В первой главе дано описание обратных задач гравиметрии и идентификации динамических систем, приводящих к рассматриваемым в диссертации типам уравнений в свертках; дан краткий обзор аналитических и численных методов решения уравнений в свертках и их приложений. Даны понятия корректно и некорректно поставленных задач, рассмотрены метод регуляризации Тихонова, вариационный способ, метод Ньютона-
Канторовича, метод оптимальной фильтрации Винера, аналитического продолжения спектра. Также приведен ряд вспомогательных утверждений, используемых в работе.
Вторая глава посвящена построению итерационных методов решения уравнений в свертках. Предложены и обоснованы приближенные методы решения уравнений в свертках на векторных компьютерах, приближенные решения уравнений Винсра-Хопфа, парных интегральных уравнений. Рассмотрены итерационные методы решения уравнений с двумя ядрами, многомерных сингулярных интегральных уравнений. Даны приближенные методы одновременного восстановления аппаратных функций и входных сигналов динамических систем.
В третьей главе строятся и обосновываются численные методы решения обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности, и рассматривается метод одновременного восстановления аппаратной функции и искаженного атмосферой короткоэкспозиционного изображения.
Четвертая глава посвящена исследованию приближенных методов решения уравнения Гельмгольца и Лапласа в области Q
Ди + к2и = 0, где волновое число к ф 0.
В работе имеется два приложения. "Приложение 1" содержит вспомогательный материал, используемый в различных главах работы. Для удобства читателей изложение делается замкнутым, т.е. весь необходимый справочный материал приведен в "Приложении 1". В "Приложении 2"приведены решения следующих конкретных задач гравиразведки, астрофизики и идентификации параметров:
1) численное решение обратной задачи гравиметрии, 2) численное решение задачи одновременного восстановления входного сигнала и импульсной переходной функции.
11. 1.5 Научная новизна.
Научная новизна работы состоит в следующем:
Построены, обоснованы и программно реализованы численные методы решения обратных задач гравиметрии для контактной поверхности в двумерном и трехмерном случаях.
Дано обобщение итерационных методов решения одномерных непрерывных и дискретных уравнений в свертках с ядрами, принадлежащими пространству Ьг(—со, со).
Дано обобщение итерационных методов решения многомерных интегральных уравнений с ядрами, принадлежащими -62(-со, со)', / — 2,3,....
Предложены итерационные методы решения уравнений Винсра-Хопфа, парных уравнений, уравнений с двумя ядрами. щ 5. Предложены итерационные методы решения сингулярных интегральных уравнений.
Предложены численные методы одновременного восстановления входных сигналов и идентификации параметров динамических систем.
Дано приближенное решение задачи восстановления импульсной функции и искаженного атмосферой короткоэкспозиционного у изображения.
8. Предложены параллельные методы решения широкого класса уравнений в свертках,
1.6 Теоретическая и практическая ценность работы.
Теоретическая ценность работы заключается в разработке параллельных итерационных методов решения уравнений в сверке, дающих решение следующим классам невырожденных уравнений в свертках: уравнения
Винера-Хопфа, парные уравнения, уравнения с двумя ядрами, сингулярные интегральные уравнения.
Практическая ценность заключается в полном решении обратных задач гравиметрии и идентификации параметров динамических систем на основе полученных в диссертации теоретических результатов решения уравнений в свертках. В частности, решены следующие задачи: определение границы раздела при известной глубине залегания и неизвестном интервале залегания рудных тел; определение границы раздела при известных глубине и интервале залегания; определение границы раздела при неизвестных глубине и интервале залегания; восстановление импульсной функции и искаженного атмосферой короткоэкспозиционного изображения; одновременное восстановление аппаратных функций и входных сигналов; решены классические уравнения теории ньютоновского потенциала методом сведения их к гиперсингулярным уравнениям.
1.7 Апробация.
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на:
Международных симпозиумах "Надежность и качество-2001", "Надежность и качество-2003", "Надежность и качество-2005"(г. Пенза 2001, 2003, 2005г.);
ХИ-й Международной школе-семинаре "Синтез и сложность управляющих систем"(г. Пенза, 2001 г.);
Международной конференции по вычислительной математике ICCM-2002 (г. Новосибирск, 2002г,);
Второй Международной школе-семинаре "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"(г.Сараиск, 2005г.) научных конференциях профессорско-преподавательского состава Пензенского государственного университета.
Пакет программ, реализующих алгоритмы, разработанные в диссертации, зарегистрирован в Отраслевом Фонде Алгоритмов и Программ (ОФАП). Выдано "Свидетельство об отраслевой регистрации разработки" за номером №5028.
Разработка "Пакет программ решения интегральных уравнений в свертках" зарегистрирована в "Национальном информационном фонде неопубликованных документов". Номер государственной регистрации: 50200501163.
Комплект программ "Приближенные методы решения обратных задач"используется в производственной деятельности ФГУП "Пензенский научно-исследовательский электротехнический институт" (акт о внедрении прилагается).
Публикации. По результатам диссертации опубликованы работы [19, 20, 21, 22, 23, 24, 94, 25, 58]. Часть работ выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 97-01-00G21), Российского гуманитарного научного фонда (проект 01-02-00147"а").
Часть I
Постановка задачи, обзор и вспомогательные утверждения
1 Постановка задачи
1.1 Прямая и обратная задачи гравиразведки
Прямая задача — это задача нахождения элементов гравитационного поля по заданному распределению его источников. Под элементами гравитационного поля понимаются потенциал поля, составляющие вектора напряженности по осям координат, вторые производные потенциала по координатам.
Ниже для краткости и простоты обозначений под элементами гравитационного поля будем понимать его потенциал. Полученные в диссертации результаты справедливы и во всех других случаях. Приведем, следуя [73], вывод основных формул и уравнений прямой и обратной задачи гравиметрии.
Рассмотрим две материальные точки М\ и Mj, удаленные друг от друга на расстояние г. Массы этих точек равны соответственно т\ и Ш2- Согласно закону всемирного тяготения сила F, с которой точки притягиваются друг к другу, равна ^ = 7-^-- (1-1)
Коэффициент пропорциональности -у называется постоянной всемирного тяготения. Из формулы (1.1) следует размерность постоянной всемирного тяготения: [7] = М~1ЬгТ-2.
Числовое значение в наше время принимается равным 7 — 6,664 Ю~8^7-Рассмотрим в пространстве материальные точки М с массой, равной т, и P с единичной массой. Введем в рассмотрение некоторую декартову систему координат с началом в точке М. Обозначим через x,y,z координаты точки Р. Найдем проекции X, У, Z силы притяжения, с какой точка М действует на точку Р. Величина этой силы задается формулой где г = у/х1 + у2 + z2 есть расстояние между точками Р и М. Искомые проекции определяются формулами: -утх jmy 'jmz Л _ у — ^ — _
Рассматриваемая сила ньютоновского притяжения имеет силовую функцию у _ 2771 Г
Точка М в предыдущем изложении сохраняет все время неизменное положение, находясь в начале координат, точка Р есть переменная точка пространства. Первую точку называеют притягивающей, вторую — притягиваемой.
Функция V зависит от координат x,y,z притягиваемой точки Р и называется ньютоновским потенциалом притягивающей точки М.
С помощью ньютоновского потенциала V найденные выше проекции силы F, действующей на точку массы единица, запишутся так: дх' ду' dz
Если притягиваемая точка имеет массу /і, то проекции силы притяжения, возникающей благодаря присутствию притягивающей точки
М массы т, выразятся через ньютоновский потенциал точки М с помощью формул: Y dv dv dv X = ft-—, Y = //--, Z = }i—. (1.3) ox oy az
Если притягивающая точка M находится не в начале координат, а занимает положение, определяемое координатами а,Ь,с, то ньютоновский потенциал точки записывается следующим образом:
Для X,Y,Z — проекции силы F остаются справедливыми формулы (1.1), если притягиваемая точка имеет единичную массу, и формулы (1.3), если масса притягиваемой точки равна д.
В развернутом виде величины X, У, Z запишутся так: т х-а т у-Ь т z-c X = г , Y = 2 > Z = 2 ' tL5 где r2 = (x~- a)2 + (y- bf + (z - cf.
Найдем частные производные функций X, У, Z соответственно по переменным x}y,z : дХ (y-by + {z-cf-2{x-af
Складывая почленно эти формулы, приходим к соотношению дх ду dz Заменив X, У, Z их выражениями через потенциал V{x, у, z), получаем: дРХ cPY d2Z _ дх2 ду2 dz2
Таким образом получен следующий основной результат: ньютоновский потенциал точки удовлетворяет уравнению Лапласа.
Проекции X, У, Z силы, с какой все тело (Т) притягивает точку Р, получаются интегрированием предыдущих формул по всему объему, занимаемому телом: Y_lljP±M.y^dT.t
Если точка P(x,y,z) лежит вне тела (Т), то нетрудно видеть, что величины X,Y,Z будут частными производными соответственно по х,у, z одной и той же функции V{x, у, z) = JJJ р^а' ' dr.
При рассмотрении потенциала объемных масс предполагалось, что притягивающее тело занимает конечную часть пространства, но "исключительно важно исследовать также и свойства ньютоновского потенциала притягивающих образований, простирающихся в бесконечность". Такое исследование дало начало самостоятельной и обширной теории — исключительно важной и для математики, и для геофизики — теории логарифмического потенциала.
Допустим, что мы имеем бесконечный цилиндр с образующими параллельными оси Oz и направляющей в виде замкнутой кривой, ограничивающей область (D). Предположим, что плотность этого цилиндрического тела зависит лишь от двух первых координат. В силу этого, притяжения, развиваемые цилиндром, будут во всех плоскостях, перпендикулярных оси Oz, одни и те же, поэтому достаточно исследовать притяжения, действующие на точку Р(х,у) единичной массы, лежащую в плоскости z = 0.
Проекции X, Y силы притяжения, действующей на точку Р, запишутся следующим образом: со со X = 7 / / p{a,b)dadb / ——dc;Y = /y І і p(a,b)dadb / —— dc, D —oo D -co r2 = (a-z)2 + (&-j/)2 + c2, а 7 — постоянная всемирного тяготения. Так как fXdc = г3 (а-х)2 + (Ь-у)2'
18 то (D) (D)
Введем далее следующую функцию V(x, у) : V(x, у) = 27 (( р{а, Ь) In 1<ЫЬ, (1.6)
Я2 = (а-х)2 + (&-у)2.
При этих обозначениях проекции X, F могут быть записаны так: дх' 5у
Следовательно, сила притяжения точек плоскости (X, Y) бесконечным цилиндром имеет потенциал. Этот потенциал определяется формулой (1.6) и называется логарифмическим потенциалом области (D).
Таким образом, прямая задача гравиметрии в случае объемного тела заключается в нахождении функции U(x,y,z) и ее первых производных, определяемых интегралами: і// і п fff dmfarjt<;)
V(x,y,z) = G dV{x,y,z) = Q fff (С-^тК,т?Л) дх JJJ ((-z)2 + (t?-?/)2 + (?~z)2)3/2' dV{x,y,z)=G fff (і]-у)(іт{^7],я) ду JJJ ((t-x + (V-yf + (<;-zW^ dV{x,y,z) fff ((~z)dm{,i],s) dz JJJ ({t,-x)2 + {r}-y)2 + {s-zyyir
Аналогично определяются производные второго и более высоких порядков. В указанных формулах x,y,z — координаты произвольной точки пространства; , т/, ( — координаты массы; dm^^X) ~ элемент массы в точке (, г/, С); D — объем, занятый массами; G — гравитационная постоянная.
Точка, в которой определяются значения элементов гравитационного поля, может находится как вне носителя масс, так и внутри него. Для гравиразведки основное значение имеет нахождение внешних полей.
Важным является нахождение явных аналитических выражений элементов гравитационных полей для тел достаточно простой (правильной) геометрической формы. В ряде случаев эта задача полностью решена в двухмерном случае [37].
В случае цилиндрических областей прямая задача гравиметрии заключается в вычислении функции U(x,y,z), определяемой формулой (1.6). Обратные задачи гравиразведки определяются следующим образом. Пусть в Е$ задана прямоугольная система координат OXYZ с осью OZ, направленной вертикально вверх. Пусть на плоскости z = 0 или на некоторой поверхности z = ф(х,у), z > 0, известна функция U(x,y,z). Обратная задача в трехмерном случае тела конечного размера заключается в восстановлении области Г, занимаемой телом по известной функции U(x,y,z), связанной с геометрией области Т уравнением (??). Аналогично, в случае логарифмического потенциала, искомая область D определяется по известной функции U(x,y,z) на основе уравнения (1.6). Известны две постановки обратных задач. Первая постановка заключается в определении областей Т и D при известной области тела. Вторая постановка, принадлежащая М. М. Лаврентьеву, заключается в одновременном восстановлении границы области и плотности гравитирующего тела.
Перейдем теперь к описанию различных частных случаев постановки обратных задач гравиразведки.
Обратная задача гравиразведки состоит в нахождении распределенний масс по заданному гравитационному полю этих масс.
Эта задача описывается нелинейным уравнением (x-tf + H2 ,, ,, , где f(x) = -3— &д{х); Дд(х) — измеренная на поверхности Земли (z = 0) аномалия силы тяжести; х и - координата вдоль поверхности Земли перпендикуляно характерной вытянутости геологических структур. Среда, находящаяся под поверхностью Земли считается состоящей из двух частей с известными плотностями р\ и р2, разделенных границей *() = -H + z(0,te[a,b], причем z() — искомая форма границы, разделяющей среду на две части. В линейном приближении {z() <С Я) задача описывается уравнением
Обратные задачи гравиразведки обладают свойством неустойчивости. Это наблюдается даже в тех модельных классах, где имеет место единственность решения обратной задачи гравиметрии.
Пусть X и Y — два метрических пространства и A(z) : Y —> X ~ функция, определенная на множестве D(A) элементов z из Y, имеющая множество R(A) значений — элементов ив X. Требуется решить уравнение u = A(z) (1.7)
Метод квазирешений может быть использован, если установлено, что искомое решпие принадлежит компактному множеству М С Y. Он состоит в отыскании функции z, дающей минимум функционалу m\npx(us,A(z)), где us — приближение к и.
Следующие два метода основываются на использовании априорной информации о решении z в виде принадлежности z области определения стабилизирующего функционала П, который удовлетворяет следующим условиям: для всех z Є D(Q), Q(z) > 0; из Cl{z) = 0 следует, что z = 9 - нулевому элементу в Y; множества вида Q,(z) < С(С < +оо) есть компактные множества в Y.
Метод невязки основывается на нахождении приближжешюго решения z как решения условной экстремальной задачи px[us,A{z)]<$ при z D(Q)
Метод регуляризирующего функционала состоит в нахождении приближенного решения za как решения безусловно экстремальной задачи aQ(z) + рх[щ,А(га)] при z Є D(Q),
Подробное изложение описанных методов применительно к обратной задаче гравиметрии дано в [37].
1.2 Решение обратной задачи для контактной поверхности с применением метода регуляризации.
В классе обратных задач гравиразведки одной из важнейших является классическая задача о контактной поверхности, разделяющей две среды с различной плотностью. Обратная задача для контактной поверхности была рассмотрена впервые Б. В. Нумеровьгм, А. А. Заморевым [45], Б. А. Андреевым[1]. Линейная постановка задачи для контактной поверхности предполагает, что колебания поверхности г() малы по сравнению с глубиной Н ее залегания. Форма поверхности z() может быть найдена путем решения линейного интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода типа свертки: ^=2Сн1т^ш^
Сі2 + нг
Для краткости оператор, описывающий это уравнение, представим в виде функции A(x,z): A[x,z(Q] = JK(x- t)z{Qdt = ЖаН J J+^%.
А.Н.Тихонов и В.Б.Гласко [83] предложили регуляризирующий алгоритм (РА) определения функции z{) при известной глубине Я, известном интервале (а,Ь) и известной эффективной плотности а. В соответствии с методом регуляризации задача сводится к минимизации сглаживающего функционала Ma[A9i(x),z(t)] = \\&Ф) - Afazmi+ <&Ш1 Cl[z{s)] = f[K{s)[z/{s)}2+p{s)z2{s)]ds, c
ЭМа _ Г d dz I ds K(s^)z(0d(-b(s) K(sX)= Щі8)К{,С№; b(s) = JK(^s)Ags(Od^ при z'(a) = z'(b) = 0 или z{a) = z(b) = 0. При оптимальном значении параметра регуляризации погрешность ||2u(s) — z(s)]|c минимальна.
Эффективными методами решения обратной задачи гравиразведки являются итерационные методы, которым посвящено большое число публикаций [37, 76, 77, 78]. Среди этих работ отметим статьи В.Н.Страхова,
И.В.Войкова, В.И.Старостенко, в которых предложены итерационные методы, обладающие эффектом саморегуляризации. Нелинейная постановка обратной задачи для контактной поверхности z(x) описывается нелинейным интегральным уравнением
А /*(*) = <М / Ь -J^g^L^ = GaA[x, Н, ф)].
Регуляризирующне алгоритмы решения этой задачи развивались в работе Е. А. Мудрецовой , В. Г. Филатова [59].
В более общей постановке, когда неизвестны и определяются z(s)h Н, решение задачи дано в "Гравиразведка. Справочник геофизика"[37].
В соответствии с методом регуляризаци Тихонова задача сводится к минимизации сглаживающего функционала вида Ma[U(x),H,z(s)] = N[U(x),H,z(s)}, N[U{x)tH1z(s)] = \\U(x)-A[xtHtz(s)]\\lt1 U(x) = Ags(x)/(Ga) — исходная информация, с < х < d, q#,z(s)]= j\pz'2]ds.
1.3 Метод аналитического продолжения спектра
Г. И. Василенко и А. М. Тараториным [28] предложена процедура применения сфероидальных волновых функций (СВФ) для восстановления спектра решения уравнения типа свертки.
Пусть дано уравнение /*h = д при условии, что f(x) = 0 при \х\ > а, а Фурье-образ весовой функции Н(со) = 0 при | со |>| сос |. Так как сигнал f(x) финитен, его спектр F(u) является целой функцией, которая может быть разложена по системе СВФ: F(w) = ^2ат1рт(ю),
1 fUe ат = — F(to)(pm(u))du,
Лщ J-w, а <Рт{и)— СВФ, являющиеся решениями уравнения:
С sinoi(x — ) тт(х - О -<Лл() = Am^m(^); -00 < 3? < 00. (1.8)
Восстановленный сигнал fix) вычислим как результат преобразования Фурье от F(x). Получим f(X) = ^2amQm{x), (1.9)
Ят(х) = ~ / tpmexp{iux}du). (1.10)
Для нахождения qm(x) используем свойство инвариантности СВФ к преобразованию Фурье на конечном интервале: \ 2со, а>m(w) = / tpm f ~) exp{-»wf}rff. (1.11)
Подставляя выражение для ^m из (1.11) в (1.10), находим ехр{—iuj}d exp{—icox}dco =
Используя "фильтрующее"свойство 5 - функции, из последнего выражения получим: U*)=< m ^»им і- (1Л2) (0;|я |>a. Восстановленное изображение находим, подставляя (1.12) в (1.9): }{х) = [ ^У'2 S"=o Ч..—ДІ1 V (»); I * |< «; [0;| х |> а.
2 Обзор аналитических и численных методов решения уравнений в свертках и их приложений
2.1 Исторические сведения
Интегральные преобразования, которые являются одним из наиболее мощных орудий исследования задач математической физики, эпизодически встречаются уже в трудах первых классиков математического анализа. Наибольшее распространение они получили в начале 19 века в работах Фурье и Лапласа по уравнениям математической физики, главным образом но теории теплопроводности. Эти преобразования носят имена своих авторов - преобразования Фурье и Лапласа.
Метод интегральных преобразований (преобразование Лапласа) был впервые использован Дечсм [39] и Фоком [88,89] для решения интегрального уравнения с переменным верхним пределом. /(0 + 4= [k{t-8)f(s)d8 = g(t),t>0. у It: J о
Существенным продвижением теории интегральных уравнений типа свертки было решение в 1931 году Винером и Хопфом принципиально нового однородного одностороннего уравнения. f(t) + -^= J k{t - s)f(s)ds = 0,0 Исходя из запросов практики (задача лучистого равновесия), авторы рассматривали уравнения с ядрами специального класса ( убывающие на бесконечности как показательная функция) и дали метод их решения. Исторически эта работа сыграла исключительно важную роль, так как в ней был предложен принципиально новый метод решения интегральных уравнений в свертках, который заключается в сведении этих уравнений к краевым задачам теории функций комплексной переменной (в частности, к так называемой "полосной задаче"). За соответствующим уравнением сохранилось название "уравнение Винера-Хопфа", а за упомянутым выше методом его решения - "метод Винера-Хопфа". К работе Винера-Хопфа вплотную примыкают работы В. А. Фока и Рейсснера, посвященные решению неоднородного уравнения f{t) + -^= [k(t- s)f{s)ds = g{t),0 И. М. Рапопорт [66, 67] впервые привлек к решению уравнений типа свертки краевую задачу Римана. Сведением к ней он решил парное уравнение (p{t) + -= / ki(t - s) Л/27Г J в пространстве Li. Работы И. M. Рапопорта важны тем, что в них был указан новый метод решения уравнений типа свертки. Они послужили -co < t < 0 исходной точкой для последовавшего затем большого цикла работ, основанных на теории краевых задач аналитических функций. Следующим шагом явилась работа Ю. И. Черского [90], в которой введено уравнение с двумя ядрами J k2(t-s)f(s)ds = g(t), (2.4) f(t) + -L /*!(*-- S)f(S)ds + -)=V А'К J у А О -оо -00 < t < 00, и исследована его разрешимость. В 1958 году опубликована статья М. Г. Крейна [53], которая сыграла большую роль в развитии интегральных уравнений типа свертки. В этой работе независимо построена теория уравнений с абсолютно интегрируемым ядром. Известно, что преобразованием Фурье от абсолютно интегрируемых функций являются непрерывные функции. Так как в то время теория краевой задачи Римана с непрерывными коэффициентами еще была неизвестной, то М. Г. Крейн разработал специальные методы исследования. Отметим, что решение задачи Римана с непрерывными функциями дано позже В. В. Ивановым и И. Б. Симоненко. Ф. Д. Гахов и Ю. И. Черский отмечают, что все результаты о разрешимости и числе линейно независимых решений, полученные для узкого класса {0} решений и правых частей, остаются справедливыми и для ряда более общих функциональных пространств (Lp,p > 1). Этот результат послужил исходной точкой для ряда исследований нового направления, которое названо функционально-теоретическим. Следующим принципиально новым шагом в развитии теории интегральных уравнений в свертках явился метод, предложенный И. Ц. Гохбергом и И. А. Фельдманом [36]. В основу этого метода было положено своеобразное операционное исчисление, базирующееся на теории коммутативных колец. В результате были получены критерии обратимости операторов в свертках, обратимости слева и справа. Ряд результатов, полученных для уравнений в свертках, был распространен Л. С. Раковщиком [65] на уравнения вида x(t)+ / h(t,T~t)x(T)dr = f(t). Из более поздних работ необходимо отметить статью Л. А. Сахновича[68], в которой предложен оригинальный метод решения некоторых классов уравнений в свертках. Дальнейшее обобщение теории уравнений в свертках дано в работах Ф. Д. Гахова и его учеников, где решение уравнений (2,1),(2.2) ищутся в классах {0}, {{0}}. Исследования уравнений с двумя ядрами были продолжены в работе Н. А. Дегтярспко [38], в которой метод решения уравнения (4.1) был распространен на уравнение с комплексно-со пряженными неизвестными функциями. Ряд задач астрофизики сводится к уравнению f{x) = g(x)+JK(x-t)f{t)dt, о где д > 0,sda{s), 0 < а < Ъ < +оо. Исследованию этого класса уравнений посвящен большой цикл работ [2, 40, 41, 42]. Несмотря на большое число результатов, полученных при исследовании уравнений в свертках, их точное решение возможно лишь в исключительных случаях. Поэтому представляет большой интерес разработка приближенных методов решения указанных уравнений. Метод приближенного решения одностороннего уравнения путем замены ядра другим ядром, удобным для факторизации и последующих вычислений, предложил, по-видимому, впервые в 1954 году Койтер [95]. Этим методом он получил приближенные решения смешанных задач для би гар ионического уравнения в полосе. По сути дела Койтером для частных уравнений был исследован метод вырожденного ядра. Некоторые усовершенствования метода Койтера и его теоретическое обоснование даны в 1962-63 годах Ю.И.Черским. Естественным явилось распространение методов вычислительной математики на уравнения в свертках. Проекционные методы решения уравнений в свертках были исследованы В.В.Ивановым [46], И.Ц.Гохбергом, И.А.Фельдмапом[36]. При этом необходимо отметить, что в основу обоснования проекционных методов решения уравнений в свертках этими авторами положены принципиально различные идеи. Распространение проекционных методов на более широкие классы уравнений в свертках было проведено в работах И.Ц.Гохберга [35], И.Ц.Гохберга и И.А.Фельдманом [36], З.Пресдорфа [63], Зсльбермана и З.Пресдорфа [%]. Численному решению интегральных уравнений типа свертки посвящена четвертая глава книги В.В.Иванова [46]. Для приближенного решения этих уравнений автор рекомендует метод наименьших квадратов и методы Ритца-Галеркина. Эти рекомендации имеют большую практическую ценность при решении полных уравнений типа свертки или систем п уравнений с п неизвестными функциями. В это же время наблюдалось значительное расширение области приложения интегральных уравнений первого рода типа Вольтсрра с разностным ядром, среди которых чаще всего рассматривается уравнение I K{t - s)x{s)ds = /(f), - со < t < со, а также I K(t - s)x{s)ds = f(t),t Є [0,6]. о В круг многочисленных естественнонаучных приложений этого класса уравнений наряду с классическими задачами физики и механики, входят задачи восстановления сигналов, поступающих на входы измерительных приборов и систем наблюдения, задачи экономики и экологии, вирусологии и др. Известно, что уравнения в свертках, вида g(t-r)x{r)dr = f(t), о описывают линейные системы со сосредоточенными параметрами. Идентификация параметров измерительных преобразований является одним из важнейших разделов измерительной техники. Методы определения динамических характеристик линейных систем можно разделить на следующие группы: детерминированные методы, в которых выделяются подгруппы: методы, основанные на применении ^-функции или ^-образных функций; методы, основанные на аналитическом или численном решении уравнений в свертках, описывающих функционирование линейных систем; итерационные методы; непрямые методы, в которых сначала определяются переходные функции, частотные характеристики, дифференциальные операторы, описывающие объект, а потом с помощью соответствующих интегральных преобразований определяется импульсная переходная функция (ИПФ); статистические методы (в первую очередь корреляционные), основанные на решении уравнения Винера - Хопфа R*y{t)= [ 9{r)Rzz(t~T)dT, где Rxx и Rxy — корреляционная и взаимнокорреляциошіая функции. При численном решении уравнений в свертках может возникнуть значительная неустойчивость, поэтому было введено понятие корректно и некорректно поставленной задачи, и разработаны методы регуляризации некорректно поставленных задач. В настоящее время наибольшее распространение получили следующие методы решения некорректно поставленных задач: это различные методы регуляризации и итерационные методы. Наибольшее практическое значение имеют вариационные методы решения неустойчивых задач: метод квазирешений Иванова [47]; метод невязки [47]; метод регул яризирующего функционала Тихонова. Так как в работе в основном используется метод регуляризации по Тихонову, то далее подробнее остановимся именно на этом методе. 2.2 Понятие корректности и некорректности Среди математических задач выделяется класс задач, решения которых неустойчивы к малым изменениям исходных данных. Они характеризуются тем, что даже незначительно малые изменения исходных данных могут привести к произвольно большим изменениям решений. Задачи подобного типа принадлежат к классу некорректно поставленных задач. Если исходные данные известны приближенно, то указанная неустойчивость приводит к практической неединственности решения при заданной точности. И, естественно, к большим трудностям при практическом истолковании смысла получаемого приближенного решения. Именно поэтому долгое время считалось, что некорректно поставленные задачи не могут иметь практического значения. Однако результаты, приведенные в книге А.Н.Тихонова, В.Я.Арсенина [81] полностью опровергает данную точку зрения. В ней приводится большое количество задач указанного типа и их решение. К их числу относятся задачи создания систем автоматической обработки результатов эксперимента (включая их интерпретацию), задачи оптимального управления и оптимального проектирования систем. Впервые понятие корректности ввел Ж.Адамар. Задача решения операторного уравнения первого рода Ау = /, относительно у Є Y, называется корректной или корректно поставленной на паре метрических пространств (Y, F), если: 1) любому элементу / Є F соответствует решение у Є У, из Ау\ = Ау% следует у\ ~ р2, то есть решение определено однозначно, для любой погрешности е > 0 можно указать такое 8(e) > О, что если рр{!ьН) < S(e) , то pr(A_1/i, Л_1/2) < є, то есть обратный оператор А~1 непрерывен на F. Другими словами, малым ошибкам исходных данных соответствуют малые ошибки решения (условие устойчивости решения). Если хотя бы одно условие не выполнено, то задача называется некорректной. Наиболее часто некорректность возникает из-за нарушения третьего условия. Даже очень малые относительные ошибки (например 10~8) правой части f(x) могут приводить к настолько большим ошибкам, что численное решение не будет иметь практически ничего общего с точным. Это обстоятельство может быть вызвано различными причинами. Например, при решении методом преобразования Фурье интегральных уравнений в свертках, неустойчивость решения обусловлена большой чувствительностью высоких гармоник Фурье в решении к ошибкам исходных данных. 2.3 Условная корректность Рассмотрим операторное уравнение первого рода Ay = f,y Y,f Є F, где Y и F — некоторые метрические пространства, а А — непрерывный оператор, отображающий Y на F. А.Н.Тихонов сформулировал новое определение корректности, которое М.М.Лаврентьев назвал корректностью по Тихонову. Задача решения уравнения называется условно корректной или корректной по Тихонову, если: априори известно, что решение у существует и принадлежит некоторому заданному множеству, или множеству корректности М : увМ; решение единственно в классе функций, принадлежащих М; бесконечно малым вариациям / , не выводящим решение у за пределы М, соответствуют бесконечно малые вариации решения у. Отличие условной корректности от классической заключается во введении множества корректности, существенно сужающего класс возможных решений. В большинстве прикладных задач изменения правой части / уравнения, обусловленные ее погрешностями, могут выводить / за пределы множества AY. Такие задачи называют существенно некорректными. А.Н.Тихонов разработал принципиально новый подход, дающий устойчивые решения существенно некорректных задач. В его основе лежит понятие регул яризирующего оператора (РО), или регуляризирующего алгоритма (РА). 2.4 Метод регуляризации Тихонова Рассмотрим одномерное уравнение типа свертки Ах= K(t - s)x(s)ds = f(t), - оо < t < оо. Пусть f(x) Є La(—оо, оо),К(х) Є Li(—со, oo),t/(s) Є Li(-co,oo). Введем сглаживающий функционал Ыу, Л = / Иг/ - /М12<ь + «%] оо / оо J If К{х- s)y{s)ds - f(x) dx + о*%] —оо \-оо / Стабилизирующий функционал Г2[г/] обычно записывается в виде ОД = / (> (^) J Л = jMWMpd», -оо ч —оо — регуляризация целого п—го порядка. Регуляризованное решение записывается в виде fcW = l/2(«,a)ge-*-A,, Zr(w) + аМ(ш)' Спектр Y(lj) классического решения при больших ш сильно реагирует на ошибки /(ж) и решение становится неустойчивым. Что же касается регуляризованного решения, то оно устойчиво. Рассмотрим уравнение Вольтерра 1 рода типа свертки вида о Ау = / К(х — s)y(s)ds = f(x) — оо < х < со. Для такого уравнения в полной мере справедливы рассуждения о корректности (и некорректности), применяемые к уравнению Вольтерра 1 рода общего вида. Поэтому эффективным является применение метода регуляризации Тихонова. Для уравнения Вольтерра 1 рода типа свертки вида / К(х — s)y(s)ds = f(x), х > О, о сначала используется прием доопределения, а именно вводятся функции ,/Ы,ж>0; 0,х < 0. y{s),s>0; У+= ' 0,s<0. В результате получаем К(х — s)y+(s)ds = f+(x), — оо < х < оо, и уже после этого может быть применен метод регуляризации Тихонова. В пространствах Лизоркина-Трибеля оценка отклонения регуляризовашгого решения многомерных уравнений в свертках от точного решения исследована в [10]. 2.5 Вариационный метод Этот раздел излагается по работе [21]. Пусть задана система Fx = 6, (2.5) где х Є Н\ - искомый элемент; b Є #2 - заданный элемент; Н\ и Н^ - некоторые конечномерные гильбертовы пространства; F - нелинейный, дифференцируемый по Фреше оператор, отбражающий Ні в . решение х существует, если величина b задана точно. Т.е. 6 = 6, где 6 — точное значение правой части. В соответствии с общей теорией вариационного метода в качестве приближенного решения уравнения Fx — b принимается элемент ха^ ', который обеспечивает минимум параметрического функционала Тихонова Параметр регуляризации а — а(5) > 0 выбирается таким, чтобы выполнялось условие \\Fx-b\\H = 8, (2.7) При любых S < Sq задача поиска минимума fa(x) разрешима однозначно. И если оператор F непрерывен и множество решений G уравнения Fx — Ь замкнуто и выпукло, то для любых xq и є > 0 существует такое а* — а(5), что || х* — х* \\hl< е, если j| 6—6 ]|я2< ${є), гдех*- главное (нормальное) решение задачи, определяемое условием II х* -ж0 IUi=inf || а: — я?о \\нг о Таким образом, выбор элемента xa(s\ минимизирующего функционал (2.6) при условии (2.7), в качестве приближения к главному решению х* является корректно поставленной задачей. Наряду с регуляризационными методами А. Н. Тихонова существуют и другие методы для решения некорректно поставленных задач. Отдельную большую группу составляют итерационные методы, 2.6 Итерационные методы Итерационные методы решения уравнений в свертках представляют собой отдельное направление как в теории уравнений в свертках, так и в теории итерационных методов. Особенностью итерационных методов является простота вычислительных алгоритмов, быстрота их сходимости и устойчивость к различного вида возмущениям. Подробно обзор различных итерационных методов решения уравнений в свертках содержится в книгах Г. И. Василенко [27J; Г. И. Василенко, А. М. Тараторила [28]; А. Ф. Верланя, В. С. Сизикова [29], В. И. Старостеико [76]; И. В. Войкова [13]; Ярославского [91]. Опишем один из стандартных методов, следуя книге [28]. Применим метод последовательных приближений к решению уравнения типа свертки, записанного в виде д(х) = f{x)*h{x). Согласно книге Г.И.Василенко, А.М.Тараторина [28], для его решения используется итерационная схема: fk+1{x) = Хд(х) + [6(х) - Щх)] * f(x), где А — некоторый параметр, который управляет сходимостью процесса, 8(х) — Xh(x) — некоторый оператор. Для сходимости указанного процесса требуется, чтобы оператор 5(х) — Xh(x) являлся сжатием, т.е. чтобы выполнялось условие |1 — ХН{ш)\ < 1, где Я(ш) — преобразование Фурье функции h(t). Если А — 1, то это условие совпадает с условием сходимости ряда Неймана. Если ImН(и) = 0, то, согласно [28], А должно быть выбрано из условия Если 1тН{ш) ф 0 или Н(со) < 0, то, согласно [28], условия сходимости нарушаются, и в [28] применяют уже другую итерационную схему fk+1(x) = Xh(-x) * д(х) + Щх) - Xh{x) Є h{x)] * fk{x). (2.8) В этом случае А выбирается из условия тах^ | Н{ш) \ Описанные и многие другие итерационные схемы налагают жесткие требования на функцию Н{ш). В работе И. В. Войкова [13] построены итерационные схемы приближенного решения одномерных и многомерных уравнений в свертках, сходящихся при достаточно общих условиях, налагаемых на преобразования Фурье ядер уравнений. Недостатком этих схем является сложность в их практической реализации. 2.7 Метод Ньютона-Канторовича Достоинством итерационных методов применительно к линейным уравнениям Вольтерра II рода является их сходимость при слабых ограничениях на ядро и правую часть. При решениях нелинейных уравнений область сходимости метода простых итераций сужается, а если процесс и сходится, то во многих случаях скорость сходимости может оказаться очень низкой. Пусть X, Y — банаховы пространства. Рассмотрим уравнение Кх = 0, (2.9) где К ~ нелинейный оператор, действующий X из в Y. Будем считать, что оператор К имеет в некоторой окрестности начальной точки xq производную Гато, для которой существует обратный оператор [К'(ж)]-1. Решение уравнения (2.9) будем искать в виде итерационного процесса хп+і=хп-[К'{хп)]-гК(хп) (2.10) Определяемый формулой (2.10) метод последовательных приближений и есть метод Ньютона-Канторовича. Исследованию этого метода посвящена многочисленная литература, достаточно подробная библиография которой имеется в монографиях [49, 52]. Как отмечается в книге [52] основное неудобство метода Ньютона -Канторовича заключается в том, что его применение требует на каждом шаге решения линейного уравнения со своим линейным оператором F'{xn). Поэтому для построения последовательных приближений часто применяют уравнение Fxn + F!{x0){x-xn) = Q, (2.11) где xq — начальное приближение. Тогда последовательные приближения определяются рекуррентной формулой хп+1 = хп- T0Fxn(n = 0,1,2,...). (2.12) Го = [F'(x0)}-1. Метод, описываемый формулой (2.12), называют модифицированным методом Ньютона-Канторовича Часть II Итерационные методы решения уравнений в свертках 1 Введение Уравнения в свертках находят широкое применение в многочисленных задачах физики и техники [28, 32, 36] и методам их решения посвящены многочисленные статьи и монографии. Подробный анализ методов решения уравнений в свертках содержится в [13, 28, 32, 36]. Среди этих методов особое место занимают итерационные методы из-за простоты их реализации. Сходимость итерационных методов решения интегральных уравнений в свертках зависит ( см. [28]) от области значений преобразования Фурье ядра интегрального оператора. В работе [13] предложен итерационный метод решения уравнений в свертках, сходимость которого не зависит от расположения преобразования Фурье ядра интегрального оператора иа комплексной плоскости. Изложим этот метод на примере интегрального уравнения \x(t)+ f h{t-r)x(r)dT = f{t), (1.1) еде А > 0. Положим для определенности Л = 0. Обозначим через Х(и>), H(lj), Р(ш) — преобразование Фурье функций x(t), /i(), f(t). При этом на функции h(t) и f(t) наложим такие условия, чтобы решение уравнения (1.1) существовало и принадлежало 2(-00,00). Зафиксируем произвольное достаточно малое значение є (є > 0). Обозначим через Т такое вещественное число, что " -Т оо f \X{u)\2du;+ f\X{w)\2du -оо Т ь- ";:''-] 41 Прямая задача — это задача нахождения элементов гравитационного поля по заданному распределению его источников. Под элементами гравитационного поля понимаются потенциал поля, составляющие вектора напряженности по осям координат, вторые производные потенциала по координатам. Ниже для краткости и простоты обозначений под элементами гравитационного поля будем понимать его потенциал. Полученные в диссертации результаты справедливы и во всех других случаях. Приведем, следуя [73], вывод основных формул и уравнений прямой и обратной задачи гравиметрии. Рассмотрим две материальные точки М\ и Mj, удаленные друг от друга на расстояние г. Массы этих точек равны соответственно т\ и Ш2- Согласно закону всемирного тяготения сила F, с которой точки притягиваются друг к другу. Коэффициент пропорциональности -у называется постоянной всемирного тяготения. Из формулы (1.1) следует размерность постоянной всемирного тяготения. Числовое значение в наше время принимается равным 7 — 6,664 Ю 8 7-Рассмотрим в пространстве материальные точки М с массой, равной т, и P с единичной массой. Введем в рассмотрение некоторую декартову систему координат с началом в точке М. Обозначим через x,y,z координаты точки Р. Найдем проекции X, У, Z силы притяжения, с какой точка М действует на точку Р. Величина этой силы задается формулой. Точка М в предыдущем изложении сохраняет все время неизменное положение, находясь в начале координат, точка Р есть переменная точка пространства. Первую точку называеют притягивающей, вторую — притягиваемой. Функция V зависит от координат x,y,z притягиваемой точки Р и называется ньютоновским потенциалом притягивающей точки М. Если притягиваемая точка имеет массу /і, то проекции силы притяжения, возникающей благодаря присутствию притягивающей точки М массы т, выразятся через ньютоновский потенциал точки М. Из проводимых ниже выкладок легко заметить, что результаты этого параграфа распространяются на интегральные уравнения в свертках произвольной конечной размерности. Будем считать, что функции h(t), f(t) 2(-00,00), / 1, 2),/( 1, 2) Є L2{—00,00; — 00,00), а также будем считать, что решения x(t) и x(ti,t2) уравнений (2.1) и (2.2) принадлежат классам функций L2(—со,оо) и L2{—00,00; — 00,00), соответственно. Отметим, что условия, налагаемые на функции h(t), h{ti,t2), /(і), /(іі,іг) (и соответственно, на решения x(t) и x(ti,t2)) могут быть значительно ослаблены. Мы не останавливаемся на этом, т.к. основной целью параграфа является построение сходящихся итерационных методов решения уравнений (2.1) и (2.2) при любых функциях h(t), f(t) Є 2(-00,00) и h(ti,t2), f(ti,t2) 2(-00,005-00,00), а также их распараллеливание для решения на многопроцессорных компьютерах. Вначале построим итерационную схему решения уравнения (2.1). Обозначим через Х(со), H(to), F(w) преобразование Фурье функций x(t), h(t), f(t). Покроем множество —со ш оо интервалами (—оо,То], [7&,7fc+iL к — 0,1,..., N — 1, [Тдг, СО), TQ = —Т, Тдг = Т. Точки 71 выбираются таким образом, чтобы на сегменте Д = [7 , Tk+i], к = 0,1,..., N — 1, приращение аргумента функции Н(ш) было меньше 7Г. Это всегда можно сделать, если функция Н(и) обращается Б нуль в конечном числе точек. Обозначим через Ек(ш) характеристическую функцию сегмента Ак, а через ek{t) ее прообраз: ek(t) = F lEk{oS), к = 0,1,..., N - 1. Если функция Н(ш) равна нулю только при ш = ±оо, то каждому сегменту Ак можно поставить в соответствие такую константу %, что значения функции ,yicEic(u})H(u}) будут лежать внутри единичного круга с центром в точке (1,0). Обозначим через qk = sup \l — jkEk[w)H[w)\, а через q = maxgt. В этом случае будем говорить, что выполнены условия А. Если функция Н(ш) обращается в нуль в конечном числе точек, то каждому сегменту Д& можно поставить в соответствие комплексное число 7fc такое, что значения функции 7fc-Eji(o )tf (о ) будут расположены внутри единичной окружности с центром в точке (1,0) и на самой окружности. В этом случае будем говорить, что выполнены условия В. В данном параграфе будем рассматривать итерационные методы решения обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности в двумерном и трехмерном случаях. Также предлагаются итерационные методы определения формы поверхности гравитирующего тела при известной глубине залегания и одновременного определения глубины залегания и формы поверхности гравитирующего тела. Одной из важных задач интерпретации гравитационных аномалий является задача определения параметров рудных тел по значениям гравитационного поля па поверхности Земли. В случае, если плотность рудных тел известна из других источпиков, то задача заключается в определении геометрии поверхности рудного тела. Введем декартову систему координат, у которой ось OZ направлена вертикально вверх. Многие задачи геофизики, теории рассеяния в акустике и электродинамике сводятся к решению краевых задач для уравнений Пуассона и Гельмгольца и к различного вида сингулярным интегральным уравнениям [26, 37, 50]. Подробный анализ применения интегральных уравнений к решению задач рассеяния дан в [12, 26, 54, 50]. В монографиях [12] , [54], [26] предложены и обоснованы вычислительные схемы метода дискретных особенностей для приближенного решения сингулярных и гиперсингулярных уравнений, к которым сводятся задачи Дирихле и Неймана для уравнений Лапласа и Гельмгольца. В данной главе предлагается вычислительная схема, являющаяся модификацией метода дискретных особенностей, позволяющая проводить распараллеливание.Прямая и обратная задачи гравиразведки
Приближенное решение уравнений в свертках на векторных компьютерах
Итерационный метод решения обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности
Приближенный метод решения уравнений теории рассеивания
Похожие диссертации на Применение уравнений в свертках к решению обратных задач гравиметрии и идентификации динамических систем
