Содержание к диссертации
Введение
1. Методы расчета установившихся режимов электроэнергетических систем, их анализ и задачи исследования 10
2. Численные методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений установившихся режимов электроэнергетических систем 18
2.1. Общая схема решения уравнений узловых напряжений для электроэнергетической системы 18
2.2. Некоторые редукции к выпукло - вогнутым задачам с ограничениями в форме неравенств 26
2.2.1. Первая редукция 26
2.2.2. Вторая редукция 40
2.3. Алгоритм поиска решений уравнений установившихся режимов электроэнергетических систем, в случае существования кратных корней 45
2.4. Способы преобразования систем уравнений, заданных алгебраическими полиномами, к системам уравнений с выпуклыми функциями в левых частях 51
2.5. Преобразование исходных уравнений электроэнергетической системы к уравнениям с выпуклыми функциями в левых частях 53
3. Приложения к задачам энергетики 56
3.1. Модель распределительной электрической сети 56
3.2. Методика проверки погрешности численного метода расчета баланса мощностей в электрических сетях 62
4. Экспериментальное исследование задач и алгоритмов 76
4.1. Результаты численных экспериментов 77
Выводы 102
Литература 104
Приложения 117
- Общая схема решения уравнений узловых напряжений для электроэнергетической системы
- Алгоритм поиска решений уравнений установившихся режимов электроэнергетических систем, в случае существования кратных корней
- Преобразование исходных уравнений электроэнергетической системы к уравнениям с выпуклыми функциями в левых частях
- Методика проверки погрешности численного метода расчета баланса мощностей в электрических сетях
Введение к работе
Современные электроэнергетические системы и электрические сети характеризуются увеличением мощностей источников и потребителей электроэнергии, укрупнением систем и увеличением протяженности электрических линий, многосторонним электроснабжением и кольцеванием электрических сетей, повышением гибкости управления режимами работы. К важной научно — технической проблеме относятся задачи обеспечения рациональных установившихся режимов в электроэнергетических системах (ЭЭС) и оценки статической устойчивости режимов, ввода режима в допустимую область изменения его параметра и оптимизации режима, а также другие задачи, связанные с функционированием этих сложных систем.
Установившиеся режимы ЭЭС при задании генерирующих и нагрузочных мощностей в узлах могут быть представлены математическими моделями в виде систем нелинейных алгебраических уравнений. При решении задач управления функционированием электроэнергетических систем, при расчетах электромагнитного поля в электрических машинах и других электротехнических устройствах, при расчетах нелинейных магнитных и электрических цепей, при операциях потокораспределения в гидравлических цепях, а также при решении целого ряда технических задач приходится многократно решать системы нелинейных алгебраических уравнений следующего вида:
gl(x) = 0,i = T^, (В.1)
на множестве
L = {x:fj(x)Z0,j = \7l}, (В.2)
где gj(x),fj(x) -дифференцируемые, скалярные функции векторного аргумента xeLczE".
Поэтому методом расчета установившихся режимов ЭЭС, алгоритмом расчета и обеспечению сходимости итерационных решений посвящено большое количество научных работ в России и за рубежом.
4 Методы решения систем нелинейных ураннсиий как теоретически, так и алгоритмически разработаны достаточно дашю и имеется практически необозримое число научных трудов, посвященных этим задачам [1-18]. Использование стандартной техники нахождения корней систем нелинейных алгебраических уравнений, а именно, метода Ньютона, его различных модификаций, метода итераций, метода Бройдена и других дает лишь произвольное решение системы. Однако в интересующей нас задаче необходимо исследование проблемы неоднозначности решения систем уравнений, например, уравнений установившегося режима в электрических сетях. Такое исследование важно не только для задачи расчета стационарного режима, но и для эффективного решения задач ввода режима в допустимую область, оптимизации режимов и исследования их устойчивости. Кроме того, в [15] было показано, что достаточные условия сходимости метода Ньютона по Канторовичу при решении уравнений установившегося режима электрических сетей могут не выполняться. Поэтому нельзя гарантировать его сходимость с любого исходного приближения. Следовательно, при практическом использовании метода Ньютона нужно иметь "хорошее" начальное приближение, так как в противном случае возможна расходимость метода.
При применении метода простых итерации алгоритм вычисления прост, но возможны случаи зацикливания итерационного процесса [12]. Применение таких методов, как метод простой итерации и метод Зейделя в энергетических расчетах также нецелесообразно ввиду их медленной сходимости [4].
Следует особо отметить, что все известные в классическом численном анализе методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений используются для решения задач без ограничений, наличие которых является одним из факторов усложняющих решение таких задач.
Для эффективного функционирования электроэнергетической системы необходимо обеспечивать экономичные способы передачи, распределения электроэнергии, высокую надежность с минимальными ущербами для электро-
5 потребителей и для предприятий электроснабжения, устойчивую работу системы [19-20]. Баланс мощностей в электрических сетях описывается системами квадратичных алгебраических уравнений, а такие системы, как правило, имеют множество решений. В [1] при решении систем квадратичных уравнений, моделирующих распределение нагрузок в электрических сетях, используется следующая редукция задачи (В.1) к задаче вогнутого программирования:
шах{К*) = Іа(*)} (В.З)
;=1
при условии
x^R = {x:gi{x)<0,i = :un,xGL} (В.4)
Если значение локального максимума в задаче (В.3)-(В.4) отрицательно, то система уравнений (В.1)-(В.2) не имеет на множестве L решений. В противном случае множество ее решений совпадает с множеством точек локального максимума в задаче (В.3)-(В.4). К сожалению, задача (В.3)-(В.4) может обладать множеством точек локального максимума, в которых значение у/(х) отрицательно и которые в процессе решения приходиться распознавать и отсекать, порождая при этом новые точки локального максимума.
В ряде работ [2,3], [17, 21, 22] рассматривается вопрос анализа уравнений установившихся режимов электрических сетей и итерационных методов их расчета применительно к трехмашинной электроэнергетической системе. Следует отметить, что в приведенной выше литературе предлагаются способы нахождения области существования решений уравнений установившихся режимов.
Таким образом, результаты научных работ, а также накопленный опыт их применения для улучшения эксплуатации и совершенствования проектирования ЭЭС не обеспечивают в полной мере решение производственных и научно - технических проблем. Поэтому представляют значительный научный и практический интерес разработки методов расчета, обладающих широкими возмож-
ностями и высокой действенностью при решении задач надежного функционирования ЭЭС и повышения их эффективности.
Как правило, в практических ситуациях произвольное решение системы не удовлетворяет постановщика задачи. Особый интерес представляют методы построения всех решений системы или методы, позволяющие найти решение, удовлетворяющее некоторым заданным свойствам (надежности, устойчивости, экономичности и т. д.). В настоящее время нахождением всех корней системы (В.1)-(В.2) занимаются ученые С. A. Floudas и W. Forester [23-26], а определением для них гарантированной двусторонней области интервальными методами профессор С. П. Шарый [27]. Разработке численных методов решения нелинейных алгебраических уравнений посвящены научные работы профессора В. П. Булатова [28-32].
В первом разделе диссертационной работы выполнен обзор научно-исследовательских работ, направленных на разработку методов и алгоритмов расчета установившихся режимов ЭЭС. Сформулированы цель работы и задачи исследования.
Во втором разделе диссертационной работы рассмотрены некоторые редукции задачи (В.1)-(В.2) к выпукло-вогнутым задачам с ограничениями в форме неравенств. Приведены алгоритмы поиска различных корней системы (ВЛ), а также алгоритм поиска решений систем нелинейных алгебраических уравнений специального вида, в случае существования кратных корней. Рассмотрен вопрос о преобразовании системы нелинейных алгебраических уравнений с знаконеопределенными квадратичными формами к системе с выпуклыми функциями в левых частях. Приведен способ сведения уравнений и систем уравнений, заданных алгебраическими полиномами, к эквивалентным системам уравнений с выпуклыми функциями в левых частях.
В третьем разделе описана модель распределительной электрической сети и приведен анализ решения и исследования этой задачи. Проведена проверка
7 погрешности методов предложенных в первом разделе при рассмотрении задачи определения баланса мощностей электроэнергетических системах.
В четвертом разделе приведены результаты численных экспериментов, анализ сравнительной эффективности предложенных алгоритмов решения, а также их сравнение с методом Ньютона, для которого производилась случайная выборка начального приближения (мультистарт). Рассмотрены задачи определения баланса мощностей в электрических сетях.
Основные результаты, составляющие научную новизну и выносимые на защиту:
разработаны и теоретически обоснованы три редукции задачи нахождения корней систем нелинейных алгебраических уравнений применительно к задачам математического программирования;
представлены и обоснованы способы преобразования систем нелинейных алгебраических уравнений с квадратичными и полиномиальными функ-. циями к системам с выпуклыми функциями в левых частях;
разработаны вычислительные алгоритмы поиска корней системы нелинейных алгебраических уравнений;
представлен анализ результатов численных экспериментов и сравнительная эффективность различных алгоритмов решения исходной задачи;
обоснована возможность применения полученных результатов для решения задач расчета баланса мощностей в электрических сетях.
Практическая ценность:
полученные в работе результаты могут рассматриваться как инструментальное средство для решения задач по нахождению корней систем нелинейных алгебраических уравнений;
численные методы, разработанные в диссертации, позволяют решать большой класс практических задач, имеют широкие перспективы дальнейшего развития и могут быть использованы при реализации многих математических моделей, где возникает необходимость решения систем нелинейных алгебраи-
8 ческих уравнений. К настоящему времени предложенные в диссертации алгоритмы нашли непосредственное практическое применение на задаче определения допустимых режимов электроэнергетических систем;
- математическая модель и алгоритмы расчетов установившихся режимов электроэнергетических систем применяются в учебном процессе при подготовке и повышении квалификации специалистов.
Достоверность математических моделей, численных методов решения нелинейных алгебраических уравнений и алгоритмов расчета обоснована теоретически и подтверждена оценкой адекватности результатов расчета и визуального моделирования в среде MATLAB, а также результатами решения тестовых задач разработанным методом и классическими методами численного анализа.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы и ее результаты докладывались и обсуждались на международных научных конференциях: "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 1998 г.), "Дискретный анализ и исследование операций" (Новосибирск, 2000 г.), "Математика, информатика и управление" (Иркутск, 2000 г.), "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 2001 г.), на Российской конференции "Дискретный анализ и исследование операций" (Новосибирск, 2002 г.), на 12-й Всероссийской конференции "Математическое программирование и приложения" (Екатеринбург, 2003 г.), на научно-технической конференции "Повышение эффективности работы железнодорожного транспорта Сибири" (ИрИИТ, 2000 г.), а также на научных семинарах и конференциях ИрГУПС.
Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 7 научных работ [16,30,33 - 37].
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 разделов, содержит 39 рисунков, 18 таблиц, выводы и список литературы из 132 наименований и приложений. Объем работы составляет 116 страниц.
9 Автор выражает благодарность за помощь при выполнении диссертационной работы кандидату физико-математических наук Олегу Валерьевичу Ха-мисову.
Общая схема решения уравнений узловых напряжений для электроэнергетической системы
Расчет установившихся режимов электроэнергетических систем позволяет решать практически все производственные проблемы, возникающие в процессе эксплуатации, проектирования и управления этих систем. Решение данной задачи тесным образом связано с дальнейшим развитием научно-исследовательских работ.
Необходимость разработки методов расчета установившихся режимов ЭЭС и анализа полученных результатов на начальном этапе была вызвана прежде всего определением областей возможных режимов и управлением допустимыми состояниями систем [21,38,39,40]. В дальнейшем системы управления ЭЭС разделились на системы организационно-экономического управления [41,42,43,44,45] и на системы управления технологическими процессами на энергопредприятиях [46,47,48,49,50]. Наряду с совершенствованием технических средств информационного обеспечения [42,51,52,53] получили развитие методы оценивания состояния электроэнергетических систем на основе разработанных методов расчета установившихся режимов ЭЭС, разделенных на многополюсники [54], разрабатывались статистические методы оценивания состояния ЭЭС [55,56,57], использовались методы Ньютона и его модификации [58,59,60,61,62,63], итерационные и интегральные методы расчета [64,65,66,67,68]. Выполнялась корректировка режимов ЭЭС с использованием метода расчета Гаусса-Зейделя [69,70,71] и метода глобального анализа режимов [72,73], определение режимов, предельных по статической устойчивости, на основе сходимости итерационных методов расчета [74,75,76] и метода агрегирования [77]. Разрабатывались методы и алгоритмы расчета установившихся режимов ЭЭС при небалансах и дефиците активной, реактивной мощности и изменениях частоты [78,79]. Разработанные методы расчета установившихся режимов электрических сетей на ранних стадиях развития сыграли положительную роль в решении задач по контролю текущего режима энергосистем. В дальнейшем методы расчета установившихся режимов стали использоваться для решения задач повышения надежности и устойчивости ЭЭС [74,75,80], для нахождения критериев существования определенных установившихся режимов [40,81], апериодической устойчивости систем [82], а также для определения и анализа условий существования установившихся режимов [83,84].
Совершенствование функционирования электроэнергетических систем выполнялось с использованием методов оптимизации режимов работы [85], расчетов целевых функций, базиса оптимизации и ограничений [86,87] для исследования их экономичности.
Исключительная сложность задач управления при функционировании, и при развитии электроэнергетических систем привела к необходимости выполнения большого объема расчетов в результате решения ранее названных задач как на стадиях проектирования развития и планирования режимов, так и при оперативном управлении режимами энергосистем. Решение этих задач стало возможным благодаря использованию ЭВМ [87,88,89] и разработки вычислительных алгоритмов для расчета установившихся режимов энергосистем [53,89,90]. Применение вычислительной техники для реализации методов расчета установившихся режимов позволило разрабатывать, исследовать и применять на практике устройства противоаварийной автоматики [91], ускорять восстановление электроэнергетических систем после крупных аварий, выполнять моделирование послеаварийных режимов при исследованиях их живучести [92,93]. Имитация ремонтных и послеаварийных режимов электроэнергетических систем, а также выполнение расчетов потокораспределения при выводе оборудования в ремонт стали возможными с применением компьютеров [94]. Однако выполнение расчетов, моделирование установившихся режимов ЭЭС в полном объеме зачастую было затруднено или практически невозможно из-за больших затрат машинного времени. Значительная погрешность расчетов не позволяла использовать допущения и упрощения математических моделей с целью сокращения машинного времени. Необходимость решения проблемы разработки эффективных методов расчета установившихся режимов электроэнергетических систем усилилась при решении задач оперативного диспетчерского управления режимами ЭЭС в реальном масштабе времени [95,96]. Внедрение автоматических систем управления электроэнергетическими системами стало возможным только после разработки методов расчета установившихся режимов ЭЭС для обеспечения высокой надежности, скорости выполнения вычислительных работ и для формирования сигналов управления режимами [41,45,97].
В работах [17,21,98,99,100] рассматривались вопросы существования решения уравнений установившихся режимов ЭЭС и определения областей возможных режимов работы систем. Данные научно-исследовательские работы были направлены на решение быстрой и надежной сходимости итерационных процессов расчета к решению. С применением численных методов для расчета установившихся режимов ЭЭС можно было бы повысить обоснованность принятия решений в практических задачах управления и тем самым обеспечить надежную, устойчивую и экономичную работу системы.
Для анализа и оценки методов расчета установившихся режимов ЭЭС в работе [101] сформулированы требования к методам и алгоритмам расчета. В качестве основной характеристики методов и алгоритмов расчета, определяющей пригодность для нахождения установившихся режимов ЭЭС, принята их способность обеспечивать быструю, надежную сходимость итерационного процесса и низкую емкостную, временную, алгоритмическую сложность.
Выполненный обзор научно-исследовательских работ, направленных на разработку методов и алгоритмов расчета установившихся режимов ЭЭС, показывает, что большинство из них основано на классических методах решения систем нелинейных уравнений или на их модификациях. Из работ следует, что при расчете систем нелинейных алгебраических уравнений сходимость и ско 13 рость сходимости итерационных методов зависит от многих факторов.
Алгоритм поиска решений уравнений установившихся режимов электроэнергетических систем, в случае существования кратных корней
Выполненный обзор научно-исследовательских работ, направленных на разработку методов и алгоритмов расчета установившихся режимов ЭЭС, показывает, что большинство из них основано на классических методах решения систем нелинейных уравнений или на их модификациях. Из работ следует, что при расчете систем нелинейных алгебраических уравнений сходимость и ско 13 рость сходимости итерационных методов зависит от многих факторов. Эти факторы можно разделить на две группы. Одна группа факторов связана с техническими параметрами электроэнергетических систем, а другая группа факторов зависит от математического представления переменных и от методики, алгоритма расчета. В работах [21,71,100] установлено, что сходимость и скорость сходимости итерационных методов решения зависит от параметров режима и параметров электрических сетей. В работах доказано, что причиной неудовлетворительной сходимости является плохая обусловленность матриц собственных и взаимных проводимостей электрической сети и матрицы Якоби уравнений установившихся режимов [90,102,103,104]. Плохая обусловленность матрицы собственных и взаимных проводимостей возникает тогда, когда в схеме электрических сетей содержатся одновременно длинные и короткие линии электропередачи (ЛЭП), если в электрических сетях содержатся ЛЭП разных классов номинальных напряжений. Второй причиной, вызывающей плохую обусловленность матрицы проводимостей, является введение в расчетные схемы замещения электрических сетей емкостных продольных и поперечных проводимостей линий и устройств продольной компенсации. К третьей причине можно отнести учет в расчетной схеме замещения в виде отдельных ветвей проводимостей обмоток трехобмоточных трансформаторов, автотрансформаторов, а иногда и проводимостей обмоток двухобмоточных трансформаторов [103,105,106]. Оценку степени обусловленности матриц обычно определяют по относительной величине определителей, в случае плохой обусловленности относительная величина определителей матриц мала, и тогда, для обеспечения сходимости итерационных процессов к решению, возникает необходимость упрощения расчетных схем замещения. Сильная неоднородность параметров электрических сетей (большое соотношение проводимостей отдельных ветвей схемы) и задание исходного приближения вблизи поверхности вырождения матрицы Якоби вызывает ее плохую обусловленность[97,102]. Сходимость итерационного процесса зависит от исходного приближения [15,107,108]. Зачастую, в качестве исходного приближения, выбираются параметры предшествующего режима электроэнергетических систем. Если параметры предшествующего режима неизвестны, то в качестве исходного приближения принимается модуль номинального напряжения в узлах с нулевыми аргументами. Если исходное приближение окажется близким к решению, а матрица Якоби хорошо обусловлена, то итерационный процесс устойчиво сходится к решению. Однако литературный обзор научно-исследовательских работ показал, что нередки случаи необеспеченности сходимости методов расчета к решениям. Примером возникновения колебательных вычислительных процессов и их расходимости из-за исходного приближения являются расчеты режимов электрической системы в Сибирском отделении института «Сельэнергосетьп-роект» [108]. Сходимость метода, например, достигалась изменением модуля напряжения в узле всего лишь с 233 кВ на 234 кВ. Исследования [101,109] показали, что причиной расходимости методов расчета установившихся режимов ЭЭС является близость точки исходного приближения к поверхности вырождения матрицы Лкоби.
Обусловленность системы нелинейных алгебраических уравнений установившихся режимов ЭЭС оказывает существенное влияние на сходимость методов Ньютона и его модификаций к решению. При недостаточной обусловленности уравнений сходимость методов расчета зависит от выбора системы координат переменных [58,84,104,110]. Известно, что переменные можно представлять в полярной и в прямоугольной системах координат. Расчет плохо обусловленной системы уравнений установившихся режимов ЭЭС в полярной системе координат переменных зачастую расходится или медленно сходится к решению, в то время как в прямоугольной системе координат переменных достигается быстрая сходимость расчетов [111]. Если квадратный корень, взятый из отношения наибольшей суммы элементов в квадрате одной строки матрицы к наименьшей, мал [112], то скорость сходимости расчетов получается одинаковой как в прямоугольной так и в полярной системе координат переменных.
В ряде работ [66,70,71,105,106] установлено, что сходимость итерационных методов расчета установившихся режимов ЭЭС зависит от способов задания исходных данных. Сходимость известных методов расчета обеспечивается лучше, если задаются модули напряжений в генераторных узлах, а в остальных узлах задаются активные и реактивные мощности. В практике расчетов установившихся режимов ЭЭС иногда возникает необходимость задания в генераторных узлах ограничений по реактивной мощности вместо модулей напряжений, например, в послеаварийных режимах, близких к предельным по статической устойчивости [78,92,93,113]. В этом случае метод Ньютона может не сходиться к решению и для получения результата вначале выполняют расчет с фиксированными модулями напряжений в генераторных узлах, а затем промежуточный результат принимается за исходное приближение для выполнения дальнейшего расчета.
Преобразование исходных уравнений электроэнергетической системы к уравнениям с выпуклыми функциями в левых частях
В ряде работ [66,70,71,105,106] установлено, что сходимость итерационных методов расчета установившихся режимов ЭЭС зависит от способов задания исходных данных. Сходимость известных методов расчета обеспечивается лучше, если задаются модули напряжений в генераторных узлах, а в остальных узлах задаются активные и реактивные мощности. В практике расчетов установившихся режимов ЭЭС иногда возникает необходимость задания в генераторных узлах ограничений по реактивной мощности вместо модулей напряжений, например, в послеаварийных режимах, близких к предельным по статической устойчивости [78,92,93,113]. В этом случае метод Ньютона может не сходиться к решению и для получения результата вначале выполняют расчет с фиксированными модулями напряжений в генераторных узлах, а затем промежуточный результат принимается за исходное приближение для выполнения дальнейшего расчета.
Результаты расчетов установившихся режимов ЭЭС методом Ньютона и его различными модификациями зависят от формы записи уравнений [114,115]. Широкое применение получила форма записи уравнений узловых напряжений в виде баланса активных и реактивных мощностей в узлах ЭЭС в прямоугольной системе координат. Только эта форма записи уравнений обеспечивает сходимость к решению, когда выполняются расчеты режимов, дефицитных по реактивной мощности и расчеты всех установившихся режимов в электроэнергетических системах сравнительно небольшой мощности [101]. Расчет установившихся режимов ЭЭС можно выполнять решением системы уравнений узловых напряжений методом Ньютона в виде баланса активных и реактивных токов в узлах в прямоугольной системе координат переменных. Уравнения узловых напряжений в виде баланса активных и реактивных мощностей в узлах и в виде баланса активных и реактивных токов в узлах в полярной системе коордипат переменных практически не применяются из-за возможной неоднородности системы уравнений.
В работах [73,81,101,109] исследованы и предложены методы минимизации, которые позволяют обеспечить сходимость к решению расчетов методом Ньютона и его различных модификаций в плохо обусловленных задачах. Однако зависимости и возможности получения результатов расчета от многих, ранее отмеченных, факторов остаются не решенными.
Таким образом, обзор методов расчета установившихся режимов электроэнергетических систем и их анализ показал, что для задач управления функционированием и дальнейшим развитием ЭЭС в настоящее время не разработаны методы расчета, которые бы быстро и надежно обеспечивали результат решения при любых заданных расчетных условиях и не зависели бы от параметров режима работы, схем электрических сетей. Методы и алгоритмы расчета установившихся режимов ЭЭС, гарантированно обеспечивающие решение с низкой вычислительной сложностью, необходимы для повышения эффективности работы автоматических систем диспетчерского управления, систем автоматического противоаварийного управления режимами, автоматизированной системы управления развитием ЭЭС, стендов для обучения обслуживающего персонала и для повышения обоснованности принимаемых решений в процессе эксплуатации ЭЭС.
Численные методы расчета систем нелинейных алгебраических уравнений установившихся режимов электроэнергетических систем позволяют получить несколько решений для оценки режимов и параметров, допустимых по условиям эксплуатации, для ввода режима в допустимую область и обеспечения статически устойчивых режимов, для оптимизации режимов. Реализация численных методов позволит при необходимости определять все возможные решения уравнений установившихся режимов при заданных расчетных условиях и выбирать из множества существующих решений те, которые соответствуют надежным и экономичным реальным режимам ЭЭС.
Целью диссертационной работы является повышение эффективности режимов работы электроэнергетических систем на основе использования численных методов решения нелинейных алгебраических уравнений.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи: - разработать схему нахождения корней систем нелинейных алгебраических уравнений для установившихся режимов в ЭЭС; - обосновать и разработать редукции задачи нахождения корней систем нелинейных алгебраических уравнений; - разработать способы преобразования систем нелинейных алгебраических уравнений с квадратичными и полиномиальными функциями к системам с выпуклыми функциями в левых частях; - разработать вычислительные алгоритмы поиска корней системы нелинейных алгебраических уравнений для установившихся режимов ЭЭС; - выполнить анализ результатов численных экспериментов и оценить эф фективность различных алгоритмов расчета.
Методика проверки погрешности численного метода расчета баланса мощностей в электрических сетях
Одной из задач, требующей эффективного решения, является задача разрешимости нелинейных уравнений установившихся режимов электроэнергетических систем (ЭЭС). Нелинейные уравнения узловых напряжений описывают установившийся режим электрической системы при задании нелинейных источников токов. В схемах замещения электрических систем нелинейные источники тока соответствуют генераторам с постоянной мощностью, либо нагрузкам потребителей, заданных статистической характеристикой или постоянной мощностью. В рассматриваемом случае известны нагрузки в узлах и напряжение источника питания. Именно такой способ задания информации применяется в условиях эксплуатации при расчете и анализе режимов. Источник питания - балансирующий узел, в нем задано напряжение, а неизвестны активная и реактивная мощности.
Матрицы Cx и Cy, во-первых, являются сильно разреженными, в среднем 2-3 не нулевых элемента в каждой строке, во-вторых, они не являются положительно определенными.
Ограничения, накладываемые в период эксплуатации сети на значения напряжений, можно учесть путем введения понятия области возможных режимов электроэнергетической системы (ЭЭС). Проблема отыскания области возможных режимов ЭЭС играет важную роль при решении многих задач ее проектирования и эксплуатации. Разнообразные вопросы проблемы отыскания области возможных режимов рассматривались многими авторами. Например, в [17] и [21,22] проблема приближенного отыскания границы области возможных режимов ЭЭС сводится к квадратичной, выпуклой задаче математического программирования. В данной работе мы упростим решение данной проблемы, для этого введем понятие допустимой области. Например, отложив на соответст вующих осях верхний Uj и нижний Uj допустимые пределы для каждого из узловых напряжений сети и проводя через граничные линии плоскости, параллельные координатным, получим параллелепипед. Общим признаком каждой точки его объема является то, что ее координаты характеризуют допустимый режим напряжения в анализируемой сети.
Одной из задач, связанных с оценкой погрешности теоретических исследований, является проверка точности применяемых методов расчета и правомерности принятых допущений, проверка соответствия математических моделей реальным физическим явлениям. Для оценки погрешности разработанного численного метода расчета можно выполнить расчеты тестовых задач методами Гаусса, на ЭВМ, методом обратной матрицы, методом простой итерации, методом Зейделя и воспользоваться программными средствами универсальной интегрированной системы компьютерной математики (СКМ) - «MATLAB 6.0». Так как каждый из перечисленных методов расчета и средства визуального моделирования имеют соответствующие погрешности, то целесообразно в начале выполнить аналитический расчет параметров и величин в задаче с линейными элементами, а затем выполнить расчет разработанным численным методом и визуальное моделирование в среде MATLAB. В качестве примера можно выполнить аналитические расчеты параметров и электрических величин в цепи периодического переменного тока (рис. 3.2.1) [125]:
