Содержание к диссертации
Введение
Глава I Осесимметричные волны в осесимметричных системах 9
1.1 Металлический волновод 11
1.2 Коаксиальный волновод 39
1.3 Диэлектрический волновод 48
Глава II Рассеяние волн на дифракционных решетках 59
2.1 Интегральные уравнения в задачах дифракции волн на решетках 59
2.2 Прохождение волн через гофрированную границу двух диэлектриков 74
2.3 Двухслойная решетка 82
Заключение 93
Литература 95
Список работ автора по теме диссертации 98
Приложение 100
- Коаксиальный волновод
- Диэлектрический волновод
- Прохождение волн через гофрированную границу двух диэлектриков
- Двухслойная решетка
Введение к работе
Актуальность темы, В СВЧ технике тенденция к повышению мощностей и рабочих частот порождает проблему разработки весьма сложных электродинамических структур с размерами, существенно превосходящими длину волны в свободном пространстве [1-5]. При расчетах таких сверхразмерных структур приближенные аналитические методы становятся неприменимыми, а универсальные численные сеточные алгоритмы оказываются малопригодными вследствие быстро нарастающих объемов вычислений.
Однако при наличии в такого рода структурах определенной симметрии - осевой или трансляционной - возможна разработка весьма эффективных методов, основанных на сведении задачи к решению интегральных уравнений относительно реальных или фиктивных источников, которые расположены на граничной поверхности [6-Ю]. При этом особая задача заключается в выводе таких интегральных уравнений, численное решение которых обеспечивало бы быструю сходимость.
Данная диссертационная работа, направленная на решение задач о расчетах сверхразмерных электродинамических систем, результаты которой широко используются в теоретических исследованиях и в практических расчетах, является актуальной и современной.
Целью работы является развитие метода граничных интегральных уравнений применительно к сверхразмерным периодическим волноводам, к многослойным дифракционным решеткам с подложками, и создание на его основе эффективных численных алгоритмов и программ. Проведены исследования математических моделей, описывающих следующие конкретные электродинамические объекты:
собственные осесимметричные электромагнитные волны осесим-метричных периодически гофрированных волноводов (полого металлического, коаксиального металлического и диэлектрического);
собственные осесимметричные электромагнитные волны вне осе-симметричного периодически гофрированного стержня, а также в периодической системе изолированных соосных металлических или диэлектрических тел вращения;
колебания электромагнитного поля в осесимметричном резонаторе с произвольным гладким профилем;
дифракция плоской электромагнитной волны на решетках различного типа, а также на периодической границе двух диэлектриков.
Научную новизну проделанной работы характеризуют следующие основные достижения.
Предложен метод получения интегральных уравнений второго рода типа Фредгольма, которые не требуют регуляризации при их численной
реализации. Уравнения позволяют исследовать перечисленные задачи в электродинамических структурах с произвольной по форме и глубине гофрировкой в широком диапазоне изменения параметров и частот. Ядра полученных уравнений представлены в виде, удобном для их численного решения. Этот метод применим как для решения задач о распространении собственных волн в периодических волноведущих системах, так и для задач дифракции плоских волн на периодических структурах.
Программно реализована методика решения полученных интегральных уравнений. Проведены численные расчеты ряда волноведущих систем и рассеивающих структур.
Разработан принцип размещения точек при дискретном описании поверхности, пригодный для сложных волноведущих и рассеивающих СВЧ структур с негладким профилем.
Практическое значение. Созданные на основе предложенной методики программы позволяют проводить расчеты (в том числе и в интерактивном режиме) с высокой степенью точности применительно к электродинамическим системам с характерными размерами порядка и больше длины волны, когда широко используемые универсальные программы не дают достоверных результатов. Большинство созданных программ использовались и используются при разработках новых уникальных электродинамических систем, в частности, для приборов высокочастотной релятивистской электроники и для линий передачи мощного электромагнитного излучения, а также при обработке результатов экспериментов на установках, содержащих сложные электродинамические системы.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на семинарах отделения физики плазмы и электроники больших мощностей ИПФ РАН, на международной рабочей группе по мощным микроволнам в плазме (Суздаль, 1990), на Крымских осенних математических школах-симпозиумах по спектральным и эволюционным задачам (Симферополь, 1991, 1993 гг.), на республиканской конференции по нелинейным задачам математической физики и задачам со свободной границей (Донецк, 1991), на 21-й конференции Европейского физического общества по управляемому синтезу и физике плазмы (1994), на школе по математическому моделированию в естественных и гуманитарных науках (Воронеж, 2000).
Основные результаты диссертации изложены в 13 работах: в 7 статьях (из которых 4 в отечественных и 2 в зарубежных рецензируемых журналах, 1 статья в сборнике трудов международной конференции), в 1 препринте ИПФ РАН и в 5 аннотациях докладов на международных и всероссийских конференциях и школах.
Структура и объем. Диссертация состоит из Введения, двух Глав, Заключения и Приложения. Она содержит 129 страниц основного текста, включая 40 рисунков и 2 таблицы. Библиография включает 34 наименования.
Коаксиальный волновод
Представляется интересным рассмотреть волновод с разрезанным внутренним стержнем. Емкостные зазоры на внутреннем проводнике придают коаксиальному волноводу свойства, полезные во многих практических приложениях. Такой волновод, например, применим в импульсных СВЧ приборах черепковского типа с доускорением электронов в пространстве взаимодействия [27]. Перспективно его применение в развязывающих и фильтрующих линиях передач, если требуются высокие избирательные свойства. Аналогичные системы являются основой секционированных изоляторов в ускорительных трубках и газовых разрядников с большим числом микрозазоров [28].
Расчеты коаксиального волновода проводились для варианта, осевое сечение которого показано на Рис. 1.1 Об. С целью проверки численного алгоритма вначале вычислялись собственные частоты осесимметричных колебаний і?/)/д-типа в резонаторе в виде одной секции внутреннего проводника с размерами а = 1,г0=0.1, и длиной 0 = 2л -Д. Результаты вычислений сведены в Таблицу 1.2. В первом столбце, когда зазор Д большой, резонансная частота к не зависит от /?Q . Незначительное увеличение частоты по сравнению с цилиндрическим резонатором (/: = 2.40483) вызвано скругленнями ребер радиусом г0. При увеличении длины резонатора до D = 6 собственная частота немного уменьшилась из-за меньшего влияния скруглений, и появилась зависимость от /J0. Это явление возникло вследствии связи резонаторов из-за конечности шагов в описании огибающей.
Рассмотрим электрические осесимметричные волны в двух однородных средах, граница раздела которых - осесимметричная поверхность S (1.1) (Рис, 1.14). Во внешнем пространстве поля и параметры среды отмечаются индексами 1, а во внутреннем - индексами 2. Ради общности учитываются как диэлектрические (є), так и магнитные (/.і) свойства сред.
В качестве примера расчета характеристик диэлектрического волновода приведен ряд результатов для ребристого стержня с синусоидальной гофрировкой (1.59) (Рис.1.14а) и для кольцевых торов (1.60) (Рис. 1.146). Во всех расчетах первая среда считалась вакуумом (є\ =1,//] =1), а материал второй среды выбран одинаковым с 2 = 1 и /ь = 1.
Расчеты проводились только в полосах пропускания, где действительным волновым числам к соответствуют действительные продольные волновые числа hm .Число таких волн в рассматриваемых открытых волноведущих системах ограничено.
Дисперсионная зависимость для медленных осесимметричных волн электрического типа в диэлектрическом ребристом стержне с RQ = 16 и R] = 3 . Диэлектрическая проницаемость материала стержня Е2 - 2 . Ак - ширина полос запирания. Иная ситуация наблюдается в кольцевых диэлектрических волноводах (Рис.1.146). С увеличением среднего радиуса колец (R0) увеличивается число только вытекающих волн, у которых Imk O. Число же волн с действительными волновыми числами остается неизменным. На Рис. 1.18 приведены дисперсионные зависимости для медленных электрических волн, в которых нет радиационных потерь. Как и в случае ребристого стержня, такие волны существуют на частотах, больших критических (к кс).
Диэлектрический волновод
В действительности до появления современных ЭВМ подобная постановка вопроса была бы бессмысленной, а в настоящее время наука и техника лишь приближаются к построению удовлетворительных математических моделей электродинамики для таких сложных объектов, как некоторые волноводные тракты, интегральные схемы СВЧ и антенные устройства. Дело в том, что для неидеализированных электродинамических задач итоговые формулы получаются крайне редко. Зато к настоящему времени разработаны методы, которые позволяют получить требуемые величины с заданной точностью за конечное число вычислительных операций.
В большинстве случаев электродинамическая задача сводится к системе алгебраических уравнений, порядок которой в принципе не ограничен, а для реализации достаточной точности модели должен быть сделан настолько большим, что принципиально важно применение ЭВМ. Сущность того или иного метода состоит в том, каким путем граничная задача сводится к системе алгебраических уравнений.
Неидеализированные задачи электродинамики почти всегда являются задачами дифракции. Разумеется, при построении математических моделей приходится решать различные промежуточные задачи, К ним относятся задачи о собственных волнах направляющих структур и о собственных колебаниях резонаторов.
Цель работы и основные задачи заключаются в применении и развитии метода граничных интефальных уравнений для численного моделирования распространения электромагнитных волн в гофрированных волноведугдих системах и рассеяния волн на периодических структурах. При этом проведены исследования математических моделей, описывающих следующие конкретные электродинамические объекты:
1. собственные волны азимутально симметричных периодически гофрированных волноводов (полого и коаксиального металлического и диэлектрического);
2. собственные волны азимутально симметричного периодически гофрированного стержня, а также периодической системы изолированных соосных металлических или диэлектрических тел вращения;
3. резонансные колебания в азимутально симметричных телах с произвольным гладким сечением;
4. дифракция плоской электромагнитной волны на периодической металлической структуре (непрерывной или разрывной) и на периодической границе двух диэлектриков.
Научная новизна. Предложен метод получения интегральных уравнений второго рода типа Фредгольма, которые не требуют регуляризации при их численной реализации. Этот метод применим как для решения задач о распространении собственных волн в периодических волноведущих системах, так и для задач дифракции плоских волн на периодических структурах. Ядра полученных уравнений представлены в виде, удобном для их численного решения. Уравнения позволяют исследовать указанные задачи в электродинамических структурах с произвольной по форме и глубине гофрировкой в широком диапазоне частот.
Разработана и программно реализована методика решения полученных интегральных уравнений. Проведены численные расчеты ряда волноведущих систем и рассеивающих структур. Практическая значимость. В приборах С В Ч- электроники применяются полые металлические волноводы с плавной периодической гофрировкой стенок. Для расчета характеристик таких волноводов используются различные методы, ни один из которых не занимает доминирующего положения, и многие сохраняют перспективы дальнейшего развития. В диссертационной работе предложены интегральные уравнения, по спектру которых строится дисперсионная зависимость волновода, т.е. зависимость волнового числа от продольного волнового числа (параметра Флоке).
Аналогичные уравнения применимы и для расчета характеристик металлического ребристого стержня, системы из изолированных соосных колец, коаксиального и диэлектрического волноводов,
Предложенный метод обобщается на задачи дифракции электромагнитных волн на периодических металлических и диэлектрических рассеивающих структурах, которые находят широкое применение в различных электродинамических приборах.
Структура и краткое содержание диссертации. Диссертация содержит введение, 2 главы, заключение и приложение. В начале каждой главы определен круг рассматриваемых в ней вопросов. В заключении сформулированы основные выводы и результаты.
Первая глава посвящена осесимметричным собственным волнам в осесимметричных направляющих системах. В пункте 1.1 на примере металлического волновода подробно описана методика получения интегрального уравнения и алгоритм его решения. Пункт 1.1.1 содержит общую постановку внутренней задачи для волн электрического типа. В пункте 1.1.2 представлено решение в виде интеграла типа потенциала простого слоя, получено представление функции Грина в виде ряда и исследована его сходимость. Интегральное уравнение для внутренней задачи волновода сформулировано в пункте 1.1.3, причем в качестве переменной интегрирования сначала использована длина дуги образующей волновода, а затем -произвольный параметр этой образующей.
Прохождение волн через гофрированную границу двух диэлектриков
Гофрировка позволяет расширить полосу пропускания пластины, что может быть использовано при конструировании вакуумных окон мощных электронных СВЧ приборов. Рассмотрим прохождение нормально падающей (0 = 0) плоской электромагнитной волны через пластину, показанную на Рис. 2.6. Если выполняется условие затухания всех нераспространяющихся гармоник внутри пластины то решение можно построить по следующей схеме, представленной на Рис.2.7. Амплитуда падающей волны обозначена за /, а коэффициенты отражения r][t Г2, 22 и прохождения (l f2 определяются из решения (2.58) задачи о падении плоской электромагнитной волны на одну границу. Здесь L - расстояние между плоскостями 1 и 2 отсчета коэффициентов отражения (г) и прохождения (/). Очевидно, что результат решения от выбора L не зависит.
В качестве примера использования приведенной схемы на Рис. 2.8 представлены результаты решения задачи о диэлектрической пластине. Как видно из графика, вычисленные величины коэффициента отражения (крестики) в хорошей степени соответствуют экспериментальным данным (непрерывная линия).
Сравнение вычисленных коэффициентов отражения (крестики) с экспериментальными данными (непрерывная линия) для диэлектрической пластины на Рис.2.6 с параметрами: с=0.385, g( -0.131, g2= 0.098, dv = 0.3185, afj = 2.357, є = 9.63. Размеры даны в миллиметрах. 2.3 Двухслойная решетка
Рассмотрим дифракцию плоской электромагнитной волны на электродинамической системе, состоящей из периодического вдоль оси Z набора металлических стержней, однородных вдоль оси Г, расположенных над отражающей плоской поверхностью. Эта поверхность обладает произвольными отражающими свойствами с известными коэффициентами отражений для различных гармоник.
Второе слагаемое в правой части (2.64) - это волна, отраженная от плоскости (2.63) с учетом формул Френеля. Здесь обозначения hQ,gQ те же, что были введены в (2.10), a RQ - коэффициент отражения падающей волны (нулевой гармоники) от отражающей поверхности. Далее справедливы формулы (2.11) -(2.22).
При численном моделировании фазовой структуры (волноводного грилла) с помощью уравнения (2.66) плазма предполагалась однородной, а ее коэффициенты отражения Rm - одинаковыми для всех гармоник и равными + где є-\-пнорм -диэлектрическая проводимость, пнарм{- \) - нормированная плотность плазмы. Параметры системы (Рис.2.10) выбраны так, чтобы распространяющейся (быстрой) гармоникой рассеяного поля была только нулевая. Магнитное поле в промежутке между стержнями и поверхностью плазмы (0 дг тіп г(2)) представимо в виде.
Двухслойная решетка
Разработана методика вывода интегральных уравнений второго рода для задач дифракции и распространения электромагнитных волн в периодических системах. К особенностям метода относятся: - выбор функций источников поля, которые могут и не иметь физического смысла, если их расположить вне области определения решений; - представление функции Грина рядом Фурье без использования фундаментального решения, что позволяет существенно расширить класс допустимых граничных условий и, соответственно, класс задач, приводимых к используемому типу интегральных уравнений.
Получаемые интегральные уравнения корректны по Адамару и обладают повышенной устойчивостью к ошибкам дискретизации, что позволяет использовать простые и быстросходящиеся вычислительные схемы. Показана инвариантность ядер полученных интегральных уравнений по отношению к преобразованию переменной интегрирования, что позволяет корректно исследовать электродинамические системы с ребрами и кромками.
Показано, что множество собственных функций интегральных уравнений исследуемого типа содержит как решения исходной задачи для волн электрического типа, так и для волн магнитного типа, и наоборот. Сформулирован критерий выбора. В ряде случаев дополнительные решения имеют физический смысл волн или колебаний, существующих вне области определения искомых решений.
Разработаны программы расчета: - осесимметричных волн в осесимметричных полых и коаксиальных периодических волноводах с различными профилями гофрировки; - осесимметричных медленных волн в открытых осесимметричных волноводах типа ребристого металлического или диэлектрического стержня и периодически расположенных металлических или диэлектрических колец; - собственных волн плоских гофрированных волноводов; - полей рассеяния дифракционными решетками следующих типов: гофрированные металлические плоскости и/или гофрированные границы раздела диэлектриков, параллельные металлические или диэлектрические стержни около отражающей поверхности из материалов с различными электродинамическими свойствами, многослойные решетки.
Период, глубина и конфигурация профилей ограничены только условиями просачивания полей через дискретно описанные поверхности при заданном числе точек. Время расчета одного варианта составляет несколько секунд на ЭВМ с процессором Intel Р4-1400 для систем, у которой период и глубина профиля соразмерны с длиной волны.
Решены задачи; - о собственных волнах в электродинамических системах мощных релятивистских СВЧ приборов черепковского типа; - возбуждения нижнегибридных волн в термоядерных установках с помощью квазиоптического грилла; - преобразователей типов волн в гофрированных волноводах и преобразователей поляризации на дифракционных решетках; - расчета вакуумных диэлектрических окон для гиротронов. Результаты решения задач были использованы и используются во многих действующих экспериментальных установках.
Похожие диссертации на Применение интегральных уравнений второго рода в теории периодически нерегулярных электродинамических систем
