Содержание к диссертации
Введение
1 Модели многокомпонентной диффузии и теория групп преобразований 20
1.1 Неизотермическая и многокомпонентная диффузия 22
1.2 Системы диффузионных уравнений: модели и приложения 28
1.3 Методы теории групп преобразований и системы диффузионных уравнений 34
2 Системы диффузионных уравнений: точные симметрии, иерархия моделей, инвариантные решения 42
2.1 Симметрийные свойства диффузионных систем с источником . 42
2.2 Симметрийные свойства систем анизатропных диффузионных уравнений 60
2.3 Автомодельные решения для нелинейной диффузии без источника с импульсными начальными данными 67
2.4 Программа DEPEAS построения системы определяющих уравнений в среде Maple 70
3 Приближенный симметрийный анализ систем диффузионных уравнений 74
3.1 Приближенные симметрии систем диффузионных уравнений с малыми конвективными членами 74
3.2 Приближенные решения диффузионных систем с малым параметром 82
3.3 Приближенные симметрии гамильтоновых систем с малым параметром 84
3.4 Приближенные инвариантные решения и отображения гамильтоновых систем с малым параметром 88
4 Инвариантные решения и приложения 94
4.1 Модель хемотаксиса: иерархия моделей, инвариантные решения 94
4.2 Распространение периодических колебаний при многокомпонентной фильтрации 101
4.3 Инвариантные решения для линейных систем диффузионных уравнений со знакопеременным источником 104
Заключение 109
Литература 110
Приложение
- Системы диффузионных уравнений: модели и приложения
- Симметрийные свойства систем анизатропных диффузионных уравнений
- Приближенные решения диффузионных систем с малым параметром
- Распространение периодических колебаний при многокомпонентной фильтрации
Введение к работе
Многие практически важные процессы, такие как: движение в пористых средах многофазных, многокомпонентных жидкостей, нестационарная фильтрация в многопластовых системах, концентрационные волны в распределенных химических реакторах, горение, популяционные волны описываются системами нелинейных уравнений диффузионного типа.
Построение аналитических решений таких систем в общей постановке затруднительно. Для преодоления этой проблемы часто используется линеаризация исходных уравнений, однако, в ряде случаев, этот прием может привести к отбрасыванию нелинейных эффектов, оказывающих решающее влияние на ход процессов. Особенно важным учёт нелинейности может оказаться при решении задач анализа устойчивости состояний и чувствительности решений относительно малых изменений параметров системы.
Мощным инструментом исследования нелинейных моделей является сим-метрийный анализ дифференциальных уравнений. Знание симметрии позволяет исследователю найти инвариантные решения, которые могут быть эффективно использованы при решении задач идентификации модели и разработки стратегии управления процессом, описываемым ею. В практических приложениях эти инвариантные, относительно группы симметрии, решения в большинстве случаев можно эффективно построить, и часто они оказываются единственными известными точными решениями. Найденные аналитические решения, даже не имея явных физических приложений, могут использоваться, к примеру, для тестирования численных алгоритмов решения исходных уравнений.
Работы ряда авторов позволили хорошо изучить симметрийные свойства скалярных уравнений нелинейной теплопроводности с источником. Были изучены отдельные классы систем уравнений: диагональный случай с п=2 или специальные виды матрицы диффузионных коэффициентов. Однако, это не охватывает многие практически важные случаи. Поэтому актуальным явля-
ется выделение среди этих систем моделей, замечательных по своим симмет-рийным свойствам в общем случае - с произвольным набором компонент и недиагональной матрицей диффузионных коэффициентов.
Учет дополнительных факторов приводит к изменению модели, которая описывает данные процессы. Так например, во многих приложениях, наряду с процессами диффузии, важным является учет малых поправок конвекции. Несмотря на то, что эти факторы зачастую малы, они могут играть важную роль. К сожалению, в классическом симметрийном подходе это приводит к ухудшению симметрийных свойств модели. В связи с этим, в последнее время активно развивается теория приближенных симметрии дифференциальных уравнений. До настоящего момента времени системы диффузионных уравнений с малыми конвективными членами не были исследованы методами приближенного группового анализа.
В задачах градообразования и морфогенеза, которые описываются системами диффузионных уравнений с источниками, неустойчивость является источником сложной эволюции. При отсутствии диффузионных членов, или, когда они малы, система представляет собой динамическую систему. Одним из инструментов анализа локальной неустойчивости в динамических системах является переход к дискретным аналогам (отображениям). Особенно хорошо этот подход развит для гамильтоновых систем с возмущением. Интерес представляет изучение связи приближенных симметрии динамических систем с отображениями таких систем.
Для вычисления симметрии существует набор программ для пакетов символьных вычислений REDUCE, Maple, Mathematica облегчающих изучение симметрийных свойств дифференциальных уравнений. Однако эти программы предназначены для нахождения точных симметрии дифференциальных уравнений с известными коэффициентами. Использование данных программ становится невозможным при исследовании точных и приближенных сим-, метрий дифференциальных уравнений с произвольными функциями, т.е. для задач групповой классификации.
Цель работы. Исследование систем диффузионных уравнений методами теории групп преобразований для выделения моделей с дополнительными симметрийными свойствами и построение их инвариантных решений. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:
Построение иерархии моделей на основе их симметрийных свойств для систем диффузионных уравнений с источником, систем анизатропных диффузионных уравнений и диффузионных систем с малыми конвективными членами.
Построение инвариантных решений для описания процесса хемотаксиса, совместной динамики температуры и объемного водосодержания в почве, а также динамики популяций бактерий.
Разработка алгоритма построения отображений с использованием приближенных симметрии гамильтоновых систем с малым параметром.
Разработка прикладной программы построения приведенной системы определяющих уравнений (СОУ) для нахождения точных и приближенных точечных симметрии систем дифференциальных уравнений.
Результаты, полученные лично автором и выносимые на защиту:
Иерархия моделей систем диффузионных уравнений по точным и приближенным симметриям с произвольным количеством компонент п.
Инвариантные решения некоторых задач естествознания, описываемые системами диффузионных уравнений.
Алгоритм построения универсального отображения гамильтоновой системы с малым параметром с использованием приближенных симметрии
Программа построения системы определяющих уравнений для нахождения точных и приближенных симметрии дифференциальных уравнений. Научная новизна. В работе получены следующие оригинальные результаты:
1. Наряду с аналогами известных случаев расширения для скалярного уравнения найдены специальные классы уравнений многокомпонентной
диффузии со специфическими симметрийными свойствами. Предложен метод решения СОУ, одинаково хорошо применимый для исследования симмет-рийных свойств систем диффузионных уравнений с источниками, с малой конвекцией, а также систем анизотропных диффузионных уравнений.
Построено фундаментальное решение для случая, когда матрица диффузионных коэффициентов подчиняется степенному закону, также некоторые инвариантные решения, описывающие процессы хемотаксиса, совместной динамики температуры и влажности в почве, размножения бактерий в питательной среде.
Предложен конструктивный алгоритм построения отображения, которое может быть использовано для анализа локальной неустойчивости в гамильтоновых системах с возмущением.
Разработана программа построения приведенной СОУ для решения задач групповой классификации дифференциальных уравнений.
Научная и практическая ценность. Развиты методы анализа определяющих уравнений при нахождении симметрии систем диффузионных уравнений, которые могут быть применены для широкого класса подобных задач. Показана групповая природа известных решений изучаемых систем.
Практическая ценность результатов заключается в создании программы вычисления СОУ, которая позволяет исследовать точные и приближенные симметрии систем дифференциальных уравнений с произвольными коэффициентами.
Апробация работы. Основные результаты работы диссертации докладывались на:
Международной конференции "Алгебраические и аналитич. методы в теории дифференц. уравнений"(Орел, 1996 г.)
Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (Челябинск, 1999 г.)
Воронежской зимней математической школе "Современный анализ и его приложения" (Воронеж, 2000 г.)
Международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения "(Красноярск, 2000 г.)
Международной конференции "MOGRAN 2000: Групповой анализ для нового тысячелетия "(Уфа, 2000 г.)
XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2001 г.)
Семинаре в университете Техаса в Остине, (США, 2003г.)
и на научных семинарах Института математики с ВЦ УНЦ РАН, кафедры математики УГАТУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 ра-ботах [8] - [И], [14] - [18], [37], [44] - [46], [63].
Системы диффузионных уравнений: модели и приложения
Широкий спектр моделей естествознания процессов в многокомпонентных средах может описываться системами диффузионных уравнений.
В работе [54] показано как кинетическая теория полимерных жидких смесей приводит в набору расширенных уравнений Максвелла-Стефана, описывающих многокомпонентную диффузию. Набор уравнений Максвелла-Стефана также может быть использован для описания многокомпонентной диффузии, при расчетах истории испарения многокомпонентных капель топлива в горячем потоке воздуха [105].
Работа [101] посвящена проблеме улетучивания летучих органических соединений из многокомпонентных органических жидкостей и диффузиии в ненасыщенной пористой среде. В ней проводились экспериментальные работы и численное моделирование многокомпонентной диффузии. Показано, что оба процесса газообразной диффузии летучих органических соединений и дисперсионного твердения органических смесей могут быть хорошо описаны, базируясь на эффективные диффузионные коэффициенты, оцененные из эмпирических соотношений в предположении идеальных смесей.
Минералогия - диффузионная кинетика в минералах принципы и прило-оюения к тектоно-метаморфическим процессам
При геологических процессах диффузия во многих минералах, например, в гранате, очень часто многокомпонентная по природе. Так как она включает совместный поток более чем, двух компонент. Понимание процесса многоком-понетной диффузии еще оолее важно при интерпретации диффузии вызванной композиционной модификацией минералов при геологических процессах [59].
В виду малочисленных экспериментальных данных диффузии в многокомпонентных минералогических системах, обычно пренебрегают внедиаго-нальными членами матрицы D. Однако, такие приближения не всегда оправданы. Чакроборти и Гангули [51],[52] привели примеры матриц D в гранатах, где показали значимость вне-диагональных элементов. Полученная ими матрица, вычисленная для фиксированного гранатного состава имеет вид
Мп 8.38 х 10"20 -9.91 х 10"23 -4.68 х 10"21 Мд -2.78 х Ю-21 7.26 х 1(Г21 -8.81 х 10"23 Fe -7.16 х 10"20 -4.81 х 10"23 1.19 х 1(Г20 Очевидно, что величина некоторых вне-диагональных элементов сравнима
С ДИагОНаЛЬНЫМ (DpeFe С DpeMg, И DMgMg С DMgMn), так чт0 ИГНОрирова ние этих перекрестных эффектов диффузии может привести к значительным ошибкам при моделировании диффузионного изменения композиционной зональности в многокомпонентных гранатах.
Многокомпонентная химическая диффузия в расплавах В работе [82] проводились измерения диффузионных коэффициентов в расплаве при низком давлении водонасыщенного эвтектического гранитного композита в системе К2О — TVa O — A Oz — S1O2 — Н2О. Матрица коэффициентов многокомпонентной диффузии имеет сильно вырожденный набор реальных, положительных собственных чисел. Другим примером многокомпонентной химической диффузии является диффузия в силикатных расплавах (см., например, [76]).
Совместная динамика температуры и влагосодероісапия Целый набор прикладных задач, учитывающий совместные процессы теп-ловлагапереноса, может быть описан системой диффузионных уравнений. Известно, что подземный процесс теплопереноса неразрывно связан с переносом влаги в почве. Суть этой связи заключается в том, что: тепло переносится за счет теплопроводности и посредством переноса влаги; теплопроводящие свойства почвы сильно зависят от ее влагосодержания; изменение водосодержащей фазы включает эффект скрытого тепла и изменения гидравлических и теплопроводящих свойств.
Теория таких процессов впервые была сформулирована в 1957 в работе Филипа и Дефриза [92], а результаты экспериментов получены в работах [93], [94] и позднее в [70], [71]. Такая совместная динамика температуры и влагосодержания является важной при рассмотрении полузасушливых сред (пустынь), где транспорт влаги часто происходит за счет водяного пара. В этих условиях уравнения совместного тепловлагапереноса в вертикальном столбе почвы могут быть записаны виде: где T(x,t) и 9(х, t) - температура почвы и объемное водосодержание на глубине жив момент времени t соответственно [72]. Данные задачи являются важными при изучении экологических систем пустынь, в земледелии и при дистанционном обследовании окружающей среды.
В работе [55] разработана модель тепловлагопереноса для изучения подземной совместной динамики тепла и влаги из зданий. Полученная модель хорошо сравнима с сезонными изменениями измеренных температур почвы. Наряду с этим, интерес представляет гигротермическое поведение ограждающих конструкций зданий (стен), а именно неизотермическая диффузия влаги в пористых строительных материалах [60]. Некоторые аналитические решения для одномерных совместных линейных уравнений тепломассопереноса в полубесконечной среде предложены в работе [57].
Совместный учет тепла и влагосодержания также оказывается важным при изучении восстановления влагосодержания соцветий брокколи при различных температурах [96].
Симметрийные свойства систем анизатропных диффузионных уравнений
В 1980 появляется работа Данилова [19] с исследованием системы двух линейных диффузионных уравнений и работа Князевой и Попова [27], в которой исследуются системы двух нелинейных диффузионных уравнений с источниками
В данной системе матрица диффузионных коэффициентов диагональна и коэффициент диффузии і-го компонента не зависит от концентрации другого компонента. Проблемы исследования групповой классификации линейной системы диффузионных уравнений произвольной размерности с источниками, инициировались в работах Зулехнера и Эймса [106].
Позднее в работе [102] было начато исследование симметрийных свойств системы (1.5) когда недиагональной матрицей диффузионных коэффициентов Л = const и функция источников Q = 0. В работе [50] вычислены допускаемые группы точечных преобразований, в случае, когда система состоит из двух уравнений и матрица диффузионных коэффициентов имеет специальный вид. Точные симметрии системы диффузионных уравнений с источниками при п = 2 позже было исследованы в [85].
К сожалению, большинство симметрии имеет место лишь при некоторой идеализации задачи, более точная постановка приводит к их нарушению. В связи с этим в последнее время развивается теория приближенных симметрии дифференциальных уравнений [4], [5], [6], [7]. Несколько другой подход построения приближенных симметрии был предложен в работах [42], [58].
Основная идея в построении приближенных симметрии заключается в том, что координаты инфинитезимальных операторов ищутся в виде рядов по степеням малого параметра є с заранее заданной точностью р и определяются из приближенного критерия инвариантности
С развитием методов приближенного группового анализа проводились исследования скалярных диффузионных уравнений с малым параметром [47], например, нелинейного диффузионного уравнения с малыми конвективными членами где и — u(x,t), а є малый параметр. Данное уравнение описывает процесс одномерной инфильтрации ненасыщенного потока влаги в однородной почве, при условии, что сила тяжести мала по сравнению с капилярными силами [34]. А также была предпринята попытка исследования приближенных сим-метрийных свойств и для систем [103].
В задачах градообразования и морфогенеза, описываемые системами диффузионных уравнений с источниками, неустойчивость является источником сложной эволюции [3], [22]. При отсутствии диффузионных членов или когда они малы, система представляет собой динамическую систему. Одним из инструментов анализа локальной неустойчивости в динамических системах является переход к дискретным аналогам (отображениям) [23]. Особенно хорошо этот подход развит для гамильтоновых систем с возмущением. Вопрос анализа симметрии динамических систем неоднократно изучался рядом авторов (см., например, [100], [29]). Интерес представляет изучение связи приближенных симметрии динамических систем с отображениями этих систем. Симметричный анализ и пакеты символьной математики
Несмотря на хорошую формализацию построение систем определяющих уравнений (СОУ) для конкретных систем дифференциальных уравнений представляет рутинные вычисления продолжений оператора, подстановку их в критерий инвариантности и расщепления системы при степенях производных. Это нередко скрывает за собой потенциальные технические ошибки при вычислениях, а соответственно неправильный результат. Особенно важным это является при исследовании симметрийных свойств систем большой размерности п 3.
Появление в конце прошлого века компьютерных систем символьной математики открыли новые возможности перед исследователями, что послужило шагом к реализации данного алгоритма во всевозможных пакетах символьных вычислений таких как REDUCE (SPDE), MACSYMA (SYMMGRP), Maple (LIESYMM) и Mathematica (LIE) ([48], [53], [66], [87]), [97]). Символьные пакеты также широко стали использоваться для нахождения оптимальных систем подалгебр систем дифференциальных уравнений и в других смежных вопросах. Для более полного обзора работ по этим программам и их применению см. [65] (том 3), [68].
Модуль LIESYMM (Maple), как и многие другие программы, предназначен для нахождения симметрии конкретных дифференциальных уравнений, т.е. уравнений коэффициенты которых явно определены. При проведении групповой классификации, мы сталкиваемся не с конкретным уравнением, а с классом уравнений. Так например, уравнение (1.5) - представляет собой целый класс диффузионных уравнений с источником с двумя функциями Л(и) и Q(u). Построение СОУ для вычисления точных и приближенных симметрии для классов уравнений невозможно с использованием существующих стандартных пакетов программ.
Приближенные решения диффузионных систем с малым параметром
Типичном примером является случай который описывает производство хемо-аттрактанта клетками (бактериями) с постоянной скоростью а и его химический распад со скоростью /3. Поскольку движение клеток (бактерий) происходит в направлении большей концентрации S - спаривание (аггрегация) клеток является притягивающим.
Симметрииные свойства модели хемотаксиса Исследуемая система (4.1), в случае когда х Є !ft, может быть представлена в виде системы (2.1), где матрица диффузионных коэффициентов имеет вид Данная матрица имеет внедиагональный нелинейный член —pX (S). Интерес представляют симметрииные свойства данной системы в зависимости от вида функции чувствительности клеток X(S). Проведена классификация системы (4.1) по точным симметриям и выявлено три спецификации функции X (S) с разными симметрийными свойствами: произвольная функция, 1/5, константа. Во всех случая исходная система допускает два основных преобразования: сдвиги по времени и по пространственной переменной: t = t + а\, х = х -\- CL2- Здесь и далее di - групповой параметр. В специальных случаях допускаются дополнительные преобразования. Эти случаи приведены ниже и выписаны соответствующие им дополнительные операторы. Случай Do = —D, возникающий в процессе классификации был исключен из рассмотрения. Так как такое соотношение коэффициентов дифффузии является нефизичным в моделях хемотакисиса. Проанализируем групповые свойства системы.
При отсутствии источника (р = О система (4.1) для любых видов функции X (S) допускает два дополнительных преобразования: неоднородное растяжение по t и х, и растяжение переменной р. Соответствующие им конечные преобразования имеют вид: Случай X (s) — const соответствует общепринятому в литературе случаю, когда функция чувствительности клеток представляется линейным законом X[s) = х$, где х некоторая константа. В этом случае система допускает пятое преобразование сдвиг по S: S — S + а$. В случае, когда X (S) = — где В - постоянная, система (4.1) допускает пятое преобразование растяжение по S: S = 5exp(as). Этот случай интересен тем, что он соответствует случаю когда функция чувствительности клеток подчиняется закону Вебера - Фехнера, гласящий, что реакция на раздражитель пропорциональна его относительной интенсивности. То есть, сила ощущения X(S) логарифмически зависит от физической интенсивности раздражителя (S) : X(S) = В In 5 + с, где Вис некоторые постоянные, определяемые сенсорной системой. Наличие функции источника (р в системе, как правило, приводит к тому, что вместо набора дополнительных преобразований система допускает лишь одно дополнительное преобразование, представляющее их комбинацию. Так например, в случае когда ср = ар@, где а и /3 некоторые постоянные, дополнительно допускается следующее преобразование
Инвариантные решения хемотаксиса Попытка математического описания возникновения уединенной волны популяции была предпринята [74] и продолжена в работах [67], [75]. Предполагалось, что причиной образования уединенной популяционной волны является хемотаксис бактерий, т.е. направленное движение бактерий в сторону увелечения градиента питательного ресурса. Математический анализ подобных решений проводился путем введения волновой переменной z = ut — X, где и - скорость волны. Далее функции Sup искались как функции от z, так что подстановка их в исходную систему приводила к системе обыкновенных уравнений. Данный подход использовал общее групповое свойство системы в не зависимости от вида X (S). Так как по сути z является инвариантом преобразований сдвига по времени и пространству: инвариантном основных групп допускаемых системой. Ниже на примере X (S) = х и /? = О покажем возможность использования дополнительных преобразований допускаемых системой для построения инвариантных решений. Рассмотрим следующий оператор представляющий линейную комбинацию операторов допускаемых системой. Инвариантное решение относительно этого оператора имеет вид Функции Фі(си) и Фг(о;) удовлетворяют следующей системе уравнений обыкновенных дифференциальных уравнений В случае /3 = 0 (нерастущее решение 5), уравнение (4.2) имеет решение Ф2Н = d + 2y/WQ erf (ly/jfc) Сі. Рассмотрены два случая 5(0, і) = 1, 5(со, t) = 0 и 5(0, t) — 0, 5(оо, t) = 1 для которых решение (4.3) получено численно. В случае S(0,t) = 1,5(оо,) = 0, когда хемотаксическая чувствительность х отлична от нуля, диффузия клеток замедляется, и клетки стремятся
Распространение периодических колебаний при многокомпонентной фильтрации
Построение аналитических решений таких систем в общей постановке затруднительно. Для преодоления этой проблемы часто используется линеаризация исходных уравнений, однако, в ряде случаев, этот прием может привести к отбрасыванию нелинейных эффектов, оказывающих решающее влияние на ход процессов. Особенно важным учёт нелинейности может оказаться при решении задач анализа устойчивости состояний и чувствительности решений относительно малых изменений параметров системы.
Мощным инструментом исследования нелинейных моделей является сим-метрийный анализ дифференциальных уравнений. Знание симметрии позволяет исследователю найти инвариантные решения, которые могут быть эффективно использованы при решении задач идентификации модели и разработки стратегии управления процессом, описываемым ею. В практических приложениях эти инвариантные, относительно группы симметрии, решения в большинстве случаев можно эффективно построить, и часто они оказываются единственными известными точными решениями. Найденные аналитические решения, даже не имея явных физических приложений, могут использоваться, к примеру, для тестирования численных алгоритмов решения исходных уравнений.
Работы ряда авторов позволили хорошо изучить симметрийные свойства скалярных уравнений нелинейной теплопроводности с источником. Были изучены отдельные классы систем уравнений: диагональный случай с п=2 или специальные виды матрицы диффузионных коэффициентов. Однако, это не охватывает многие практически важные случаи. Поэтому актуальным является выделение среди этих систем моделей, замечательных по своим симмет-рийным свойствам в общем случае - с произвольным набором компонент и недиагональной матрицей диффузионных коэффициентов.
Учет дополнительных факторов приводит к изменению модели, которая описывает данные процессы. Так например, во многих приложениях, наряду с процессами диффузии, важным является учет малых поправок конвекции. Несмотря на то, что эти факторы зачастую малы, они могут играть важную роль. К сожалению, в классическом симметрийном подходе это приводит к ухудшению симметрийных свойств модели. В связи с этим, в последнее время активно развивается теория приближенных симметрии дифференциальных уравнений. До настоящего момента времени системы диффузионных уравнений с малыми конвективными членами не были исследованы методами приближенного группового анализа.
В задачах градообразования и морфогенеза, которые описываются системами диффузионных уравнений с источниками, неустойчивость является источником сложной эволюции. При отсутствии диффузионных членов, или, когда они малы, система представляет собой динамическую систему. Одним из инструментов анализа локальной неустойчивости в динамических системах является переход к дискретным аналогам (отображениям). Особенно хорошо этот подход развит для гамильтоновых систем с возмущением. Интерес представляет изучение связи приближенных симметрии динамических систем с отображениями таких систем.
Для вычисления симметрии существует набор программ для пакетов символьных вычислений REDUCE, Maple, Mathematica облегчающих изучение симметрийных свойств дифференциальных уравнений. Однако эти программы предназначены для нахождения точных симметрии дифференциальных уравнений с известными коэффициентами. Использование данных программ становится невозможным при исследовании точных и приближенных сим-, метрий дифференциальных уравнений с произвольными функциями, т.е. для задач групповой классификации.
Цель работы. Исследование систем диффузионных уравнений методами теории групп преобразований для выделения моделей с дополнительными симметрийными свойствами и построение их инвариантных решений. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи: 1. Построение иерархии моделей на основе их симметрийных свойств для систем диффузионных уравнений с источником, систем анизатропных диффузионных уравнений и диффузионных систем с малыми конвективными членами. 2. Построение инвариантных решений для описания процесса хемотаксиса, совместной динамики температуры и объемного водосодержания в почве, а также динамики популяций бактерий. 3. Разработка алгоритма построения отображений с использованием приближенных симметрии гамильтоновых систем с малым параметром. 4. Разработка прикладной программы построения приведенной системы определяющих уравнений (СОУ) для нахождения точных и приближенных точечных симметрии систем дифференциальных уравнений. Результаты, полученные лично автором и выносимые на защиту: 1. Иерархия моделей систем диффузионных уравнений по точным и приближенным симметриям с произвольным количеством компонент п. 2. Инвариантные решения некоторых задач естествознания, описываемые системами диффузионных уравнений. 3. Алгоритм построения универсального отображения гамильтоновой системы с малым параметром с использованием приближенных симметрии 4. Программа построения системы определяющих уравнений для нахождения точных и приближенных симметрии дифференциальных уравнений. Научная новизна. В работе получены следующие оригинальные результаты:
