Содержание к диссертации
Введение
1. Релаксационные колебания в простейших моделях с запаздыванием 11
1.1. Уравнения с финитной нелинейностью. Постановка задачи 11
1.2. Релаксационные колебания в уравнениях с финитной нелинейностью хатчинсоновского типа 14
1.3. Релаксационные колебания в комплексных скалярных уравнениях с запаздыванием 16
2. Асимптотика периодических решений распределенного уравнения Хатчинсона с быстро осциллирующими коэффициентами и большим коэффициентом диффузии 20
2.1. Постановка задачи 21
2.2. Периодические решения автономных параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами 22
2.2.1. Вводные замечания 22
2.2.2. Алгоритм построения асимптотики периодического решения
2.3. Обоснование результатов 27
2.4. Построение асимптотик решений для уравнения Хатчинсона с быстро осциллирующими коэффициентами 31
2.5. О периодических решениях уравнения Хатчинсона. с «большой» диффузией 33
2.6. Уравнения с близкими к постоянным коэффициентами 36
3. Пространственно-неоднородные периодические решения в распределенном уравнении Хатчинсона
3.1. Постановка задачи 40
3.2. Асимптотический анализ периодических решений краевой задачи (3.6),(3.7) 42
3.3. Результаты численного анализа 46
4. Пространственно-неоднородные периодические решения уравнения Хатчинсона с распределенным насыщением 50
4.1. Постановка задачи 50
4.2. Случай симметричной F(x) 51
4.3. Случай несимметричной F(x) 52
4.4. Результаты численного исследования 54
5. Применение клеточных автоматов и имитационного модели рования для решения распределенного уравнения Хатчинсона 60
5.1. Постановка задачи 60
5.2. Переход от уравнения Хатчинсона к клеточной сети 62
5.3. Программная реализация клеточного автомата на основе сети Хатчинсона 65
Заключение 70
Литература
- Релаксационные колебания в уравнениях с финитной нелинейностью хатчинсоновского типа
- Периодические решения автономных параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами
- Построение асимптотик решений для уравнения Хатчинсона с быстро осциллирующими коэффициентами
- Результаты численного исследования
Введение к работе
Актуальность работы
Одним из активно развивающихся направлений в настоящее время являются исследования динамики систем с распределенными параметрами. Эти исследования стимулируются появлением большого числа прикладных задач, для моделирования которых используют такие объекты, как дифференциальные уравнения с запаздыванием, уравнения в частных производных или уравнения с распределенными коэффициентами. Уравнения такого типа возникают, например, в лазерной оптике (Gibbs Н.М., Hopf F.A., Kaplan D.L., Shoemaker R.L., Ikeda К.), электротехнике (Schwarz W., Moegel A., Kilias Т., Kutzer К.), радиофизике (Дмитриев А.С, Кислов В.Я., Ланда П.С), медицине (Марчук Г.И., Петров Р.В.), математической экологии (Горяченко В.Д., Колесов Ю.С.), теории нейронных систем (Ма-линецкий Г.Г., Майоров В.В.), при описании процесса резания металлов (Эльясберг М.Е., Клушин М.И.) и др.
Изучению уравнений с запаздыванием посвящено значительное число публикаций как теоретического, так и прикладного характера. Для многих уравнений, содержащих запаздывание, хорошо зарекомендовали себя классические асимптотические методы, такие как методы усреднения Крылова-Боголюбова1, методы пограничных функций в случае сингулярных возмущений (Васильева А.Б., Бутузов В.Ф.2). Тем не менее, развитие аналитических методов для систем с запаздыванием явно недостаточно. В силу принципиальной сложности систем с бесконечномерным фазовым пространством особую значимость как для общетеоретических вопросов, так и для решения конкретных прикладных задач приобретает разработка новых асимптотических методов исследования динамических свойств решений.
Плодотворный подход к исследованию динамики нелинейных систем связан с выделением некоторой совокупности переменных и перехода к универсальным уравнениям, описывающим локальную динамику исходной задачи. Один из примеров реализации этой идеи — метод нормальных форм3'4'5. Методы нормализации являются одними из основных методов анализа поведения решений нелинейных уравнений в окрестности установившегося режима. Подход, связанный с использованием известной
1 Боголюбов Н.Н., Митрополъский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.
^Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.
^Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000.
АБрюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979.
ъ Wiggins S. Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos. New York: Springer-Verlag, 1996.
теории инвариантных интегральных многообразий, позволяет для изучения широкого класса эволюционных уравнений воспользоваться хорошо разработанным для обыкновенных дифференциальных уравнений методом нормальных форм. Такими методами изучаются и параболические краевые задачи.
Цель работы
Основной целью данной диссертационной работы является:
использование асимптотических методов анализа для исследования периодических режимов уравнений с запаздыванием, параболических уравнений, а также уравнений с пространственным распределением;
проведение численного анализа исследуемых моделей для иллюстрации полученных аналитических результатов.
Методы исследования
В работе используются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, метод нормальных форм, специальный асимптотический метод большого (малого) параметра, а также методы численного анализа динамических систем.
Научная новизна работы
Исследована нелокальная динамика уравнения с запаздыванием в случае, когда нелинейность является финитной функцией.
Изучены вопросы о существовании, структуре и устойчивости периодических решений параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами и уравнений с большими коэффициентами диффузии.
Получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений сложно-пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями и показано, что данные режимы наблюдаются в численном эксперименте.
Получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями в случаях симметричного и несимметричного насыщения.
Проведены численные исследования, которые подтверждают результаты асимптотического анализа.
Положения, выносимые на защиту
1. Асимптотическими методами исследована нелокальная динамика уравнения с запаздыванием в случае, когда нелинейность является финитной функцией. Описаны условия существования и устойчивости периодических решений. Полученные результаты обобщены на комплексные уравнения.
Изучены вопросы о существовании, структуре и устойчивости периодических решений параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами и уравнений с большими коэффициентами диффузии.
Получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений сложно-пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями и показано, что данные режимы наблюдаются в численном эксперименте.
Получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями в случаях симметричного и несимметричного насыщения. Численными методам анализа упрощенной модели обнаружено явление мультистабильности — сосуществование периодических решений вида бегущих волн.
Разработан пакет программ визуального отображения решений пространственно распределенных динамических систем «Simager».
Теоретическая и практическая ценность работы
Полученные в диссертации результаты имеют как теоретическое, так и практическое значение. Они могут быть применены при исследовании динамики дифференциальных уравнений с запаздыванием, а также для изучения прикладных задач, описываемых системами уравнений с распределенными параметрами. Полученные результаты могут использоваться для изучения задач радиофизики, электроники, лазерной оптики, популяцион-ной динамики.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры математического моделирования Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, на семинаре «Моделирование и исследование нейронных сетей» кафедры компьютерных сетей Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, а также обсуждались на научных конференциях:
Международная конференция научно-образовательных центров, посвященная 10-летию программы BRHE, октябрь, 2008;
Всероссийская выставка научно-технического творчества молодежи (НТТМ-2009), Москва, 2009.
XLVIII Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 10-14 апреля 2010;
Всероссийский конкурс научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках всероссийского фестиваля науки, РГСУ, Москва, сентябрь, 2011.
Публикации
По теме диссертации автором опубликовано 4 печатные работы, а также получено свидетельство государственной регистрации программы для ЭВМ. Все научные работы выполнены в соавторстве, но в диссертацию включены лишь результаты, полученные автором самостоятельно. Список работ приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации
Релаксационные колебания в уравнениях с финитной нелинейностью хатчинсоновского типа
Исследована нелокальная динамика уравнения с запаздыванием в случае, когда нелинейность является финитной функцией.
Изучены вопросы о существовании, структуре и устойчивости периодических решений параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами и уравнений с большими коэффициентами диффузии. Получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений сложно-пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями и показано, что данные режимы наблюдаются в численном эксперименте. Получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями в случаях симметричного и несимметричного насыщения. Проведены численные исследования, которые подтверждают результаты асимптотического анализа. Публикации и апробация результатов
По теме диссертации автором опубликовано 4 печатные работы [73-76], а также получено свидетельство государственной регистрации программы дня ЭВМ [77]. Все научные работы выполнены в соавторстве, но в диссертацию включены лишь результаты, полученные автором самостоятельно.
Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры математического моделирования Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, на семинаре «Моделирование и исследование нейронных сетей» кафедры компьютерных сетей Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, а также обсуждались на научных конференциях: 1) Международная конференция научно-образовательных центров, посвященная 10-летию программы BRHE, октябрь, 2008: 2) Всероссийская выставка научно-технического творчества молодежи (НТТМ-2009), Москва, 2009. 3) XLVIII Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 10-14 апреля 2010; 4) Всероссийский конкурс научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках всероссийского фестиваля науки, РГСУ, Москва, сентябрь, 2011. Глава 1. Релаксационные колебания в простейших моделях с запаздыванием
Первая глава работы носит вспомогательный характер и посвящена методам исследования релаксационных колебаний в системах с запаздыванием. В частности, используя в качестве основы аналитических построений асимптотические методы статьи [71,72,78], исследуется нелокальная динамика уравнения с запаздыванием в случае, когда нелинейность является финитной функцией. Описаны условия существования и устойчивости периодических решений. Полученные результаты обобщены на комплексные уравнения.
В данной главе приведенные выше утверждения обобщаются на несколько иные уравнения первого порядка с запаздыванием. Кроме того рассмотрен случай, когда рассматриваемые уравнения являются комплексными. Результаты для комплексного- уравнения, нелинейность в котором финитно зависит только от одной из составляющей, примыкают к построениям работы [79]. Отметим, что методика доказательств приводимых ниже теорем и способы получения асимптотических разложений решений та же, что и в [71,72], поэтому здесь на них не останавливаемся.
Основное утверждение состоит в том, что динамика отображения (1.17) определяет при условии (1.16) и при всех достаточно больших А свойства решений уравнения (1.15). Поясним связь между (1.15) и (1.17).
Отметим, что амплитуда функции Ді, (/?, А), т.е. выражение Ді, у?, А), близко по форме к тем периодическим решениям, о которых говорилось в теоремах 1.1 и 1.2. ражение, аналогичное отображению (1.17), имеет вид p = tp + \[lmA((p) + bReA(ip)]. (1.19) Здесь дополнительно предполагаем, что КеА(ир) 0 (случай КеА((р) О может быть так же рассмотрен при дополнительном условии /(0) — 1 0).
Основной результат состоит в том, что динамика отображения (1.23) определяет при достаточно больших А структуру аттракторов уравнения (1.15). Более точно: грубому циклу (1.23) отвечает (при А 1) цикл уравнения (1.15) той же устойчивости. Кроме этого, с помощью траектории pn (n = 0,1,...) отображения (1.23) удается восстановить асимптотику соответствующего решения (1.15). Здесь отметим, что, в отличие от результатов п. 4, изучаемые решения ограничены величиной порядка \112 к (а не А, как в п. 1.3), а расстояние между их соседними экстремумами и период имеют порядок 0{\) (а не 1пА, как в п. 1.3). Обратим внимание, что в зависимости от параметров b и Т динамика (1.23), а значит, и (1.15), может быть довольно сложной [80].
Периодические решения автономных параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами
Для этого достаточно, чтобы значение z = 0 не являлось точкой спектра LQ. При условии, когда все собственные значения LQ имеют отрицательные вещественные части, решение щ{х,ш) экспоненциально устойчиво (при достаточно больших ш). Если же хотя бы одно собственное значение LQ имеет положительную вещественную часть, то щ(х,и ) неустойчиво.
Рассмотрим затем вопрос о периодических решениях краевой задачи (2.4), (2.5) в одном «критическом случае». Предположим, как и выше, что щ(х) — состояние равновесия (2.6), и оператор Lo имеет пару чисто мнимых собственных значений ±iSo(So 0), которым отвечают собственные функции ао(#), оо( ), а все остальные собственные значения Lo имеют отрицательные вещественные части. Известно, что в этом случае краевая задача (2.6) имеет в окрестности vo(x) двумерное интегральное инвариантное многообразие V, на котором эту краевую задачу можно записать в виде системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений Р = dbp3 + 0(р5), т = 50 + О{р2). (2.7) Напомним, что коэффициент do называют первой ляпуновской величиной. Ниже предполагаем, что do 0, (2.8) т.е. состояние равновесия щ(х) асимптотически устойчиво. Рассмотрим в этом случае вопрос о поведении решений краевой задачи (2.4), (2.5) (при достаточно больших со) в окрестности состояния равновесия щ(х,и ) — v0(x)+O(co l).
Введём обозначения. Пусть Ьо(х) — собственная функция сопряжённого к Х/о оператора, отвечающая собственному значению — гёо. Можно считать, что
Теорема 2.2. При сделанных выше предположениях найдётся такое ш О, что при со соо в некоторой (не зависящей от со) окрестности щ(х,со) краевая задача (2.4), (2.5) имеет экспоненциально устойчивое двумерное инвариантное многообразие У(и)(щ(х,со) G V(co)), причём, на V{co) эту краевую задачу можно записать в виде двух обыкновенных дифференциальных уравнений (выражения 0{ръ) и 0(р2) в (2.9) выполняются равномерно относительно и). Таким образом, характер поведения (при больших ьо) решений (2.4), (2.5) в окрестности щ{хуш) определяется состояниями равновесия системы (2.9). В том случае, когда supao(w) 0, все решения из окрестности щ(х,ш) стремятся при — оо кщ{х,со). При условии inf ao(w) 0 состояние равновесия щ(х, (J) неустойчиво, а устойчивым является периодическое решение
Если же функция ао(и ) знакопереыенна, то при и — оо в окрестности uo(t,x,u ) происходит неограниченный процесс «рождения и гибели» устойчивого периодического решения и смены устойчивости состояния равновесия.
Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Через yo{t,x) (не равное тождественно 0) обозначим Хо-периодическое решение сопряжённого (к линеаризованной на щ(і, х) краевой задаче) уравнения
Собирая коэффициенты при старшей степени w в получающемся формальном тождестве (и учитывая, что щ(т, х) — решение (2.6)), для нахождения го 2(т, х,, и) получаем периодическую по т краевую задачу
Он опирается на результаты [84]. Отметим, что краевая задача (2.21) имеет периодическое решение vn, поэтому один из её мультипликаторов равен 1. Напомним, что один мультипликатор краевой задачи (2.10) равен 1. Пусть, для определённости, ровно mo 0 мультипликаторов (2.10) удовлетворяет неравенству /г 1 + j% (ро 0), а модули всех остальных (кроме, конечно, одного единичного) меньше, чем 1. В силу вложения С[0,1] С 1 (0,1], для исследования мультипликаторов краевой задачи (2.21) можно применить метод Фурье, выбирая в качестве базисной систему вида ej cos кттх (j — 1, ...,m; к = 0,1,...). Анализ возникающей при этом счётной системы обыкновенных уравнений приводит к следующему утверждению.
Лемма 2.1. Найдётся такое а о 0, что при со COQ модули ровно то мультипликаторов краевой задачи (2.21) удовлетворяют неравенству /І 1 + fit), а модули всех остальных, кроме одного единичного, мультипликаторов не превосходят величины 1 — j3f где (3 (0,1) и не зависит от
Отсюда вытекает, что сопряжённая к (2.21) краевая задача имеет единственное, с точностью до множителя, ненулевое периодическое решение уо(т, ,( ;), причём банахово пространство непрерывных по г Є [0, То] и х [0,1] функций, удовлетворяющих (по тих) условиям Гельдера с показателями а и 2а соответственно). Условие существования периодического решения (2.23) задаётся равенством
Таким образом вопрос о существовании периодического решения краевой задачи (2.4), (2.5) эквивалентен вопросу о разрешимости относительно а(ш) и z(r,xtiJ) системы уравнений (2.27), (2.28). Соотношения ({і п,Ув(т, ))) = 1 + 0(ш-1) и (2.26) позволяют воспользоваться для обоснования разрешимости (2.4), (2.5) (в классе 7о-периодических функций, близких при W OOK vo(riх)) принципом сжимающих отображений. Доказательство соответствующего утверждения об устойчивости вытекает из леммы (2Л) и из общих утверждений об устойчивости периодического решения автономной (параболической) системы. Теорема 2.1 доказана.
Обоснование теоремы 2.2 получаем путём сочетания изложенных выше результатов и известной техники локального исследования решений в случае, близком к «критическому», пары чисто мнимых корней характеристического многочлена. Подробно на этом не останавливаемся.
Полученные выше результаты допускают распространение на более общую краевую задачу с переменным главным членом и = В(шх)и" + F(u,wx), и \х=0 = и \х=1 = 0, в которой предполагается, что вектор-функция F(u, их) та же, что и выше, матрица D() положительно (равномерно относительно ) определена и является тригонометрическим многочленом по , а собственные значения матрицы тоже имеют положительные вещественные части. Обратим только внимание, что усреднённая краевая задача-аналог (2.6) определяется несколько иначе:
Построение асимптотик решений для уравнения Хатчинсона с быстро осциллирующими коэффициентами
Используемые в работе асимптотические методы, очевидным образом, локальны, поэтому, как правило неизвестно применимы ли они к данной конкретной динамической системе. Дело в том, что, во-первых, параметры задачи должны быть малы или велики (близки к критическим значениям), а степень этой малости или близости неизвестна. Во-вторых, применяемые методы локальны по области фазового пространства (как правило, изучается окрестность нулевого решения). В связи с указанными трудностями естественно применять численные методы в сочетании с асимптотическими. Это позволяет, хотя бы приблизительно, очертить область поиска (по начальным условиям и параметрам) решений задачи, а затем выяснить встречаются ли в этой области режимы со структурой, предсказанной асимптотическими методами.
Важным тестовым примером для применения как асимптотических, так и численных методов является распределенное уравнение Хатчинсона. Для него в настоящей главе получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений сложно-пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями. Вы полненный численный экперимент позволил проиллюстрировать асимптотический анализ, в частности, показано, что пространственно-неоднородные периодические режимы с необходимыми свойствами наблюдаются и в процессе численного счета. где параметры г и h) а также сами решения N(t) положительны, возникает во многих прикладных задачах [87-93]. Асимптотическими методами уравнение (3.1) исследовалось в [94]. Известно, что при условии это уравнение имеет медленно осциллирующее периодическое решение No(t). Термин «медленно осциллирующее» означает, что расстояние по времени между соседними максимумами No{t) больше величины запаздывания h. В том случае, когда величина А = rh — (А 0) достаточно мала, периодическое решение No{t) экспоненциально орбитально устойчиво и справедлива асимптотическая (при А — 0) формула т=1+ійИс8 ( й - щЬ)А+0(А2)))+0(А)-(аз)
Если же значение А достаточно велико, то решение Л/о (і) тоже экспоненциально орбитально устойчиво [94], и имеет место асимптотическая (при А — оо) формула N0(t) = ехр [Ат - А"1 ехр(А(т - 1))(1 + о(1))] , (3.4) в которой t и т связаны соотношениями t — hr и г Є [-Т + 2, 2], где через Т = Т(\) обозначен период функции No(t). Для Т(Х) имеем формулу
Т(А) = ехр(А)-(1+о(1)). (3.5) Примерный вид N(\(t) изображен на рис. 3.1. Рис. 3.1. Отметим ещё, что maxJVo(J) = ехрА(1 + о(1)), minJVb( ) = ехр(-ехрА(1 + о(1))). По-видимому, и это подтверждают результаты численного анализа, функция iVo(t) при всех Л 0 является единственным устойчивым периодическим решением уравнения (3.1). В настоящей работе рассматривается далее сложно-пространственно распределенное уравнение Хатчинсона
Приводимые ниже утверждения аналитического характера тесно примыкают к результатам работы [95] и существенно их используют. Отметим ещё, что в [96] приведен результат об устойчивости No(t) при условии, когда в (3.1) А 1, 7 = 0ие= ехр(—А), (6 0). В работе [95] для конечно д2 разностных аппроксимаций оператора диффузии —- асимптотическими ме дхл тодами, а в [97J — численными, получены результаты о существовании множества сложных аттракторов (тоже при Л 1, 7 = 0иє — ехр(—Аст)).
Прежде всего отметим, что рассматриваемая краевая задача имеет периодическое решение Лґо(і). Рассмотрим множество 2тг-периодических по х функций (Т-период No(t)) No(t + -r-x + ip(x)J, (3.9) где к — 0, ±1, ±2,..., a tp(x) — достаточно гладкая и 27г-периодическая. Ниже будем дополнительно предполагать, что для фигурирующего в определении Fa(x) параметра а верно представление а = ао + єао, а параметр ао рационально соизмерим с 2л-, т.е. найдутся такие целые взаимно простые числа гп\ и ni2 {ггц 0), что
Очевидно, что все функции (3.9) при к — ±т2,±2т2,... являются решениями уравнения Хатчинсона (3.1). Относительно краевой задачи (3,6), (3.7) можно утверждать, что функции (3.9) являются асимптотическими по невязке решениями с точностью до О(е), т.е.
Для уравнений с запаздыванием предпоженный в [64] алгоритм построения периодического решения (по невязке) сохраняется, однако доказательство существования точного решения и его устойчивости провести не удается.
Подробнее остановимся на алгоритмической части. В (3.6) сделаем замену времени т = (1 + едко 4 и будем искать периодическое решение в виде формального ряда где к = im2, ±2m2 ..., tfkj — 27Г-периодическая. Подставим (3.12) в (3.6) и будем собирать в получившемся формальном тождестве коэффициенты при первой степени є, находим, что Nki(s), где s = т 4- Щх 4 рко(х) является периодическим решением линейного неоднородного уравнения
Однородное уравнение й — ru(s)[l — No(s — h)] — ru(s — h)No(s) имеет единственное (с точностью до множителя) периодическое решение iVo(s). Тогда сопряженное уравнение (см. [92]) имеет тоже единственное (с точностью до множителя) периодическое решение Ho{s), и можно считать, что
После этого из (3.13) можно определить JVjji(s), и далее алгоритм нахождения коэффициентов формального ряда (3.12) продолжается стандартным образом. 3.3. Результаты численного анализа
Численный анализ показывает, что режимы вида (3.11) задачи (3.6), (3.7) являются наблюдаемыми. Расчеты проводились путем сведения задачи (3.6), (3.7) к системе дифференциальных уравнений с запаздыванием и применением к ней метода шагов на основе метода Рунге — Кутты четвертого порядка с линейной интерполяцией.
Для всех приведенных рисунков использовались следующие параметры: размерность системы уравнений с запаздыванием, выбранной для разностной аппроксимации задачи (3.6), (3.7), равна 300; шаг интегрирования s = 0.001; численное интегрирование проводилось на интервале 0 t 500; г = 3, h = 1, 7 = 1, &о = 1, k = 1.
Результаты численного исследования
Построение сечений. Программа позволяет строить сечения для более дстапьного рассмотрения динамики системы. Чтобы вывести сечение на экран, нужно в основном окне из верхнего меню вызвать Actions—J-Sections -SectionX (Y или Z). Можно одновременно вызвать на экран все три сечения. Положение секущих плоскостей определяется параметрами BoundEndX, BoundEndY, BoundEndZ. Плоскости будут проходить через точку с данной координатой на соответствующей координатной прямой перпендикулярно ей. В каждый момент времени можно провести только одно сечение, перпендикулярное координатной прямой. Когда сечения выведены на экран, можно переходить к следующим шагам системы. Соответствующие изменения будут отображаться и на сечениях.
На вкладке «Fast Buttons» находятся еще две кнопки для настроек: а) Hide Pause Cells — скрывать клетки, находящиеся в состоянии невосприимчивости. Если кнопку отжать, то в основном окне бу дут выбранным цветом отображаться и невосприимчивые нейро ны. б) KeepOldValues. Это параметр необходим для случая, когда мы за даем значения не для одной плоскости, а для для какой-то части пространства (когда Deep Bound = true). В таком случае при руч ном изменении значений клеток, если KeepOldValues = false, все значения вглубь будут точно такими же, как и на экране задания значений. Если же KeepOldValues = true, то вглубь изменяться будут только те значения, которые на верхней плоскости стали активными, пассивными или неиспользуемыми. Свободные клетки не будут передавать свои значения вглубь. Например, пусть задаются значения на плоскостях, перпендикулярных оси OZ, в интервале от 10 до 20. Тогда на экране редактирования будет сетка, соответствующая сечению z — 20. Предположим, что плоскость z = 10 целиком состоит из активных нейронов. Установим на плоскости z = 20 все нейроны свободные. Тогда, если выставлено KeepOldValues = false, плоскость z = 10 так же будет состоять только из свободных нейронов. В случае же KeepOldValues = true, состояние плоскости z = 10 не изменится. Приложение Б.
Результаты применения программного комплекса Б.1. Построение изображений на плоскости Опишем вкратце результаты, полученные нами для случая плоскости. 1) На плоскости возбуждается один нейрон, остальные остаются свободными. На рис. Б.1 представлена полученная динамическая картина. Волна постепенно полностью уходит за границы видимой области. 2) Ведущий центр. Начальными условиями являются: активный нейрон и соседний с ним нейрон, находящийся в режиме невосприимчивости. Как видно на изображениях (см. рис. Б.2), волны регулярно расходятся от одного нейрона и такой процесс не прекращается. Далее волны продолжают испускаться ведущим центром и уходят за пределы области. 3) Ревербератор. Для построения делаем отрезок из активных нейронов, соединенный с одной из границ сетки. Ниже этого отрезка на такую же длину делаем группу нейронов, находящихся в состоянии невосприимчивости. С течением времени можно видеть, как область активных нейронов скручивается в спираль. Такие режимы называются ревербераторами. Такое явление также называют спиральной волной.
Далее волны покидают границы области, а примерно в центре продолжается закручивание волн в спираль (см. рис. Б.З). 4) Несколько ревербераторов или пара спиральных волн. Для построе ния динамической картины введем следующие начапьные условия: так же как и в предыдущем случае строим отрезок из активных нейронов, примыкающий к одной из границ; далее в половину этого отрезка снизу от границы строим группу нейронов в состоянии невосприимчивости; в оставшуюся половину отрезка сверху также строим группу невосприимчивых нейронов. Как видно (см. рис. Б.4), получаются две спиральные волны, которые несколько накладываются друг на друга, но продолжают генерировать спайки. Далее продолжается скручивание двух спиралей, наложение двух спиральных волн друг на друга и выход за границы области.
Обтекание волной вырезанной области. Интересен случай, когда не все точки исходной сетки доступны. Пусть, например, по каким-то причинам, из области вырезана центральная часть. Построим следующие начальные условия: от этой центральной части выведем непрерывную ломаную линию до границ области. Справа от этой линии поместим ломаную из невосприимчивых нейронов. Это нужно дпя того, чтобы пустить движение волны строго в одну сторону. Фронт волны будет двигаться строго в одном направлении и изгибаться в углах области. Далее волны продолжает обтекать вырезанную область, раскручиваясь в спираль; Часть волны непрерывно выходит за границы области (см. рис. Б.5).
При увеличении размера сетки для больших значений дискретного времени і можно наблюдать, как волна закручивается в спираль также, как и в случае ревербератора (см. рис. Б.6). Далее продолжается закручивание волны в спираль вокруг вырезанной части и выход волн за границы исходной области.
Случай нескольких волн: Вокруг вырезанной части можно пустить не одну, а несколько волн. Эта ситуация на примере двух волн изображена на рис. Б.8. «Стреляющая щель». Это такая структура, когда из области вырезаны два параллельных отрезка; между ними один нейрон сделан активным, а рядом с ним стоящий — невосприимчивым (см. рис. Б.9). В таком случае наблюдается явление, когда щель как будто бы регулярно испускает волны активных нейронов, а внутри нее либо только один нейрон активный, либо ни одного.
Похожие диссертации на Асимптотический и численный анализ периодических решений одного класса моделей с запаздыванием и диффузией
