Введение к работе
Объект исследования и актуальность темы. Оптимизационные задачи возникают при формализации целенаправленного поведения человека в различных сферах его деятельности, будь то проектирование сложных технических систем, ведение экономической деятельности, прогнозирование природных явлений, исследования в биологии и физике и многое другое. Однако зачастую даже при хорошо формализованной задаче математического программирования может возникнуть вопрос о «правдоподобности» полученных в ходе ее решения результатов, поскольку предоставленные для решения задачи исходные данные могут содержать ошибки, например ошибки измерений, экспертные оценки, имеющие, как правило, приближенный характер. В этих условиях оказывается важным выделение классов оптимизационных задач, на решения которых подобные факторы не оказывают существенного влияния. Такие задачи называются устойчивыми и играют важную роль в построении моделей реального мира и решении широкого круга практических задач.
Проблема устойчивости остается актуальной и для задач возможностнои оптимизации. На практике мы не знаем «истинного» распределения значений возможностных величин, моделирующих мнение эксперта, а строим для них некоторую аппроксимацию. Таким образом возникает вопрос: как сильно мы отклонимся от истинного решения, если допустим некоторые погрешности в процессе моделирования экспертного мнения. Если задача возможностного программирования является неустойчивой, мы получим значительные отклонения и будем вынуждены признать, что наша аппроксимирующая модель является неадекватной. В этом случае для решения задачи возможностного программирования необходимо применять регуляризирующие алгоритмы, предложенные В.А. Рыбкиным и А.В. Язениным.
Наиболее широко цитируемыми работами в области исследования устойчивости задач с нечеткими параметрами являются работы Р. Фуллера и М. Ковач. В этих работах исследована устойчивость задач нечеткой оптимизации и систем линейных уравнений с нечеткими параметрами. Развитие этих результатов и их обобщение на класс задач возможностнои оптимизации сделано В.А. Рыбкиным и А.В. Язениным. В этих работах предложен единый подход к исследованию устойчивости задач возможностнои оптимизации, изучена их устойчивость и предложены методы регуляризации.
Следует отметить, что во всех работах, приведенных выше, рассматривались задачи возможностнои оптимизации, элементы которых связаны бинарными отношениями равенства или неравенства. Практический интерес пред-
ставляет такая постановка задачи, в которой указанные отношения представлены нечеткими бинарными отношениями. В этом специальном случае существующие результаты в возможностной оптимизации требуют соответствующего обобщения и развития, поскольку методы исследования устойчивости в работах указанных выше авторов связаны с построением детерминированных аналогов исходной задачи возможностного программирования, а для приведенного случая эта процедура значительно отличается.
Ввиду этого разработка и исследование моделей и методов решения задач возможностного программирования с нечеткими отношениями является актуальной научной проблемой, поскольку ее решение позволит моделировать «мягкость» при формализации ограничений и целевого функционала, осуществлять их регуляризацию и тем самым расширить круг решаемых практических задач.
Формально решаемая проблема может быть представлена следующей моделью возможностного математического программирования
ir{f(x]c)Robo} —> sup,
xeRn
тт{дг(х]аг)КгЬг, і Є М} > а.
Здесь 7Г есть мера возможности, М - индексное множество, f:g- действительные функции, с, CLi, bi - возможностные параметры задачи, / - нечеткие бинарные отношения, а - требуемый уровень возможности выполнения нечетких ограничений.
Данная модель обобщает существующие модели возможностной оптимизации на случай, когда их элементы связаны нечеткими бинарными отношениями.
Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является обобщение основных моделей задач возможностного программирования на случай, когда элементы задачи принятия решений связаны нечеткими бинарными отношениями, исследование свойств полученных моделей и построение для них непрямых методов решения.
Основные задачи диссертационного исследования. Поставленная в диссертации цель работы достигается путем решения следующих задач:
определение и исследование бинарных нечетких отношений в возмож-ностном контексте;
разработка моделей задач математического программирования с воз-можностными параметрами в нечетких отношениях;
разработка непрямых методов решения задач, основанная на построении их эквивалентных детерминированных аналогов;
исследование моножеств допустимых и оптимальных решений полученных эквивалентных детерминированных аналогов;
выявление необходимых и достаточных условий устойчивости задач исследуемого класса, относительно возмущений нечетких параметров;
разработка комплекса программ поддержки методов возможностной оптимизации для формализованного в диссертационном исследовании класса задач.
Методы исследования. Для формализованного описания изучаемого класса задач используется математический аппарат современной теории возможностей, при доказательстве теорем используются методы возможностной оптимизации, математического программирования, математического и функционального анализа. Методологическую основу исследования составляют результаты классической теории устойчивости и корректности задач оптимизации. При реализации программного комплекса применялись методы объектно-ориентированного проектирования и паттерны проектирования, а также методы реструктуризации программного кода.
Основными результатами диссертационного исследования, выносимыми на защиту являются:
(і) методы обобщения нечетких отношений в возможностном контексте;
(ii) обобщения существующих моделей задач возможностного программирования на случай, когда элементы критериев и ограничений связаны возможностными бинарными отношениями;
(Ш) необходимые и достаточные условия выпуклости и замкнутости допустимого и оптимального решений введенных моделей задач возможностной оптимизации;
(iv) непрямые методы решения задач возможностной оптимизации, содержащих возможностные бинарные отношения в моделях критериев и ограничений, на основе построения эквивалентных детерминированных аналогов;
(v) достаточные условия устойчивости допустимого и оптимального решений полученного класса задач возможностного программирования;
(vi) достаточные условия сильной и слабой устойчивости для обобщений основных моделей возможностного программирования;
(vii) программный комплекс инструментальной поддержки решения задач возможностной оптимизации.
Научная новизна результатов состоит в возможности учета при формализации задач математического программирования нечеткости бинарных отношений, выявлении основных свойств полученного класса задач и разработке методов их решения.
Теоретическая и практическая значимость работы. Применение полученных результатов позволяет строить более адекватные модели принятия решений за счет введения возможностных бинарных отношений между элементами задачи. Установленные необходимые и достаточные условия устойчивости введенных моделей позволяют обосновать корректность их применения при решении задач экономико-математического планирования, моделирования реальных процессов и др. Разработанный программный комплекс может применяться в учебном процессе и при решении прикладных задач.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов подтверждается строгостью проводимых математических обоснований при формулировании и доказательстве теорем, результатами численных расчетов, сравнительным анализом полученных в ходе модельных экспериментов результатов с известными.
Внедрение результатов работы. Проведенные научные исследования поддержаны грантом РФФИ, проект № 04-01-96720 «Разработка моделей и методов портфельного анализа и программной системы поддержки принятия решений», исполнителем которого диссертант являлся в 2004-2006 гг. Результаты диссертации используются также в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Тверского государственного университета.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались автором на международной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, Россия, 2005 г.), 13-ом международном коллоквиуме по нечетким системам «East West Fuzzy Colloquium 13th Zittau Fuzzy Colloquium» (г. Циттау, Германия, 2006 г.), всероссийской научной конференции «Нечеткие системы и мягкие вычисления-2006» (г. Тверь, Россия, 2006 г.), IV-ой международной научно-практической конференции «Интегрированные модели и мягкие вычисления в искусственном интеллекте» (г. Коломна, Россия, 2007 г.), на на-
учных семинарах в Тверском государственном университете.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе 2 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК для представления результатов кандидатских диссертаций. Список работ приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы, включающего 130 наименований, и изложена на 168 страницах машинописного текста.
