Введение к работе
Актуальность исследования.
Применение метода математического моделирования к исследованию процессов распространения загрязняющих веществ в природных водоемах или в атмосфере приводит к необходимости решения начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих распространение загрязнений в рассматриваемых областях Указанные краевые задачи содержат ряд термогидродинамических, биохимических и других параметров, а также функции, описывающих плотности источников загрязнения Для того, чтобы однозначно определить решение соответствующей краевой задачи адекватно описывающей рассматриваемый процесс, значения всех входных параметров, начальных и граничных функций, а также плотностей граничных и распределенных источников должны быть известны
Однако на практике часто возникают ситуации, когда некоторые из указанных параметров или плотностей источников неизвестны В этих случаях приходится наряду с искомым решением рассматриваемой краевой задачи отыскивать и неизвестные плотности источников либо параметры, используя некоторую дополнительную информацию о решеняи
Приведенные примеры являются примерами так называемых задач идентификации для моделей распространения загрязнений в природных средах Указанные задачи заключаются в нахождении неизвестных плотностей источников либо параметров среды, в которой происходит изучаемый процесс, по дополнительной информации о состоянии среды. Их еще называют обратными задачами, поскольку в этих задачах требуется восстановить причину воздействия по заданному следствию Теоретическому и численному анализу обратных задач для моделей распространения загрязнений посвящены работы А А Самарского, П Н Вабищевича, В Т Борухова, П М Колесникова, Е А Артюхина, С А Будника, Ю А Криксина, J V Besk, В Blackwell, С St Clair, J R Cannon, A G Fatullayev и других исследователей
Наряду с обратными задачами важную роль в приложениях играют и задачи управления для моделей распространения загрязнений. Эти задачи заключаются в достижении определенных "экологических" целей за счет действия граничных либо распределенных управлений, роль которых играют координаты, мощности и другие параметры источников загрязнений Интерес к этим задачам появился в 70-80-е годы прошлого столетия, начиная с пионерских работ Г И Марчука, В В Пененко и других исследователей, посвященных решению задач оптимального размещения предприятий вблизи экологически значимых зон
Важно отметить, что исследование обратных задач можно свести к исследованию соответствующих экстремальных задач Это достигается путем введения функционала качества адекватно отвечающего рассматриваемой обратной задаче, и последующей его минимизации на решениях исходной задачи На этом пути возникают обратные экстремальные задачи, для исследования которых можно применять методологию, развитую для исследования задач управления Это позволяет рассматривать обратные задачи и задачи управления с единых позиций математической теории оптимального управления и применять для из решения один и тот же математический аппарат, основанный на теории экстремальных задач условной оптимизации Из работ в этом направлении отметим работы Г В Алексеева, Д А Терешко, А Capatina, R Stavre и других исследователей
Цель работы. Целью диссертационной работы является теоретический и численный анализ задач идентификации коэффициента стационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции, описывающего распад загрязняющего вещества под действием химических реакций, и идентификации объемной плотности источников одномерного и двумерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции
Методы исследования. При получении теоретических результатов диссертационной работы использовались методы математического моделирования, математической физики, методы оптимизации, а также методы теории дифференциальных уравнений Для численного решения задач были использованы следующие методы метод конечных разностей, двухслойный градиентный итерационный метод, метод Ньютона, методы решения систем линейных алгебраических уравнений с разреженными матрицами, методы обработки больших объемов информации, а также методы визуализации результатов вычислительных экспериментов
Научная новизна.
Проведено теоретическое и численное исследование задачи идентификации коэффициента стационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции, который описывает распад загрязняющего вещества под действием химических реакций Установлены достаточные условия на исходные данные, обеспечивающие существование, единственность и устойчивость решения рассматриваемой задачи идентификации относительно малых возмущений заданной функции, описывающей измеренное поле концентраций в некоторой подобласти данной области
Сформулированы и численно исследованы задачи идентификации плотностей источника для моделей переноса вещества, описываемых одномерным и двумерным параболическими уравнениями конвекции-диффузии-реакции.
Разработаны эффективные численные алгоритмы их решения, основанные на сведении к краевой задаче для нагруженного параболического уравнения конвекции-диффузии-реакции
Положения, выносимые на защиту.
Постановка и теоретический анализ задачи идентификации коэффициента, описывающего распад загрязняющего вещества под действием химических реакций в стационарном уравнении конвекции-диффузии-реакции
Численные алгоритмы решения задачи идентификации коэффициента распада загрязняющего вещества для двумерного стационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции
Постановка и численный анализ задачи идентификации плотности неизвестного источника одномерного и двумерного нестационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции
Количественные зависимости точности восстановления коэффициента уравнения и временной компоненты плотности источника от числа Пекле Ре погрешности измерений и других параметров
Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты работы носят теоретический характер и представляют интерес для специалистов в следующих областях моделирование распространения загрязняющих веществ, теоретический и численный анализ задач идентификации для дифференциальных уравнений Полученные результаты могут быть использованы для исследования прямых и обратных задач конвекции-диффузии-реакции в более сложных случаях (например, в случае одновременного восстановления двух и более коэффициентов уравнения), а также для решения задач идентификации плотностей неизвестного источника в случае более сложной геометрии области и задания более сложных граничных условий
Диссертационная работа поддержана следущими грантами
Российского фонда фундаментальных исследований (проект 04-01-00136)
Грантом поддержки ведущих научных школ (проект НШ-9004 2006 1)
Грантами ДВО РАН (проекты 06-I-II22-086, 06-Ш-А-01-011)
Грантом Уссурийского государственного педагогического института N 2 за 2007 г
Апробация работы. Результаты, представленные в диссертации докладывались ранее на различных, в том числе международных, научных конференциях Международных конференциях "Рыбохозяйственные исследования
мирового океана" (Владивосток, 1999, 2005), на Всероссийской научной конференции "Математические методы в механике природных сред и экологии" (Барнаул, 2002), на шестой международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Интеллектуальный потенциал ВУЗов на развитие Дальневосточного региона России"(Владивосток, 2004), на первой и второй международной конференциях "Проблемы экологии, безопасности жизнедеятельности и рационального природопользования Дальнего Востока и стран АТР" (Владивосток, 2005, 2006), на Всероссийской конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики" (Владивосток, 2006), на Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке и образовании" (Павлодар, Казахстан, 2006), на Дальневосточных математических школах-семинарах им акад Е В Золотова (Владивосток, 2002-2007), на Дальневосточных конференциях студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 1997, 2000-2004, 2007)
Достоверность результатов обеспечивается использованием современных апробированных методов теоретического и численного анализа, сравнением полученных результатов с известными ранее
Публикации и вклад автора. По результатам диссертации лично автором и в соавторстве опубликовано 20 научных работ, список работ приведен в конце автореферата Решение задач, сформулированных в диссертационной работе, получено автором лично, либо при его участии Постановка задач, выбор методов исследования, а также анализ результатов осуществлялись совместно с научным руководителем, исследование свойств разработанных алгоритмов, проведение вычислительных экспериментов, обработка полученных результатов проведены автором самостоятельно.
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 113 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 105 наименований и 4 приложений Диссертация содержит 52 рисунка и 5 таблиц Компьютерный набор выполнен с использованием пакета LATEX
