Содержание к диссертации
Введение
1 Проблема повышения точности, быстродействия и расширения функциональных возможностей методов определения параметров диссипативных систем 17
1.1 Анализ известных математических моделей и методов параметрической
идентификации диссипативных систем 17
1.1.1 Известные математические модели диссипативных механических систем 18
1.1.2 Динамические характеристики нелинейных диссипативных систем и анализ существующих методов их оценки 26
1.2 Анализ эффективности применения стохастических разностных уравнений в задачах параметрической идентификации диссипативных систем 34
1.3 Перспективы решения задачи повышения помехоустойчивости и расширения функциональных возможностей методов оценки параметров диссипативных систем на основе линейно-параметрических дискретных моделей 37
1 4 Выводы 43
2 Разработка математического описания диссипативных механических систем в форме линейно-параметрических дискретных моделей 44
2.1 Математическое описание нелинейных диссипативных систем при типовых тестовых воздействиях 44
2.2 Математические модели огибающей амплитуд .колебаний нелинейных диссипативных систем 73
2.3 Математические основы и принципы построения линейно-параметрических дискретных моделей динамических процессов в диссипативных системах 79
2.4 Формирование класса и систематизация линейно-параметрических дискретных моделей динамических процессов в диссипативных системах 108
2.4.1 Линейно-параметрические дискретные модели колебаний систем с линейно-вязким трением 108
2.4.2 Линейно-параметрические дискретные модели колебаний систем с кулоновым (сухим) трением 112
2.4.3 Линейно-параметрические дискретные модели колебаний систем с турбулентным (гидродинамическим) трением 117
2.4.4 Линейно-параметрические дискретные модели колебаний систем с нелинейными диссипативными силами общего вида 120
2.5 Выводы 125
Разработка и исследование методов определения параметров диссипативных систем на основе стохастических разностных уравнений 127
3.1 Численный метод определения динамических характеристик диссипативных механических систем на основе линейно-параметрических дискретных моделей 127
3.2 Стохастические разностные уравнения, описывающие результаты измерений колебаний диссипативной механической системы 145
3.3 Разработка и исследование итерационного метода среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения 162
3.4 Выводы 205
Исследование и повышение точности и устойчивости вычисления параметров диссипативных систем на основе стохастических разностных уравнений 207
4.1 Анализ и оценка погрешности вычисления динамических характеристик диссипативных систем на основе стохастических разностных уравнений 207
4.2 Численно-аналитические исследования устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов стохастического разностного уравнения 223
4.3 Разработка и исследование структурных методов повышения устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения 236
4.4 Повышение точности оценивания на основе линейно-параметрических дискретных моделей для разных фазовых переменных 247
4.5 Выводы 257
Разработка и применение стохастических разностных уравнений в задачах параметрической идентификации систем различной физической природы .259
5.1 Разработка и применение стохастических разностных уравнений в задачах построение теории ползучести с экспоненциальным ядром 260
5.2 Определение параметров передаточной функции на основе разностных уравнений, описывающих кривую разгона объекта управления 273
5.3 Разработка и применение линейно-параметрических дискретных моделей амплитудно-частотной характеристики диссипативной системы 302
5.4 Определение параметров диссипативных механических систем на основе разностных уравнений огибающей амплитуд колебаний 308
5.5 Результаты практического применения метода параметрической идентификации на основе стохастических разностных уравнений в научно-технических экспериментах 334
5.5.1 Применение разностных уравнений при оценке технического состояния силовых элементов шасси самолета 334
5.5.2 Применение разностных уравнений в алгоритмах измерительных устройств цифровых осциллографов 338
5.5.3 Применение разностных уравнений в задаче обнаружения некачественной сборки деталей прессованием 339
5.6 Выводы 349
6 Разработка программного обеспечения и специализированных устройств для определения параметров диссипативных систем на основе стохастических разностных уравнений 352
6.1 Разработка программного обеспечения, реализующего устойчивые алгоритмы вычисления параметров диссипативных систем на основе стохастических разностных уравнений 352
6.2 Синтез специализированных устройств для определения параметров диссипативных систем на основе стохастических разностных уравнений 364
6.3 Выводы 381
Заключение 382
Список используемых источников и литературы 385
- Динамические характеристики нелинейных диссипативных систем и анализ существующих методов их оценки
- Математические основы и принципы построения линейно-параметрических дискретных моделей динамических процессов в диссипативных системах
- Стохастические разностные уравнения, описывающие результаты измерений колебаний диссипативной механической системы
- Разработка и исследование структурных методов повышения устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения
Введение к работе
Актуальность проблемы.
Важнейшей проблемой в машиностроении является проблема идентификации нелинейных диссипативных механических систем в процессе их эксплуатации или прочностных промышленных испытаний. Это объясняется тем, что основным диагностическим признаком технического состояния диссипативной механической системы являются ее динамические характеристики (ДХ), в том числе показатель нелинейности системы. Результаты многочисленных исследований на конкретных примерах подтверждают непосредственную связь между техническим состоянием различного рода механических систем (например, усталостным разрушением материалов, возникновением и развитием микротрещин в деталях, появлением недопустимых люфтов в узлах конструкций, значительным износом контактирующих поверхностей, технологическим браком при сборке и т.п.) и ее динамическими характеристиками.
Решить задачу повышения достоверности и оперативности определения ДХ диссипативной системы можно только на основе новых математических моделей, описывающих результаты наблюдений динамического процесса на выходе системы и ориентированных на современный уровень компьютеризации исследований и применение статистических методов обработки экспериментальных данных.
Проблема построения таких моделей неразрывно связана с проблемой адекватности математического описания динамического процесса на выходе колебательной системы. Ее решению посвящены фундаментальные труды выдающихся математиков 18 века Л. Эйлера, Ж. Даламбера, Ж. Лагранжа, заложивших основы математического описания колебательных систем с конечным числом степеней свободы, а также работы ученых советской школы И.И. Артоболевского, А.Н. Боголюбова, В.В. Болотина, Ю.А. Митропольского, Я.Г. Пановко и др. Большой вклад в развитие математического описания распределенных колебательных систем, рассеяние энергии в которых вызвано внутренними процессами в материале, в теорию и практику моделирования вязкоупругого поведения материалов и гис-терезисных явлений при циклическом деформировании, внесли ученые Н.Н. Да-виденков, Г.С. Писаренко, Е.С. Сорокин, В.Т. Трощенко, Я.Г. Пановко и др. Построению математических моделей, описывающих кинетику твердых реологических тел, деформация которых является необратимой и описывается кривой ползучести, посвящены работы профессоров Ю.П. Самарина, В.П. Радченко.
В настоящее время существуют различные подходы и способы определения динамических характеристик механической колебательной системы. Среди них лидирующее место занимают высокоэффективные методы вибродиагностики, ориентированные на применение современных средств и алгоритмов вычислений и обработки информации, например, методы цифрового спектрального анализа, методы корреляционного анализа. Основу этих методов составляют стохастические параметрические модели временных рядов. Разработке и исследованию этих моделей, а также вопросам эффективного оценивания параметров моделей по результатам наблюдений, посвящены работы зарубежных ученых Т.В. Андерсена, Дж. Е. П. Бокса, Г.М. Дженкинса, Д.Г. Ваттса, М.Дж. Кендалла, С.Л. Марпла-мл.,
Р.Л. Кашьяпа, А.Р. Рао, СМ. Кей и др., а также работы B.C. Пугачева, А.И. Жданова, О.А. Коцюба и др.
Однако область применения этих методов функционально ограничена и исключает задачи, в которых основным диагностическим признаком технического состояния механической системы является характеристика рассеяния колебательной энергии, в том числе характеристика нелинейности диссипативной силы. Такие задачи возникают, в частности, при разработке гидравлических амортизаторов, исследованиях конструкционного демпфирования, то есть демпфирования, обусловленного потерями на трение в неподвижных соединениях (прессовых, заклепочных, резьбовых, шлицевых и т.п.), или внутреннего трения в материале при его циклическом деформировании.
Широко применяемые на практике методы определения характеристик рассеяния энергии колебаний различных механических конструкций и демпфирующих свойств материалов совершенно не вписываются в формат современных информационных технологий, применяемых в вибродиагностике. Как правило, эти методы громоздки, нередко требуют графических построений, применяемые алгоритмы вычислений построены на линеаризованных детерминированных моделях и используют минимально необходимое число точек эксперимента при полном отсутствии процедур, связанных со статистической обработкой результатов наблюдений. Попытки преодолеть эти существенные недостатки на основе разностных уравнений можно найти в работах В.А. Кармалита, В.К. Семенычева, А.Н. Тырсина и др. Однако для принципиально нелинейных диссипативных механических систем задача определения их параметров на основе линейно-параметрических дискретных моделей решена до конца не была.
Таким образом, необходимость коренного улучшения качества машиностроительных конструкций требует разработки и применения при диагностике технического состояния большого класса МС новых высокоточных, оперативных методов определения динамических характеристик, в том числе характеристик нелинейности механической системы как диагностического признака ее технического состояния, методов, соответствующих современному уровню компьютеризации и автоматизации исследований динамических процессов в машинах и механизмах. Основой разработки таких методов могут стать стохастические параметрические модели временных рядов, описывающие результаты наблюдений мгновенных значений динамического процесса на выходе системы при типовых тестовых воздействиях.
Объектом исследования диссертации являются нелинейные диссипативные механические системы с одной и несколькими степенями свободы, а также с распределенными параметрами, к которым относятся, например, конструкционные материалы. Рассматриваются системы с диссипативными силами, пропорциональными п- степени скорости движения, в том числе системы с линейно-вязким, турбулентным и кулоновым трением, а также системы с гистерезисным трением.
Предметом исследования являются математические модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений динамического процесса на выходе диссипативной механической системы, а также численный метод определения динамических характеристик
диссипативной механической системы на основе среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностных уравнений.
Целью диссертационной работы является разработка нового научного подхода к решению проблемы идентификации диссипативных механических систем, в основе которого лежат линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме разностных уравнений результаты наблюдений динамического процесса на выходе системы.
Для достижения поставленной цели автором были поставлены и решены следующие взаимосвязанные научные задачи:
разработка теоретических основ и принципов построения линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих динамические процессы в диссипативных системах;
формирование класса и систематизация линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений колебаний диссипативной механической системы;
разработка численного метода определения динамических характеристик диссипативных систем на основе среднеквадратического оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения, позволяющего обеспечить высокую помехозащищенность оценок за счет эффективного использования статистических методов обработки экспериментальных данных;
анализ и оценка погрешности результатов вычисления динамических характеристик диссипативных систем на основе стохастических разностных уравнений, в том числе исследование устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения;
разработка и исследование эффективности структурных методов повышения устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения;
разработка программного обеспечения, реализующего устойчивые алгоритмы вычислений динамических характеристик и предназначенного для использования в физических экспериментах.
Научная новизна работы заключается в новизне научного подхода к решению проблемы параметрической идентификации диссипативной механической системы в процессе ее эксплуатации или в различных физических экспериментах.
В работе получены следующие новые научные результаты:
разработан новый научный подход к решению задачи определения динамических характеристик нелинейной диссипативной механической системы;
разработаны основы теории и техники построения линейно-параметрических моделей, связывающих дискретные значения функциональных зависимостей, описывающих динамические процессы в диссипативных системах;
построены и систематизированы в зависимости от типа нелинейности системы и вида тестового воздействия линейно-параметрические дискретные модели, отличающиеся от известных своей структурой и тем, что коэффициенты этих моделей известным образом связаны с динамическими характеристиками системы;
разработан численный метод определения динамических характеристик диссипативной системы на основе линейно-параметрических дискретных моделей, новизна которого заключается в том, что задача вычисления параметров диссипативной системы сводится к среднеквадратичному оцениванию коэффициентов разностного уравнения;
разработаны структурные методы повышения устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок, в основе которых лежат модифицированные линейно-параметрические дискретные модели, отличающиеся наличием параметра, который позволяет обеспечить высокую устойчивость вычислений;
построены новые линейно-параметрические дискретные модели, описывающие результаты эксперимента при неупругом реологическом деформировании материалов и элементов конструкций, и на их основе разработаны высокоточные алгоритмы определения параметров кривой ползучести для нового класса задач оценки индивидуальной надежности механических систем;
построены новые линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме разностных уравнений результаты измерений огибающей амплитуд колебаний систем с диссипативными силами, пропорциональными п- степени скорости движения, в том числе систем с кулоновым, линейно-вязким и турбулентным трением, лежащие в основе новых численных методов вычисления дис-сипативных характеристик системы по огибающей амплитуд колебаний;
разработаны новые специализированные устройства для измерения различных диссипативных характеристик (декремента колебаний, показателя затухания) в системах с линейно-вязким, турбулентным и кулоновым трением, отличающиеся от аналогов более высокой точностью.
Научная новизна полученных результатов подтверждается пятью авторскими свидетельствами на изобретение.
Научная значимость работы. В диссертации разработан принципиально новый научный подход к решению задачи параметрической идентификации диссипативных механических систем, ориентированный на применение современных компьютерных технологий и статистических методов обработки экспериментальных данных и позволяющий решить важную научно-техническую проблему. Основу подхода составляют линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме разностных уравнений результаты наблюдений, и новый численный метод определения параметров диссипативной системы на основе среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения.
Предлагаемый метод параметрической идентификации на основе разностных уравнений имеет существенно более широкую область применения, чем класс диссипативных механических систем. Он может быть эффективно использован при решении задач параметрической идентификации электрических и электротехнических систем, биологических, химических, экономических систем и т.п.
Практическая ценность работы. Теоретические результаты, полученные в диссертационной работе, являются методологической базой для разработки новых линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих в форме разностных уравнений результаты измерений динамических и иных процессов на выходе систем различной физической природы. Предлагаемый численный метод определения параметров системы, в основе которого лежит итерационная проце-
дура среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения, позволяет практически обеспечить максимальную адекватность модели экспериментальным данным при использовании среднеквадратичного критерия близости.
Объект исследования принадлежит множеству различных по сложности, физической природе, служебному назначению и областям применения механических систем, которое в совокупности может быть описано классом нелинейных диссипативных систем. Например, конструкционные материалы, шарнирные и формально неподвижные соединения, различного рода демпфирующие и амортизирующие устройства, газотурбинные двигатели и их отдельные элементы и т.п. Поэтому область применения нового разработанного математического, алгоритмического и программного обеспечения не ограничена каким-либо одним типом механической конструкции, а охватывает экспериментальные исследования всего многообразия объектов машиностроения: от оценки внутреннего трения конструкционных материалов до диагностики технического состояния ответственных механических устройств и т.п. Разработанный пакет прикладных программ, реализующий в среде визуального и объектно-ориентированного языка программирования под управлением операционной системы Windows помехозащищенные алгоритмы вычислений динамических характеристик, может быть использован при обработке результатов научно-технических экспериментов и промышленных испытаний систем различной физической природы.
Применение разработанных методов определения параметров механической системы на основе разностных уравнений обеспечивает существенное повышение точности вычисления диссипативных характеристик, а, следовательно, и достоверности оценки технического состояния механической системы. При этом по сравнению с известными методами определения параметров диссипативной системы по огибающей амплитуд колебаний или по резонансной кривой точность оценивания повышается в среднем на порядок. Применение итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения позволяет за счет устранения смещения уменьшить погрешность оценок по сравнению с известными алгоритмами вычислений в несколько раз.
Построенные модели позволяют с высокой точностью оценить показатель нелинейности механической системы, который является важнейшим диагностическим признаком ее технического состояния, что существенно расширяет функциональные возможности разработанного метода определения параметров диссипативной системы. Применение линейно-параметрических дискретных моделей обеспечивает высокую оперативность получения оценок диссипативных характеристик (за несколько периодов колебаний), что позволяет использовать разработанные алгоритмы в задачах управления в режиме реального времени {online).
Таким образом, научные результаты, представленные в работе, позволяют коренным образом изменить способы вычисления диссипативных характеристик при оценке технического состояния механической системы за счет внедрения в практику вибродиагностики диссипативных систем современных компьютерных технологий и статистических методов обработки экспериментальных данных. Экономический эффект от внедрения программного обеспечения, реализующего разработанные алгоритмы вычислений, достигается за счет повышения быстро-
действия и достоверности оценивания технического состояния механической системы в процессе ее эксплуатации или промышленных испытаний. Основные положения, выносимые на защиту:
теоретические основы и принципы построения линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих динамические процессы в диссипативных и иных физических системах;
линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений мгновенных значений колебаний диссипативных механических систем при различных показателях нелинейности, в том числе систем с кулоновым, линейно-вязким и турбулентным трением, а также систем с гистерезисным трением;
новые структурные соотношения во временной области между ординатами колебаний, коэффициентами разностного уравнения и динамическими характеристиками нелинейной диссипативной системы;
численный метод определения динамических характеристик диссипативной системы на основе линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих в форме стохастических разностных уравнений результаты измерений динамического процесса на выходе системы;
структурные методы повышения устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения;
численный метод определения параметров кривой ползучести, в основе которого лежат линейно-параметрические дискретные модели, описывающие результаты эксперимента при неупругом реологическом деформировании материалов и элементов конструкций;
линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме разностных уравнений результаты измерений огибающей амплитуд колебаний и численный метод определения диссипативных характеристик на их основе.
Методы исследований. Для решения поставленных задач использовался системный подход к решаемой проблеме, в том числе методы математического и функционального анализа, аналитические и численные методы линейной алгебры, методы прикладного регрессионного анализа, статистические методы обработки результатов эксперимента, а также методы решения некорректных задач и методы, использующие z- преобразования. С целью верификации теоретических результатов широко использовались методы численного и компьютерного моделирования.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе научных результатов, выводов и рекомендаций обеспечивается корректным использованием применяемого математического аппарата и вводимых при проведении расчетов и моделировании допущений и гипотез, сравнением данных численного расчета с известными аналитическими методами для подтверждения точности результатов вычислений, численно-аналитическими экспериментами исследования адекватности моделей, численными экспериментами исследования устойчивости вычислений и анализа помехозащищенности моделей. Справедливость выводов относительно адекватности построенных математических моделей, достоверности, работоспособности и эффективности предложенных алгоритмов вы-
числений подтверждена результатами промышленных и научно-технических экспериментов.
Реализация результатов исследований.
Полученные в работе теоретические положения и практические результаты использованы:
при выполнении научно-исследовательской работы (НИР) «Разработка аналитических методов решения двумерных стохастических краевых задач установившейся ползучести», проводимой в СамГТУ по заданию Федерального агентства по образованию (Рособразование) (НИР №521/08);
при выполнении аналитической ведомственной программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)», РНП 2.1.1/745;
при выполнении НИР «Разработка методов и средств оценки состояния деталей машин, остаточного ресурса и технологических процессов формоизменения», проводимой в КПтИ (отчет по НИР номер гос. регистрации 01.9.20.005773, Куйбышев, 1991);
при выполнении НИР «Программное и приборное обеспечение прогнозирования и технологические методы предотвращения отказов», проводимой в КПтИ (отчет по НИР номер гос. регистрации 01880016028, Куйбышев, 1990);
при выполнении НИР «Разработка методов и программ оперативного определения динамических характеристик лопаток в прочностных испытаниях», проводимой для Куйбышевского моторного завода НПО «Труд» (х. д. №43/88, Куйбышев, 1990);
при выполнении НИР «Доработка и передача алгоритмов и программ измерения параметров экспоненциально-синусных импульсных сигналов», проводимой в составе темы «СНОП-К» для предприятия п/я Р-6856 (договор на передачу научно-технических достижений 13П-86, Вильнюс, 1986);
при выполнении НИР «Разработка методов и средств диагностирования силовых элементов ВПУ. Разработка методов диагностирования ВПУ для эксплуатации по техническому состоянию», проводимой в КПтИ (отчет по НИР номер гос. регистрации 01830060143, Куйбышев, 1985);
в учебном процессе Самарского государственного технического университета при подготовке студентов специальности 01.05.01 «Прикладная математика и информатика» в лекционных курсах по дисциплинам «Численные методы» и «Прикладной регрессионный анализ», а также в курсовых и выпускных квалификационных работах.
Реализация результатов научных исследований подтверждается справками и актами внедрения, представленными в приложении к диссертации.
Апробация работы. Основные научные положения и результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на Всесоюзных, Российских и Международных конференциях, симпозиумах, конгрессе и съезде, в том числе: Шестой Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2009; IV Всероссийской научно-технической конференции «Ресурс и диагностика материалов и конструкций» - Екатеринбург, 2009; Седьмой Международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» - Ульяновск,
2009; Пятой Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2008; V Всероссийской конференции «Механика микронеоднородных материалов и разрушение» - Екатеринбург, 2008; XVI Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование в естественных науках» - Пермь, 2007; Восьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - Сочи, 2007; XVIII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды Международной конференции) - Саратов, 2007; Четвертой Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2007; Международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ» - Санкт-Петербург, 2007; Научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» - Самара, 2007; Седьмом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - Йошкар-Ола, 2006; Научно-технической конференции с международным участием «Перспективные информационные технологии в научных исследованиях, проектировании и обучении (ПИТ-2006)» - Самара, 2006; Всероссийской научной конференции «Математика. Механика. Информатика» - Челябинск, 2006; Третьей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2006; IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике - Нижний Новгород, 2006; Шестом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - Санкт-Петербург, 2005; Второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2005; Пятом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - Сочи, 2004; Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2004; Четвертом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике - Сочи, 2003; Тринадцатой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2003; Десятой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 2000; Девятой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 1999; Восьмой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 1998; Седьмой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 1997; Шестой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 1996; Конференции ученых России и стран Европы «Надежность механических систем» - Самара, 1995; Пятой Межвузовской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» - Самара, 1995; Семинаре «Новые методы и средства виброакустических исследований и диагностики» -Ленинград, 1990; Первой Всесоюзной школе-конференции «Математическое моделирование в машиностроении» -Куйбышев, 1990; Всесоюзной научно-технической конференции «Применение вычислительной техники и математических методов в научных исследованиях» -Севастополь, 1990; Всесоюзной научно-технической конференции «Повышение качества и надежности продукции, программного обеспечения ЭВМ и технических средств обучения» -Куйбышев, 1989; Всесоюзной научно-технической конференции «Эксплуатационная надежность машин, роботов и модулей гибких производственных систем» -Свердловск, 1987; X Всесоюзной научно-
технической конференции «Конструкционная прочность двигателей» - Куйбышев, 1985.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 113 научных работах, в том числе в 1 монографии, 36 научных работах, опубликованных в периодических научных изданиях, рекомендованных ВАК России для опубликования результатов докторских диссертаций, в 46 статьях, 25 тезисах докладов и 5 авторских свидетельствах на изобретение.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, приложений и списка использованных источников, содержащего 206 наименований. Основная часть диссертационной работы содержит 400 страниц машинописного текста, включающего 126 рисунков и 52 таблиц.
Динамические характеристики нелинейных диссипативных систем и анализ существующих методов их оценки
Для оценки демпфирующих свойств механических систем используются и другие характеристики, например, коэффициент затухания у, коэффициент потерь rj, тангенс угла-потерь tgy0, добротность системы Q [20, 38, 141]. Однако эти характеристики являются производными от основных и связаны с ними формулами:
Большое значение при исследовании механической системы имеет оценка степени ее нелинейности. Для систем с частотно-зависимым трением основным параметром, характеризующим нелинейность системы, является показатель степени скорости движения системы п. Для систем с гистерезисным (частотно-независимым) трением показатель нелинейности п имеет другой физический смысл — он является геометрическим параметром петли гистерезиса, определяя ее площадь, то есть величину рассеиваемой за цикл колебаний энергии.
Не менее важной характеристикой нелинейности механической системы является амплитудная зависимость декремента колебаний 8(a), которая может быть получена экспериментально на основе анализа огибающей амплитуд свободных колебаний с использованием формулы (1.17). Кривые амплитудной зависимости декремента колебаний являются диагностическим признаком, так как позволяют визуально определить момент качественного изменения типа нелинейности системы, а, следовательно, и ее технического состояния, например, в процессе эксплуатации или ресурсных испытаний [114, 148].
Обзор известных методов определения динамических характеристик диссипативных механических систем целесообразно проводить на основе анализа функциональных возможностей и области эффективного применения для каждого метода [20, 27, 38, 120, 131, 147, 148, 163]. При таком подходе, во-первых, следует обратить внимание на эффективность применения метода к существенно нелинейным системам, анализируя методическую составляющую погрешности, обусловленную линеаризацией диссипативной силы. Во-вторых, необходимо позиционировать метод по его возможности оценки степени нелинейности механической системы, как важнейшего диагностического признака ее технического состояния. В-третьих, рассматривать тот или иной метод следует с учетом современного уровня развития средств вычислений и обработки информации, обращая внимание на степень адаптации метода к требованиям компьютеризации и автоматизации экспериментальных исследования.
Систематизация известных методов в зависимости от способа определения динамических характеристик и области описания диссипативной системы позволяет выделить следующие группы методов: методы, основанные на непосредственном определении характеристик рассеяния колебательной энергии; методы, использующие описание динамических систем в частотной области; методы, использующие описание динамических систем во временной области, и методы, в основе которых лежат стохастические модели временных рядов и корреляционный и спектральный анализы.
К методам, основанным на непосредственном определении ДХ, обычно относят следующие методы. Метод определения собственной частоты в режиме свободных колебаний [20]. Определение собственной частоты а 0 квазилинейной диссипативной системы с одной степенью свободы состоит в измерении любым из известных способов и технических средств частоты (о свободных колебаний. При этом принимают: о)0 я со. Энергетический метод и метод гистерезисной петли [148]. Эти методы наиболее распространены среди методов, основанных на непосредственном измерении потерь энергии в колебательной системе. Они, как правило, требуют дополнительных затрат на постановку и К недостаткам данного метода следует отнести его невысокую точность, а также необходимость построения экспериментальной резонансной кривой посредством возбуждения колебаний с постоянной амплитудой возбуждающей силы. Методы спектрального анализа и тесно связанные с ними корреляционные методы позволяют идентифицировать динамические системы по спектральным характеристикам входных и выходных сигналов [36, 38, 117, 132]. Эти методы универсальны, хорошо себя зарекомендовали, однако применение их при анализе моногармонических колебаний нелинейных диссипативных механических систем, в том числе систем с гистерезисным трением, зачастую нецелесообразно, так как они используют линеаризованную модель динамической системы, требуют значительных вычислительных затрат и приводят к большим ошибкам смещения при использовании формул (1.23) [38]. В то же время методы спектрального оценивания нашли широкое применение при модальном анализе сложных механических конструкций, описываемых линейными моделями с п степенями свободы. При этом часто возникает проблема различимости близких по частотам мод колебаний. Пути решения этой задачи на основе методов параметрического спектрального анализа рассматриваются в [125, 126, 144, 176, 177]. Традиционно методы, основанные на описании динамической системы во временной области, являются основными методами определения динамических характеристик нелинейных диссипативных систем. К ним относятся метод затухающих колебаний, метод, использующий преобразования Гильберта, методы, основанные на идентификации коэффициентов дифференциального уравнения (с оговоркой, что эти методы могут быть использованы и в частотной области) и наиболее перспективные методы на основе стохастических моделей временных рядов, использующие корреляционный и спектральный анализы. Метод затухающих колебаний [20, 131, 147, 148] является одним из наиболее распространенных методов определения декремента колебаний и его амплитудной зависимости. Он лежит в основе различных технических устройств для определения характеристик демпфирования [8, 131, 139, 189] и заключается в анализе огибающей амплитуд колебаний по экспериментальной виброграмме (см. рис. 1.7).
Математические основы и принципы построения линейно-параметрических дискретных моделей динамических процессов в диссипативных системах
Проведены численно-аналитические исследования адекватности каждой из четырех аппроксимаций функции (2.62) огибающей амплитуд колебаний при различных значениях показателя нелинейности. На рисунке 2.7 представлены результаты исследований зависимости относительной погрешности аппроксимации функции (2.62) моделями (2.65) - (2.68) (кривые 1—4) от отношения —, где t3K — время затухания колебаний (от единичного до 0,05 уровня), при различных п. Использованное значение t3K = 25 Г соответствует системам с достаточно высокой степенью диссипации энергии.
Анализируя полученные результаты, можно сделать следующие выводы. Во-первых, пользуясь построенными графиками на рисунке 2.7 можно при заданной погрешности Аза() для каждой из четырех моделей определить интервал времени, в течение которого относительная погрешность аппроксимации не превысит заданного значения: Л Лза ). Во-вторых, в зависимости от показателя нелинейности системы п можно выбрать тип модели, наилучшим образом аппроксимирующей огибающую амплитуд колебаний. Например, при малых значениях п (0 « 1) целесообразно использовать модели (2.65), (2.66) и (2.68), а при 1 и 2 - модели (2.66) - (2.68). В-третьих, общая тенденция для всех моделей такова, что при значительном увеличении п интервал времени адекватности существенно уменьшается (см. рис. 2.7 д, е). При этом наилучшие результаты соответствуют третьей и четвертой моделям, а наихудшие — первой модели. Наиболее предпочтительны системы с п = 0,8-И ,2 (квазилинейность), наименее - с « 2,0 (существенная нелинейность).
На рисунке 2.8 построены границы областей адекватного (с погрешностью 1%, 3%, 5%) приближения функции a(t) моделями (2.65) - (2.68). В зависимости от степени нелинейности п в диапазоне значений от 0,0 до 3,0 и допустимой погрешности АДОп.- 1%, 3%, 5% для каждой из четырех моделей можно найти критическое значение временного интервала адекватности в относительных (к времени затухания) единицах.
Интегральной оценкой эффективности модели может служить площадь криволинейной фигуры, расположенной под изолиниями. Очевидно, что в диапазоне 0,0 и 3,0 наилучшей в этом отношении является четвертая модель, наихудшей — модель (2.65).
Выбор той или иной модели определяется априорной информацией о типе нелинейности системы и ее динамических характеристиках. Так, при описании колебаний систем с кулоновым (я = 0), линейно-вязким (и = 1) или турбулентным (я = 2) трением следует использовать, соответственно, модели (2.77), (2.78) или (2.79). С учетом принятой модели по формулам (2.69)-(2.76) или графикам, представленным на рисунке 2.8, следует оценить критические значения промежутков времени, в течение которых погрешность аппроксимации не превышает заданной величины. Модель (2.80) обобщает модель (2.79), содержит параметр п, то есть характеристику нелинейности системы, и может быть использована при решении задачи классификации широкого класса нелинейных систем, что является принципиально новым и существенно расширяет функциональные возможности этой модели.
Рассмотрение принципов построения и разработку на их основе линейно-параметрических дискретных моделей в форме разностных уравнений необходимо начать» с нескольких замечаний.
Во-первых, несмотря на то, что любую из моделей (2.77)-(2.80) (с учетом допустимой погрешности аппроксимации на заданном временном интервале) можно использовать для: описания колебаний диссипативной системы как с частотно-зависимым, так и с частотно-независимым трением, очевидно, что каждая модель связана с определенным типом силы трения (нелинейности). Поэтому введем следующую терминологию: модели (2.77)-(2.79) и соответствующие им линейно-параметрические дискретные модели в форме стохастических разностных уравнений будем идентифицировать моделями систем с кулоновым, линейно-вязким и турбулентным трением, соответственно. Модель (2.80) и разработанные на ее основе разностные уравнения, содержащие параметр нелинейности п, будем классифицировать. как модели систем с диссипативными силами общего вида.
Во-вторых, хотя построенные выше модели описывают динамику диссипативной системы со слабой нелинейностью при типовых тестовых воздействиях, монотонная составляющая в уравнениях (2.77)-(2.80) может быть обусловлена и рядом других причин, например, нестабильностью (нестационарностью) параметров системы и т.п. Поэтому эти уравнения можно интерпретировать более широко, как модели нестационарных режимов колебаний диссипативных систем. Аддитивную составляющую в нестационарных моделях будем рас P(t) сматривать, как некоторую монотонную функцию F(t) = ——, где с - коэффициент жесткости системы.
Так как для систем со слабой нелинейностью F(f) относительно периода колебаний является медленно меняющейся функцией времени, то ее можно считать трендом [14, 132, 191]. При таком подходе расширяется область применения разработанных линейно-параметрических дискретных моделей, как моделей, содержащих тренд.
В-третьих, при определении параметров тренда следует различать два подхода к по- строению разностных уравнений колебаний. При одном походе разработанные модели могут быть использованы для оценивания не только динамических характеристик системы, но и параметров монотонной составляющей F(t), а следовательно, и параметров входного воздействия P(f). Другой подход заключается в оценке только динамических характеристик системы. Он, как правило, приводит к более простым линейно-параметрическим дискретным моделям, коэффициенты которых, однако, не связаны с параметрами монотонной составляющей.
Если тип входного воздействия известен, то, следовательно, определен и вид функции F(t), для которой можно априори подобрать подходящую аппроксимацию и оценить степень ее адекватности. В частности, в первом приближении, в качестве аппроксимативной могу г быть использованы линейная F(t) - f0 + fxt или экспоненциальная F{t) = f0 + fxe al функции.
При отсутствии точной информации о характере монотонной составляющей наиболее целесообразна полиномиальная аппроксимация [116, 167], при которой степень многочлена (полиномиального тренда) выбирается с учетом заданной меры адекватности модели наблюдаемым нестационарным колебаниям.
В основе новых современных технологий идентификации диссипативных механических систем по результатам наблюдений, полученных в ходе физического эксперимента, лежат линейно-параметрические дискретные модели (ЛПДМ). Эти модели в форме разностных уравнений линейно связывают дискретные значения приближенных решений дифференциальных уравнений, описывающих колебания диссипативных механических систем.
Можно выделить два различных подхода к решению задачи формирования линейно-параметрической дискретной модели, описывающей последовательность дискретных значений некоторой нелинейной функции. Первый их них использует функции, удовлетворяющие некоторым условиям. В основе второго лежит z- преобразование дискретной функции.
Стохастические разностные уравнения, описывающие результаты измерений колебаний диссипативной механической системы
Разработанные линейно-параметрические дискретные модели в форме разностных уравнений лежат в основе определения динамических характеристик диссипатнвных систем со слабой нелинейностью по результатам наблюдений мгновенных значений отклика системы на некоторое типовое тестовое воздействие.
Параметрическая идентификация нелинейной диссипативной системы на основе виброграммы колебаний предполагает ряд последовательных этапов. Схема численного метода определения динамических характеристик, в основе которого лежит линейно-параметрическая дискретная модель в форме разностных уравнений, представлена на рисунке 3.1.
Постановка задачи исследования и анализ априорной информации. Это первый этап в определении динамических характеристик диссипативной колебательной системы. Он влияет практически на все последующие этапы, определяя, в конечном счете, не только достоверность результатов, но и саму возможность их получения.
Постановка задачи исследования должна осуществляться с учетом двух основных факторов: обоснования выбора информативных параметров технического состояния системы и анализа условий проведения эксперимента, в частности, возможности практической реализации воздействия на систему и технических характеристик измерительной аппаратуры.
В зависимости от этого постановка задачи исследования может иметь следующее содержание: — определение диссипативных (декремента колебаний 8) и резонансных (собственной частоты со0, частоты колебаний со ) характеристик; — оценка степени нелинейности п, и тем самым определение типа диссипативной силы, т.е. структурная идентификация системы; — определение параметров тренда при нестационарных режимах и, как следствие, параметров входного воздействия; — построение амплитудной зависимости декремента колебаний как информативной характеристики технического состояния механической системы. Постановка задачи исследования тесным образом взаимосвязана с анализом априорной информации о системе. Наиболее важной с точки зрения эффективности алгоритмов идентификации является следующая априорная информация: - тип диссипативной силы (например, линейно-вязкое, турбулентное, кулоново трение), обуславливающей затухание колебаний. Эта информация может быть представлена характеристикой нелинейности п и является определяющей при выборе типа линейно-параметрической дискретной модели колебаний; - собственная частота системы со0. В этом случае постановка задачи сводится к оценке только диссипативных характеристик, что позволяет использовать более простые ЛПДМ; - результаты измерений входного воздействия на систему. Это в ряде случаев также существенно упрощает задачу идентификации, позволяет использовать модели меньшего порядка и, как следствие, повышает достоверность результатов вычислений; - математическое описание детерминированных трендов в наблюдаемом процессе (вид функции монотонной составляющей F(f) в уравнении колебаний); - вероятностные и спектральные характеристики случайной аддитивной помехи в результатах измерения ординат колебаний, а также метрологические характеристики используемых средств измерения.
Формирование выборки результатов наблюдений. На данном этапе решается задача выбора периода дискретизации г при формировании выборки ук, к є N, эквидистантных результатов измерений мгновенных значений ординат колебаний при заданном времени наблюдения tm&1. Период дискретизации т определяет максимально возможный объем выборотношение принимает вид.
Рассмотрим основные требования, предъявляемые к выбору значений tm6i, т и N с учетом их влияния на точность вычисления оценок динамических характеристик.
Если нет специальных ограничений, связанных с оперативностью определения динамических характеристик, время наблюдения следует выбирать соизмеримым со временем полного затухания колебаний: tliaui t3hi (например, время наблюдения tm&l выбирать таким образом, чтобы выполнялось равенство a{tHOtn ) = 0,05я0, где аа =а(0)— значение огибающей амплитуд колебаний a{t) в начальный момент времени, соответствующий / = 0). Очевидно, что в этом случае для получения одной оценки параметров системы используется только одна реализация затухающих колебаний. В ряде случаев существуют ограничения на длительность временного интервала наблюдений, например, связанные с погрешностью аппроксимации огибающей колебаний одной из моделей (2.65)-(2.68). В частности, применение экспоненциальной модели (2.66) при построении амплитудной зависимости декремента колебаний (я,) в системах с относительно высокой степенью нелинейности (п & Го,5;1,5І) требует коротких (NT 10) интервалов времени наблюдения. В таких случаях t следует выбирать с учетом допустимой погрешности аппроксимации на основе соотношений (2.69)— (2.76) или графиков (см. рис.2.7 - 2.8).
Правильный выбор периода дискретизации является необходимым условием обеспечения устойчивости алгоритмов вычисления и помехозащищенности оценок коэффициентов ЛПДМ. В соответствии с теоремой Котельникова величина г должна удовлетворять неравенствуг — [10, 38, 115, 140]. Поэтому при выборе периода дискретизации т необходи мо использовать априорную информацию о частоте колебаний со (собственной частоте системы й)0).
В условиях аддитивной помехи эффективно использовать выборки большого объема позволяющие посредством статистических методов обработки экспериментальных данных обеспечить помехозащищенность оценок [6, 18, 29, 52, 118, 155, 161, 167, 186]; Стремление к увеличению N при фиксированном tliaSl. означает необходимость уменьшения периода дискретизации т. Однако имеет место существенная зависимость меры обусловленности матрицы нормальной системы уравнений при среднеквадратичном оценивании коэффициентов ЛПДМ от периода дискретизации [58, 80, 92, 101, 111]. Причем значительное уменьшение т вызывает резкое увеличение числа обусловленности и, тем самым, приводит к Неустойчивости алгоритмов вычисления оценок динамических характеристик. При-этом на степень такой зависимости оказывают влияние тип используемого разностного уравнения (в первую очередь, его порядок), объем выборки N (и, следовательно, объем вычислений), численный метод решения; системы нормальных уравнений и т.п. Таким образом; окончательный выбор периода дискретизации т должен быть сделан только после проведения-исследований его влияния на устойчивость вычисления коэффициентов ЛПДМ с учетом конкретной модели в форме разностного уравнения, типа нелинейности системы, а также используемых алгоритмов обработки результатов измерений.
Разработка и исследование структурных методов повышения устойчивости вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения
Применение в качестве основного метода вычисления коэффициентов классического метода наименьших квадратов [6, 25, 167, 190] приводит к смещению оценок коэффициентов разностного уравнения и увеличению дисперсии этих оценок [25, 167, 190]. Аналогичный эффект связан с ограниченностью объема выборки, используемой при статистической обработке экспериментальных данных [115, 190].
Для повышения эффективности среднеквадратичного оценивания необходимо учитывать статистические характеристики случайной аддитивной помехи и априорную информацию об элементах матрицы регрессоров (например, наличие корреляции между ними). В зависимости от этого следует использовать другие, более эффективные, современные методы идентификации (например, обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК), метод инструментальной (вспомогательной) переменной и т.п.) [25, 167, 190, 191], в том числе, робаст-ные методы. Эти методы устойчивы к нарушению предположений о нормальном законе распределения, а также при наличии грубых погрешностей (промахов) в экспериментальных данных [25, 182].
Проведенные численно-аналитические исследования построенных линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих в форме стохастических разностных уравнений результаты наблюдений мгновенных значений колебаний диссипативной системы, позволяют сделать вывод о высокой эффективности разработанной итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения [61, 77].
Выбор численного метода решения системы нормальных уравнений, формируемой на основе разностных уравнений, ограничен пакетом прикладных программ из математического обеспечения ЭВМ. Основным критерием выбора является устойчивость к плохой обусловленности матрицы системы нормальных уравнений. Накопление ошибок округлений в процессе вычислений при неудачном выборе численного метода решения системы линейных уравнений (особенно для систем высокого порядка) даже при малых ошибках в исходных данных приводит к большим погрешностям, а то и вовсе к результату, не имеющему смысла. Подробный анализ устойчивости и рекомендации к выбору метода численного решения СЛАУ можно найти в [23, 25]. Наиболее подходящими для решения нормальной системы уравнений с симметричной, положительно определенной матрицей являются метод квадратного корня (метод, использующий разложение Холецкого) и методы, использующие ортогональное разложение [23, 25, 167]. Однако следует отметить, что при очень плохой обусловленности ни один из этих методов не гарантирует устойчивых оценок коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели.
Процесс вычисления с помощью ЭВМ неизбежно сопровождается погрешностями округлений, связанными с ограниченностью разрядной сетки машины [25, 179]. Максимальная относительная погрешность при округлении определяется формулой Атах =0,5 ссх к, где а — основание системы счисления, к — количество разрядов мантиссы числа. Погрешности округлений в сочетании с плохо организованным алгоритмом может внести достаточно весомый вклад в результирующую погрешность. Для уменьшения составляющей такого рода следует перейти к вычислениям с двойной точностью либо использовать более совершенные ЭВМ.
Последний этап формирования результирующей погрешности связан с вычислением динамических характеристик по коэффициентам линейно-параметрической дискретной модели. Применение при этом формул элементарных функций приводит к ошибкам, связанным с ограничением бесконечного математического процесса (ошибки ограничения). Эта составляющая погрешности практически не оказывает влияния на результат, так как ее всегда можно сделать в несколько раз меньше погрешности исходных данных. Основное же влияние данного этапа на формирование результирующей погрешности заключается в распространении (передаче) погрешности оценок коэффициентов разностного уравнения на оценки динамических характеристик системы. Однако по сравнению с передачей ошибок от результатов наблюдений, используемых в элементах матрицы регрессоров, к оценкам коэффициентов ЛПДМ при решении плохо обусловленной линейной регрессионной задачи, эта составляющая незначительна. Следует только выявлять и, по-возможности, избегать тех значений параметров, при которых небольшие вариации коэффициентов разностного уравнения приводят к существенному изменению динамических характеристик.
Проведенный анализ процесса формирования погрешности оценок динамических характеристик, включающий в себя выявление источников составляющих погрешности, изучение характера и оценку степени влияния на этот процесс основных этапов предлагаемого алгоритма идентификации, а также анализ способов уменьшения составляющих, позволяет сделать следующие выводы.
Во-первых, основным источником погрешности оценок динамических характеристик, в первом приближении, может считаться случайная аддитивная помеха в результатах наблюдений. Она обусловлена совокупностью многих факторов, главным образом, влиянием различного рода неучтенных сил на основную форму колебаний, погрешностью средств изме-рения и посторонним шумом в каналах передачи и обработки информации.
Во-вторых, основным инструментом повышения точности оценок динамических характеристик является обоснованный выбор эффективного метода среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения, а также разработка помехоустойчивых алгоритмов, позволяющих устранить или существенно уменьшить смещение этих оценок.
В-третьих, основным параметром, определяющим устойчивость вычисления среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения, является период дискретизации экспериментальной виброграммы колебаний. Выбор оптимального значения этого параметра, а также разработка специальных моделей и алгоритмов оценивания, инвариантных к его изменению, является одной из важнейших задач параметрической идентификации нелинейной диссипативной системы.
Результаты анализа процесса формирования погрешности оценок динамических характеристик нелинейной диссипативной системы, вычисленных на основе среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастических разностных уравнений, описывающих результаты наблюдений мгновенных значений колебаний, систематизированы в таблице 4.1. Проведенный качественный анализ является основой для вывода основных количественных соотношений, описывающих процесс формирования результирующей погрешности.
![Математические модели и программные средства распределенных систем видеонаблюдения и идентификации объектов [Электронный ресурс]](/i/i/4487/180575.png "Математические модели и программные средства распределенных систем видеонаблюдения и идентификации объектов [Электронный ресурс] Соловьев Борис Александрович")
