Разработка алгоритмов решения одного класса контактных задач Петухова Маргарита Владирировна

Введение к работе

Актуальность исследования. Одной из актуальных проблем в области прикладной математики является создание эффективных методов решения задач механики контактных взаимодействий тел. Даже при наличии современной высокопроизводительной вычислительной техники решение практических контактных задач в общем случае требует значительных затрат как аппаратных ресурсов (процессорного времени и памяти), так и человеческих (рабочее время инженерно-технического персонала и т.п.). Поэтому создание алгоритмов, существенно сокращающих время, необходимое для получения достоверного результата, является важной и практически значимой задачей.

Диссертационная работа посвящена исследованию специального класса контактных задач, который (для удобства) мы обозначим через R. Этот класс обладает следующими особенностями:

Зона, в пределах которой возможно возникновение контакта между телами, известна заранее, далее будем называть ее зоной стыка. Отметим при этом, что зона контакта (то есть подмножество зоны стыка, на котором достигается контакт) заранее неизвестна и определяется в ходе решения задачи.

В зоне стыка касательные смещения каждого из взаимодействующих тел (по отношению к поверхности этого тела) являются пренебрежимо малыми по сравнению с нормальными смещениями.

Внешние нагрузки к взаимодействующим телам прикладываются исключительно в зоне стыка, либо могут быть перенесены в эту зону.

Силы трения, возникающие в результате контакта, не учитываются.

Напряжённо-деформируемое состояние каждого рассматриваемого тела описывается уравнениями линейной теории упругости.

Ищутся установившиеся по времени решения, то есть задачи рассматриваются в стационарной постановке.

Приведённые выше особенности конкретизируют общую постановку контактной задачи, а значит, могут быть использованы при разработке специализированных математических алгоритмов ее решения.

Контактные задачи из класса R возникают, в частности, при моделировании процесса сборки крупногабаритных криволинейных деталей в единую конструкцию посредством заклёпочных и болтовых соединений. Например, в авиа- и ракетостроении окончательная сборка изделий включает в себя несколько достаточно трудоёмких операций: соединение между собой крупногабаритных секций фюзеляжа или корпуса ракеты, присоединение консолей крыла к центроплану, установленному внутри центральной секции фюзеляжа, и т.п. Все эти процессы являются весьма длительными и трудозатратными, поэтому поиск рациональных способов усовершенствования сборочных операций представляется одной из актуальнейших задач современного авиа- и ракетостроения, решение которой позволит увеличить производительность сборочных линий на современных предприятиях аэрокосмической промышленности. Одним из наиболее перспективных путей решения указанной задачи является математическое моделирование с целью дальнейшей оптимизации процесса сборки.

Моделирование сборочного процесса влечет необходимость проводить серии многовариантных расчётов, так как на производстве инженер-технолог имеет дело с различными конфигурациями установленных крепёжных элементов в собираемом соединении. К тому же, высокие стандарты по качеству и точности изготовления изделий аэрокосмической промышленности порождают повышенные требования к точности расчётных моделей, которые используются в данной области.

Следовательно, весьма актуальной задачей представляется разработка таких алгоритмов решения контактных задач класса R , которые с одной стороны обеспечивают возможность оперативно проводить многовариантные расчёты (т.е. решать серии задач с похожими исходными данными в реальном времени), а с другой стороны обеспечивать точность результатов, достаточную для проведения количественного анализа моделируемых процессов.

Цель данной диссертации состоит в разработке эффективных методов и алгоритмов для решения контактных задач класса R.

В работе поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработан численный метод, позволяющий максимально эффективно использовать особенности рассматриваемых контактных задач, и обоснована его сходимость;

2. Продемонстрирована эффективность разработанной методики на примере известной задачи, имеющей аналитическое решение, а также путем сравнения полученных результатов с данными физических экспериментов, а также с результатами расчётов, проведённых с помощью коммерческого программного комплекса ANSYS Mechanical.

3. Созданы элементы программного комплекса, реализующего разработанную методику.

Методологическая и теоретическая основа исследования. Обоснование существования и единственности решения задачи основано на методах функционального анализа и вариационного исчисления. Численное решение задачи базируется на методе конечных элементов и методах квадратичного программирования. Расчётные процедуры реализованы в виде комплекса компьютерных программ на языке программирования С++. Для верификации результатов используются экспериментальные и аналитические методы. Программный комплекс ANSYS Mechanical привлекается для выполнения расчётов.

Научная новизна исследования. В данной диссертации предлагается метод решения контактных задач класса R. В частности, такие задачи возникают при глобальном численном моделировании процесса соединения деталей посредством клёпки. Этот метод позволяет учитывать контакт между деталями в пределах всей возможной контактной области и вычислять соответствующие перемещения и контактные силы реакции, в то время как большинство исследований посвящено локальному моделированию, где контактная задача решается лишь в небольшой окрестности одного или нескольких крепёжных элементов (см., например, [1]). Предложенный метод составляет вычислительное ядро программного комплекса, предоставляющего инструментарий для анализа перемещений и напряжений, возникающих при сборке, инженеру-технологу сборочной линии. Расчёты с использованием данного комплекса могут проводиться в режиме реального времени и обеспечивают возможность прогнозирования поведения деталей при сборке в масштабных соединениях (типа крыло-фюзеляж и др.). Разработанный метод успешно применен как для решения модельных задач, так и для задач, возникающих при моделировании сборочного процесса реальных деталей.

Достоверность полученных результатов подтверждается благодаря проведению сравнительного анализа с аналитическим решением, с экспериментальными данными и с результатами численного моделирования, выполненного в среде ANSYS Mechanical.

Теоретическая и практическая значимость работы. Разработан и верифицирован эффективный алгоритм решения контактных задач класса R. Работа над диссертацией велась в 2009-2012 гг. в рамках совместных проектов СПбГПУ и компании AIRBUS. Программный комплекс, в основе которого лежит разработанная методика, включён в план внедрения в компанию AIRBUS. При этом совместные исследования продолжаются и расширяются.

Положения, выносимые на защиту:

3. 1. 1. 1. Методика расчёта деформированного состояния тел при контактном взаимодействии.

         2. Вычислительное ядро программного комплекса для решения задач класса R.

         3. Результаты сравнения численного решения, полученного с использованием разработанного алгоритма, с аналитическим решением модельной задачи, а также с экспериментальными данными и результатами, полученными с использованием стороннего программного обеспечения, при расчете деформированного состояния деталей при их соединении крепёжными элементами.

         Апробация результатов исследования. Результаты работы докладывались:

         на международной конференции SAE 2009 AeroTech Congress & Exhibition, г. Сиэтл, США;

         на международной конференции SAE 2011 AeroTech Congress & Exhibition, г. Тулуза, Франция;

         на международной конференции 17th European Conference on Mathematics for Industry 2012, г. Лунд, Швеция.

         на совещаниях с рабочей группой AIRBUS (г. Санкт-Петербург, г. Тулуза, Франция, 2009-2012 гг.);

         на семинарах кафедры “Прикладная математика” СПбГПУ (г. Санкт-Петербург, 2009-2013 гг.).

         Работа поддержана грантом Правительства Санкт-Петербурга для аспирантов ВУЗов и академических институтов в 2010 году.

         Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ (из них 3 работы в журналах Перечня ВАК).

         Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы. Объем работы составляет 119 страниц. В тексте содержится 66 рисунков, 2 таблицы. Список литературы включает 60 наименований.

         Похожие диссертации на Разработка алгоритмов решения одного класса контактных задач

         Разработка алгоритмов решения одного класса контактных задачПетухова, Маргарита Владимировна

         

         Модели и методы решения одного класса многошаговых задач управления портфелем ценных бумагЕрешко Артем Феликсович

         

         Методы решения задач возможностной оптимизации одного класса и программный комплекс их поддержкиГордеев Роман Николаевич

         

         Разработка алгоритмов для решения обратных математических задач, возникающих в биомедицинеПевцов Сергей Евгеньевич

         

         Разработка алгоритмов и программного комплекса для решения задач грозовой пожароопасности лесных массивов Горного АлтаяКречетова Светлана Юрьевна

         Разработка математических методов и алгоритмов решения динамической задачи производственного планирования методом жордановых исключенийСоловьев, Александр Витальевич

         

         Разработка математической модели, методов и алгоритмов решения задачи о течении и распространении примесей в горных выработках затопленных шахтЧирюкина Алина Владимировна

         Разработка генетических алгоритмов решения многокритериальных и игровых задач : На примере телекоммуникационных систем газодобывающей отраслиГорячев Юрий Владимирович

         

         Разработка и исследование экономичных алгоритмов решения сеточных задач на кластере распределенных вычисленийЗорина Дарья Алексеевна

         

         Разработка алгоритмов и программ метода малого параметра решения задач нелинейной гетерогенной упругости Сташкевич Марина Владимировна