Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор экспериментальных данных, моделей и методов механики гетерогенно-упругих тел 15
1.1. Обзор результатов экспериментальных исследований упругого поведения разном одул ьных материалов 15
1.2. Обзор математических моделей изотропных разпомодульных сред. 19
1.3. О решении краевых задач разномодульной теории упругости 27
1.4. Основные характеристики и соотношения модели гетерогенно-упругой среды 33
1.4.1. О представлении упругого потенциала.. 33
1.4.2. Определяющие соотношения модели 37
1.4.3. Полная система уравнений механики
гетерогенно-упругих сред 39
1.5. Выводы по главе 42
2. Метод малого параметра для изотропной гетерогенно-упругой среды 43
2.1. Решение граничной задачи гетерогенной упругости в перемещениях 43
2.2. Алгоритм метода малого параметра исследования задач гетерогенной упругости (простейший тензорно-линейный случай) ,..45
2.3. Алгоритм метода малых параметров исследования задач нелинейной гетерогенной упругости 49
2.4. Алгоритм метода малого параметра исследования задач гетерогенной упругости (теизорно-нелинейный случай) 54
2.5. Алгоритм и комплекс программ вывода основных соотношений метода малого параметра исследования задач гетерогенной упругости 56
2.6. Выводы по главе 61
3. Напряженно-деформированное состояние полого цилиндра из гетерогенно-упругого материала 62
3.1. Напряженно-деформированное состояние полого цилиндра со свободными концами при его нагружении внутренним и внешним давлением 62
3.1.1. Постановка задачи 62
3.1.2. Решение задачи о полом цилиндре в перемещениях методом малого параметра 64
3.1.3. Решение задачи о полом цилиндре в первом приближении 66
3.1.4. О решении задачи в произвольном приближении 67
3.1.5. Решение задачи о полом цилиндре в двух приближениях 69
3.2. Напряженно-деформированное состояние цилиндрической трубы с закрепленными концами при ее нагружении внутренним и внешним давлением 72
3.3. Распределение напряжений в составной цилиндрической трубе из гетеро ген но-у пру гого материала 89
3.4. Выводы по главе 95
4. Напряженно-деформированное состояние полого шара из гетерогенно-упругого материала 96
4.1. Напряженно-деформированное состояние полого шара из гетерогенно-упругого материала при его нагружении внутренним и внешним давлением 96
4.1.1. Постановка задачи , 96
4.1.2. Решение задачи о полом шаре в перемещениях методом малого параметра 98
4.1.3. Решение задачи о полом шаре в первом приближении 101
4.1.4. О решение задачи в произвольном приближении 102
4.1.5. Решение задачи о полом шаре в двух приближениях 103
4.2. Напряженное состояние массива, имеющего сферическую полость 112
4.3. Распределение напряжений и дефорхмаций составной сферы материала 115
4.4. Решение задачи в случае тензорной нелинейности определяющих соотношений модели гетерогенно-упругой среды 120
4.4.1. Постановка задачи 120
4.4.2. Решение задачи о сфере методом малого параметра 121
4.4.3. О решение задачи в произвольном приближении 123
4.4.4. Решение задачи в двух приближениях. 124
4.5. Выводы по главе 129
Заключение 130
Литература 133
- О решении краевых задач разномодульной теории упругости
- Алгоритм метода малых параметров исследования задач нелинейной гетерогенной упругости
- Решение задачи о полом цилиндре в перемещениях методом малого параметра
- Распределение напряжений и дефорхмаций составной сферы материала
Введение к работе
Актуальность темы. Модели физически нелинейных гетерогенных (разномо-дульных) сред могут находить эффективное применение,- например, при изучении» влияния микроповреждений на напряженно-деформированное состояние, устойчивость и разрушение разнообразных реальных тел: массивов горных пород, сооружений, конструкций и деталей машин. Определяющие уравнения, описывающие поведение гете-рогенно-упругих материалов, являются существенно нелинейными и негладкими Поэтому обычно удовлетворяются приближенным численным решением соответствующих задач. Однако по-прежнему аналитический вид общего решения представляет большую научную и практическую ценность. Получение такого решения может быть достигнуто асимптотическими методами теории возмущений, г К настоящему времени доказаны теоремы единственности решения краевых задач гетерогенной упругости и приведено достаточное количество экспериментальных данных, которые указывают на-то, что в этих задачах содержатся естественные внутренние малые параметры. Наличие этих параметров обусловлено малостью дополнительных к классическим постоянных материала
Модели гетерогенно-упругой среды отвечает новый класс физической нелинейности, когда материальные функции в законе поведения являются однородными нулевой степени однородности. Изучение особенностей такого рода нелинейности в конкретных задачах на основе разложения общего решения в асимптотический ряд по степеням малых параметров представляются весьма перспективными, особенно с учетом нескольких малых параметров и тензорной нелинейности Кроме того, эти особенности могут найти эффективное применение при проектировании, изготовлении и диагностике разнообразных изделий, в том числе из новых синтетических композиционных материалов и сплавов, которые, как правило, являются сильно микронеоднородными и поэтому, обычно, содержат или скоро приобретают множество межкомпонентных дефектов, являясь, таким образом, гетерогенно-сопротивляющимися материалами.
Вычисление коэффициентов асимптотического степенного ряда хотя и сводится к решению линейных однотипных краевых задач, но обычно сопряжено с трудоемкими символьными преобразованиями Эти символьные вычисления целесообразно выполнять на ЭВМ. Соответствующие алгоритмы и программы могут составить основу математического обеспечения вывода общего решения класса задач нелинейной гетерогенной упругости в аналитическом виде.
Цель работы. Разработка алгоритмов и программ метода малого параметра решения граничных задач нелинейной гетерогенной упругости для сфер и цилиндров, в том числе с учетом двух малых параметров и тензорной нелинейности
Научная новизна полученных в работе результатов заключается в следующем обоснован выбор новых малых параметров граничных задач гетерогенной упругости,
обобщен метод малого параметра на случай двух параметров и тензорной нелинейности,
разработаны алгоритмы и программы вычисления разложения общего решения задач Ламе в асимптотический ряд по степеням малых параметров нелинейности;
рассмотрены особенности нового класса физической нелинейности, когда материальные функции являются однородными нулевой степени однородности
ЛЬНАЯІ
РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ| БИБЛИОТЕКА СТ1стер4 ОЭ ІО0 Ч МЧ
Практическая ценность работы обусловлена получением решения нелинейных задач в виде формул, которые могут быть использованы в различных практических задачах, связанных с оценкой напряженного состояния, прочности и устойчивости. Результаты работы вошли в отчеты НИР по грантам РФФИ (код проекта 98-01-00478,01-01-00921) и Минобразования РФ (шифр гранта 97-0-4.3-120).
Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием классического метода малого параметра,- корректным использованием методов теории рядов, тензорного анализа; тестированием программ аналитического вывода; сравнением полученных решений с классическим и решением в квадратурах.
Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались.наследующих научных конференциях: Международная конференция «Синергетика, Самоорганизующиеся процессы в системах и технологиях» (г. Комсомольск-на-Амуре,. 2000 г.), I Всесибирский конгресс женщин-математиков, посвященный 150-летию со дня рождения СВ. Ковалевской (г Красноярск, 2000 г.), Международная конференция-«Нелинейная динамика и прикладная синергетика» (г. Комсомольск-на-Амуре, 2002 г.), семинарах по математическому моделированию Центра вычислительного моделирования и информатики КнАГТУ (1998-2003 гг.), Международная конференция "Фундаментальные и прикладные вопросы механики (Хабаровск, 2003)
Структура и объем работы.-Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Объем диссертации составляет 148 страниц, включая 29 рисунков и 13 таблиц. Список литературы содержит 166 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.
Публикации,'Материалы диссертационного исследования опубликованы в 6 научных работах.
О решении краевых задач разномодульной теории упругости
Исследования по задачам теории упругости начались в XIX ст. работами А. Коши, Г. Ламе, С. Пуассона и др. В настоящее время анализу и классификации различных методов решения пространственных задач посвящены монографии Б.Л. Абрамяна и А.Я. Александрова [І], А.Я. Александрова и Ю.И. Соловьева [5], А.Н. Гузя и Ю.Н. Немиша [40], В,Н. Ионо-ва и П.М. Огибалова [57], М.А. Колтунова, Ю.Н. Васильева и В.А. Черных [66], Г.Н. Савина [121, 122], А.С. Космодамианского и В.А. Шалдырвана [67], В.Д. Купрадзе, Т.Г. Гегелии, М.О. Башелейшвили и Т.В. Бурчуладзе [72], А.И. Лурье [82], Ю.Н. Подильчука [116], И.И. Воровича [25, 26], А.Ю. Ишлинского [120], М. Ван Дайка [24], Б.Е. Победри [114], А.И, Ка-ландии, А.И. Лурье, Г.Ф. Манджавидзе, В.Н. Прокопова и Я.С. Уфлянда [56], Н.А. Кильчевского [63], Ю.А. Устинова и М.А. Шленева [138], а также разделы или отдельные главы многочисленных монографий и учебных пособий. К настоящему времени результаты решения краевых задач разномо-дульной теории упругости достаточно обширны. В частности, решены многие задачи прикладной теории изгиба пластин и кручения стержней; достаточно полно изучены целые классы плоских задач и граничных задач теории плоских оболочек, а также ряд центрально-симметричных и простейших осесимметричных задач.
В рамках разномодульной теории упругости одними из первых были решены следующие задачи: вращающийся диск [94, 151], поперечный изгиб балок [31, 155], чистый изгиб кругового стержня [99], изгиб пластин [2, 30, 141, 155, 158], о колебаниях стержней, балок [29, 140, 152] и пластинок [28], о полом цилиндре и составных полых цилиндрах [96, 97], о полой сфере [95, 98], о безмоментных и слабомоментных оболочках [4, 7, 9,11, 13, 139].
Так, например, податливости в определяющих соотношениях модели однородного изотропного тела Амбарцумяна-Хачатряна [8, 10, 12] меняют свои значения в зависимости от знаков главных напряжений. Поэтому при решении задачи о полом цилиндре (внутренний радиус цилиндра — а, внешний - Ь, интенсивность внутреннего давления - p2t интенсивность наружного натяжения - рх) необходимо заранее представлять себе зоны, где главные напряжения меняют знак, для чего приходится вводить дополнительные предположения [96]. Под действием указанных нагрузок во всех точках сечения цилиндра т0 0, а ог меняет свой знак при переходе через некоторую окружность радиуса г = р.С учетом всех возможных значений аг, автору приходится рассматривать пять различных случаев комбинаций значений главных напряжений. При этом вводятся дополнительные граничные условия и находятся радиусы р окружностей, разбивающих цилиндры на зоны. Следует отметить также, что при внешней и внутренней нагрузке одного знака решение для полого цилиндра просто совпадает с классическим, т.е. в этом случае данная модель не позволяет исследовать напряженно-деформированное состояние цилиндра из разномо-дульного материала. Кроме того, данная модель не обладает инвариантностью относительно вращений канонической системы координат. Аналогичный принцип решения имеют задачи о составных цилиндрах, полых и составных сферах [95, 98].
В рамках модели раз но модульного тела [133] Смирновым Ю.И. и Толоконниковым Л.А. рассматриваются малые деформации толстостенной эксцентрической трубы [126]. Задача решается в напряжениях. Подсчет поправок показывает выравнивание напряжений при положительном параметре раз ном одул ьн ости,
В работе [145] дано решение ряда задач для пластин и оболочек с одним и несколькими концентраторами напряжений; исследовано влияние физической нелинейности, жесткости подкрепляющего элемента, величины и вида внешних воздействий, взаимного расположения концентраторов напряжений и других факторов для пластин с бесконечным рядом отверстий и пластин, ослабленных двоякопериодической системой отверстий.
Работы Бабич Д.В. [14, 15] показывают, что учет трещиноватости материала в задачах устойчивости оболочек может внести значительные поправки в определяемые теоретическим путем критические значения нагрузок. Приближенный подход к учету повреждены ости материала на устойчивость оболочек иллюстрируется на примере цилиндрической оболочки, находящейся под воздействием осевого давления.
Исследования Трещева А.А. [135, 136] посвящены устойчивости оболочек из дилатирующих материалов.
В [16,17] анализируются возможная форма представления асимптотических решений задач о трещинах в упругих средах с меняющимися свойствами. На основе предложенных определяющих соотношений исследуются поля перемещений, деформаций и напряжений в окрестности вершины трещины нормального разрыва в условиях плоской деформации и приводится сравнение с полученными ранее результатами для условий плоского напряженного состояния.
Разработанные к настоящему времени методы решения краевых задач можно условно разделить на аналитические (метод интегральных уравнений, метод Фурье, методы теории обобщенных аналитических функций и др.) и численные (конечных разностей, вариационно-разностных, конечных элементов и др.). Кроме того, развиваются численно-аналитические методы, а также другие комбинированные методы, основанные, например, на синтезе численных и экспериментальных (типа поляризационно-оптического метода).
Решение задач нелинейной теории упругости наталкивается на значительные математические трудности, но возможно асимптотическими (приближенными) методами. К асимптотическим методам могут быть отнесены различные методы асимптотических разложений, методы возмущений, линеаризации уравнений, метод малого параметра и другие методы.
Алгоритм метода малых параметров исследования задач нелинейной гетерогенной упругости
Решение задач нелинейной теории упругости наталкивается на значительные математические трудности, но возможно асимптотическими (приближенными) методами. К асимптотическим методам могут быть отнесены различные методы асимптотических разложений, методы возмущений, линеаризации уравнений, метод малого параметра и другие методы.
Преимущество применения метода малого параметра по сравнению с другими приближенными методами заключается в возможности относительно легко найти главную часть поправки к линейному решению, а также удовлетворить заданным начальным условиям при решении линейной задачи. Метод малого параметра получил строгое обоснование в [134], а также дальнейшее развитие в [40, 51, 68,103].
При решении задач методом малого параметра возможны различные подходы к выбору малого параметра. Например, А.А. Ильюшин [54] использовал в качестве малого параметра величину, обратную модулю объемного сжатия, и исследовал нормальные и касательные напряжения при чистом изгибе балки за пределами упругости. Д.Д. Ивлев и Л.В. Ершов в работе [51] ввели малый параметр, характеризующий различие между плоским деформированным и осесимметричным состоянием. Б.А. Друянов [43] при помощи метода малого параметра учел неоднородность пластического материала» малый параметр характеризовал возмущение условия пластичности. Г. Каудерер [61] предложил при помощи метода малого параметра учитывать физическую нелинейность материала. Эти представления были использованы и получили дальнейшее развитие в работе И,А. Цурпала [144]. Вопросы, связанные со сходимостью рядов, представляющих собой разложение решения по степеням малого параметра, обсуждаются в [103, 134].
В статье [115] методом малого параметра в случае плоской деформации построено приближенное решение типа Галина о двухосном растяжении толстой пластины с отверстием, близким к правильному многоугольнику.
Работы Гаспарян Г.О. посвящены решению задач в рамках модели изотропного разномодульного тела Ю.Н. Работнова, Е.В. Ломакина. Методом малого параметра решены задачи о концентрации напряжений у кругового и эллиптического отверстий при нагружении в двух направлениях и об эллиптической полости, находящейся под внутренним давлением [36]. Показано, что разпомодульносгь материала главным образом сказывается в местах резкого изменения вида напряженного и деформированного состояний, т.е. на контуре отверстия, и влияние разномодульности на величину и распределение напряжений существенным образом зависит от вида напряженного и деформированного состояний.
Решению задач о деформировании полосы, о скручивании диска моментами, приложенными па его внешней и внутренней границах, о вращающемся диске, изгиб круглой пластины и другим посвящены статьи [34, 35]. Гузь Л.Н. и Немиш Ю.Н. применили метод малых параметров при исследовании осесимметричного напряженного состояния цилиндрически ортотропных тел [40].
Саркисян B.C., Айропетян В.Ж. рассмотрели класс задач кручения призматических прямолинейных анизотропных стержней с поперечным сечением в виде криволинейного четырехугольника и кручения призматических стержней с прямоугольным сечением, обладающих криволинейно-цилиндрической анизотропией [123]. В задачах вводится малый физический параметр, характеризующий анизотропию материала стержня и построено решение по степеням этого параметра для функции напряжения соответственно в криволинейно-цилиндрических и прямолинейных декартовых координатах.
В статье [69] предлагается полуаналитический метод малого параметра, в котором применяется разложение искомых перемещений в ряды по степеням малого параметра, но векторные коэффициенты определяются численно на ЭВМ. Приведены все необходимые формулы для определения компонентов напряженно-деформированных состояний длинных упругих торсов-геликоидов.
В рамках модели гетерогепно-упругой среды Мясникова В.П., Олейникова Л.И. был рассмотрен ряд задач. Например, в статье [107] было исследовано напряженно-деформированное состояние разномодульной среды у сферической полости, находящейся под действием всестороннего и равномерного нагружения интенсивностью сги. В параметрическом виде получено точное решение задачи. В результате численного анализа установлено, что разномодульность сильнее всего проявляется в областях концентрации напряжений. В случае свободной от внешних нагрузок поверхности полости влияние данной разномодульности выражается при ал 0 в незначительном снижении, а при о-„ 0 - в значительном увеличении степени концентрации окружных напряжений и величины радиального смещения.
Кроме того, в рамках модели Мясникова - Олейникова получены численные решения плоских автомодельных задач динамики микроразру-шенпой среды со стационарными простыми и ударными волнами: о движении постоянной нагрузки со сверхсейсмической скоростью на границе деформированного полупространства и соударении двух раз ном одул ьных упругих тел с плоскими границами [44, 45].
Решение задачи о полом цилиндре в перемещениях методом малого параметра
Таким образом, в данной главе получены следующие новые результаты: 1. Получены аналитические решения задачи о полом шаре из гетеро-генно-упругого материала методами разложения по двум параметрам нелинейности и одному параметру тензорной нелинейности определяющих соотношений модели, которые в частном случае переходят в классическое решение задачи Ламе. 2. Введение дополнительных к классическим слагаемых в определяющих соотношениях модели гетерогенно-упругой среды усиливает эффект разномодульности. 3. Решена задача о составной сфере из гетерогенно-упругого материала, найдены аналитические выражения для нахождения контактного радиуса и внутреннего давления, возникающего от действия сфер друг на друга. В работе получены следующие новые результаты 1. Обоснован выбор трех универсальных малых параметров граничных задач теории упругости для гетерогенно-сопротивляющихся материалов, являющихся соответствующими комбинациями пяти постоянных данной модели поведения. 2. Доказаны утверждеия о представлении общего решения граничных задач данной теории в асимптотические ряды по степеням двух малых параметров и по параметру тензорной нелинейности. 3. Построен алгоритм и разработан комплекс программ символьных вычислений общего решения задач Ламе для гетерогенно-упругих сред в виде разложений метода малого параметра. 4. Даны общие асимптотические решения задач о цилиндрической + трубе и сфере из гетерогенно-упругого материала, в том числе, в случае составной трубы или сферы. 5. Исследованы особенности проявления в рассмотренных задачах физической нелинейности нового класса, когда материальные функции являются однородными нулевой степени однородности. Установлено, что при сжимающих внешних нагрузках концентра ция окружных напряжений на внутренней поверхности труб по 4 сравнению с классическим решением снижается, а при растяги вающих возрастает. Данный эффект сильнее проявляется при увеличении толщины стенки и при закреплении концов (может достигать 35% и более). Аналогичное перераспределение концентрации окружных напряжений наблюдается на внутренней поверхности сферы, однако учет второго и третьего тепзорно-нелинейного члена в законе поведения приводит к увеличению абсолютных величин поправок к классическому решению (от 14 до 60%). Скачок окружных напряжений на контактном радиусе составной трубы по сравнению с классическим решением меньше на 6%, осевых напряжений — на 16%; скачок окружных напряжений па контактном радиусе составной сферы по сравнению с классическим решением меньше на 12%.
Приведем результаты расчетов для тонкостенного (Лі/Д2 =9/10) полого шара при fi = 7500 МУ7а, Л = 2/у. На рис. 4.10 приведены графики распределения окружного (тангенциального) напряжения cr^jp^ {а9(Рх) вдоль безразмерного радиуса r/Rx при Р2(РХ =6/10 для случаев: fif/i = 0, p//i = \/6, Pl/л - І/З. Расчеты показали (табл. 4.2), что с увеличением параметра р величина окружного напряжения у внутренней поверхности шара снижается на 18%. При увеличении внешнего давления снижение достигает 80% (в классическом случае — 73%). Если на внешней поверхности шара заданы растягивающие усилия, то напряжения возрастают на 13%. Распределение радиального напряжения незначительно отклоняется от классического (рис. 4.11), При увеличении толщины стенки значения окружных (тангенциальных) напряжений у внутренней поверхности шара уменьшаются в 9-15 раз. А величины поправок к классическому решению меньше в 5 раз (табл. 4.3).
Распределение напряжений и дефорхмаций составной сферы материала
Результаты работы вошли в отчеты НИР по грантам РФФИ (код проекта 98-01-00478, 01-01-00921) и Минобразования РФ (шифр гранта 97-0-4.3-120).
Во введении и первой главе работы обоснованы актуальность выполненных в диссертации исследований, сформулированы цели работы, ее научная значимость и практическая ценность, возможное применение, а также приведен краткий обзор литературы, содержащий экспериментальные данные, подтверждающие разномодульное поведение самых разнообразных материалов; анализируются различные подходы к построению определяющих соотношений для разиомодульных материалов, и дается обзор задач нелинейной теории упругости, краткий обзор литературы по текущему состоянию метода малого параметра. Детализируются некоторые свойства модели гетерогенно-упругой изотропной среды; в явном виде представлены определяющие уравнения модели; дается постановка краевой задачи теории гетерогенной упругости, приводятся условия единственности решения этой задачи в «малом» и «большом» в виде ограничений на материальные константы Л, ц, v.
Во второй главе обоснован выбор трех универсальных малых параметров граничных задач теории упругости для гетерогенно-сопротивляющихся материалов, являющихся соответствующими комбинациями пяти постоянных данной модели поведения. Доказаны утверждения о представлении общего решения граничных задач данной теории в асимптотические ряды по степеням двух малых параметров и по параметру тензорной нелинейности. Показано, что «нулевое» приближение полностью совпадает с классической задачей теории упругости. Поэтому в нелинейной механике решение конкретных краевых задач при условии малости деформаций может быть определено вблизи исходного «не возмущен но го» состояния. Такими исходными решениями могут являться известные точные решения классических задач. Построен алгоритм и разработан комплекс программ символьных вычислений общего решения задач Ламе для гетерогенно-упругих сред в виде разложений метода малого параметра.
В третьей главе рассмотрена задача о напряженно-деформированном состоянии полого цилиндра из гетерогенно-упругого материала, находящегося под действием равномерных внутренних и внешних нагрузок. При помощи метода малого параметра найдено решение задачи о полом цилиндре со свободными концами, получены формулы для определения напряжений, деформаций и радиального перемещения в двух приближениях. В качестве частного случая рассмотрено напряженно-деформированное состояние цилиндрической трубы с закрепленными концами. Показано, что для гетерогенно-упругого материала задача о плоском напряженно-деформированном состоянии существенно отличается от соответствующей задачи классической теории упругости.
Также исследовано напряженно-деформированное состояние составного цилиндра, изготовленного из раз ном одул ьно го материала. Получены формулы для нахождения давления, возникающего от воздействия цилиндров друг на друга, и контактного радиуса цилиндров после деформации.
В четвертой главе рассмотрен полый шар (толстостенная сфера) из гетерогенно-упругого материала, находящийся под действием внутреннего и внешнего давлений. Решение задачи находится при помощи данного во второй главе алгоритма метода малого параметра, обобщенного на случай наличия в задаче двух малых параметров. В двух приближениях получено решение для полого шара в аналитическом виде. Эффективность полученных выражений установлена на примере задачи о свободной сферической полости в напряженном гидростатически нагруженном массиве. Проводится сравнение полученного решения с классическим и полным решением в квадратурах.
На основе решения задачи о полом шаре исследовано напряжено-деформированное состояние составной сферы из разномодулыюго материала. Получены формулы для нахождения давления, возникающего от воздействия сфер друг на друга, и контактного радиуса сфер после деформации.
В последнем разделе главы исследовано влияние тензорной нелинейности на распределение напряжений в толстостенной сфере. Показано, что неучет тензорной нелинейности может приводить к значительным погрешностям при решении задач для гетерогенно-сопротивляющихся материалов. Заключение содержит краткий обзор основных результатов, полученных в диссертационной работе. В главах принята двойная нумерация формул, таблиц и рисунков первая цифра означает номер главы. На протяжении каждой главы нумерация формул сквозная. Эксперименты на простое растяжение и сжатие наглядно демонстрируют различие в модулях упругости при растяжении и сжатии у самых различных материалов. При одноосном нагружении, производимом вдоль одного и того же направления, горные породы, чугуны, бериллиевая медь, сплавы алюминия, углепластик, древесина, эластомер, пенопласта, тканые композиты и многие другие материалы с микронарушениями имеют несимметричные диаграммы деформирования при растяжении и сжатии [20, 21, 38, 39, 53,60, 64, 65, 71, 73, 93, 127, 132, 142, 147, 148, 153, 156, 157, 160]. При малых напряжениях эти диаграммы слабо нелинейны, обратимы и плавно, почти без излома, переходят одна в другую. Если же аппроксимировать их прямыми, то уже при малых деформациях секущие модули при растяжении и сжатии могут существенно различаться между собой. В отдельных случаях эта разномодулыюсть, а также существенное различие соответствующих коэффициентов Пуассона объясняется влиянием микро-трещиноватости, микронарушениями адгезионных связей, микровыпучиваниями волокон. Существенно разномодульными материалами являются и бетоны. Результаты испытаний алюмофосфатных бетонов [3] представлены в таблице 1.1.
