Содержание к диссертации
Введение
1. Описание физико-математической модели 13
1.1. Геометрия деформаций 13
1.2. Уравнения равновесия 17
1.3. Физические соотношения 21
1.4. Уравнения продолжения решения 30
1.5. Описание численного алгоритма 34
2. Одномерная задача 38
2.1. Постановка задачи 38
2.2. Построение численного алгоритма 42
2.3. Анализ численных результатов 48
2.4. Использование наилучшего параметра 50
2.5. Выводы ко второй главе 54
3. Двумерная задача 56
3.1. Постановка задачи равномерного деформирования 56
3.2. Численная реализация равномерного деформирования 67
3.3. Задача деформирования с появление эффекта Пуассона 78
3.4. Выводы к третьей главе 83
4. Трехмерная задача 86
4.1. Постановка задачи равномерного деформирования 86
4.2. Численные исследования 92
4.3. Выводы к четвертой главе 93
Заключение 96
Список литературы 98
- Уравнения продолжения решения
- Построение численного алгоритма
- Численная реализация равномерного деформирования
- Численные исследования
Введение к работе
Интерес исследователей к более точным нелинейным моделям механики твёрдого деформированного тела продолжает активно расти. Особенно актуален вопрос исследования больших деформаций. Сложности, связанные с расчётом материалов, возникают на производстве, где широко применяются материалы по физико-механическим свойствам сходными с резиной. Расчёт возникающих деформаций и распределения напряжения усложняется тем, что при больших деформациях начальная лагранжева сетка сильно искажается. Это не может не сказаться на вычислительном процессе. Поэтому многие исследователи серьёзно изучают эту проблему и предлагают различные варианты разрешения трудностей, с которыми сталкиваются на практике.
Настоящая работа посвящена разработке и численной реализации методики исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) упругих тел с учётом больших перемещений и конечных деформаций в статических задачах. Используется метод продолжения решения по параметру совместно с методом Эйлера описания деформированной среды. Возможность его использования вытекает из введения параметра, тем самым сводя задачу к поиску производных по параметру. Численные вычисления на сетке Эйлера в исследуемой области основаны на методе конечных разностей (МКР).
Для решения нелинейных задач наиболее распространенными явлются два численных метода: МКР и метод конечных элементов (МКЭ).
Принцип конечных разностей используется достаточно давно, pi область его использования постоянно растет. Впервые конечно-разностные аппроксимации в механике ввел Исаак Ньютон в своём фундаментальном труде [115]. Хотя Л. Эйлер в своих работах по дифференциальному исчислению использовал предельные переходы в конечных разностях, основа-
ния современной теории конечных разностей были заложены в основном Ж. Лагранжем и П. Лапласом. Одним из самых больших толчков в развитии МКР и сфер его применения произошёл в начале 50-х гг. XX века в связи с появлением электронно-вычислительных машин и распространением численных методов. Из самых выдающихся трудов по этой тематике следует отметить [15, 20, 21, 23, 28, 29, 36, 37, 45, 53, 56, 57, 67, 76, 79]
МКЭ, в настоящее время, приобрел широкую популярность при решении практических задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ). С его помощью проводят расчеты по определению НДС и несущей способности конструкций разнообразных форм в самых различных отраслях техники и строительства. При этом эффективно решаются задачи как общей, так и локальной проблематики. Практически все задачи МДТТ получили постановку и алгоритмы решения в рамках конечно-элементных методик. Существует множество публикаций, в которых обсуждаются теоретические и практические аспекты применения МКЭ. Среди них можно отметить работы [17, 18, 19, 27, 32, 34, 35, 47, 48, 51, 60, 61, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 87, 88, 89, 126]. В работе [75] разработан и применен математический аппарат по решению различных задач в геометрически нелинейной постановке, с условием пластичности. Расчеты проводились методом конечных элементов.
Для решения задач МДТТ с учетом физической и геометрической нелинейностей используются численные методы, которые можно разделить на две группы. Первая предполагает использование итерационных методов (метод простой итерации, метод Ньютона и т.д.) для решения системы нелинейных трансцендентных или алгеброических уравнений. Но в рамках современных численных методов наиболее популярными являются шаговые методы (методы последовательных нагруже-иий), в соответствии с которыми процесс деформирования представляется как последовательность равновесных состояний и переход из текущего состояния в последующее определяется приращением нагрузки
(изменением граничных условий, области определения и т.д.). Эти методы условно можно разделить на три широко используемые подгруппы [66]: первая - предполагает использование принципа виртуальных перемещений, в котором все величины отнесены к исходному недеформи-рованному состоянию (глобальная лагранжева постановка); вторая - основана на том же вариационном уравнении, но в качестве базовой используется текущая метрика (модернизированная лагранжева постановка) [17, 18, 34, 14, 41, 49, 54, 71, 70, 87, 88, 89, 90, 91, 93, 122]; третья - представляет собой комбинированную лагранжево-эйлерову постановку, согласно которой отслеживается поведение материальной точки (элементарного объема) в соответствии с лагранжевым методом описания среды, но в текущем состоянии ставится задача о течении среды в соответствии с эйлеровым подходом [33, 97, 113, 121]. В данной работе рассматривается новый метод в глобальной эйлеровой постановке, где твердое тело рассматривается как сплошная среда, с подвижными границами. По аналогии, с задачами гидромеханики из краевой задачи находятся не сами неизвестные, а их производные по некому введенному параметру.
Традиционно в механике деформируемого твердого тела для решения геометрически нелинейных задач получило распространение лагранже-во описание среды, согласно которому состояние элементарного объема описывается в компонентах вектора перемещений из педеформированно-го в деформированное состояние и второго тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа, также отнесенного к недеформированному объему. В этом случае хорошо формулируется краевая задача в дифференциальной или вариационной форме, для решения которой возможно использование различных численных методов. Однако подобный подход имеет существенный недостаток в задачах с конечными деформациями. Он связан со сложностью построения определяющих соотношений между используемыми тензорами напряжений и деформаций, который особенно сильно проявляется при постулировании определяющих соотношений в дифференциальной
(скоростной) форме. Однако, если течение среды описывать в эйлеровой постановке, то эти трудности можно обойти. Для введения скоростной формы предлагается использовать некий параметр, выбор которого обусловлен частично искомыми величинами и граничными условиями. Тогда решение задачи можно поулчить, используя как метод продолжения решения по параметру.
Численный варинат метода продолжения решения по параметру впервые был сформулирован М. Лаэем (М. Lahaye)[lll]. В трансцендентное уравнение Н(Х) = 0 он ввел параметр Р таким образом, что исследуемое уравнение преобразовывалось к виду F(X, Р) — 0. Параметр был введён так, что при Р — Р0 — 0 уравнение F(X,0) = 0 можно было легко решить, а при Р = Рп = 1 имеет место F(X,1) = Н(Х), т.е. уравнение обращается в исходное. М. Лаэй предложил при продвижении по последовательному ряду значений параметра Pq < Рг < < Рп строить решение уравнения F(X, Р) = 0, на каждом шаге значения параметра методом Ньютона-Рафсона, используя предыдущие решение в качестве начального. Позже в статье [112] он обобщил этот подход на систему уравнений. Данный М. Лаэем пример шагового процесса итерационного построения решения уравнения явился истоком целого ряда работ, в которых идея продолжения решения по параметру использована для построения начального приближения и дальнейшего итерационного его уточнения. Отметим работы [22, 26, 44, 55, 77, 62]. В дальнейшем такой вид продолжения решения по параметру получил название дискретное продолжение.
Дифференцирование уравнения F(X) = 0 по параметру для исследования поведения его корней при изменении параметра впервые применил В.А. Фок в работе [78] в одной из задач дифракции волн.
Другую формулировку метода продолжения решения по параметру дал Д.Ф. Давиденко [42, 43]. Он предложил с помощью дифференцирования по параметру перейти от уравнения F(х) = 0 к уравнению ^ТГр" + ш = 0, J = Щг, где под J подразумевается матрица Якоби. И
если якобиан не равен нулю, то решение начального уравнения заменяется эквивалентной ему задачей Коши. Такая система позволяет использовать при решении хорошие известные методы интегрирования начальных задач, как-то схемы Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса-Штермера и другие. В дальнейшем такой подход стал называться непрерывным продолжением.
Так же Д. Давидеико отметил, что в качестве параметра продолжения решения можно использовать не только параметр задачи, но и любую из неизвестных. В [40, 98] было показано, что наилучшие вычислительные свойства обеспечиваются, если в качестве параметра продолжения используется длина вдоль кривой множества решений. На этой основе сформулирован метод продолжения по наилучшему параметру или наилучшая параметризация [40, 98]. В книге [85] показано, что метод продолжения по наилучшему параметру применим в любой математической задаче, решением которой является кривая или другое однопараметриче-ское множество. В [85] рассмотрены задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, интерполяция и аппроксимация кривых и др. Численная реализация метода, осуществляемая в виде шагового процесса по параметру нагрузки и получившая название метода последовательных нагружений В.З. Власова, нашла применение в работах [58, 64]. Являясь, по существу, аналогом метода Эйлера, этот метод характерен тем, что в нем не предусмотрена компенсация погрешности вычислений, вызванной линеаризацией нелинейных уравнений на каждом шаге. Поэтому достижение требуемой точности может быть получено путем, уменьшения величины приращения нагрузки. Имеются такие варианты неявных схем интегрирования задачи Коши по параметру с применением различных способов улучшения сходимости итерационных процессов типа метода Ныотона-Рафсона [24, 25, 39, 84].
Известный метод последовательных нагружений, сформулированный В.З. Власовым, и В.В. Петровым [65] независимо от метода продолжения решения по параметру, может быть понят как алгоритм интегриро-
вания задачи Коши по параметру, методом Эйлера. Такое понимание метода последовательных нагружений впервые, по-видимому, было достигнуто в работе [52], что позволило модифицировать его на основе схемы Рунге-Кутта, существенно повысив тем самым его точность и избавив его в значительной мере от накопления погрешности, особенно свойственной методу Эйлера.
Работа [50] посвящена реализации метода продолжения по параметру в геометрически и физически нелинейных задачах. Уравнения продолжения записаны в недеформировашюй конфигурации тела, параметром продолжения служит параметр длины интегральной кривой множества решений. Приводятся результаты численных расчетов.
Работы [87, 109, 113] посвящены исследованиям конечных упругопла-стических деформациям в лагранжевой и эйлеровой формулировках. Обсуждаются недостатки и преимущества той или иной формулировок, показано, что при определенных физических соотношениях оба подхода приводят к одинаковому результату.
Книги [82, 83] посвящены изучению нелинейной теории упругости и применению этой теории в практических задачах. Автором проведены подробные исследованию в области механики твердого тела, в частности, приводятся примеры расчетов автомобильных шин.
Исследованию напряженно-деформированного состояния различных конструкций с учетом геометрической нелинейности посвящены работы [30, 31, 38, 51, 94, 99, 101, 108, 117, 119, 120, 122, 125]. В работе [46] рассматриваются различные варианты постановок геометрически нелинейных соотношений и на примере некоторых задач показаны плюсы и минусы каждого из подхода. Оценена погрешность вносимая каждой из рассмотренных постановок.
Работы [80, 81] посвящены выводу определяющих уравнений для упругих и упругопластических сред при конечных деформациях. При формулировке физических соотношений в рамках скоростной постановки воз-
никает вопрос о выборе объективной производной тензора напряжений. В работах [87, 91, 92, 93, 96, 100, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 109, 113, 116, 122, 123, 124] в качестве скорости изменения напряжений используется производная Яуманна тензора напряжений Копій, в [118] используется производная Трузделла. В статье [95] рассмотрены как производная Яуманна так и Трузделла.
В [114] исследуются большие деформации геоматериалов. Используется модель Максвелла. В [86] рассматриваются задачи о больших деформациях гиперупругих твердых тел в модернизированной лагранжевой постановке.
Таким образом, исходя из анализа научных публикаций в данном направлении, перед автором была поставлена следующая задача:
на основе метода продолжения решения по параметру в рамках эй-лерового описания сплошной среды разработать методику статического деформирования упругих областей с учетом больших перемещений и конечных деформаций;
получить разрешающие уравнения и разработать алгоритм решения задачи механики твердого тела с учетом физической нелинейности;
исследовать полученную систему при различных подходах выбора параметра;
на основе метода конечных-разностей разработать алгоритм и создать программное обеспечение для решения указанного класса задач;
решить ряд тестовых статических задач деформирования.
Результаты научной деятельности автора нашли отражение в диссертации, которая состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 126 наименований.
Первая глава посвящена описанию физико-математической модели твердого тела, рассматриваемого на протяжении всей диссертации, выведены разрешающие соотношения в координатах Эйлера. Описан алгоритм решения задач в такой постановке с помощью метода продолжения реше-
ния по параметру. Представлена методика нехождения границы с помощью экстраполяции.
Вторая глава описывает предлагаемый подход к решению одномерной модельной задаче упругого деформирования. Рассматриваются нюансы применения алгоритма и пошаговая его работа. Полученное решение сравнивается с точным, которое в такой постановке задачи можно найти аналитически. Сравниваются различные подходы к поиску границы.
В третьей главе численно моделируются двумерные задачи. Рассматриваются особенности использования различных геометрически нелинейных соотношений, сравниваются их результаты. Полученное решение для равномерного деформирования прямоугольной области сравнивается с полученным точным решением. Рассматривается деформирование с появлением эффекта Пуассона. Описываются сложности определения криволинейной границы. Полученные результаты сравниваются с известными на лагранжевой сетке.
Четвертая глава посвящена применению метода в трехмерном случае. На примере модельной задачи имеющей точное решение демонстрируются плюсы и минусы предлагаемого подхода.
Таким образом, на защиту выносится:
методика исследования напряженно-деформированного состояния упругих тел с учетом больших перемещений в координатах Эйлера, основанная на методе продолжения решения по параметру;
численный алгоритм и его реализация на базе конечно-разностного метода, позволяющие решать задачи деформирования твердого тела;
описанный алгоритм поиска границы с помозью экстраполяции для координат Эйлера;
результаты решения ряда нелинейных статических задач механики деформированного твердого тела;
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1, 2, 3, 4, 5, б, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13].
Основные результаты докладывались:
на 2-й Международной научной школы "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" г. Саранск, 1-14 июля 2005
г.;
на 21-й международной конференции "Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов" г. Санкт-Петербург, 4-7 Октября 2005 ;
на 12-ом международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред " Ярополец, Моск. обл., 13-17 февраля 2006;
на 9-м всероссийском съезде по теоретической pi прикладной механике, г. Нижний Новгород, 22-28 августа 2006;
на 13-ом международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" Ярополец, Моск. обл., 19-23 февраля 2007;
на 9-х Харитоновских тематических научных чтениях "Экстремальные состояния вещества, детонация, ударные волны" г. Саров, 12-16 марта 2007г.;
на 15-й международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным системам, г. Алушта, 25-31 мая 2007 г.;
на 18-й Крымской осенней математической школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам 18-29 сентября 2007г.;
на 22-й международной конференции "Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов" г. Санкт-Петербург, 24-27 сентября 2007г.;
на 14-ом международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред", Ярополец, Моск. обл., 18-22 февраля 2008;
на 7-й международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях, г. Алушта, 24-31 мая 2008г.;
на научном семинаре в Институте механики МГУ им. Ломоносова 9 ноября 2008 г.;
Диссертационная работа выполнялась при поддержке грантов: №03-01-00071, 06-08-00371, 06-01-00239.
Уравнения продолжения решения
Дифференцирование уравнения F(X) = 0 по параметру для исследования поведения его корней при изменении параметра впервые применил В.А. Фок в работе [78] в одной из задач дифракции волн.
Другую формулировку метода продолжения решения по параметру дал Д.Ф. Давиденко [42, 43]. Он предложил с помощью дифференцирования по параметру перейти от уравнения F(х) = 0 к уравнению ТГр" + ш = 0, J = Щг, где под J подразумевается матрица Якоби. И если якобиан не равен нулю, то решение начального уравнения заменяется эквивалентной ему задачей Коши. Такая система позволяет использовать при решении хорошие известные методы интегрирования начальных задач, как-то схемы Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса-Штермера и другие. В дальнейшем такой подход стал называться непрерывным продолжением.
Так же Д. Давидеико отметил, что в качестве параметра продолжения решения можно использовать не только параметр задачи, но и любую из неизвестных. В [40, 98] было показано, что наилучшие вычислительные свойства обеспечиваются, если в качестве параметра продолжения используется длина вдоль кривой множества решений. На этой основе сформулирован метод продолжения по наилучшему параметру или наилучшая параметризация [40, 98]. В книге [85] показано, что метод продолжения по наилучшему параметру применим в любой математической задаче, решением которой является кривая или другое однопараметриче-ское множество. В [85] рассмотрены задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, интерполяция и аппроксимация кривых и др. Численная реализация метода, осуществляемая в виде шагового процесса по параметру нагрузки и получившая название метода последовательных нагружений В.З. Власова, нашла применение в работах [58, 64]. Являясь, по существу, аналогом метода Эйлера, этот метод характерен тем, что в нем не предусмотрена компенсация погрешности вычислений, вызванной линеаризацией нелинейных уравнений на каждом шаге. Поэтому достижение требуемой точности может быть получено путем, уменьшения величины приращения нагрузки. Имеются такие варианты неявных схем интегрирования задачи Коши по параметру с применением различных способов улучшения сходимости итерационных процессов типа метода Ныотона-Рафсона [24, 25, 39, 84].
Известный метод последовательных нагружений, сформулированный В.З. Власовым, и В.В. Петровым [65] независимо от метода продолжения решения по параметру, может быть понят как алгоритм интегриро вания задачи Коши по параметру, методом Эйлера. Такое понимание метода последовательных нагружений впервые, по-видимому, было достигнуто в работе [52], что позволило модифицировать его на основе схемы Рунге-Кутта, существенно повысив тем самым его точность и избавив его в значительной мере от накопления погрешности, особенно свойственной методу Эйлера.
Работа [50] посвящена реализации метода продолжения по параметру в геометрически и физически нелинейных задачах. Уравнения продолжения записаны в недеформировашюй конфигурации тела, параметром продолжения служит параметр длины интегральной кривой множества решений. Приводятся результаты численных расчетов.
Работы [87, 109, 113] посвящены исследованиям конечных упругопла-стических деформациям в лагранжевой и эйлеровой формулировках. Обсуждаются недостатки и преимущества той или иной формулировок, показано, что при определенных физических соотношениях оба подхода приводят к одинаковому результату.
Книги [82, 83] посвящены изучению нелинейной теории упругости и применению этой теории в практических задачах. Автором проведены подробные исследованию в области механики твердого тела, в частности, приводятся примеры расчетов автомобильных шин.
Исследованию напряженно-деформированного состояния различных конструкций с учетом геометрической нелинейности посвящены работы [30, 31, 38, 51, 94, 99, 101, 108, 117, 119, 120, 122, 125]. В работе [46] рассматриваются различные варианты постановок геометрически нелинейных соотношений и на примере некоторых задач показаны плюсы и минусы каждого из подхода. Оценена погрешность вносимая каждой из рассмотренных постановок.
Работы [80, 81] посвящены выводу определяющих уравнений для упругих и упругопластических сред при конечных деформациях. При формулировке физических соотношений в рамках скоростной постановки возникает вопрос о выборе объективной производной тензора напряжений. В работах [87, 91, 92, 93, 96, 100, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 109, 113, 116, 122, 123, 124] в качестве скорости изменения напряжений используется производная Яуманна тензора напряжений Копій, в [118] используется производная Трузделла. В статье [95] рассмотрены как производная Яуманна так и Трузделла. В [114] исследуются большие деформации геоматериалов. Используется модель Максвелла. В [86] рассматриваются задачи о больших деформациях гиперупругих твердых тел в модернизированной лагранжевой постановке. Таким образом, исходя из анализа научных публикаций в данном направлении, перед автором была поставлена следующая задача: на основе метода продолжения решения по параметру в рамках эй-лерового описания сплошной среды разработать методику статического деформирования упругих областей с учетом больших перемещений и конечных деформаций; получить разрешающие уравнения и разработать алгоритм решения задачи механики твердого тела с учетом физической нелинейности; исследовать полученную систему при различных подходах выбора параметра; на основе метода конечных-разностей разработать алгоритм и создать программное обеспечение для решения указанного класса задач; решить ряд тестовых статических задач деформирования. Результаты научной деятельности автора нашли отражение в диссертации, которая состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 126 наименований.
Построение численного алгоритма
Поскольку полученная система соответствует трёх диагональной матрице, то её удобно решать методом прогонки. Полученное решение будет верно с точностью до ошибки округления. Решением системы будут значения переменных Uf в точках конечно-разностной сетки. Подставляем найденные значения правых частей в начальную задачу и (2.1.6) интегрируем её методом Эйлера:
Далее будет возможность использовать более точные методы интегрирования задачи Коши.
Поскольку задача ставилась в координатах Эйлера, то при удлинении исследуемый образец вышел за пределы введённой в начале вычислений сетки, поэтому требуется ввести дополнительную эйлерову координату соответствующую правому краю стержня. Для её вычисления удобно составить некую функцию соответствия найденных перемещений и начальных координат Эйлера.
Эту функцию можно составить, например, линейной аппроксимацией по нескольким найденным точкам, тогда при подстановки в неё начального значения длинны стержня №h (т.е. количество ячеек конечно разностной сетки умноженное на длину ячейки, при условии, что стержень разбит на целое количество ячеек), получится перемещение граничной точки. Данную операцию можно рассматривать как экстраполяцию. При линейной аппроксимации нахождение граничной точки будет выглядеть так:
Вычислив перемещение граничной точки, уже не трудно оценить необходимость добавления новой ячейки в сетку. Для этого достаточно сравнить Эйлерову координату границы жр и самой правой точки конечно-разностной сетки xpj0. Если они отличаются более чем на шаг h, то требуется добавление новой ячейки. При добавлении удобно использовать найденную функцию (2.2.4), тогда поиск перемещения в повой точки можно свести к нахождению значения определённой и найденной ранее функции:
Заметим, что по сути этот процесс является аппроксимацией. После этого увеличиваем переменную, отвечающую за количество ячеек в сетке. Далее процесс повторяется.
Рассмотрим г-й шаг по параметру. Имеем после (г — 1)-го шага: аг(х) - поле напряжений, иг{х) - поле перемещений, up - перемещение правой граничной точки, хгГ - координата правой граничной точки. Аналогично начальному шагу алгоритма, применяется метод сеток к задаче (3.9). Главное изменение и отличие от первого шага это граничная точка, она теперь не находится на той равномерной сетке, что была построена на нулевом шаге. Это повлияет на выражения дифференциального уравнения в точке N1 — 1 и на правое граничное условие. Рассмотрим уравнение (2.2.1): где производные первого и второго порядка в формуле (2.1.11) аппроксимируются на трёх точечном шаблоне с точностью O(h): где hr - расстояние от Ждго_і до х о, т.е. шаг от самой правой ячейки до границы стержня, учётом этих обозначений коэффициенты уравнения (2.2.5) можно записать так где производные функций u аппроксимируются аналогичным способом. Граничное условие на правом конце тоже будет отличаться от описанного выше, на нулевом шаге. Аппроксимируя производную в граничной точке с неравномерным шагом по формуле второе граничное условие (2.1.11) будет описано формулой где Полученная система Nj уравнений имеет трёхдиагональную матрицу за исключением последней строчки. Воспользуемся уравнением (2.2.5) и выразив оттуда / 0_2, подставив в уравнение второго граничного условия. Аналогично это делалось на нулевом шаге. После этого полученная система с трёхдиагональной матрицей решается методом прогонки. По найденному полю скоростей перемещения Uj находим поле перемещений u +1 для следующего значения параметра с помощью, например, метода Эйлера-Коши [9] Поиск перемещения правой граничной точки строится аналогично описанному на нулевом шаге. Вычислив Эйлерову координату края стержня опять оценивается необходимость добавления новых ячеек в конечно-разностную сетку. Добавление производится аппроксимацией по некой функции Fi(Xi). Следует заметить, что после добавления новой ячейки в этой эйлеровой токи не известны значения перемещения на предыдущим шаге параметра, это делает невозможным использовать при интегрировании задачи Коши метод Эйлера-Коши, а приходится пользоваться менее точным методом Эйлера. Далее процесс повторяется. В данном разделе будут рассмотрены численные результаты, полученные в ходе работы описанного выше алгоритма для одномерного стержня. Приведены сравнения влияния количество шагов по параметру на точность численного решения и описаны различные методы экстраполяции, применяемые в ходе вычислений.
Построение численного алгоритма
Рассмотрим численную реализацию предлагаемого алгоритма для равномерного растяжения прямоугольной области в координатах Эйлера. Применим алгоритм ко всем описанным геометрически нелинейным соотношениям, показав тем самым поведение построенного алгоритма на различной сложности уравнений.
Пусть начальная пластина разбита на N конечно-разностных одинаковых элементов по оси х с равномерным шагом I и М элементов - по оси у с шагом h. Будем считать и и vfj - перемещения по осям х и у, соответственно, где нижний индекс показывает номер ячейки конечно-разностной сетки, а верхний индекс это номер шага по параметру.
Аналогично численной реализации одномерного случая будем решать поставленную задачу (3.1.14) - (3.1.16) с граничными условиями (3.1.17) - (3.1.20) в перемещениях и и v. Для этого необходимо выразить перемещения из этой системы уравнений. Сделаем это следующим образом, уравнения геометрических соотношений (3.1.15) подставим в уравнения закона Гука (3.1.16). Полученные уравнения продифференцируем по соответствующей координате и полученные выражения подставим в уравнения равновесия координате (3.1.14). Таким образом получатся два громоздких уравнения, в которых будут присутствовать перемещения, и, г;, их скорости по параметру А и, г), и их частные производные первого и второго порядка по координатам х, у:
Следует ещё раз отметить, что производные перемещений по параметру входят в полученные уравнения линейно. Действительно, в уравнениях геометрических соотношений это выполняется по правилу дифференцирования, при подстановке в закон Гука к ним применяется линейные операции, а во время подстановки в уравнения равновесия они дифференцируются, что, собственно, является тоже линейной операцией. Такая особенность полученных уравнения позволяет сильно упростить решение задачи методом конечных элементов.
Граничные условия (3.1.17)-(3.1.20) тоже удобно выразить только через перемещения и, v и их производные по параметру и, Ь. Правая часть первого уравнения (3.1.18) находится из непосредственного определения значения параметра Л. Обозначим скорости перемещений по параметру А через Это начальная задача (1.4.9). Введённый параметр Xі пусть будет равен приложенной нагрузке агхх, тогда в начальном состоянии пластина будет находится в покое, т.е. будут отсутствовать всякие деформации. Получается следующая начальная задача Аппроксимируем на введённой конечно-разностной сетке производные первого и второго порядка функций и и ii, с точностью 0(h2), где h -шаг сетки о направлению переменной дифференцирования. Во внутренних точках по формулам Аналогично и для переменной v Заметим, что в поставленной задаче на левой границе не будет меняться шаг, т.к. эти границы закреплены, следовательно, для вычислений производных на левой границе достаточно использовать формулы вычисления производных в краевых точках на шаблоне с равномерным шагом. Тогда аппроксимация производных функции и относительно переменной х или у будут описаны по следующим соотношениям Аналогично и для переменной v. Заметим что было достаточно удобно сначала найти производные первого порядка, в второго порядка по тем же формулам, только от уже найденных производных первого порядка. На правой границе после первого шага по параметру равномерность шага нарушается, поэтому там необходимо использовать следующие формулы на шаблоне с неравномерным шагом где 1 - расстояние от последней точки в j-ой координатной линии до граничной точки в этой линии на /с-ом шаге по параметру (См Рис. 13). Здесь было учтено, что в этой модельной задаче границы во время деформирования остаются прямолинейными. Поэтому производная по переменной у вычисляется по шаблону равномерной сетки. Криволинейная граница и особенности связанные с ней будут рассмотрены ниже на соответствующей задаче. В близи границы по переменной v всё выглядит аналогично. По верхней же границе будет следующее, за исключением точки (N,M): Так же описанные выше формулы аппроксимации производных применяются к неизвестным скоростям Ukj и Vjj по параметру Л. Тогда нахождение скоростей по параметру в поставленной задаче (3.1.14) - (3.1.16) с граничными условиями (3.1.17) - (3.1.20) на каждом шаге сводится к решению линейной системы алгебраических уравнений. В каждой внутренней точке сетки можно записать систему из двух уравнений (3.2.1), а в граничных точках два соответствующих равенства из граничных условий (3.1.17) - (3.1.20). Обратим внимание на то, что в граничном условии (3.1.18) правая часть не равна нулю поскольку а = Л = 1.
Численные исследования
Как отмечалось ранее, получится линейная система дифференциальных уравнений относительно скоростей неизвестных по параметру.
Осталось определить смысл параметра Л, если взять его в виде нагрузки, то в граничное условие (4.1.14) можно упростить а = 1. В случае выбора параметра таким образом, пошаговое интегрирование можно рассматривать как метод последовательного нагружения.
Начальное значение Л, для интегрирования, удобно взять известное состояние. Конечно, для этого лучше всего подходит начальное недеформи-рованное состояние. Тогда следующая начальная задача для напряжения, удлинения и сдвига будет выглядеть следующим образом. Под каждым уравнением подразумевается система из трех уравнений, получаемую циклической заменой
Численный алгоритм строится следующим образом, сперва решается краевая задача (4.1.7) - (4.1.10) с граничными условиями (4.1.1) - (4.1.6). Решение краевой задачи, так же как и в предыдущих задачах, основано на конечно-разностном методе. Производные первого порядка аппроксимируются на трех точечном шаблоне. Производные второго порядка определяются через производные первого порядка. Дискретизация производных входящих в краевую задачу позволяет свести линейную систему дифференциальных уравнений к системе линейных алгебраических уравнений.
Далее, по найденным значениям производных по параметру от неизвестных, находятся значения, непосредственно, искомых величин. Для этого решается начальная задача. Решение начальной задачи производилось методом Эйлера и модифицированным методом Эйлера-Коши [16]. По найденным перемещениям находится граница занимаемой области после деформирования, для этого добавляются или убираются элементы у конечно-разностной сетки. Для нахождения точек, которые переместились внутрь использумой для вычислений сетки можно использовать аппроксимацию, например по кубическому сплайну. Экстраполировать же приходится для поиска точек, вышедших за пределы уже определенной сетки, это можно реализовать, например, линейной экстраполяцией.
Рассмотрим подробнее нахождение граничной точки, вышедшей за пределы введенной конечно-разностной сетки в трехмерном случае. Пусть точка Л с координатами х0, у0 и г0 в ходе деформирования переместилась на шаге А = к — 1 в точку x -i, ytk\ и z -i- Рассмотрим схему поиска граничной точки на шаге X = к. Решая краевую задачу, а за тем и начальную задачу, получаем значения перемещения icfc_x, icfc_i и w k_x некой точки В. Эта точка в процессе деформирования переместилась на найденное значение перемещения и оказалась на границе расчетной сетки, вычисленной на Л = к — 1 шаге, то есть, точка В находится на месте точки А. Для определения положения точки А па Л = к шаге сначала определим эйлерову координату точки В до начала процесса деформирования с помощью известного вектора перемещения. Аналогично можно найти начальные координаты соседних точек в точке В по конечно-разностной сетке. Деформирование этих точек из состояния при шаге Л = 0 в деформированное состояние при шаге Л = к можно рассматривать как преобразование. Зная начальное положение точки А можно найти её положение на шаге X — к. Если считать это преобразование линейным, то это алгоритм нахождения координат точки А будет линейной экстраполяцией. По сути, в этом случае, геометрически, это можно представить 4-х мерной плоскостью. Рассмотрим полученные численные результаты. На Рис. 21 изображено последовательное деформирование трехмерной области, полученное в ходе пошагового вычисления. Заметим, что начальная область увеличилась более чем в 2 раза.
Рис. 22 демонстрирует изменение относительной ошибки с каждым шагом по параметру Л. Как видно из графика резкий рост ошибки в самом начале вычисления обусловлен тем, что для решения начальной задачи при первых шагах по параметру используются более простые и менее точные методы для разгона алгоритма.
Рассмотрена задача равномерного деформирования объемной области. К задаче был применен предлагаемый алгоритм. Рассматривалась задача на трехмерной эйлеровой сетке. С помощью введения параметра задача была сведена к системе линейных дифференциальных уравнений. Построенный численный алгоритм показал удовлетворительную точность
Настоящая работа посвящена разработке методики исследования упругих тел с учетом больших перемещений и конечных деформаций.
