Содержание к диссертации
Введение
1 Асимптотическая Паде интерполяция (АПИ) для начальных и краевых задач с параметром 18
1.1 Построение асимптотики решения начальной задачи с параметром є Є [0,1] 21
1.2 Построение асимптотики решения начальной задачи с параметром є (1,2] и Є (2, сю) 27
1.3 Построение сглаживающего многочлена для Паде -конструкции 33
1.4 Построение Паде - аппроксимации для задач, содержащих контрастные структуры типа ступеньки 38
1.5 Численные расчеты 46
2 Применение Асимптотической Паде интерполяции для построениия параметрического синтеза в задачах оптимального управления с параметром 50
2.1 Вспомогательные асимптотические разложения 51
2.2 Построение параметрического синтеза управления 64
2.3 Численные расчеты 68
2.4 Свойства линейно квадратичной задачи оптимального управления с большим коэффициентом усиления 71
2.5 Использование АПИ для построения эффективного начального приближения в пакетах прикладных программ по оптимальному управлению 81
Заключение 87
Литература 89
Приложение 1 96
Приложение 2 98
- Построение сглаживающего многочлена для Паде -конструкции
- Построение Паде - аппроксимации для задач, содержащих контрастные структуры типа ступеньки
- Построение параметрического синтеза управления
- Использование АПИ для построения эффективного начального приближения в пакетах прикладных программ по оптимальному управлению
Построение сглаживающего многочлена для Паде -конструкции
Заметим, что знаменатель Паде - дроби может обращаться в нуль в некоторых точках. Эти точки можно вычислить, приравняв нулю знаменатель дроби (1.12). По предположению 6/(0) = 1,г = 1..п. т.е. по непрерывности коэффициентов bi(t),i = l..n существует отрезок [0,i] С [0, Т], на котором полином знаменателя Паде дроби не имеет нулей. Однако, для конкретных классов задач можно выписать условия на коэффициенты, при которых знаменатель Паде не обращается в нуль при любом значении параметра є. Например, можно рассмотреть класс линейных задач.
Форма Паде - аппроксимации не исключает возможность существования нулей в знаменателе дроби при отсутствии их в точном решении задачи. Возникает необходимость каким - либо образом компенсировать возникновение полюсов в управлении - Паде. Для устранения полюсов предлагается использовать кубические многочлены.
Алгоритм построения сглаживающего полинома состоит в следующем. Находим полюса є = є , т.е. точки, где знаменатель Паде обращается в нуль. Следующим шагом будет нахождение двух точек ё\ и ё2 таких, что є [єь г]- Этими точками будут точки ближайшие к є , где с наперед заданной точностью имеется плавное изменение Паде - аппроксимации. Таким образом, требуется найти точки ё\ и ё2 такие, что для заданных достаточно малых 7 О, S 0:Следуя описанному выше алгоритму, находим точки , где знаменатель Паде аппроксимации обращается в ноль (при определенных значениях эпсилон).
Рассмотрим следующую сравнительную таблицу невязок. В первой колонке указывается значение є из интервала [0,1], вторая колонка содержит значение точки t, где Паде - аппроксимация терпит разрыв. А следующие три колонки содержат значения невязок в этой точке разрыва для Паде - сплайн аппроксимации, асимптотики при є — О и асимптотики при є — 1.
Т.о. сплайн конструкция в точках разрыва дает аппроксимацию, близкую к асимптотикам, действующим в данной области изменения є. Из таблицы также следует, что для указанного примера асимптотические разложения являются достаточно хорошими приближениями к решению исходной задачи в точке разрыва Паде - аппроксимации. Но, конечно, проигрывают Паде - конструкциям по невязке на всей области изменения параметра.
Построение Паде - аппроксимации для задач, содержащих контрастные структуры типа ступеньки
В параграфе рассматривается краевая задача, которая при малом значении параметра может иметь зоны резкого изменения решения внутри области по переменной х (так называемые контрастные структуры типа ступеньки и всплеска) и принадлежит к сравнительно новому классу нелинейных задач с малым параметром, активно изучающемуся в работах Васильевой А.Б.. Бутузова, Нефедова Н.Н. и их учеников ((10].[11). Для этого класса задач строится АПИ решения. Итак, рассмотривается задачаИз таблиц видно, что невязка АПИ конечно больше, чем невязка второго решения. Однако, существуют области изменения х, где их невязки близки. Отметим, что на практике способ построения Паде - решения оказался значительно проще других методов решения . краевых задач. Например, при построения решения методом Ритца достаточно сложно подобрать нулевую базисную функцию с учетом присутствия параметра є в выражении. Поэтому в качестве такой функции возможно использование аналитического Паде - выражения, удовлетворяющего краевым условиям. А оставшиеся базисные функции, подбирать стандартными изученными способами.
Построение параметрического синтеза управления
В этом параграфе предлагается алгоритм построения АПИ поверхности решения задачи оптимального управления с параметром. Этот класс задач непосредственно иллюстрирует наличие приложений, где при большом значении параметра находят управление с большим коэффициентом усиления, а при малых значениях параметра рассматривается случай слабоуправляемых систем.
АПИ для управления есть параметрический синтез "мост" между управлением с большим коэффициентом усиления и управлением слабоуправляемой системы. В качестве такого "моста" выбирается Паде - аппроксимация для каждой компоненты допустимого управления.
Паде-аппроксимация управления может рассматриваться как приближенный параметрический синтез допустимого управления. который для "срединных" областей изменения параметра может обладать свойством еубоптималыюсти.
Имея асимптотические разложения оптимального управления в задачах (2.і),(2.2) и (2.1).(2.16) возможно построение параметрического "моста" на основе Паде-аппроксимации порядка [п п]. который, как показывает нижеприведенный пример, дает значение функционала на некотором интервале [0, сю) лучше, чем указанные асимптотики управления при любом є Є [0, сю) и не уступает асимптотикам в других областях.
Замечание 6 Для случая, когда коэффициент при bi(t) в (2.31) в некоторой точке Г равен нулю. Паде коэффициент определяется как предел . . . .. щ{і) -! П0м(0)61(0) + Піи(О) + QQu(0)h(T) + Qm(0) bi(t) = lim „ , . т-т , для t Є [0,Т]. Причем и числитель, и знаменатель одновременно должны стремиться к нулю. В этом случае пользуясь гладкостью членов обеих асимптотик, приходим к существованию такого предела. Применение Паде-анпроксимации для построения субоптимального параметрического синтеза управления продемонстрируем на примере задачи оптимального управления: 1{и) = l/2xi(t)2 + х2{1) + 1/2(г/(1) - I)2 —- mm, (2.33) хх = -х\ + у, хі(0) = 0, х2 = 1/2и\ х2(0) = 0. q/ -y + u, з/(0) = 1, є Є [0, ос), Є [0,1]. Задача заключается в нахождении управляющей функции u(t) из класса непрерывных функций без ограничения на ее значения гак. чтобы минимизировать функционал (2.33). Для решения задачи итерационными методами в качестве начального приближения управления использовалась асимптотика управления нулевого порядка при малых є [20]. При этом с уменьшением є эффективность вычислений резко возрастала.
Используя алгоритм предыдущего параграфа строим предельную асимптотику u- o(e,t).
Для регулярных функций нулевое приближение имеет вид:
Согласно проведенным расчетам получаем, что при малых є преобладает асимптотика управления U Q, при больших соответственно и_ оо, а в серединной области Паде-аппроксимация асимптотических конструкций для оптимального управления дает значения функционала лучше, чем приближение управления, основанное на асимптотических структурах.
Значения функционала L для управлений при различных значения параметра є приводятся в таблице: Таким образом. Падс-аппроксимация является достаточно хорошим выбором для начального приближения управления в итерационных пакетах по оптимальному управлению.
Использование АПИ для построения эффективного начального приближения в пакетах прикладных программ по оптимальному управлению
Часто пакеты по оптимальному управлению содержат итерационные методы локального улучшения начальных приближений к оптимальному управлению. В ([16),[17].[20]) на различных примерах, в т.ч. и длч "жестких"систем, была продемонстрирована высокая эффективность использования асимптотического анализа систем управления для формирования качественных начальных приближений на основе нулевых членов асимптотики в итерационных пакетах по оптимальному управлению. Причем хорошая сходимость к глобальному оптимуму наблюдалась в "жестких "задач ах даже с грубым начальным приближением, лишь качественно сохраняющим структуру нулегюго члена асимптотики. Эксперименты показали, что простой диалог с пользователем, направленный на формирование набора возможных начальных приближений к оптимальному управлению окупается сторицей из-за конечности числа всех сценариев и небольшого дополнительного времени для расчетов на грубой сечке, с конечным штрафом и т.д. Диалог, который проводился в (16.[17].[20). основан на эвристическом введении малых параметров при производных в тех уравнениях системы управления, которые удовлетворяли бы при этом части условий теоремы Тихонова А.Н. ([10]) о предельном переходе из теории сингулярных возмущений. Условия эти связаны с асимптотической устойчивостью точки покоя присоединенной системы - корня вырожденной алгебраической системы. Это позволяло отбрасывать производные, понижать размерность задачи управления. менять фазовые переменные на управляющие, определять возможные импульсы у оптимального управления в исходной задаче и в и і ore получать возможную качественную информацию о решении, т.е. использовались, фактически, нечеткие правила или неполные знания. представления. Если целью является - построение приближенного аналитического выражения для параметрического синтеза оптимального управления в некоторой исходной задаче, то его можно строить на основе различных методов, в частности с помощью Паде - аппроксимации. которая, как некоторый "мост", покоится в узлах интерполяции на опорах предельных асимптотических разложениях для управления. являющихся структурными асимптотическими приближениями для оптимального управления. Расчеты для модельной задачи. выполненные выше, показали, что Паде - аппроксимация управления является приближенным параметрическим синтезом допустимого управления, который для крайних областей изменения параметра обладает свойством субоптимальности и в то же время дает значения функционала не хуже любого структурного приближения управления (здесь ие_ о и иє-юс) чри любом значении параметра. Таким образом, возможно построение интеллектуального интерфейса в прикладных пакетах по численному решению начальных и краевых задач или задач оптимального управления на основе введения лингвистических переменных и использования нечетких правил. При этом необходимы стартовые гипотезы или правила, позволяющие в интерактивном режиме очертить класс задач. Для задач оптимального управления, поведение объектов в которых описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, при использовании для упрощения и декомпозиции математической модели теоремы Тихонова А.Н. (10). правила могут быть, например, следующими:
- "если спектр основной функциональной матрицы группы движений в начальной точке лежит в левой полуплоскости, то эти движения хотя бы в начальный момент являются быстрыми":
- "если постоянные времени ряда движений значительно меньше остальных постоянных времени, то эти переменные являются быстрыми"; - "если в системе можно выделить асимптотически устойчивую подсистему, то переменные в подсистеме являются быстрыми":
- "если в системе можно выделить подсистему стабилизируемых движений, то переменные в подсистеме являются быстрыми"и т.д.
Последнее правило предполагает использование неполной обратной связи для поиска допустимых и субоптимальных управлений. Неявное применение таких правил в ([16].[17],[20]) позволяло выделить претендентов на быстрые переменные, затем переходить к вариантам декомпозиции, грубому расчету предельной задачи и формированию начального приближения в исходной задаче оптимального управления. В заключение продемонстрируем способ введения лингвистической переменной и использования нечетких правил при приближенном аналитическом решении начальной задачи с параметром. Иіак пусть имеется начальная задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с положительным параметром при час НІ производных
Требуется построить приближенное численно-аналитическое решение при любом допустимом значении параметра є. Предположим, что здесь выполнены все условия в теореме Тихонова А.Н. о предельном переходе1 при допущении, что значение параметра є стремится к нулю. В качестве лингвистической переменной сначала введем указанный параметр обозначим ее "ПАРАМЕТР"ео значениями - очень малое(ОМ). малое( М), не очень малое(НОМ). ближе к среднему(БС). среднее(С). выше среднего(ВС), не очень болыное(НОБ), большое(Б). очень болыное(ОБ). Далее введем еще следующие переменные "РЕШЕНИЕ-приближенное решение. Для последней опишем область значений - іетод погранфункций ([10]) нулевого порядка(ПФО), метод погранфункций 1 порядка(ПФі), Паде-аппроксимация порядка 2-2(Паде 2-2). Паде-аппроксимация иорядка1-1(Паде 1-1), метод Пуанкаре второго порядка(Пуан2). метод Пуанкаре первого порядка (Пуані). Теперь нетрудно связать правилами значения всех этих переменных.
