Введение к работе
Актуальность темы исследования. Уже П. Лаплас и К. Гаусс ясно понили возможность игрового истолкования статистических задач. В середине С века идея применения теоретико-игрового подхода к решению статистиче-ос задач была развита в работах А.Вальда, Д. Блекуэлла и М. Гиршика, Э. мана и других статистиков-теоретиков. Однако до настоящего времени эти ей не получили широкого практического применения в силу ряда объектив-[х взаимосвязанных причин, из которых можно выделить следующие три:
Построение теоретико-игровых моделей для конкретных статистических їач, связанное с конструированием пространства решений и выбором функ-и потерь, оказалось весьма не простым делом.
Неготовность (в частности, психологическая) к использованию рандоми-рованных решающих функций, поскольку таковыми оказываются оптималь-іе решающие функции, если Статистик не ограничивает себя выпуклыми 'нкциями потерь.
Отсутствие быстродействующих компьютерных комплексов, позволяго-лх не только решать статистические задачи и находить рандомизированные шающие функции, но и формировать сами задачи.
Среди многих статистических задач наиболее исследованы в математиче-ой статистике задачи точечного и интервального оценивания параметра се-:йства распределений. При этом среди дискретных распределений первое ме-о всегда принадлежало биномиальному распределению. Успехи Ходжеса и їмана (Hodges J.L.and Lehmann E.L, II Biometrica. 1952. V. 38. p. 182-194) во югом предопределили интерес статистиков к теоретико-игровому подходу. ми была сформулирована и решена задача точечного оценивания параметра [я квадратичной функции потерь. В дальнейшем статистики неоднократно общались к полученному решению статистической игры, которое постоянно іавнивалось с классической точечной оценкой. Ходжесом и Неманом были злучены минимаксные точечные оценки для гипергеометрического распределил, которые также сравнивались с классическими точечными оценками.
Что касается интервального оценивания, то наиболее известными явл; ются оценивающие биномиальную вероятность доверительные интервалы I Клоппера и Е. Пирсона (Clopper C.J. and Pearson E.S. II Biometrika. 1934. V. Ъ p. 404-413), Т. Стерна (Sterne Т.Е. II Biometrika. 1954. V. 41. p. 275-278) и ] Кроу (Crow E.L. II Biometrika. 1956. V.43. p. 423-435). He удивительно поэтом; что первые попытки теоретико-игрового подхода в интервальном оценивани параметров дискретных распределений, идейно подготовленные работами ї\ Дрешера и Н.Н. Воробьёва, относятся к оцениванию биномиального парами ра. При этом, если в первоначальной для указанного направления работе Ю Никитиной (в сб.: Теоретико-игровые вопросы принятия решений. - М., 197! с. 140-170.) речь шла лишь о построении доверительного интервала по одном наблюдению, то методика, предложенная М.М. Луценко (Теория вероятносте и ее применения, 1990. т.35. вып.З. с. 471-482), позволяет строить доверител: ные интервалы для биномиального параметра при любом объёме выборки т тодами динамического программирования.
В 1989 году Л.Б. Меркулович и В.Г. Суздаль (в сб.: Теоретико-игровь методы в разработке информационно-распознающих систем. ДО АН ССС] Владивосток, 1989, с. 47-56) разработали метод, позволяющий сводить решеш матричной статистической игры большой размерности к решению задачи лі нейного программирования с матрицей, размеры которой существенно меньш Дальнейшим развитием этих работ в направлении их практического примен ния явилась созданная на кафедре "Высшая математика" ПГУПСа под рукові дством М.М. Луценко компьютерная система минимаксного оценивания и пр< верки гипотез. Поэтому разработка общей методики построения точечных интервальных оценок параметра гипергеометрического распределения на осш ве компьютерной системы минимаксного оценивания является важной задаче не только для практической статистики, но и для общей теории моделирована задач компьютерными комплексами.
Цель работы. Целью работы является построение новых оценок пар; метра гипергеометрического распределения, их сравнение с оценками, по
енными классическими методами, а также обоснование применения предло-сенных оценок в некоторых важных практических задачах.
Научная новизна.
) Сформулированы и реализованы в рамках компьютерной системы минимаксного оценивания статистические игры точечного и интервального оценивания параметра гипергеометрического распределения.
) Разработаны и включены в компьютерную систему минимаксного оценивания процедуры построения доверительных интервалов Стерна-Кроу и Клоп-пера-Пирсона для параметра гипергеометрического распределения.
) Решена задача интервального оценивания интервалами фиксированной ширины параметра гипергеометрического распределения. Проведены сравнения с другими интервальными оценками и с оценками параметра биномиального распределения.
) Исследована нелинейная точечная оценка параметров биномиального и гипергеометрического распределений и проведено сравнение этой оценки с соответствующими классическими оценками и оценками Ходжеса-Лемана.
Практическая ценность. Полученные в работе результаты могут быть спользованы как в курсах математической статистики и теории игр, так и в за-ачах выборочного контроля качества продукции. В частности, апробирован-ый в работе метод позволяет снижать объём выборки на 15-30% при фикси-ованной точности и надежности оценки, полностью учитывая дискретный ха-актер распределения.
Общая методика. Для преобразования статистических задач в статисти-еские игры используется теория статистических решений, основы которой бы-и разработаны А. Вальдом и его последователями. Решение статистических гр оценивания параметра сводится в соответствии с методом Л.Б. Меркулови-а и В.Г. Суздаля к решению задачи линейного программирования с матрицей еньшей размерностью, для решения которой применяются численные методы инейного программирования.
б Публикации. По теме диссертации опубликованы или приняты к публик ции работы [1] - [7].
Апробаиия работы. Результаты работы докладывались на конференци " Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке ь чества продукции " (Москва, август 1997 года), " Математика в ВУЗе " (Пскс июнь 1997 года, Санкт-Петербург, июнь 1998 года, сентябрь 1999 года), кон4 ренциях "Неделя науки", проводимых в ПГУПСе, различных семинарах Саш Петербурга.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, четырех глі трех приложений и заключения, занимающих 132 стр. м/т. Библиография с держит 54 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.
