Введение к работе
Актуальность темы. Модели колебательных систем используются в ферментативном катализе, теории иммунитета, в теории трансмембранного ионного переноса, микробиологии и биотехнологии. В отдельный класс выделяются автоколебательные системы, к которым относятся колебания в гликолизе и других метаболических системах, периодические процессы фотосинтеза, колебания концентрации кальция в клетке, колебания численности животных в популяциях и сообществах. Модели изменения концентрации озона в атмосфере приводят к целому классу жестких задач Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), которые современными программами решаются как типовые. Одной из важных и базовых среди известных автоколебательных реакций является реакция окисления лимонной кислоты броматом калия, катализируемая ионами церия (IV), называемая реакцией Белоусова-Жаботинского. Практически все модели осцилляторов, описывающие данные явления и процессы, приводят к системам ОДУ для вектора концентраций . Разнообразие численных методов, предназначенных для решения задачи Коши для ОДУ, показывает, что часто практические требования точности и быстродействия отвергают выбор универсального метода. Не меньшее значение при приближении реальных моделей, в частности, описывающих биологические и биохимические автоколебательные системы, имеет компьютерная реализация методов. Численное интегрирование систем ОДУ во многих современных математических моделях связано с решением таких проблем, как жёсткость и неустойчивость к возмущениям входных параметров. Существует множество численных методов, с различной эффективностью преодолевающих указанные проблемы, однако это не снижает актуальность создания эффективных, обладающих универсальностью и простой программной реализацией методов. Как правило, метод, подобранный для аппроксимации с высокой точностью одного типа задач, не встречается при приближении решения задач другого типа. Иными словами, существующие методы приближения решения задачи Коши для ОДУ не инвариантны относительно вида системы при наличии жесткости. Помимо того, актуальны проблемы непрерывности приближения и оптимизации распределения узлов интегрирования в зависимости от гладкости решения на различных участках отрезка интегрирования. Диссертация посвящена уточнению существующих моделей химических и биологических осцилляторов на основе разработки инвариантного численного метода и реализующего его программного комплекса.
Целью диссертационной работы является разработка и исследование инвариантного компьютерного метода решения задачи Коши для системы ОДУ с применением к моделированию химических и биологических осцилляторов. Построение метода основано на кусочно-полиномиальном приближении решения в условиях невысокого порядка гладкости правой части при выполнении требования минимизации погрешности и временной сложности, а также требования непрерывности и непрерывной дифференцируемости приближения в случае моделирования процессов с помощью жестких и нежестких систем.
Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:
1. Разработать единый компьютерный метод варьируемого кусочно-полиномиального решения задачи Коши для системы ОДУ на основе интерполяционных полиномов Ньютона с числовыми значениями коэффициентов, обеспечивающий высокую точность приближенного решения со свойствами непрерывности и непрерывной дифференцируемости приближения в условиях невысокого порядка гладкости правой части.
2. Доказать сходимость и дать оценку скорости сходимости конструируемого метода в случае его применения для аппроксимации функций и в случае решения с его помощью задачи Коши для системы ОДУ, показать целесообразность его практического применения, выполнить сравнение с методами высоких порядков в аспекте компьютерной реализации математического моделирования процессов с быстро меняющейся динамикой.
3. Выполнить компьютерную реализацию кусочно-полиномиального метода приближенного решения жестких систем ОДУ для уточнения числовых параметров реагентов автоколебательных реакций при моделировании периодической реакции Белоусова-Жаботинского, суточных колебаний концентрации озона в атмосфере и релаксационных автоколебаний в системе гликолиза.
4. Оценить трудоемкость и временную сложность кусочно-полиномиального приближения решения систем ОДУ, указать зависимость трудоемкости метода от точности кусочно-полиномиального приближения решения жестких и нежестких систем ОДУ в процессе моделирования автоколебательных процессов с учетом параллелизма метода.
5. Разработать способ переноса компьютерного метода кусочно-полиномиального приближения решения задачи Коши для системы ОДУ на случай приближенного решения дифференциальных уравнений (ДУ) в частных производных на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации функций двух переменных. Выполнить численный эксперимент по точности кусочно-полиномиального приближения и применимости метода для моделирования волновых процессов.
6. Разработать комплекс программ на основе единого метода кусочно-полиномиального решения жестких и нежестких систем ОДУ, адаптируемый к различным классам задач посредством задания числовых параметров подпрограмм, выполнить с его помощью численный и программный эксперимент по сравнению погрешности и временной сложности известных разностных и предложенных кусочно-полиномиальных схем с целью уточнить физические параметры и фазовые портреты математических моделей автоколебательных реакций.
Методы исследования включают вычислительные методы линейной алгебры и математического анализа, численные и аналитические методы решения систем ОДУ, разностные методы решения уравнений в частных производных, методы математического, компьютерного и численного моделирования автоколебательных реакций, элементы теории сложности параллельных алгоритмов, методы теории интерполяции и теории функций вещественной переменной, методы объектного программирования.
Достоверность результатов вытекает из корректного математического обоснования с помощью аналитических оценок погрешности приближений и временной сложности формализованных алгоритмов, подтверждается результатами компьютерного моделирования, программного и численного эксперимента.
Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем:
1. Предложен компьютерный метод варьируемого кусочно-полиномиального решения задачи Коши для системы ОДУ, отличающийся от аналогов по построению на основе кусочного приближения решения на подынтервалах интерполяционными полиномами Ньютона с числовыми значениями коэффициентов, а также программной вариацией длин подынтервалов и степеней аппроксимирующих полиномов, что позволяет достигать сравнительно высокой точности при наличии непрерывности и непрерывной дифференцируемости приближенного решения (С. 39 – 47, 53 – 64).
2. Показана равномерная сходимость предложенного метода со скоростью геометрической прогрессии к аппроксимируемой функции, а также к решению задачи Коши для системы ОДУ на конечном промежутке из области допустимых значений в условиях двукратной дифференцируемости правой части, что упрощает его применение по сравнению с методами высоких порядков и обеспечивает численное моделирование процессов с быстро меняющейся динамикой (С. 29 – 37, 47 – 53).
3. Реализовано применение кусочно-полиномиального метода для приближенного решения жестких систем ОДУ, на этой основе представлены результаты компьютерного моделирования периодической реакции Белоусова-Жаботинского, суточных колебаний концентрации озона в атмосфере, релаксационных автоколебаний в системе гликолиза. Результаты отличаются повышенной точностью, а также непрерывностью приближенного решения моделирующих систем в допустимых границах трудоемкости, что позволяет уточнить числовые параметры реагентов рассматриваемых автокаталитических реакций (С. 66 – 91).
4. Выполнены оценки трудоемкости и временной сложности кусочно-полиномиального приближения решения жестких и нежестких систем ОДУ, показана периодическая зависимость трудоемкости от точности кусочно-полиномиального приближения решения при моделировании автоколебательных процессов, а также возможность снижения временной сложности за счет параллелизма метода применительно к компьютерной реализации математических моделей автоколебательных процессов (С. 109 – 117).
5. Разработан способ переноса компьютерного кусочно-полиномиального приближения решения задачи Коши для системы ОДУ на случай приближенного решения ДУ в частных производных. Метод отличается от известных по построению на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации функций двух переменных, по точности компьютерного приближения решения линейных гиперболических уравнений, что позволяет его применять для моделирования волновых процессов, описываемых уравнениями данного вида (С. 118 – 136).
6. Разработан комплекс программ на основе инвариантного метода кусочно-полиномиального решения жестких и нежестких систем ОДУ, отличающийся тем, что адаптация к различным классам задач реализована заданием числовых параметров подпрограмм. При помощи комплекса выполнен численный эксперимент по сравнению погрешности и временной сложности известных разностных и предложенных кусочно-полиномиальных схем с применением узловых интерполяционных значений на основе методов Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта, Бутчера и Дормана-Принса. Показана меньшая погрешность предложенного метода, что в сочетании с гладкостью приближения позволяет уточнить физические параметры и фазовые портреты математических моделей автоколебательных реакций (С. 39 – 47, 53 – 64, 72 – 77, 154 – 211).
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Компьютерный метод кусочно-полиномиального решения задачи Коши для системы ОДУ на основе кусочно-полиномиального приближения решения интерполяционными полиномами Ньютона с числовыми значениями коэффициентов и программной вариацией длин подынтервалов, а также степеней аппроксимирующих полиномов для обеспечения высокой точности приближенного решения со свойствами непрерывности и непрерывной дифференцируемости.
2. Обоснование равномерной сходимости кусочно-полиномиального метода со скоростью геометрической прогрессии к решению задачи Коши для системы ОДУ на конечном промежутке при двукратной дифференцируемости функций правой части с целью обеспечения компьютерного расчета математических моделей периодических реакций.
3. Компьютерная реализация предложенного метода для приближенного решения жестких систем ОДУ, уточнение на этой основе расчета моделей химических автоколебательных реакций, включая числовые параметры реагентов.
4. Оценки трудоемкости и временной сложности кусочно-полиномиального приближения решения жестких и нежестких систем ОДУ для моделей автоколебательных процессов; показана возможность сокращения времени моделирования за счет параллелизма метода.
5. Метод приближения решения задачи Коши для ДУ в частных производных на основе кусочно-полиномиальной аппроксимации функций двух переменных с применением к расчету моделей волновых процессов.
6. Программный комплекс на основе единого метода кусочно-полиномиального решения жестких и нежестких систем ОДУ, который отличается тем, что адаптация к различным классам задач реализована в виде числовых параметров подпрограмм инвариантного вида; при помощи комплекса выполнен расчет математических моделей периодических реакций, получены сравнительные оценки погрешности и времени расчета моделей на основе разностных и кусочно-полиномиальных схем с применением методов Эйлера, Эйлера-Коши, Рунге-Кутта, Бутчера и Дормана-Принса; даны уточнения физических параметров и фазовых портретов математических моделей автоколебательных реакций.
Практическая ценность диссертационного исследования заключается в прикладном характере предложенных методов кусочно-полиномиального решения ОДУ и уравнений в частных производных, которые применяются для компьютерной реализации математического моделирования периодических реакций, включая реакции Белоусова-Жаботинского, суточные колебания концентрации озона в атмосфере, релаксационные автоколебания в системе гликолиза, а также для моделирования волновых процессов. Результаты моделирования необходимы для отладки технологических процессов на основе периодических реакций, для оценки изменений концентрации свободного кислорода, озона и молекулярного кислорода в атмосфере в зависимости от участка земной поверхности. Предложенный кусочно-полиномиальный метод доведен до практической реализации в виде программного комплекса для решения актуальных задач математического моделирования, связанных с исследованием автоколебаний. Кроме того, разработанный программный комплекс на той же основе применяется для снижения временной сложности и повышения точности решения систем ОДУ, моделирующих движение объектов в реальном времени.
Внедрение и использование результатов работы. Полученные в работе результаты использованы:
1. В ОАО НКБ ВС для решения систем ОДУ при моделировании движения транспортного средства в реальном времени (с учетом сил трения и переменного вектора тяги) в трехмерном пространстве. Модель интегрирована в состав программного обеспечения стенда функционального контроля (СФК).
2. В работе по выполнению государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» по проекту № 7.1398.2011 «Распараллеливаемые компьютерные методы вычисления функций, решения и анализа устойчивости дифференциальных уравнений, цифровой обработки сигналов и распознавания изображений с применением алгоритмов сортировки».
3. В учебном процессе кафедры информатики ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» в курсах «Численные методы», «Программирование», «Методы численного анализа и вычислительной алгебры», «Математическое моделирование» и «Компьютерное моделирование».
Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на пятьдесят второй научной студенческой конференции (Таганрог, ТГПИ, 2009 г.); III Всероссийской студенческой научно-технической конференции «Прикладная информатика и математическое моделирование» (Москва, МГУП, 2009 г.); International Conference Parallel Computer Algebra ‘2010 (Tambov, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, 2010); XI международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные исследования, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (Санкт-Петербург, СПБПУ, 2011); XII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия) (Казань, 2011); Всероссийской НТК с международным участием: «Компьютерные и информационные технологии в науке, инженерии и управлении» «КомТех-2011» (Таганрог, ТТИ ЮФУ, 2011 г.); IX региональной научно-практической конференции «Аспекты развития науки, образования и модернизации промышленности» (Таганрог, ДГТУ, 2011 г.).
Публикации. По материалам работы опубликовано 14 печатных работ общим объемом около 17 печатных листов, в том числе 4 статьи в журналах из перечня рекомендуемых ВАК РФ.
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав основного раздела, заключения, списка литературы и приложений к четырем главам. Основное содержание работы изложено на 152 страницах, включая список литературы из 111 наименований, приложение изложено на 70 страницах, включает коды программ, реализующих математические модели и предложенные численные методы.
Похожие диссертации на Компьютерный метод кусочно-полиномиального приближения решений обыкновенных дифференциальных уравнений в применении к моделированию автоколебательных реакций
