Введение к работе
Диссертационная работа посвящена разработке новых численных и аналитических методов решения прямых и обратных задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы, и применению их к задачам тепломассопереноса в анизотропных средах.
Актуальность темы. Многие физические процессы, такие как теплопроводность, фильтрация, диффузия, вязкие течения газа, электропроводность и т.п. характеризующиеся полями температур, давлений, массы, плотности, электрического заряда соответственно, описываются градиентными законами переноса потенциала - Фурье, Дарси, Фика, Ньютона - и, следовательно, являются потенциальными векторными полями. Уравнения в частных производных, выведенные на основе этих законов, имеют параболический тип, и если среда, в которой рассматривается перенос потенциала, является изотропной, то соответствующие уравнения не содержат смешанных дифференциальных операторов. Такие уравнения и соответствующие потенциальные поля хорошо изучены, например, по теории изотропной теплопроводности и фильтрации имеются сотни публикаций.
Для анизотропных сред перенос потенциала носит тензорный характер, вследствие чего дифференциальные уравнения содержат смешанные производные по пространственным переменным, что приводит к существенным трудностям при решении начально-краевых задач для таких уравнений. Например, известный метод разделения переменных, на основе которого построены практически все остальные аналитические методы решения уравнений в частных производных, не применим к уравнениям, содержащим смешанные дифференциальные операторы, поскольку в этом случае пространственные переменные не разделяются. Для решения таких задач остаются в основном численные методы, однако построение экономичных абсолютно устойчивых методов численного решения задач, содержащих смешанные дифференциальные операторы наталкивается на значительные трудности, связанные с аппроксимацией именно этих операторов. Достаточно напомнить, что все существующие экономичные методы численного решения (в основном это методы расщепления по координатным направлениям) аппроксимируют смешанные производные на нижних временных слоях (явно), что приводит к условной устойчивости и даже неустойчивости таких известных методов, как метод переменных направлений (МПН) Писмена-Рэчфорда, метод дробных шагов (МДШ) Н.Н.Яненко, центрально-симметричный метод
(ЦСМ) А.А.Самарского, метод стабилизирующей поправки (МСП) Дж.Дугласа и Дж.Е.Гана и др.
Среди работ по экономичным численным методам решения многомерных задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы, следует отметить работы Н.Н. Яненко, А.А. Самарского, Г.И. Марчука, И.В. Фрязинова, Е.Г. Дьяконова, В.К. Саульева, Н.Д. Сафронова, Д. Писмена и X. Рэчфорда, Дж. Дугласа и Дж. Е. Гана. Однако все эти методы аппроксимируют смешанные производные явно, что приводит при определенных условиях к их неустойчивости.
По аналитическим методам решения задач для уравнений параболического типа со смешанными производными следует отметить работы Пэдовена Д., Пуня КС, Цзоу Р.С, Чжана Ю.П., В.Ф. Формалева, С.А. Колесника. Решения получены методами операционного исчисления и таких решений насчитывается не более десятка.
Среди важнейших работ по решению прямых задач переноса потенциала можно отметить работы Карслоу Г. и Егера Д., А.В.Лыкова, Э.М. Карташова, B.C. Зарубина, Р. Бермана, М.Г. Бернадинера, Ю.В. Полежаева, А.А. Шишкова, Г.И. Баренблатта, Ю.И. Димитриенко и др., а по обратным задачам - работы А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, О.М. Алифанова, Е.А. Артюхина, Дж. В. Бэка, М.Н. Оцизика, Ц.Х. Хуанта, И.К. Хонта, СВ. Баека, А.А. Самарского и П.Н. Вабищевича и многих других. Однако во всех этих работах рассматривались задачи переноса потенциала в изотропных средах с дифференциальными уравнениями без смешанных производных.
Таким образом, публикации по методам решения как прямых, так и обратных задач переноса потенциала в анизотропных средах практически отсутствуют, хотя большинство естественных и искусственных материалов являются анизотропными со степенью анизотропии от 1 до 200. Поэтому неучет тензорного характера переноса потенциала в анизотропных средах приводит не только к количественному, но и к качественному искажению результатов решения соответствующих задач.
В этой связи тема диссертационной работы «Разработка математического аппарата численно-аналитического решения уравнений со смешанными производными и его применение к математическому моделированию тепломассопереноса» является актуальной.
Нерешенность перечисленных актуальных проблем обусловила цель данной диссертации:
разработка математического аппарата на основе численных и аналитических методов решения прямых и обратных задач для
уравнений параболического типа со смешанными дифференциальными операторами и применение его к математическому моделированию анизотропного тепломассопереноса.
Для достижения данной цели необходимо было разработать:
новые экономичные абсолютно устойчивые методы численного решения задач для уравнений параболического типа (в том числе и нелинейных), содержащих смешанные дифференциальные операторы; методы аналитического решения задач, содержащих смешанные производные, с граничными условиями различных родов; методологию решения обратных граничных и коэффициентных задач для уравнений параболического типа со смешанными производными; комплексную универсальную математическую модель тепломассопереноса для большинства анизотропных композиционных материалов (КМ), используемых в качестве теплозащитных для гиперзвуковых летательных аппаратов (ЛА) и для ее решения использовать разработанный математический аппарат.
Методы исследования. Для решения комплекса проблем использовались: численные методы решения многомерных задач, методы математической физики, методы теории функций комплексной переменной и операционного исчисления, методы математического моделирования и сравнительного анализа, а также методы идентификации и обратных задач для уравнений параболического типа со смешанными производными.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты:
- разработан и обоснован по аппроксимации и устойчивости
новый класс экономичных абсолютно устойчивых методов расщепления
численного решения задач для уравнений параболического типа (в том
числе и нелинейных), содержащих смешанные дифференциальные
операторы, на основе использования апостериорной информации о
решении, полученной на верхних временных слоях, и на более глубоком,
чем в классических методах, расщеплении смешанных
дифференциальных операторов;
проведено сравнительное тестирование предложенных и классических методов расщепления численного решения нелинейных задач со смешанными дифференциальными операторами на аналитическом решении существенно нелинейной задачи;
впервые получен ряд аналитических решений задач для уравнений параболического типа, содержащих смешанные дифференциальные операторы, с граничными условиями П-го и Ш-го родов;
- разработана методология численного решения обратных
граничных и коэффициентных задач для уравнений параболического
типа со смешанными производными на основе неявного метода
градиентного спуска, новых аналитических и численных методов;
сформулированы условия существования и единственности решения
обратных задач;
- предложена комплексная математическая модель
тепломассопереноса в анизотропных КМ, используемых в качестве
тепловой защиты гиперзвуковых ЛА и методология ее численного
решения на основе разработанных численных методов; математическая
модель учитывает фазовые превращения внутри КМ, образование
пиролизных газов и пористого коксового остатка, фильтрацию
пиролизных газов через пористый остаток и вдув их в
высокотемпературный пограничный слой, унос массы с наружной
поверхности ЛА, наличие трех нестационарно подвижных границ
фазовых превращений;
- получены новые универсальные законы разложения связующих
КМ и нелинейной фильтрации пиролизных газов, пригодные для
большинства КМ, используемых в качестве теплозащитных; эти законы
включены в комплексную математическую модель;
- впервые получены многочисленные результаты численного
решения прямых и обратных задач тепломассопереноса в анизотропных
телах на основе разработанных комплексов программ.
Практическая значимость. Предложенные численные методы могут быть использованы для эффективного численного решения задач переноса потенциала в анизотропных линейных и нелинейных средах; аналитические решения могут быть использованы не только для тестирования численных методов, но и для получения точных решений задач переноса потенциала в анизотропных средах; методология решения обратных задач может быть использована при восстановлении краевых условий П-го и Ш-го родов, а также характеристик тензора переноса потенциала.
Достоверность утверждений, представленных в диссертационной работе, подтверждается строгими математическими доказательствами, адекватными математическими моделями, аналитическими решениями и сравнением численных решений с аналитическими.
Апробация результатов исследования. Результаты
диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, научных школах и семинарах: 9-17 Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы конструкций и механики сплошных сред» им. А.Г. Горшкова (Ярополец, Моск. обл. 2003-2011 г.г.), 3-й и 5-й Международных конференциях «Авиация и космонавтика»
(Москва, 2004, 2006 г.г.); 1-й Международной конференции, посвященной 90-летию акад. В.Н. Челомея (Москва-Реутов, 2004 г.); 20-х академических чтениях «Актуальные проблемы развития отечественной космонавтики» (Москва, 2005 г.); 12 и 13 Международных конференциях «Математические модели физических процессов» (Таганрог, 2007, 2008 г.г.); 8-й и 9-й Международных конференциях по неравновесным процессам в соплах и струях (Алушта, Крым, 2010, 2011 г.г.); 6-й школе-семинаре академика РАН В.Е. Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, 2008 г.); 1-й Всероссийской школе-семинаре «Компьютерный инженеринг в промышленности и вузах», посвященном 80-летию МАИ (2009 г.); 10-й Всероссийской научно-технической конференции «Научные исследования в области транспортных, авиационных и космических систем» (Воронеж, 2009 г.); 5-й Российской национальной конференции по теплообмену (Москва, 2011 г.); Всероссийской конференции «Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред» (ИПРИМ РАН, 2010 г.); 7-й Международной конференции «Современные вопросы науки» (Тамбов, 2011 г.); 31-й Всероссийской конференции по проблемам науки и технологий МСНТ (г. Миасс, 2011г.).
Результаты диссертационной работы использованы в НИР по 8 грантам РФФИ, в трех из которых автор была научным руководителем, а также Минобрнауки РФ в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России». В 2008-2011 г.г. - обладатель трех грантов Президента РФ в общероссийских конкурсах «Молодые кандидаты» (№№ МК-646. 2008.8; МК-1184. 2009.8; МК-309. 2011.8), а также обладатель «Гранта клуба выпускников МАИ» 2009 г.
Публикации. По тематике диссертационной работы опубликованы две монографии [1, 2], из них одна в соавторстве, и 36 работ, из них 25 работ [3-27] опубликованы в журналах, входящих в перечень ведущих рецензируемых изданий ВАК РФ, а также учебное пособие [59].
Личный вклад. Все основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Программирование и получение численных результатов по обратным граничным и коэффициентным задачам теплопереноса выполнены совместно с доц. Колесником С.А.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения с обзором литературы, шести глав, заключения, списка использованной литературы и краткого описания программных комплексов. Работа изложена на 330 страницах, содержит 54 рисунка и 13 таблиц.
