Введение к работе
Математическое моделирование электромагнитных полей является важным и весьма ответственным этапом проектирования и интерпретации экспериментальных исследований структуры геологической или техногенной среды методами электромагнитного зондирования. Электрофизическими предпосылками использования методов электроразведки на нестационарных электромаг-дитных полях является дифференциация объектов исследования по сопротивлению, магнитной и диэлектрической проницаемости.
Современные технологии электромагнитных зондирований позволяют регистрировать сигналы в широком амплитудно-частотном диапазоне, что существенно расширяет область практического использования электроразведки. Бурно развивающаяся в последние 15 лет технология подповерхностного радиолокационного зондирования (георадар) основана на генерации наносекунд-ных импульсов тока и регистрации особенностей распространения фронта электромагнитной волны в исследуемой среде с целью определения ее геометрических и электрофизических параметров на ранних временах, когда существенную роль играет диэлектрическая проницаемость. Практическое использование принципов радиоволнового зондирования было обеспечено развитием техники генерации электромагнитных импульсов наносекундной длительности.
В данной работе на основании математического моделирования будет исследована эффективность использования георадара в различных геоэлектрических условиях.
Для вычисления характеристик электромагнитных полей в таких задачах -часто используются полуаналитические методы, описанные, например, в работах Могилатова В С. Эти методы, как правило, основаны на существенно упрощенных математических моделях ноля. Основное достоинство такого подхода состоит в том, что в качестве решения задачи предлагается некоторый набор формул и интегральных соотношений, позволяющих при относительно небольших вычислительных затратах рассчитать требуемые характеристики поля. Основной недостаток - это упрощение математической модели электромагнитного поля, в результате чего невозможно в рамках этих методов учесть все закономерности поведения электромагнитного поля для более сложных сред. Поэтому область применения полуаналитических методов весьма ограничена.
В отличие от аналитических методов, использование такого универсального метода решения дифференциальных уравнений в частных производных, как метод конечных элементов (МКЭ), позволяет решать широкий класс двумерных и трехмерных задач геоэлектроразведки. Однако применение стандартных конечноэлементных аппроксимаций также вызывает значительные вычислительные затруднения при решении рассматриваемого класса задач.
В качестве основных причин этого можно назвать следующие. Первая за-'ключается в том, что вклад в электромагнитное поле откликов изучаемых объектов обычно невелик. Вторая из причин состоит в том, что при математиче-
j «>С НАЦИОНАЛЬНАЯ і
З І БИБЛИОТЕКА і
ском моделировании трехмерных нестационарных электромагнитных полей недостаточно одного скалярного уравнения как, например, для описания стационарных электрических или магнитных полей, и в результате при построении конечноэлементного решения трехмерного векторного уравнения объем вычислительных ресурсов резко возрастает по сравнению с объемом ресурсов, требуемых на решение аналогичного скалярного уравнения. Это приводит либо к большим погрешностям численного решения вследствие использования недостаточно подробной пространственной и временной дискретизации, либо к чрезмерным вычислительным затратам на решение практических задач.
Эти две причины приводили к тому, что многие сложные практические задачи долгое время не удавалось решить с требуемой точностью. К таким задачам относится большинство трехмерных задач электромагнитного зондирования Земли.
Для решения данной проблемы в работе предложено использовать вычислительные схемы, основанные на разделении полей и использовании векторного метода конечных элементов, предложенного в работах Nedelec J.С. и развиваемого вработахА. Bossavit, J.P. Webb идр.
Исходя из условия горизонтальной слоистости вмещающей среды, предлагается использовать подход к построению конечноэлементных аппроксимаций, основанный на представлении трехмерного нестационарного электромагнитного поля в виде разложения на основное двумерное (осесимметричное) поле и добавочное (аномальное) поле влияния любых трехмерных объектов. -Предложенная в работах Соловейчика Ю.Г. такая схема разделения полей позволяет существенно сократить вычислительные ресурсы, требуемые для решения трехмерной задачи, при условии, что существенную роль играет осесимметричное поле. Следовательно, для вычисления трехмерного поля необходимо получить основное поле с довольно высокой степенью точности, в то время как аномальная (трехмерная) часть поля может быть рассчитана с меньшей точностью.
Для нахождения осесимметричной (двумерной) части электромагнитного поля методом конечных элементов удобно использовать прямоугольные двумерные пространственные сетки в цилиндрической системе координат. Соответственно, для нахождения аномальной (трехмерной) части электромагнитного поля удобно воспользоваться трехмерными прямоугольными (параллелепи-пеидальными) пространственными сетками в декартовой системе координат. Такой выбор может быть обусловлен, прежде всего, необходимостью быстрого и удобного построения сеток (при использовании треугольных элементов задача построения сетки не столь проста). Помимо этого, при использовании прямоугольных конечных элементов вместо треугольных алгоритмы пересчета полей при переходах между трехмерными и двумерными задачами значительно упрощаются. Основную проблему прямоугольных сеток, связанную с большим числом «лишних» узлов (узлов, удаление которых практически не проводит к
увеличению погрешности численного решения), предлагается решать путем перехода к нерегулярным прямоугольным сеткам.
При конечноэлементном моделировании электромагнитных процессов в горизонтально-слоистой среде с трехмерными объектами предлагается использовать векторный метод конечных элементов. Особенность данного метода состоит в использовании векторных реберных базисных функций при конечно-элементном моделировании (так называемых edge-элементов). Важной особенностью таких функций является их разрывность, что позволяет с их помощью проводить моделирование трехмерного электромагнитного поля в средах с разрывными коэффициентами удельной проводимости, магнитной и диэлектрической проницаемости.
Несмотря на достаточно развитую технологию георадарных зондирований, включая интерпретацию, проблема построения эффективных процедур численного моделирования нестационарных трехмерных электромагнитных полей до сих пор вызывает значительный практический интерес как у исследователей при проектировании работ и интерпретации полученных данных, так и у специалистов по математическому моделированию. Этим определяется актуальность предлагаемой работы.
Основной научной проблемой, пути решения которой рассматриваются в данной работе, является проблема построения эффективных процедур численного моделирования осесимметричных и трехмерных электромагнитных полей при одновременном учете токов проводимости и токов смещения.
Цель исследований заключается в разработке, реализации и сравнении различных конечноэлементных схем моделирования как двумерного (осесим-метричного), так и трехмерного (аномального) нестационарного электромагнитного поля.
Научная новизна работы состоит в следующем:
Исследованы возможности использования многослойных явных и неявных схем аппроксимации по времени и возможности использования равномерных и неравномерных пространственных сеток для сред с различными геоэлектрическими свойствами.
Разработаны методы расчета трехмерных нестационарных электромагнитных полей с одновременным учетом токов проводимости и токов смещения, базирующиеся на разделении искомого поля на осесиммет-ричное поле и поле откликов трехмерных объектов и использовании векторного МКЭ для решения трехмерной задачи.
На основе разработанных в диссертационной работе методов изучено распространение электромагнитной волны в неоднородной проводяшей среде.
Практическая ценность работы и реализация результатов. Разработанные методы и алгоритмы конечноэлементного моделирования трехмерного нестационарного электромагнитного поля были использованы при проведении
работ, связанных с исследованием глубинности действия георадаров в различных геоэлектрических условиях.
Достоверность результатов подтверждена решением ряда модельных задач, а также сравнением с результатами, полученными другими авторами. Защищаемые положения.
При использовании явных схем довольно высок уровень вычислительной погрешности, на фоне которой может быть существенно затруднено выделение аномальных объектов. Применение элементов с биквадратичными базисными функциями при использовании как явных, так и неявных схем, не приводит к повышению эффективности вычислительной схемы.
Для уменьшения уровня вычислительных шумов при использовании неявных трехслойных и четырехслойных схем аппроксимации по времени для расчета фронта зондирующего импульса необходимо использовать четы-рехслойные схемы, а для процессов, связанных с токами проводимости -трехслойные.
Отклики от трехмерных объектов могут быть рассчитаны с достаточно высокой точностью только при использовании подхода, основанного на разделении искомого поля на осесимметричное поле и поле откликов трехмерных объектов, в котором трехмерная задача решается с использованием векторного МКЭ.
Разработанный математический аппарат позволяет определять глубинность подповерхностного радиолокационного зондирования, форму откликов от геоэлектрических неоднородностей с аномальными значениями электрической проводимости, диэлектрической и магнитной проницаемости.
Личный вклад. Разработаны и программно реализованы схемы конечно-элементного моделирования осесимметричного нестационарного электромагнитного поля с учетом токов проводимости и токов смещения. Исследована точность различных схем аппроксимации нестационарных осесимметричных задач по пространству с использованием кусочно-билинейных и кусочно-биквадратичных базисных функций на прямоугольниках и с использованием явных и неявных трехслойных и четырехслойных схем аппроксимации по времени. Разработан и реализован подход к решению векторной гиперболической задачи с разделением искомого поля на осесимметричное и поле откликов трехмерных объектов, в котором трехмерная задача решается с использованием векторного МКЭ. Проведены исследования глубинности действия георадара в зависимости от проводимости вмещающей среды. Изучено влияние величин разносов между генератором и приемником на возможности выделения аномальных по проводимости объектов.
Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на IV и V международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП-98 и АШП-2000 (Новосибирск, 1998г., 2000г.); The
Third Russian-Korean International Symposium on Science, and Technology KORUS'99 (Новосибирск, 1999г.); Третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 2000г.); региональной научной конференции «Наука. Техника. Инновации» (Новосибирск, 2001, 2002гг.); семинарах НГТУ и СНИИГТиМСа.
Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 10 печатных работ.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованных источников (111 наименований). Работа изложена на 126 страницах, включая 47 иллюстраций.
