Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Конечноэлементное моделирование нестационарного электромагнитного поля ГЭЛ в горизонтально-слоистой среде 14
1.1. Математическая модель для расчета поля ГЭЛ 15
1.2. Анализ точности конечноэлементного расчета поля ГЭЛ 25
1.3. Анализ вычислительных затрат конечноэлементного расчета поля ГЭЛ 37
1.4. Выводы 38
Глава 2. Конечноэлементное моделирование нестационарного электромагнитного поля ГЭЛ в трехмерных задачах 40
2.1. Постановка для узлового МКЭ 41
2.2. Постановка для векторного МКЭ 44
2.3. Расчет начального поля при моделировании поля ГЭЛ с выделением поля горизонтально-слоистой среды 45
2.4. Расчет начального поля при моделировании поля ГЭЛ без выделения поля горизонтально-слоистой среды 46
2.5. Анализ точности конечноэлементного решения трехмерных задач с источником ГЭЛ 47
2.6. Выводы 52
Глава 3. Решение трехмерных задач электроразведки с источником ГЭЛ 54
3.1. Задача с центральным объектом 54
3.2. Задача со слабопроводящим объектом 60
3.3. Задача с субвертикальными шестигранными объектами 64
3.4. Задача с боковым вытянутым объектом 69
3.5. Выводы 79
Глава 4. Несогласованные конечноэлементные сетки 81
4.1. Построение несогласованных конечноэлементных сеток с параллелепипеидальными ячейками 81
4.2. Построение комбинированных несогласованных конечноэлементных сеток с параллелепипеидальными и шестигранными ячейками 91
4.3. Пример использования комбинированной несогласованной конечноэлементной сетки при решении задачи геоэлектроразведки 98
4.4. Выводы 103
Глава 5. Программный комплекс ЭР-ГЭЛ 104
5.1. Описание программных комплексов GeoEM и ЭР-ГЭЛ,
отличия от существующих аналогов 105
5.2. Структура программного комплекса ЭР-ГЭЛ 107
5.3. Графический препроцессор 116
5.4. Основные структуры данных
5.5. Пример работы с данными и результатами расчета в программном комплексе ЭР—ГЭЛ
5.6. Выводы
Заключение
Список использованных источников
- Анализ точности конечноэлементного расчета поля ГЭЛ
- Расчет начального поля при моделировании поля ГЭЛ с выделением поля горизонтально-слоистой среды
- Задача с субвертикальными шестигранными объектами
- Построение комбинированных несогласованных конечноэлементных сеток с параллелепипеидальными и шестигранными ячейками
Введение к работе
При решении многих геофизических задач важное место занимают создание и исследование математических моделей геофизических явлений, использование этих моделей при интерпретации геофизических наблюдений, создание вычислительных систем обработки геофизической информации [11, 12,16,19,77,90].
Одним из направлений разведочной геофизики является геоэлектроразведка [8, 13, 21, 28, 34, 36, 92, 93]. В задачах геоэлектроразведки моделируются электромагнитные поля, существующие в Земле в силу естественных (космических, атмосферных или физико-химических) процессов или созданные искусственно. Интенсивность и структура электромагнитных полей определяются электромагнитными свойствами среды (удельное электрическое сопротивление, поляризуемость, магнитная проницаемость), интенсивностью и видом источника, а также способами возбуждения (для искусственного поля). Последние бывают гальваническими, когда поле в Земле создают с помощью тока, пропускаемого через заземленные электроды; индуктивными, когда ток, проходя по незаземленному контуру, создает в среде электромагнитное поле за счет индукции; и смешанными (гальваническими и индуктивными) [37].
В качестве математической модели электромагнитного поля используется система уравнений Максвелла [26, 33, 88, 101]. Система уравнений Максвелла является фундаментальной математической моделью, применяемой при описании всех макроскопических электромагнитных явлений, и устанавливает связь между компонентами электрического и магнитного полей, параметрами среды и сторонними источниками электромагнитного поля в форме системы векторных дифференциальных уравнений.
В настоящее время при решении дифференциальных уравнений, описывающих различные физические процессы, широко используется метод конечных элементов (МКЭ), как один из наиболее эффективных численных методов решения задач математической физики [15, 18, 23, 35, 48, 49, 61-63, 67, 75, 99,
104-108, 102, 103]. Несмотря на то, что МКЭ с точки зрения реализации выглядит сложнее других численных методов, используемых при решении дифференциальных уравнений (например, метода конечных разностей, метода конечных объемов [25, 31, 32, 60]), он является более мощным и универсальным численным методом для решения задач, в которых расчетная область содержит геометрически сложные объекты, неоднородные по физическим свойствам. С математической точки зрения МКЭ является обобщением методов Рит-ца и Галеркина и поэтому может применяться к широкому классу уравнений или систем уравнений в частных производных [24, 70, 89].
Математическое моделирование в геоэлектроразведке применяют для решения таких задач, как анализ разрешающей способности различных методов [22, 41, 42-47, 53-55], изучение закономерностей влияния параметров среды на измеряемое поле (прямые задачи [39, 51, 91, 94, 97, 109, 113]), интерпретация полевых данных (обратные задачи [7, 10, 40, 52, 72, 73, 95, 96, 98, 114]), исследование характерных особенностей поведения поля в конкретных ситуациях [1, 2, 9, 81-87].
Использование конечноэлементных пакетов общего назначения (например, ANSYS, FLUX3D, OPERA3D и др.) при решении задач геоэлектроразведки приводит к существенным вычислительным затратам, необходимым для получения результата с нужной точностью. Такие программные пакеты к тому же имеют интерфейс, не очень удобный для решения задач геофизики, и ограниченные возможности автоматизации построения аппроксимирующих сеток, что также существенно затрудняет их использование в геоэлектроразведке.
В геоэлектроразведке существует большой класс задач, в которых изучается процесс становления электромагнитного поля [14, 17, 20, 29, 30, 37, 57, 66, 78, 84]. Для решения трехмерных задач геоэлектроразведки становлением поля с индукционным источником в виде токовой петли в работах [64, 68, 69] были предложены эффективные конечноэлементные вычислительные схемы, основанные на разделении искомого электромагнитного поля на нормальное
поле горизонтально-слоистой среды, в которой решается двумерная (осесим-метричная) задача в цилиндрической системе координат, и аномальное поле влияния трехмерных объектов. Это позволило существенно уменьшить вычислительные затраты и получать в итоге решение исходной трехмерной задачи с высокой точностью. В работах [53, 65] эти вычислительные схемы были применены для решения трехмерных задач и с другими осесимметричными источниками.
Довольно часто при проведении геофизических исследований структуры среды используется источник, называемый горизонтальной электрической линией (ГЭЛ). Так как нестационарное электромагнитное поле ГЭЛ в горизонтально-слоистой среде является трехмерным, т.е. все компоненты напряженности электрического и магнитного поля в любой системе координат являются функциями трех пространственных переменных, попытка применить МКЭ для моделирования процесса становления поля ГЭЛ без использования специальных процедур расчета поля в горизонтально-слоистой среде потребует для достижения нужной точности довольно больших вычислительных затрат и существенно затруднит использование трехмерных задач для проектирования электроразведочных работ и выполнения интерпретаций. Для ГЭЛ в работах [36, 76] предложены полу аналитические методы, позволяющие достаточно быстро получать характеристики поля в одной или небольшом количестве точек для горизонтально-слоистых сред. Однако, для получения характеристик поля в очень большом числе точек (что необходимо при решении трехмерных задач с выделением поля горизонтально-слоистой среды) применение полуаналитических методов, даже после их соответствующей доработки, будет уже не столь эффективным.
Для индукционного петлевого источника конечноэлементные вычислительные схемы, основанные на разделения поля, были реализованы в программном комплексе TELMA [58], однако его использование на практике затруднено тем, что пользователь кроме задания геоэлектрической модели дол-
жен выполнять довольно много действий для построения дискретизации расчетной области на конечные элементы. Это существенно увеличивает время подготовки задачи к расчету и ограничивает возможность использования программного комплекса на практике в геофизических организациях.
Чтобы использовать трехмерные расчеты для интерпретации практических данных, конечноэлементные сетки для решения трехмерных задач геоэлектроразведки должны строиться быстро и автоматически без участия пользователя. Поскольку расчетная область, как правило, представлена горизонтально-слоистой средой с включенными в нее параллелепипеидальными объектами, при дискретизации могут быть использованы параллелепипеидальные конечные элементы. Но использование регулярных параллелепипеидальных сеток приводит к значительным вычислительным затратам из-за наличия большого числа «лишних» узлов, образующихся в результате разрежения сетки к границам расчетной области и практически не влияющих на точность решения задачи. Поэтому для автоматического построения конечноэлементных сеток и сокращения вычислительных затрат при решении трехмерных задач геоэлектроразведки необходимо применять алгоритмы построения несогласованных сеток с удалением «лишних» узлов.
Данная диссертационная работа посвящена разработке и исследованию методов конечноэлементного моделирования электромагнитных полей, возбуждаемых ГЭЛ в трехмерных средах, с использованием технологии выделения поля и несогласованных конечноэлементных сетках. Вычислительные технологии реализованы в программном комплексе, предназначенном для решения практических задач геоэлектроразведки.
Предлагаемые в данной диссертационной работе вычислительные методы и их программные реализации позволяют разрабатывать новые эффективные технологии проведения полевых электроразведочных работ, оценивать возможность их применения в различных геоэлектрических условиях, тестировать измерительную аппаратуру и вырабатывать требования к ней, интер-
претировать полевые данные. Все это и обеспечивает актуальность данной диссертационной работы.
Основной научной проблемой, решению которой посвящена данная диссертационная работа, является проблема численного моделирования электромагнитных полей ГЭЛ в сложных геоэлектрических условиях.
В диссертационной работе сформулированы две основные цели исследования, для достижения которых решается ряд задач.
Цели и задачи исследования
1. Быстрый расчет нестационарного электромагнитного поля ГЭЛ в горизон
тально-слоистой среде. Для достижения этой цели необходимо решать сле
дующие задачи:
разработка вычислительных схем расчета поля ГЭЛ с использованием осесимметричных источников;
реализация конечноэлементных вычислительных схем моделирования нестационарных электромагнитных осесимметричных полей на несогласованных прямоугольных сетках.
2. Моделирование трехмерных нестационарных электромагнитных полей
ГЭЛ. Для достижения этой цели решаются следующие задачи:
разработка и программная реализация конечноэлементных вычислительных схем моделирования стационарного трехмерного магнитного поля ГЭЛ;
программная реализация конечноэлементных вычислительных схем моделирования трехмерных нестационарных электромагнитных полей ГЭЛ с выделением поля горизонтально-слоистой среды;
разработка методов и алгоритмов построения несогласованных конечно-элементных сеток с параллелепипеидальными и шестигранными ячейками.
Научная новизна 1. Предложены и разработаны конечноэлементные вычислительные схемы моделирования нестационарных электромагнитных полей ГЭЛ в горизонтально-слоистой среде через набор осесимметричных источников.
Разработаны конечноэлементные вычислительные схемы моделирования трехмерных нестационарных электромагнитных полей ГЭЛ с выделением нормального поля на основе узлового и векторного МКЭ.
Реализованы конечноэлементные вычислительные схемы моделирования трехмерных нестационарных электромагнитных полей ГЭЛ на несогласованных комбинированных сетках с ячейками в виде прямоугольных параллелепипедов и произвольных шестигранников.
Основные положения, выносимые на защиту
Математическая постановка и вычислительные схемы моделирования нестационарных электромагнитных полей ГЭЛ в горизонтально-слоистых средах на основе решения осесимметричных задач позволяют существенно сократить вычислительные затраты.
Схемы расчета трехмерных нестационарных электромагнитных полей ГЭЛ на несогласованных конечноэлементных сетках и на основе выделения поля горизонтально-слоистой среды дают возможность быстро и с необходимой точностью решать достаточно сложные практические задачи.
Использование несогласованных конечноэлементных сеток с параллелепи-пеидальными и шестигранными ячейками существенно ускоряет процедуры моделирования электромагнитных полей ГЭЛ без изменения точности получаемого решения.
Достоверность результатов
Адекватность построенных математических моделей и разработанных для них конечноэлементных вычислительных схем подтверждена следующими экспериментами:
Решение задачи в горизонтально-слоистой среде сравнивалось с результатами, полученными полуаналитическим методом.
Верификация решения трехмерных задач проводилась на горизонтально-слоистых моделях путем задания аномального объекта в виде слоя.
Теоретическая значимость работы состоит в том, что предложены и теоретически обоснованы вычислительные схемы конечноэлементного моделирования становления поля ГЭЛ в различных геоэлектрических средах.
Практическая значимость работы и реализация результатов
Предлагаемые в данной работе конечноэлементные вычислительные схемы моделирования нестационарных электромагнитных полей реализованы в программном комплексе. Программный комплекс использовался при проектировании полевых электроразведочных работ и интерпретации полученных практических данных.
Личный вклад
Разработаны и программно реализованы конечноэлементные схемы моделирования нестационарных электромагнитных полей ГЭЛ в горизонтально-слоистых и трехмерных средах. Построенные численные процедуры протестированы, проведена оценка их точности и вычислительной эффективности. Выполнена верификация решения трехмерных задач. Разработан и программно реализован алгоритм построения несогласованных конечноэлементных сеток с параллелепипеидальными и шестигранными ячейками. Проведен анализ точности разработанных методов и алгоритмов, сравнение их вычислительной эффективности с другими подходами.
В совместных публикациях автору принадлежат следующие результаты. В работе [71] автором были проведены расчеты трехмерных электромагнитных полей и выполнена оценка точности расчетов. В работах [52, 55, 112] автору принадлежат алгоритмы построения несогласованных сеток с параллелепипеидальными ячейками. В работах [5, 53, 54] автором были построены конечноэлементные сетки, проведены конечноэлементные расчеты электромагнитных полей.
Апробация работы
Основные результаты работы были представлены на всероссийской научной конференции молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (Ново-
сибирск, 2003г), международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004 (Новосибирск, 2004г), международном научно-техническом симпозиуме KORUS-2005 (Новосибирск, 2005г), Российской научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (Новосибирск, 2008г), Всероссийской молодежной научной конференции с участием иностранных ученых "Трофимуковские чтения - 2008" (Новосибирск, 2008г), научных семинарах НГТУ.
Публикации
По результатам выполненных исследований опубликовано 12 работ, из них 3 статьи в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендуемых ВАК, 4 работы в сборниках научных трудов, 4 работы в сборниках трудов конференций, 1 публикация в материалах Отраслевого фонда алгоритмов и программ (ОФАП).
Структура работы
Диссертационная работа изложена на 149 страницах, состоит из введения, 5 глав, заключения, списка использованных источников (114 наименований), приложения и содержит 66 рисунков и 16 таблиц.
Краткое содержание работы
Первая глава диссертационной работы посвящена моделированию нестационарного электромагнитного поля ГЭЛ в горизонтально-слоистой среде. В главе предложены вычислительные схемы расчета поля ГЭЛ, основанные на решении осесимметричных задач, что позволяет с высокой точностью моделировать поле ГЭЛ в любой точке расчетной области и в широком диапазоне времен.
Вторая глава диссертационной работы посвящена решению трехмерных нестационарных задач с источником ГЭЛ. В ней приведены математические модели и эквивалентные вариационные постановки для решения задач с выделением поля горизонтально-слоистой среды и без выделения поля. Приведены математические модели для расчета стационарной трехмерной состав-
ляющей магнитного поля ГЭЛ, которая является начальным условием для нестационарного процесса. Показано, что для источника ГЭЛ при решении трехмерных задач с выделением поля горизонтально-слоистой среды требуются существенно меньшие вычислительные затраты.
В третьей главе приведены примеры решения трехмерных задач с источником ГЭЛ. Проанализированы точность и вычислительные затраты рассмотренных в предыдущей главе методов решения трехмерных задач.
В четвертой главе предложен алгоритм построения несогласованных конечноэлементных сеток с параллелепипеидальными и шестигранными ячейками. Данный алгоритм позволяет эффективно удалять «лишние» узлы, практически не влияющие на точность решения задачи, а также полностью автоматически строить конечноэлементные сетки по заданной геоэлектрической модели. Построение несогласованных конечноэлементных сеток с параллелепипеидальными и шестигранными ячейками позволяет сократить вычислительные затраты при решении трехмерных задач геоэлектроразведки как с источником ГЭЛ, так и с другими источниками.
В пятой главе диссертационной работы представлен программный комплекс ЭР-ГЭЛ, разработанный для решения задач геоэлектроразведки с источником ГЭЛ, в котором используются эффективные конечноэлементные вычислительные схемы, основанные на выделении поля горизонтально-слоистой среды, автоматическое построение несогласованных конечноэлементных сеток. Интерфейс графического препроцессора программного комплекса ориентирован на пользователя-геофизика. В главе приведен пример использования программного комплекса при решении задачи геоэлектроразведки.
В заключении приводятся основные результаты диссертационной работы.
Анализ точности конечноэлементного расчета поля ГЭЛ
Электромагнитное поле, возбуждаемое ГЭЛ АВ, моделировалось в среде с параметрами ( =0.04, hi =200, 02=0.005, h2=50, а3=0.02, h3=50, а4=0.0005, h4=oo. Координаты точки А - (-500, 0, 0), точки В - (500, 0, 0). Координаты точек измерений - Р]=(500, 500, 0), Р2= (1000, 500, 0). На рис. 1.5 для указанных точек приведены компоненты напряженности электрического поля Ех, Еу и эдс.
При численном моделировании было использовано два уровня точности (для второго уровня точности были построены вложенные конечноэлементные сетки для моделирования полей осесимметричных источников, используемых при аппроксимации поля ГЭЛ), для первого уровня точности были использованы два варианта расстановки источников НП, при расстановке петель менялся параметр Nioop (для первого варианта Nioop=10, для второго - Nioop=20), остальные параметры были следующими: Nrow=4, Qoop l.OS, Віоор=450000. В табл. 1.1 приведены параметры конечноэлементных сеток и время счета для двух уровней точности. На рис. 1.6, рис. 1.7 приведены относительные отклонения д = -— -—100% характеристик электромагнитного поля ГЭЛ, полученного в результате численного расчета (F), от значений, полученных с использованием полуаналитических методов (F ), причем для полуаналитических методов значения Ех, Еу были получены с использованием программы, разработанной Л.А. Табаровским, М.И. Эповым, Е.Ю. Антоновым, И.Н. Ельцовым [76], а значения ЭДС - с использованием программы HORIZON [91]. Уже при первом уровне точности и первом варианте расстановки источников НП отличия от полуаналитического метода составляют около 1% в диапазоне рабочих времен. Увеличение числа источников НП, как показывают результаты (рис. 1.6), довольно слабо влияет на значение напряженности электрического поля, но заметно улучшает точность вычисления ЭДС на поздних временах. Увеличение степени подробности конечноэлементных сеток, как видно из рис. 1.7, приводит к уменьшению расхождений с полуаналитическим методом до нескольких десятых долей процента.
Для получения эталонных значений поля для измерителей, расположенных на различной глубине, был выполнен расчет на очень подробных конечноэлементных сетках, используемых при моделировании электромагнитных полей осесимметричных источников, аппроксимирующих ГЭЛ. Графики компонент напряженности электрического поля для расположенных на различной глубине измерителей приведены на рис. 1.8.
В табл. 1.2 и табл. 1.3 для двух уровней точности приведены максимальные относительные погрешности расчета компонент напряженности электрического поля в сравнении с эталонным решением для интервала времен
(Ю-3с, 1с). Как видно из таблиц, уже на первом уровне точности численное моделирование электромагнитного поля ГЭЛ позволяет получить результат с достаточно хорошей точностью. На втором уровне точности отличие от эталонного решения составляет доли процента.
В следующем примере электромагнитное поле моделировалось в среде с параметрами =0.005, hi=100, а2=0.1, h2=400, а3=0.0033, h3=300, а4=0.02, ГІ4=700, 05=0.001, h5= оо. Параметры генераторной линии: координаты электрода А - (-500, 0, 0), электрода В - (500, 0, 0). Координаты точек измерений: Pi=(1000, 600, 0), Р2= (400, 1000, 0).
На рис. 1.9 для указанных точек приведены характеристики электромагнитного поля ГЭЛ: компоненты напряженности электрического поля Ех, Еу (полученные с использованием программы, разработанной Л.А. Табаровским, М.И. Эповым, Е.Ю. Антоновым, И.Н. Ельцовым [76]) и ЭДС (полученные с использованием программы HORIZON [91]) .
При численном моделировании, как и в предыдущем примере, было использовано два уровня точности (для второго уровня точности были построены вложенные конечноэлементные сетки для моделирования полей осесим-метричных источников, используемых при аппроксимации поля ГЭЛ). Параметры расстановки системы источников НП: N]oop=20, Nrow=4, Cioop=1.05, Віоор=450000. В табл. 1.4 приведены параметры конечноэлементных сеток и время счета для двух уровней точности.
На рис. 1.10 приведены относительные отклонения характеристик электромагнитного поля ГЭЛ, полученных в результате численного расчета, от значений, полученных полуаналитическим методом. Как можно видеть, при первом уровне точности расчета отличие от результатов, полученных полуаналитическим методом, снова около 1% в диапазоне рабочих времен. Увеличение степени подробности конечноэлементных сеток уменьшает расхождение с полуаналитическим методом до долей процента.
Расчет начального поля при моделировании поля ГЭЛ с выделением поля горизонтально-слоистой среды
Начальное значение A+ s потенциала А+(т.е. А+ =A+ S) определяется из решения эллиптической задачи для векторного уравнения -J-AA+ s = -agradV+ s -(a-arc)gradVrc, (2.22) т.е. для каждой компоненты A+ s решается (независимо от других) эллиптическое уравнение. Электрический потенциал V+ s из правой части уравнения, полностью определяющий поле E+ s =-gradV+ s влияния трехмерных объектов при включенном в ГЭЛ токе, может быть найден в результате решения эллиптического уравнения -div(agradV+ s) = -div((arc -a)gradVrc). (2.23)
Потенциал же Vго, определяющий поле Егс =-gradVrc при включенном в ГЭЛ токе, удовлетворяет эллиптическому уравнению -div(arc grad Vrc) = f, (2.24) где правая часть f определяется двумя точечными источниками, т.е. является суммой двух 8-функций, сосредоточенных в точках А и В заземления электродов ГЭЛ. Очевидно, распределение потенциала Vrc может быть получено в результате решения осесимметричной эллиптической задачи с точечным источником в центре цилиндрической системы координат (т.е. поле Vrc является суммой двух таких осесимметричных полей с центрами в точках А и В).
При использовании векторной постановки для расчета нестационарной задачи необходимо выполнять специальный пересчет поля, поскольку вектор-потенциал А+ в уравнениях (2.19) и (2.22) представляется в виде разложения по базисным функциям разного типа.
При моделировании трехмерного поля ГЭЛ без выделения поля горизонтально-слоистой среды в качестве начального условия для нестационарного процесса используется поле постоянного тока. Электрическое поле в среде определяется двумя точечными источниками (электроды А и В) и полностью может быть описано через электрический скалярный потенциал Vs краевой задачей для эллиптического уравнения -div(crgrad Vs) = fA + fB. (2.25) Стационарное магнитное поле может быть получено из решения трех эллиптических уравнений для компонент Ах, Ау и А вектор-потенциала As: -J-AAx=JAB-a g-, u. Sx ц ду ДАу=-а -, (2.26) 1ДАЇ=-а» где JAB- плотность тока, сосредоточенного в линии АВ (т.е. JAB = 1-5АВ, где 5 — сосредоточенная на линии АВ 5-функция [70]). Распределение компоненты Ах может быть получено в виде двух составляющих Ах = АХ АВ + Ax v, где AX V может быть найдено аналогично Ау и А как решение уравнения -1AASX V=-CT -, (2.27) Д. ox а значения АХ АВ могут быть вычислены в любой точке (x,y,z), не лежащей строго на линии АВ, по формуле: Ax AB(x,y,z) = i fy dr . (2.28)
При использовании векторной постановки для расчета нестационарной задачи необходимо выполнять специальный пересчет поля, поскольку вектор-потенциал А в уравнениях (2.19) и (2.26) представляется в виде разложения по базисным функциям разного типа.
В горизонтально-слоистую среду с параметрами aj=0.1, 1 =100, a2 =0.005, h2=400, a3=0-02, h3=300, a4=0.0033, h4=700, a5 =0.001, h5=oo помещен как аномальный проводящий слой толщиной 100м на глубине 500м с проводимостью (7=0.2. Электромагнитное поле возбуждается единичным перепадом тока в ГЭЛ. Координаты электродов А и В - (-500, 0, 0) и (500, 0, 0) соответственно. Координаты измерителей: Р 1=(-300, 0, 0), Р2=(0, 500, 0), Р3=(1000,0,0).
На рис. 2.1- рис. 2.3 для указанных точек измерения представлены графики х-компоненты напряженности нормального и суммарного электрических полей, полученные полуаналитическим способом [6,7], а также относительная погрешность конечноэлементного расчета суммарной Ех. В практических задачах важно рассчитывать именно компоненту напряженности электрического поля, сонаправленную с генераторной линией. Численный расчет был выполнен на двух конечноэлементных сетках, различных по уровню подробности, прямым методом и методом с разделением поля.
Далее в таблице приведены параметры использованных для расчетов сеток и время счета на них. При аппроксимации по времени использовались 270 шагов в интервале (0, 10)с.
Полученные результаты (рис. 2.1- рис. 2.3) показывают, что с источником ГЭЛ конечноэлементная вычислительная схема, основанная на выделении поля горизонтально-слоистой среды, позволяет еще на не очень подробной сетке получить результат с хорошей точностью, при дроблении сетки погрешность расчета уменьшается, и использование векторного МКЭ позволяет существенно сократить время решения задачи.
Задача с субвертикальными шестигранными объектами
Численный расчет был выполнен на четырех конечноэлементных сетках, различных по уровню подробности (с номером сетки возрастает степень ее подробности), методом с разделением поля (на сетке 1) и прямым методом (на сетках 2, 3, 4), табл. 3.4 демонстрирует параметры использованных для расчетов сеток и время счета на них. При аппроксимации по времени использовались 270 шагов в интервале (0, 1)с.
Полученные результаты подтверждают ранее сделанные выводы о том, что для источника ГЭЛ конечноэлементная вычислительная схема, основанная на выделении поля горизонтально-слоистой среды, позволяет уже на не очень подробной сетке получить результат с хорошей точностью и намного (более чем на порядок) меньшими вычислительными затратами по сравнению с методом прямого расчета.
При решении данной задачи методом выделения поля на сетке 1, как и прямым методом на сетках 3 и 4, векторный МКЭ значительно уступает по времени расчета трехмерной задачи узловому МКЭ. На всех сетках для решения СЛАУ в векторном МКЭ потребовалось существенно больше итераций по сравнению с узловым МКЭ (как и в предыдущей задаче). Это связано с тем, что поле уменьшается достаточно медленно на поздних временах ( 10мс) и при решении задачи векторным МКЭ на этих временах существенно увеличивается количество итераций, необходимых для решения СЛАУ с нужной точностью.
Для сетки 1 и сетки 3 далее подробнее рассмотрены вычислительные затраты узлового и векторного МКЭ. Для метода выделения поля (сетка 1) вычислительные затраты, необходимые для решения трехмерной задачи (т.е. расчета аномальной части поля), представлены на рис. 3.15 ив табл. 3.5, вычислительные затраты прямого расчета (сетка 3) - на рис. 3.16 и в табл. 3.6.
В узловом МКЭ в СЛАУ в 4 раза больше неизвестных по сравнению с количеством нетерминальных узлов. Это связано с тем, что при использовании скалярной постановки (глава 2, пункт 2.1) в каждом узле неизвестными являются три компоненты вектор-потенциала и скалярный потенциал. Матрица СЛАУ в этом случае имеет блочную структуру, размерность блока 4x4. Каждый блок имеет или 3 ненулевых элемента (в подобласти о=0) или 10 (в подобласти афО), при этом среди ненулевых элементов блока есть одинаковые, поэтому для хранения блочной матрицы СЛАУ нужно меньше ячеек памяти по сравнению с количеством ненулевых элементов.
В результате, в связи с вычислительно более затратным предобусловли-ванием (в узловом МКЭ выполняется предобусловливание Холесского, а век торном — диагональной предобусловливание) и большим количеством ненулевых элементов итерация решения СЛАУ в узловом МКЭ требует примерно в 3-4 раза больше времени, чем итерация в векторном МКЭ на одной и той же конечноэлементной сетке. При этом в узловом МКЭ еще следует учитывать время построения матрицы предобусловливания на каждом временном слое.
При значительном превышении количества итераций решателя СЛАУ в векторном МКЭ по сравнению с узловым, последний может оказаться вычислительно менее затратным, что и произошло в данной задаче при решении ее - прямым методом на сетках 3 и 4. Однако если расчет достаточно выполнить только до десятков миллисекунд, то, согласно рис. 3.16, использование векторного МКЭ позволит решить задачу быстрее.
На примере данной задачи далее показано, что при использовании метода выделения поля существует возможность при расчете трехмерной части поля пропускать временные слои, т.е. выполнять расчет нестационарного поля например только на каждом втором или на каждом третьем слое сетки по времени, используемой при моделировании нормального поля. Это позволяет заметно (в 1.5-2 раза) уменьшить вычислительные затраты, необходимые для расчета трехмерной части поля.
Как показывает практика, точность получаемого суммарного поля в основном уменьшается незначительно (в пределах 0.5%) при пропуске 1—2 временных слоев. При пропуске более трех слоев точность может ухудшаться уже на несколько процентов и на практике может использоваться как вариант быстрого расчета на низком уровне точности моделирования. При решении задачи прямым методом пропуск даже 1—2 временных слоев приводит к значительному ухудшению точности получаемого решения.
Зависимость точности решения от числа пропускаемых временных слоев для метода выделения поля на сетке 1 и прямого метода на сетке 2 представлена далее нарис. 3.17.
Далее в табл. 3.7 для метода выделения поля приведены вычислительные затраты (время счета и суммарное количество итераций при решении СЛАУ) для расчета трехмерной части поля на сетке 1. Как можно заметить, при увеличении числа пропускаемых временных слоев в узловом МКЭ удается получить большее сокращение времени счета. Это происходит в результате того, что в узловом МКЭ на поздних временах количество итераций при решении СЛАУ практически не меняется при увеличении числа пропускаемых временных слоев, в то время как при использовании векторного МКЭ оно (кроме того, что существенно больше) заметно возрастает (рис. 3.18). На ранних временах ситуация практически обратная: количество итераций при увеличении числа пропускаемых временных слоев значительнее возрастает при использовании узлового МКЭ.
При решении рассмотренной в данном пункте задачи (а также двух предыдущих задач) методом выделения поля с применением узлового и векторного МКЭ расчет аномального поля выполнялся с пропуском двух временных слоев. При решении задачи прямым методом расчет аномального поля выполнялся без пропусков временных слоев.
Построение комбинированных несогласованных конечноэлементных сеток с параллелепипеидальными и шестигранными ячейками
При построении несогласованных параллелепипеидальных сеток сначала определяется базовая плоскость XY, на которую выносятся проекции всех трехмерных объектов. В данной плоскости строится регулярная прямоугольная сетка с локальными сгущениями ко всем объектам, после чего в ней удаляются «лишние» узлы изложенным выше способом. В результате в базовой плоскости получается несогласованная прямоугольная сетка (рис. 4.6). Дополнительным условием удаления координатной линии вне контура с какой-либо его стороны является возможность удаления ее с противоположной стороны этого контура. Это свойство контуров разрежения в базовой плоскости XY будет полезным далее.
По оси Z узлы параллелепипеидальной сетки задаются с учетом границ объектов и горизонтальных слоев с разрежением при удалении от объектов. Затем сетка базовой плоскости XY тиражируется по оси Z.
Далее определяется базовые плоскости XZ и YZ, на которые также выносятся проекции всех трехмерных объектов. В базовой плоскости XZ строятся контуры разрежения, при этом по оси X границы контуров должны совпадать с границами контуров, построенных при оптимизации базовой плоскости XY. Таким образом, система контуров становится единой для базовых плоскостей, и сами контуры становятся проекциями параллелепипеидальных поверхностей разрежения сетки с объединением элементов.
На основе построенных в базовой плоскости XZ контуров при оптимизации сетки удаление координатных линий вне контура достаточно выполнить только по одной из боковых сторон контура (например, левой, рис. 4.6). Удаление координатных линий вне контура осуществляется в случае, если размер потенциального нестандартного элемента в направлении, перпендикулярном соответствующей стороне контура, превышает размер этого элемента вдоль стороны контура. При этом удаляемая координатная линия вне рассматривае мого контура нигде не должна быть общей для элементов с разными физическими свойствами как левее контура, так и правее его в базовой плоскости XZ, то же самое условие должно выполняться для этого же контура (проекции этой же поверхности разрежения) и для соответствующей линии (линия расположена на том же уровне по оси Z) и в базовой плоскости YZ.
Тогда в параллелепипеидальной уже несогласованной сетке, полученной тиражированием несогласованной прямоугольной сетки базовой плоскости XY по оси Z, можно выполнить еще и удаление координатных линий в плоскостях Z=const вне построенных поверхностей разрежения, если для них эти линии были удалены в базовой плоскости XZ изложенным выше способом.
В полученной параллелепипеидальной сетке осталось еще удалить лишние узлы над и под построенными параллелепипеидальными поверхностями разрежения. Здесь и пригодится особенность проекций поверхностей разрежения на плоскости XY, а именно если координатная линия удалена с одной стороны контура, то она удалена и с противоположной стороны этого контура. Для этого снова необходимо вернуться к несогласованной прямоугольной сетке в базовой плоскости XY. Для каждого контура (проекции параллелепипеидальной поверхности разрежения на плоскость XY), начиная с самого внутреннего, выполняются следующие действия. По координатным линиям, начинающимся и заканчивающимся на контуре, т.е. расположенным только внутри контура, какими они и являются по построению, определяется плоскость (X=const, если линия направлена по Y и Y=const, если по X), в которой лежит эта линия. В трехмерной сетке в этой плоскости будут удалены координатные линии вне данного контура. А точнее, линии будут удалены лишь над и под контуром, по бокам же контура этих линий не оказалось в результате тиражирования несогласованной прямоугольной сетки по оси Z. Если при таком удалении координатных линий в плоскости в трехмерной сетке где-либо происходит объединение элементов с разными физическими свойствами, удаление от меняется. Попытка удаления координатных линий в этой плоскости будет вновь выполнена после перехода на следующий контур.
В построенной данным способом несогласованной параллелепипеидаль-ной сетке присутствуют кроме стандартных нестандартные элементы с дополнительным узлом на каком-либо ребре, с дополнительными двумя узлами (и одним ребром) на какой-либо грани, с дополнительными пятью узлами (и четырьмя ребрами) на какой-либо грани (рис. 4.8).
Как правило, при оптимизации параллелепипеидальных сеток рассмотренным способом удается сократить число узлов и элементов в 4-6 раз по сравнению с регулярной сеткой. При этом образуется всего, три вида нестандартных элементов (с точностью до поворота), что очень удобно при согласовании на таких сетках аппроксимирующих базисных функций с использованием Т-технологии.
