Введение к работе
Актуальность темы. Математическое моделирование как метод познания реальной действительности получило в последнее время широкое распространение в связи с исследованием сложных объектов, изучаемых в химии, биологии, физике и других науках, а также благодаря стремительному развитию вычислительной техники, позволяющей осуществлять собственно моделирование и получать необходимые практические результаты.
В ряде случаев моделируемый процесс описывается билинейной динамической системой, состоящей из огромного количества обыкновенных дифференциальных уравнений (в общем виде бесконечным числом уравнений). Билинейные динамические системы повышенной размерности встречаются в процессах с цепными реакциями, такими как: процессы окисления (горение, взрыв), крекинга, полимеризации и другие. Цепные реакции применяются в химической и нефтяной промышленности. Моделирование таких процессов требует очень больших вычислительных затрат. Поэтому для решения билинейных динамических систем повышенной размерности используют метод моментов. Идея метода заключается в замене истинных соотношений выборочными аналогами. Метод моментов позволяет значительно снизить размерность решаемой билинейной динамической системы. Исследованием различных задач оптимального управления конечномерными системами с помощью метода L-проблемы моментов занимался Красовский Н.Н. Теоретические вопросы моделирования динамических систем химической физики изучали Берлин А.А., Ениколо-пов Н.С. Исследованием процессов синтеза полимеров занимались Кафа-ров В.В., Подвальный С.Л., Спивак СИ., Будтов В.П. Численные методы решения жестких систем изучали Новиков Е.А., Ракитский Ю.В., Черно-руцкий И.Е.
В зависимости от сложности решаемой системы практически любой известный метод моделирования и оптимизации билинейной динамической системы может показать наилучший результат. В связи с этим возникает необходимость в многоальтернативной системе моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов.
Актуальность темы диссертационной работы продиктована необходимостью повышения эффективности моделирования билинейных динамических систем повышенной размерности за счет совершенствования математического, алгоритмического и программного обеспечения систем, оценки результатов моделирования с целью получения оптимальных характеристик модели.
Тематика диссертационной работы соответствует одному из научных направлений ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет»
«Вычислительные комплексы и проблемно-ориентированные системы управления».
Цель работы и задачи исследования. Целью исследования является разработка математических моделей, алгоритмов и эффективных численных методов для моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
с позиций системной методологии провести сравнительный анализ эффективных численных методов моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов;
разработать модель мультимодального распределения для моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов, позволяющую повысить точность моделирования объекта исследования;
разработать систему алгоритмов для численного моделирования билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов, позволяющих повысить точность и уменьшить машинное время вычислений;
разработать алгоритмы и программное обеспечение для численной оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов, позволяющая повысить производительность расчетов;
разработать программное обеспечение многоальтернативного моделирования, позволяющее осуществлять численное моделирование и оптимизацию билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов.
Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы оптимизации, математического моделирования, математической статистики, вычислительной математики, объектно-ориентированного программирования.
Соответствие диссертации паспорту специальности. Работа соответствует следующим пунктам паспорта специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»:
П.З. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий.
П.4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.
П. 8. Разработка систем компьютерного и имитационного моделирования.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие
основные результаты, характеризующиеся научной новизной:
модель мультимодального распределения, отличающаяся тем, что система обыкновенных дифференциальных уравнений в пространстве состояний (моменты), параллельно для каждой системы моментов, дополняется алгебраическими уравнениями для свёртки виртуальных одномодаль-ных распределений адаптивно изменяющимся во времени, позволяющая повысить точность моделирования объекта исследования;
оптимизационная модель мультимодального распределения, отличающаяся многоэтапной процедурой пошаговой оптимизации с определением как дискретных, так и непрерывных параметров с минимизацией критерия отклонения действительных и расчетных значений распределения, при этом для определения количества систем в моментах дополнительно используются моменты до третьего порядка, позволяющая повысить производительность расчетов;
алгоритм решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений, отличающийся возможностью понижения порядка решаемой системы за счёт принятия за константы на некоторых отрезках функций с наименьшими значениями по модулю производных, позволяющий снизить машинное время вычислений;
алгоритм решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений явным методом Рунге-Кутта, отличающийся возможностью в зависимости от степени устойчивости решаемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений на интервале времени варьировать порядок метода от первого (на неустойчивых участках) до четвёртого (на устойчивых участках), позволяющий повысить точность вычислений.
Практическая значимость работы.
Предложенные в работе модели и алгоритмы для моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов реализованы в виде специального программного комплекса.
В результате практической апробации программный комплекс продемонстрировал высокую точность и производительность при моделировании и оптимизации билинейных динамических систем, что свидетельствует об эффективности разработанных методов и моделей.
Разработанный программный комплекс для моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода моментов может быть использован проектными организациями, в научных исследованиях и системах управления промышленными процессами, а также в учебном процессе.
Реализация и внедрение результатов работы. Основные алгоритмы и методы, предложенные в диссертации, реализованы и апробированы в виде программного комплекса моделирования и оптимизации билинейных динамических систем повышенной размерности на основе метода мо-
ментов. Система внедрена и используются в учебном процессе Воронежского государственного технического университета.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всероссийской научно-технической конференции «Перспективные исследования и разработки в области информационных технологий и связи» (Воронеж, 2012), на Всероссийской конференция «Интеллектуальные информационные системы» (Воронеж, 2012), на Международной молодежной научной школе «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» (Воронеж, 2012), на молодёжной конференции «Интеллектуальные технологии будущего. Естественный и искусственный интеллект» (Воронеж, 2011), на Всероссийской конференции «Новые технологии в научных исследованиях, проектировании, управлении, производстве» (Воронеж, 2013).
Публикации. По результатам исследований опубликовано 8 научных работ, в том числе 3 - в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, получено 1 свидетельство на программу для электронных вычислительных машин, базу данных, топологию интегральных микросхем. В работах, опубликованных в соавторстве и приведенных в конце автореферата, лично автором предложены: [1,5]- численные методы решения прямой и обратной кинетической задачи; [2] — численные методы понижения порядка решаемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменным шагом; [3, 4] — программный комплекс для создания специальных программных средств; [6] — библиотека моделей на основе метода моментов; [7, 8] — блок методов оптимизации при принятии решений.
Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 125 страницах, включает 27 таблиц и 39 рисунков; состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 101 наименования.
