Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Общий подход к моделированию и оптимизации на основе сред неквадратических аппроксимаций 24
1.1. Постановка задач и основные теоремы 24
1.2. Улучшение и приближенно оптимальный синтез управления 26
1.3. Алгоритм приближенного синтеза 29
1.4. Алгоритм улучшения 31
1.5. Выводы 32
ГЛАВА 2. Методы среднеквадратической многомерной аппроксимации и их применение 33
2.1. Задача многомерной аппроксимации таблично заданной функции 34
2.2. Основные конструкции МНК 36
2.3. Возможные аппроксимирующие конструкции
2.3.1. Композиционный полином 38
2.3.2. Композиция сплайнов. 39
2.3.3. Кусочно-линейная конструкция 41
2.3.4. Описание экспериментов. Наблюдения и выводы.
2.4. Применение многомерной аппроксимации в моделировании 47
2.5. Выводы 48
ГЛАВА 3. Реализация разработанных алгоритмов в программном комплексе ISCON 50
3.1. Описание программного комплекса ISCON 50
3.2. Специальный интерфейс 54
3.3. Универсальный интерфейс. Взаимодействие ISCON и Maple 57
3.4. Выводы 60
ГЛАВА 4.Прикладные задачи 61
4.1. Оптимизация маневров вертолета. 61
4.1.1. Приближенный синтез оптимального управления, реализующего пространственный маневр вертолета. 61
4.1.2. Ход решения 62
4.1.3. Задача о нештатной посадке вертолета 64
4.2. Исследование магистральных решений в задаче устойчивого развития региона 79
4.2.1. Постановка задачи. 79
4.2.2. Поиск магистрального решения 82
4.2.3. Улучшение магистрали как дискретно-непрерывного процесса. 86
4.2.4. Анализ решения 90
Заключение 93
Литература
- Улучшение и приближенно оптимальный синтез управления
- Возможные аппроксимирующие конструкции
- Универсальный интерфейс. Взаимодействие ISCON и Maple
- Исследование магистральных решений в задаче устойчивого развития региона
Введение к работе
Актуальность темы. Построение моделей динамических систем и решение задач улучшения и оптимизации управления с их использованием является одним из основных направлений в современной математике с приложениями в различных областях (в том числе робототехника, квантовые вычисления, исследование динамики летательных аппаратов, социо-эколого-экономическое моделирование регионов и пр.). Во второй половине XX века под влиянием практических потребностей начали бурно развиваться различные методы моделирования и решения задач оптимального управления. Свой вклад в развитие таковых внесли представители отечественных и зарубежных научных школ (В.А. Батурин, А.С. Булдаев, О.В. Васильев, С.Н. Васильев, Ф.П. Васильев, В.И. Гурман, П.С. Краснощеков, В.Ф. Кротов, Н.Н. Моисеев, А.Д. Мышкис, И.В. Расина, В.А. Срочко, М.Ю. Ухин, Р.В. Хемминг, Ф.Л. Черноусько, W.J. Meyer, T.L. Saaty и другие). Ныне продолжают развиваться и совершенствоваться эти и создаются новые методы решения указанных задач. В современных условиях они ориентируются на высокопроизводительную вычислительную технику.
Математическое моделирование, решение оптимизационных задач управления для сложных систем целесообразно проводить на основе априорно приближенного подхода, позволяющего использовать различные аппроксимации на разных этапах. Более простые и грубые могут применяться для качественного анализа и получения начальных приближений, а более сложные .и точные — для последующего уточнения в численных итерационных процедурах.
Реализация этой идеи воплотилась в разработке программного комплекса ISCON (Improvement and synthesis of control), предназначенного для моделирования сложных динамических процессов, решения оптимизационных задач для различных прикладных областей на кластерной высокопроизводительной системе семейства «Скиф». Это потребовало организации с новых позиций систематических работ с моделями, содержащими имитационные компьютерные программы, и включающими в себя разнообразные эмпирические и другие таблично заданные зависимости. В свою очередь, усложнение моделей потребовало разработки новых методов и методик их исследования. Все это повлекло необходимость построения и использование многомерных аппроксимаций математических моделей, что и определяет актуальность представляемой работы.
Цель работы и задачи исследования. Цель диссертационной работы — развитие указанного подхода к решению задач моделирования, улучше-
ния и приближенно-оптимального синтеза управления на основе среднеквад-ратических аппроксимаций, реализация соответствующих алгоритмов в ПК ISCON.
Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:
разработка и реализация эффективных алгоритмов аппроксимации функции многих переменных;
разработка методов и алгоритмов улучшения и приближенно-оптимального синтеза управления в окрестности траектории текущего приближения или некоторой заданной траектории;
исследование тестовых и актуальных прикладных задач.
Методика исследования. В работе используются метод наименьших квад
ратов, достаточные условия оптимальности Кротова, аппроксимации функ
ции Кротова-Беллмана, принципы расширения, локализации и метод крат
ных максимумов Гурмана (Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управ
ления М.: Наука, 1997.).
Научная новизна. Новыми являются:
-
разработанный и реализованный алгоритм многомерной аппроксимации, основывающийся на методе наименьших квадратов с применением композиционных полиномов в качестве аппроксимирующих конструкций, применимый для восстановления аналитического описания моделей объекта управления, в т.ч. сложных имитационных моделей;
-
разработанный метод и реализованный единый настраиваемый алгоритм улучшения и приближенно оптимального синтеза управления в окрестности опорной траектории для дискретной или дискретизованной динамической системы на основе среднеквадратической аппроксимации функции Кротова и условий Беллмана;
-
полученные результаты численного исследования и решения практических задач подъема-разгона и безопасной нештатной посадки вертолета, оптимизации развития региона на многокомпонентной модели с применением разработанных алгоритмов, реализованных в ПК ISCON, на кластерной высокопроизводительной системе семейства «Скиф».
Теоретическая и практическая значимость работы. В работе показано, что предложенный приближенный подход к решению задач моделирова-
ния и оптимизации на основе среднеквадратических аппроксимаций является эффективным. Он позволяет применять хорошо известные теоретические методы для исследования моделей, не имеющих полного аналитического описания, за счет его восстановления с помощью аппроксимации по методу наименьших квадратов. Метод улучшения и синтеза приближенно оптимального управления позволяет приближенно разрешать соотношения Беллмана посредством среднеквадратической аппроксимации функции Кротова-Беллма-на. Разработанные на основе предложенного подхода алгоритмы могут быть применены для решения широкого круга практических задач моделирования и управления. Их реализация в ПК ISCON иа суперкомпьютерах семейства «Скиф» позволяет решать указанные задачи с высокой эффективностью.
Разработанные алгоритмы были успешно использованы для решения задач безопасной посадки вертолета в нештатной ситуации, приближенно-оптимального синтеза управления вертолетом при маневре взлета-разгона и поиска магистральных решений для социо-эколого-экономической модели региона.
Результаты исследований, проведенных с применением ПК ISCON и алгоритмов, включенных в его состав, отражены в ряде публикаций, и в научных отчетах выполненных актуальных исследований в рамках:
-
проектов РФФИ(№06-01-00330-а «Реализация обобщенных решений задач управления» , №09-01-00170-а «Вырожденные задачи оптимального управления», №05-01-00260-а «Приближенный синтез оптимального управления», №08-01-00274-а «Приближенные методы оптимизации управления на основе аппроксимаций модели объекта»);
-
Программы Союзного государства «Развитие и внедрение в государствах участниках Союзного государства наукоемких компьютерных технологий на базе мультипроцессорных вычислительных систем», шифр «ТРИАДА», подпроект «Разработка программного комплекса улучшения и оптимизации законов управления для приложений в различных областях (ПК ISCON — Improvement and Synthesis of Control)»);
-
Научно-технической программы Союзного государства «Разработка и использование программно-аппаратных средств Грид-технологий перспективных высокопроизводительных (суперкомпьютерных) вычислительных систем семейства «СКИФ» (шифр «СКИФ-ГРИД»), подпроект «Многовариантные расчеты стратегии устойчивого развития Байкальского региона с применением ПК ISCON на суперЭВМ «СКИФ».
Результаты диссертационного исследования по модели «Человек-Природа» использованы в учебном пособии Гурман В.И., Трушкова Е.А. Практические методы оптимизации. Изд-во УГП им. А.К. Айламазяна, Переславль-Залесский, 2009.
Соответствие диссертации паспорту научной специальности. Диссертация соответствует формуле специальности 05.13.18 и ее областям пункт 2, пункт 4, пункт 5.
Апробация работы. Результаты работы обсуждались на научных семинарах Исследовательских центров процессов управления и системного анализа ИПС им. А.К. Айламазяна РАН и представлены в докладах на следующих научных конференциях:
- Международная конференция «Программные системы: теория и прило
жения» (PSTA-2006), ИПС РАН, г. Переславль-Залесский, 23-28 октября
2006 г.;
- Международная конференция «КОЛМОГОРОВСКИЕ ЧТЕНИЯ. Общие
проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания мате
матики» (ОПУ-2007), ТГУ им. Г.Р.Державина, г.Тамбов, 8-12 октября
2007 г.;
Третья всероссийская научно-практическая конференция по имитационному моделированию и его применению в науке и промышленности «Имитационное моделирование. Теория и практика» (ИММОД-2007), ФГУП ЦНИИ ТС, г. Санкт-Петербург, 17-19 октября 2007 г.;
Научно-практическая совместная конференция студентов, аспирантов, преподавателей и научных сотрудников Института программных систем Российской академии наук и «Университета города Переславля» им. А.К. Айламазяна, г. Переславль-Залесский, апрель 2008 г.;
Международный симпозиум «Обобщенные решения в задачах управления», 23-28 июня 2008. г. Улан-Удэ - б/о «Ровесник» (оз. Байкал) Бурятия, Россия;
IV международная конференция «Параллельные вычисления и задачи управления», РАСО-2008, 27-29 октября 2008 г., Москва;
Международная конференция «Программные системы: теория и приложения», ИПС им. А.К. Айламазяна РАН, г. Переславль-Залесский, май 2009 г.;
- школа-семинар «Приближенные методы оптимального управления в параллельных вычислениях», ИПС им. А.К. Айламазяна РАН, Переславль-Залесский, 2-5 января 2011 г.
Публикации. Основные результаты исследования отражены в 15 печатных работах, в т.ч. 6 в ведущих рецензируемых журналах.
В работе [1] автором разработан алгоритм приближенно-оптимального синтеза управления в окрестности опорной траектории, и приведен пример решения задачи пространственного маневра вертолета, посчитанный автором. Вклад автора в работу [3] заключается в описании аппроксимации модели вертолета по методу наименьших квадратов. В работах [4,8] изложены идеи диссертационной работы: приближенный подход к решению задач моделирования и синтеза оптимального управления на основе среднеквадратических аппроксимаций. Совместно с соавтором описана реализация прототипа ПК ISCON, исполняемыми модулями которого в частности являются построенные в работе алгоритмы. Соавтору принадлежит описание технической стороны реализации прототипа комплекса. В работе [6] автором описана идеология применения среднеквадратической аппроксимации управляемых систем и особенности параллельной реализации алгоритма в ПК ISCON. В статье [7] совместно с соавтором рассмотрен приближенный подход к исследованию оптимального управления летательным аппаратом как сложным объектом, не имеющим полного аналитического описания. Предлагается аппроксимация практических (в том числе — имитационных) моделей объекта аналитическими конструкциями различной сложности и точности. Приводится пример восполнения аналитического описания динамической модели. В конце статьи приведено описание ПК ISCON, выполненное совместно с другим соавтором. В совместной работе [9] автором описан этап преобразования модели в предлагаемом подходе к решению задач оптимизации управления. В работе [10] соавторами рассмотрена модификация модели, предназначенной для качественного анализа и демонстрации различных вариантов управления системой «Человек-Природа», которая учитывает инновации как важнейший фактор устойчивого развития. На основе метода кратных максимумов автором решена задача оптимального управления для этой модели и произведены сравнительные расчеты для различных наборов параметров. Вклад автора в работы [11,12,13] состоит в описании разработанных им и использованных в ПК ISCON алгоритмов и область их применения. Описание идеологии интеллектуального интерфейса ПК ISCON является вкладом автора в совместную работу [14]. В работе [15] автором реализовано магистральное решение.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы и приложений. Количество страниц диссертации - ПО. Список литературы - 145 наименований. Приложения содержат дополнительный иллюстративный материал и листинги кодов программ.
Улучшение и приближенно оптимальный синтез управления
В данной работе предлагаются методы улучшения и приближенно-оптимального синтеза управления для дискретных (или дискретизованных) по времени моделей управляемых систем на основе среднеквадратической аппроксимации соотношений динамического программирования при полиномиальном представлении функции Кротова-Беллмана. При этом рассматривается постановка задачи «со свободным правым концом»: X(t) = Г = Мп. Фазовые ограничения, в том числе - на правом конце, могут быть учтены с помощью известного метода штрафов [20, 38]. Оба метода строятся по единому принципу, который состоит в следующем. Вводится функциональный параметр xl{t) - некоторая кусочно-гладкая функция, называемая опорной траекторией. Функция Кротова tp(t,x) выбирается в общем случае так, чтобы в ее окрестности приближенно выполнялись соотношения типа Беллмана [103]: P(t, х) = (p(t, х) — H(t, ж, Lp(t + 1, х)) = 0, G{x) = tp(tF, ж) + (1 — a)F(x), H(t, х, p(t + 1, x)) = max (tp{t + 1, f(t,x,u)) — a(u — й())2) , (1.2) где a - регулятор близости опорной траектории, 0 а 1 , u(t) - управление с опорной траектории.
Опорной, в частности, может быть приближенно-оптимальная, либо улучшаемая траектория, если синтезируется улучшающее управление. Задача оптимизации локализуется добавлением к исходному функционалу/с определенным весом функционала J типа нормы: 1а(тп) = (1 — а)1(т) + aJ(m ,m), 0 а 1, J(m , т ) = 0, J(m , т) 0, т Ф т . При а = 0 получаем 1а[т) = 1{т). Очевидно, m1 = argmin J(ml), при а = 1. Лемма 1.1 (Принцип локализации [68, 51]). Пусть при 0 а 1 су ществует та ф т1 такое, что /а(та) = min/a(m). Тогда 1(та) 1(т1).
Таким образом, минимизация вспомогательного функционала 1а{т) приводит к локальному улучшению исходного функционала / в достаточно малой окрестности т1. В этой окрестности функционал 1а{т) можно аппроксимировать моделью, допускающей простое, возможно аналитическое, решение задачи минимизации (например, линейно-квадратической), которое также будет уменьшать исходный функционал. Меняя параметр а, можно добиться наиболее эффективного улучшения, т. е. его можно рассматривать как регулятор. Если речь идет не об улучшении, а о реализации заданного элемента, то можно положить а = 1; в результате получается некоторый стабилизационный критерий как в классической задаче АКОР. Аппроксимация функции Кротова производится некоторым многомерным полиномом к p(t,x) = у ifji(t)gi(t,x), (1.3) i=\ где g(t,x) = (gi(t, х),... ,gk(t, х))т - набор заданных базисных функций, а ifj(t) = (ifji(t),... ,фк(і))т - набор коэффициентов, подлежащих определению из условий (ф (t)q(t,xi(t)) — H(t,xi(t),ib (t+ l)q(t,xi(t)))) , (1.4) min ф (tF)q(tF,xi(tF)) + (1 — a)F(xi(tF)) , (1.5) / - номер узла сетки. Условия (1.4), (1.5) сводятся к решению системы линейных алгебраических уравнений A(t)[i/jk{t)] = B(t) относительно коэффициентов фк{р) аппроксимирующего полинома. Конкретно [\фк\ъ)}\ = [9к{Х/з(і))\ sup у фк\ъ + a)gk{x + rij{t,xp{t),u))). (1.6) Более подробный вывод уравнений системы и преобразований условий (1.4), (1.5) дан в работе [26].
Близость полученного приближенного синтеза оптимального управления u(t,x(t)) к строгому оптимуму можно определить с помощью следующей верхней оценки Кротова [103]: Д() = Д( + 1) + тахР(, х) — тіпР(, ж), х х (1.7) A(tp) = тахС(ж) — тіпС(ж), где х пробегает заданную область. Найденное управление тем ближе к оп тимальному, чем меньше эта оценка. Возможность вычисления оценки - это важное преимущество перед «чистым» методом Беллмана. Она позволяет организовать регулярную процедуру уточнения приближенного решения за счет увеличения числа узлов интерполяции и их расположения в фазовом пространстве, а также дает критерий ее остановки.
Данная схема приближенного синтеза управления может использоваться как метод улучшения. Для этого нужно брать в качестве опорной траекторию, которая была построена на предыдущей итерации и повторять процедуру синтеза в ее окрестности. С помощью регулятора окрестности опорной траектории 0 а 1 мы сможем на каждом шаге улучшать значение функционала.
Таким образом, приведенная схема может использоваться для широкого круга задач оптимизации управления для сложных объектов. С увеличением размерности исследуемого объекта и с повышением точности работы алгоритма быстро возрастает потребность в вычислительных мощностях. Поэтому реализация алгоритма в ПК ISCON расширяет возможности его применения. В главе 4 приведен содержательный пример, в котором с помощью описанного алгоритма строится синтез оптимального управления для маневра взлета-разгона вертолета.
Возможные аппроксимирующие конструкции
На практике типичны ситуации, когда динамические модели не имеют полного аналитического описания, что делает невозможным применение для их исследования многих теоретических методов. Соотношения модели могут быть заданы таблично, либо в виде компьютерных подпрограмм. Также не редки ситуации, когда модель имеет громоздкое описание, что затрудняет проведение качественного анализа. В этих случаях для восполнения аналитического описания модели, либо упрощения ее вида используется аппроксимация. Она позволяет свести исследование сложных, либо не имеющих полного описания систем к исследованию более простых и представленных аналитически систем, обладающих свойствами исходных.
Помимо использования аппроксимации на этапе моделирования предлагается использовать ее для приближенного решения соотношений динамического программирования, когда они не могут быть разрешены в аналитическом виде. Это происходит при увеличении размерностей исследуемого объекта и пространства, в котором он описывается. Количество необходимых вычислений возрастает экспоненциально, и мы сталкиваемся с так называемым «проклятием размерности» [14]. Применение аппроксимации позволяет избежать этого эффекта и приближенно разрешить соотношения (1.2).
В главе 1 предложена общая схема улучшения и приближенно-оптимального синтеза управления на основе среднеквадратической аппроксимации соотношений динамического программирования в форме Кротова-Беллмана и указаны ее преимущества перед прежними методами, основанными на тейлоровской аппроксимации. Эта схема принципиально допускает произвольный выбор базисных функций gi (t,x), и любое описание правых частей системы fl(t,x) и дополнительных ограничений (иными словами — модели объекта управления), не обязательно аналитическое. Для ее эффективного выполнения, как и для всякой итерационной процедуры, требуется удачное начальное приближение.
Аппроксимация - замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны).
Аппроксимацией заданной функции называется нахождение такой функции (аппроксимирующей), которая была бы близка к заданной. Критерии близости этих функций могут быть различные.
Напомним несколько понятий, которые необходимы далее. Узел аппроксимации (узловая точка, узел) - точка, используемая для построения аппроксимации. В этой точке может быть вычислено значение аппроксимируемой функции - узловое значение функции (значение функции в узле).
Самый широко применяемый критерий близости состоит в требовании того, чтобы приближающая функция совпадала с заданными значениями в узловых точках. В этом случае говорят об интерполяции. Другой распространенный, более общий, критерий - «наименьшие квадраты» - означает, что «сумма квадратов отклонений между значениями приближаемой функции и приближающей конструкции в узловых точках должна быть минимальной».
Часто встречаются ситуации, когда приближаемая функция задана не аналитически, а таблично, т.е. известны ее значения в некоторых точках, либо в виде компьютерной программы. Как правило, указанные значения известны не точно, а приближенно. В них может присутствовать погрешность округления. Либо это результаты опытов или экспериментов, содержащие ошибки измерений. Наиболее широко использующийся метод восстановления аналитического вида функции в подобных ситуациях - это метод наименьших квадратов. Он позволяет использовать аппроксимирующие функции произвольного вида. Вид аппроксимирующей функции определяется особенностями решаемой задачи, например, физическими соображениями, если проводится аппроксимация результатов физического эксперимента. На практике широко используется аппроксимация уравнением прямой линии (линейная регрессия), аппроксимация полиномом (полиномиальная регрессия), аппроксимация линейной комбинацией произвольных функций. Введем в рассмотрение функцию многих переменных f(x), х Є Шп. Аппроксимирующую конструкцию представим в виде а (f)(x,ifjj) = y ifjjgj(x), (2.1) 3=1 где {gj{x)}– набор заданных базисных функций, {ifjj} - набор неизвестных коэффициентов, подлежащих определению, j = 1,..., х Построенную приближающую функцию будем обозначать f(x).
В этих терминах формулируется рассматриваемая задача аппроксимации. Имеется таблично заданная функция f(xl,...,xn). Необходимо построить функцию f(x1,...,xn) близкую к заданной. В качестве критерия близости предлагается использовать метод наименьших квадратов (МНК) [99].
Универсальный интерфейс. Взаимодействие ISCON и Maple
На графике ниже представлено несколько траекторий подъема-разгона(серые линии), реализуемых построенным позиционным управлением (u{t,x)) и берущих начало из различных состояний. Опорная траектория изображена черной линией. Из них видно, что построенное семейство траекторий приближается к заданному опорному состоянию.
Задача о нештатной посадке вертолета. Рассматривается движение вертолета в вертикальной плоскости, описываемое уравнениями: Щ = fl(xl, х2 х3 и1, и2) = — (—X ЯР cos в — Т sin и1), Щ = f2(xlщ ж2, ж3, г 1, и2) = — (—ХпрБІпв + Т cos и1 — G), Щ = f fx1, х2, х3, и1, и2, N) = f3fx1, х2, х3, и1, и2, N) + (N — N)4 Щ = f4fx2) = x2, dt V (4.4) где x1 ,x2 – горизонтальная и вертикальная составляющие вектора скорости, x3 – угловая скорость вращения несущего винта, x4 – высота, u1 – угол отклонения вектора тяги от вертикали, u2 – общий шаг несущего винта. XBP = Q((x1)2 + (x2)2), T = FT (x3R)2, = arctg(x2/x1), N – располагаемая мощность двигателей (рассматривается как внешнее воздействие в нештатной ситуации), m , G, P ,Q ,R ,N – константы ( m , G – масса и вес вертолета соответственно). Зависимости FT (t, x1, x2, x3, u1, u2) и f3(t, x1,x2,x3,u1,u2,N) рассчитываются с помощью компьютерной фортран-программы для конкретных наборов переменных.
Задача оптимизации ставится следующим образом. Заданы начальные значения фазовых переменных, ограничения на фазовые переменные во время и в конце маневра, ограничения на управления, отражающие требования безопасности: x(0) = (0,0, 29.6, 0)T, u- = (-0.348, 0.08)T, u+ = (0.348, 0.348)T, x- = (0, -3.2, 24.6, -)T, x+ = (+,0,30.8, +)T, x-F = (0, -3.2, 24.6, -)T, x+F = (7.5, 0, 30.8, +)T. Требуется минимизировать конечную высоту h(tF) = x4(tF) , что равносильно максимизации нижней границы опасной зоны аварийной посадки. Описанная модель динамики вертолета используется в задачах предварительной оценки полетных характеристик вертолета [108, 134, 3, 138]. Она, позволяет существенно повысить точность расчета взлетно-посадочных характеристик на переходных режимах (в частности, при определении границ опасных зон) по сравнению с известным энергетическим методом благодаря учету динами ки полета вертолета и особенно динамики изменения потребной мощности на валу несущего винта.
Расчеты проводились на примере условного вертолета, близкого по характеристикам к вертолету Ка-226 [134, 107], для следующих числовых значений параметров: G = 3400 кг; Р = 0.2; R = 6.5 м; N = 357 л.с. Для решения задачи применялся развиваемый систематический приближенный подход, который в данном случае состоит из следующих этапов: 1. содержательная постановка задачи; 2. выбор соответствующей модели динамики и постановка математической оптимизационной задачи; 3. аналитическая аппроксимация модели движения; 4. приближенный качественный анализ задачи с использованием упрощающих допущений для получения начального приближения ее глобального решения; 5. итерационное уточнение начального приближения.
Первые два этапа - это обычные подготовительные шаги для исследования любой прикладной задачи математическими методами и специальных пояснений не требуют. Для исследования режимов безопасной посадки требовалось получить полное аналитическое описание представленной модели (4.4): построить аналитические аппроксимации неявно заданных зависимостей FT(t,xl,x2,x ,ul,u2) и /3(,х1,х2,ж3,и1,и2). ПрименяласьФортран-программа расчета правых частей системы (4.4), практически используемая в ОАО «КАМОВ». С помощью данной программы были рассчитаны значения правых частей на сетках узлов, генерированных комбинациями значений аргументов, распределенных равномерно в их рабочих диапазонах. Для восполнения аналитических описаний было построено семейство МНК-аппроксимаций табличных зависимостей FT(t}xl}x2}x }ul}u2) и f3(t, x1,x2,x3,u1,u2), с использованием аппроксимирующих конструкций вида (1.3)с различными значениями показателей степени и различным числом коэффициентов. Таким образом, было восстановлено полное аналитическое описание рассматриваемой модели. В дальнейшем, основные исследования и расчеты проводились на одной из нелинейных аппроксимаций рассматриваемой динамической системы. Зависимости FT (x1,x2,x3,u1,u2) и f3(x1,x2,x3,u1,u2,N) имеют весьма сложный нелинейный характер и зада ются в форме достаточно громоздких алгоритмов и массивов эмпирических данных для конкретных вертолетов. Для исследования модели эти данные могут использоваться в заданной форме непосредственно обращением к соот ветствующим подпрограммам, реализованным на языке Fortran, в ходе расче тов. Возможно проведение расчетов и табулирования заранее с последующей аппроксимацией аналитическими зависимостями. В связи с трудоемкостью и большой временной задержкой получения данных с помощью непосредствен ного обращения к подпрограммам, для расчетов был избран второй вариант: решено было для восполнения аналитических описаний сделать аппроксима T цию конструкций F (x1,x2,x3,u1,u2) и f3(x1,x2,x3,u1,u2,N) по заданному набору точек методом наименьших квадратов. На Fortran-программе и с помощью Maple 7 был проведен расчет узловых значений исследуемых зависимостей, и затем построено семейство аппроксимаций. Наличие аналитических представлений данных зависимостей дает возможность вычислить их значение не только в заданных точках, но и в любых других точках из допустимого диапазона, что немаловажно для исследования модели. Аппроксимации модели строились на основе заранее заданных таблиц (4.1, 4.2) значений фазовых переменных и управления (каждая строка таблицы рассматривается как узел аппроксимации): 1) Таблица 4.1 содержит 243 строки
Исследование магистральных решений в задаче устойчивого развития региона
Поиск магистрального решения Из методических соображений будем предполагать, что инновационным изменениям подвергаются лишь элементы матриц А и С (которые и по содержанию — наиболее существенные параметры). Они рассматриваются как функции в. Остальные параметры считаются константами. Восстановительный и инновационный секторы работают с полным использованием мощностей, которые принимаются линейно зависящими от основных фондов: Tz = zkz, Г = ryvkv, где 7Z, і" — некоторые диагональные матрицы. Мощности производственных отраслей (производственные функции) Тг(кг) считаются вогнутыми функциями. Темп дисконтирования р полагается нулевым. Ограничениия на г учитываются косвенно посредством штрафов. Население и трудовые ресурсы по отраслям принимаются постоянными. Выпуски и основные фонды отраслей ограничены снизу из условий минимальной занятости населения. Матрицы D, Dz принимаются нулевыми.
Задачу будем решать в два этапа: 1. зафиксируем 9(tp) = Op и найдем решение при этом условии; 2. проварьируем Ор и получим окончательное решение. Для решения задачи на первом этапе применим метод кратных максимумов (МКМ) [47, 49]. Предположим, что управления и, uz и и" не ограничены, для компонентов к, kz, kv имеются нижние границы ()/, а верхнюю ()и и нижнюю ()/ границы для Qi построим как решения уравнений относительно этих переменных из (4.5) при v = Щ3 с условиями на левом и правом концах (рис. 4.8).
Рассмотрим обобщенный лагранжиан Кротова [103], задавая функцию Кротова в виде tp = 7Г + си (к, kz, kv, г, в): L = G — Rdt, o G = и (kp, kF, kF,rp,Op) — и {ко, к к го,во] R = р{{Е — А{0))у — Ви — AZryzkz — Bzuz — AUryvkv — Bvuv) — du du ҐП л\ ди — Sir) + тгг(гі ""v — w к + H){0 — 0) + т Ы — о к )+ дк дв okv ди c-zi z ди , _ _л ил\ r-iz + —{и — о к ) + (т + N(r — г) — С(0)у + 6 7 к + ітп — ex ). okz or Здесь Фт-, 4 7, 4т7, 4 , Ш рассматриваются как матрицы-строки производ ок okv okz or ов ных и по компонентам соответствующих векторов. Применяя последовательно метод кратных максимумов, приходим к следующим уравнениям относительно и: ди ди ди ди - ди — = рВ, — = рВ , — = рВ , —т 777 {0 — 0) = /J, , — = п , ok dkz dkv ди дг где /J,V = p{Av fv + Bv8v),nz = p{AZryz + 6zBz){CZryz) 1. При этом tp = П + p{Bk + z&z + Bvkv) — У fiVJ \nrjv:){e:) — б -7) + т г, (4.13) L = p{BzkF + BvkF) + 77z7 — /І47 In fVJ{9F — 9J) — з op — / {{p{E — A{0))y — nzC{0)y — pB5k — S{r)+ o + r]z{f + 7V(r — f) + imr — exr))dt + const, (4.14) где const = p{Bkp — Bko — Bzk — Вук$) + nzro + X M47 ln7 ( o ) і Будем минимизировать L последовательно по у, 0, к, г (при каждом t) и по кр и кр. Обозначим к = р(Е — А{9)) — nzC{9). Минимизация по у дает: Уиі при к — о yl{t) = (4.15) у\, при к,г 0. Соответственно R = к(в)уі:и — pBSk — S(r) + f]z(f + N(r — f) + inf — exr). Минимизируя далее по 9, получаем нижнюю границу /17 ПІ/j- ПІ І ПІ ПІ І ЛІ IJ " = Щ\І) = и (и — 9 F)exp{HJ [tp — t)) при всех t, так как к,г(9) — убывающая функция 9. Минимум по к достигается в точке k(9i(t)), к\, при к,г(9) 0, kl(6i(t)) = (4.16) решение уравнения т т = 0, при к,г(9) 0. Из указанных выше условий видно, что в общем случае может иметь место одна точка переключения kl{t) и y(t) на рассматриваемом временном интервале, причем с нижней грницы на верхнюю. Минимум L по г достигается в стационарной точке г, удовлетворяющей условию -д- = 0, поскольку на г ограничений нет. Тогда L = p(Bzkp + BvkF) + nzrp — Q(9i(t)) + const, где Q(9i(tp)) — значение интеграла в выражении (4.14) при найденных оптимальных значениях переменных. Значения кр, кр и kF принимаются равными значениям на последней магистрали. Результат минимизируется по 9р, что даст окончательное магистральное решение.
Отметим, что данная конструкция функции Кротова соответствует двукратному переходу от исходной задачи к производной: вначале получается первая производная задача, где роль управлений наряду с исходными играют к, kz и kv, затем делается переход к следующей производной задаче, путем перехода к единственной фазовой переменной X = (П, к, kz, kv, 9, г) = П+р(Вк + Bzkz + В1 кг ) — N fiVJ \nryVJ(9J — 9J)+rjzr. Это задача первого порядка для уравнения X = v(9, г) = к(9)у — pBSk — S(r) + if{f + N(r — f) + imr — exr) (4.17) с функционалом / = — X( F) inf при начальном условии x(0) = Xo = p(Bko + Bzk + Bvk$) — fiVJ \nryv:)(6:) — 9r) + r]zro з и при указанных выше ограничениях на остальные переменные.
Минимизация этого функционала сводится к максимизации правой части уравнения (4.17), которая совпадает с выражением функции R и дает уже найденное разрывное магистральное решение (второй ступени). Его траектория, как видно, разрывна в начальный момент и не гладкая. в точках переключения компонент к, внутри промежутка (0,F).
Улучшение магистрали как дискретно-непрерывного процесса. Рассмотрим далее задачу улучшения полученной магистрали, другими словами задачу поиска минимума функционала / = —((tp) при сле дующих предположениях: kv не ограничено сверху, Aw = Av(9), Az = Az{0). Предположения относительно матриц означают, что инновационым изменениям подвержены все коэффициенты прямых затрат, а не только производственных. Тогда if = r]z{9) и уравнения производной системы примут вид: ( = к(9)у — рВбк — p(Av(e)ryv + BV6V) — S(r) + r]z(Q) (f+ +7V(r — f) + imr — exr) — r}Q{0)r{[ vkv] + H){0 — 9), (4.18) 0 = — ([ryvkv] + H){0 — #), ({ti) = 0, 0{ti) = 0. Заметим, что найденная выше магистраль для переменной в не проходит через точку (tj Oj). Представим поведение исследуемой системы в виде дискретно-непрерывного (д-н) процесса [48, 58]. Дискретный процесс определяет поведение системы на верхнем уровне, функционал системы и является связующим звеном для непрерывных переменных нижнего уровня.
Разобъем заданный отрезок на N этапов - переходов между значениями дискретного аргумента (п = 0,1, 2,..., N), N = 4. 1 этап. Выход на магистраль (п = 0,1). 2-3 этапы. Движение по магистрали в силу непрерывной системы c точками переключения переменных (п = 1,2; 2,3). 4 этап. Сход с магистрали (п = 3,4). Обозначим переменные верхнего уровня как х1, х2, Xі. Здесь переменные х1, х1 соответствуют правым пределам переменных (, б, а ж3 начальным значениям времени на непрерывных интервалах, т. е. точкам преключения непрерывных управлений; ud2,ud3 - дискретные управления (импульс для выхода на магистраль и смещения точек переключения).
