Введение к работе
Актуальность. Современное состояние вычислительной техники характеризуется непрерывным возрастанием мощности компьютеров по быстродействию и памяти, тем не менее, одним из наиболее важных требований к численным методам, в основном, является минимизация числа операций. Это связано с необходимостью многократного повторения вычислений присущей многим алгоритмам решения таких задач, как, например, оптимизация, идентификация параметров, наведение на цели и других. Разнообразие численных методов предназначенных для решения одной задачи показывает, что часто практические требования к методу, среди которых основными являются противоречащие друг другу требования точности и быстродействия, отвергают выбор универсального метода. Это обуславливается во-первых, тем обстоятельством, что универсализация алгоритма неизбежно ведёт к его усложнению и, соответственно, к увеличению требуемых ресурсов и, во-вторых, из за большой вероятности при решении больших серьёзных задач возникновения проблем, характер которых зачастую заранее предсказать невозможно. Так, практика применения метода сплайн-функций выявила множество особенностей, потребовавших его усовершенствования, что иллюстрируется огромным количеством работ, появившихся со времени появления одной из первых публикаций с описанием метода (Шёнберг, 1946). Проблема решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) сопровождается таким широким спектром всё ещё не вполне изученных особенностей, что теория численных методов решения систем ОДУ выделилась в отдельный, классический раздел вычислительной математики, постоянно пополняющийся новыми результатами. Численное интегрирование систем ОДУ во многих современных математических моделях связано с решением таких проблем, как жёсткость, неустойчивость к возмущениям входных параметров, вычисление глобальной ошибки. Наличие множества численных методов, с различной эффективностью преодолевающих указанные проблемы (например, методы и подходы С. С. Артемьева, Г. В. Демидова, И. Д. Жонголовича, Ю. В. Ракитского, Р. Брауна, Р Буллирша, Дж Стойера, Г. Дальквиста, X. Розенброка, Е. Хэйрера, Г. Ваннера, Ч. Гира и других авторов), не снижает актуальность создания эффею ивных. обладающих достаточной простотой программной реализации алгоритмов Методов, реализованных в виде программных комплексов не \№<МДОйЩ|мяМШ1й1&йФач они ^"
3 1 STSfStM]
ладают разной эффективностью, следовательно, для конкретной серьёзной задачи уместны соответствующие выбор и «подгонка» метода, в связи с чем, создание семейств методов, ориентированных на решение определённого класса задач имеет актуальное значение.
К свойствам кривых и поверхностей, используемых для представления исследуемого объекта, предъявляется ряд конкретных требований, таких, как отсутствие вредных осцилляции, сохранение монотонности, близость к задающим точкам, гладкость, воссоздание прямолинейных участков, угловых точек и других. Анализ существующих алгоритмов сплайн функций (известны монографии Дж Алберга, Э Нильсона, Дж. Уолша 1972, Ю.С. Завьялова, Б. И. Квасова, В. Л. Мирошниченко 1980, В.А. Василенко 1983, К. де Бора 1985, Farin G. 1993, Hoshchek J., Lasser D. 1993, работы А.И. Гребенникова 1978, X. Шпета 1990 и других авторов) и локальных методов (Дж. Ферпосон 1964, С. Куне 1967, П. Безье 1971, Ф. Фрич 1980 и другие) показывает, что актуальность исследований по созданию метола представления кривых и поверхностей, удовлетворяющих определённым требованиям и обладающего требуемой эффективностью для решения определенного класса задач, ориентированных на современные математические модели в рамках современных вычислительных технологий не вызывает сомнений
Анализ существующих алгоритмов оптимизации (монографии М. Атанса, П. Фалба 1968, Р. Калмана, П.Фалба, М.М. Арбиба 1969, Дж. Лейтмана 1968, А. Брайтона, Хо Ю Ши 1972, Ф. П. Васильева 1988, работы Р. Беллмана 1960, С. Н. Грин-ченко, Л. А Растригина 1977 и др.) показывает, что разнообразие постановок и уровень требований, предъявляемый как к оптимальному решению, так и к процедуре его получения не позволяет считать существующие методы вполне исчерпывающими, а разработка и обоснование методов решения, соответствующих данному класс) задач, является актуальной. Современные требования, выдвигаемые на основе научных и коммерческих интересов, делают актуальной и задачу создания комплексов и пакетов прикладных программ с использованием новых эффективных алгоритмов.
Целью работы является разработка новых эффективных численных методов
- решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
(ОДУ),
- автоматизированного геометрического проектирования,
- решения задачи нелинейного программирования.
Построение на их основе эффективных алгоритмов, их программная реализация в виде библиотек и пакетов прикладных программ,
решение прикладных задач, имеющих научное и практическое значение с использованием разработанных алгоритмов и программ.
В построении новых численных методов применён единый подход, основанный на использовании эрмитовых сплайнов для аппроксимации функций. Основные результаты работы таковы:
- Разработаны два семейства численных методов решения задачи Коши для систем
ОДУ, и сконструированы алгоритмы решения задачи Коши для систем ОДУ с выбо
ром шага интегрирования пятью численными методами из приведённых семейств.
- Показано, что данные алгоритмы эффективны также и для решения жестких сис
тем ОДУ.
- Разработаны новые методы аппроксимации кривых и поверхностей, созданы ал
горитмы для их реализации, на основе которых созданы библиотеки программ.
Для решения задач нелинейного программирования разработан алгоритм на основе методов с адаптацией параметров и случайными выборками с применением новой стратегии вычисления целевого функционала, реализованный в виде библиотеки прикладных программ.
Созданы пакеты прикладных программ, использующие разработанные методы.
- Описаны постановки нескольких задач, представляющих научный и практиче
ский интерес, приведены их решения с использованием описанных комплексов и па
кетов прикладных программ.
Теоретическое значение и научная новизна работы определяются следующим: - Создано два новых семейства численных методов решения задачи Коши для систем ОДУ (LR- и LMR -методы). Доказаны теоремы, определяющие области значений параметров семейств, порождающих методы, обладающие А- и L- устойчивостью. Сформулировано новое определение L(S)- устойчивости, доказаны теоремы об L(S)-устойчивости двух новых методов из семейства LMR -методов.
На основе разработанных методов созданы алгоритмы решения задачи Коши для систем ОДУ с автоматическим выбором шага интегрирования, реализованные в виде библиотек и пакетов прикладных программ.
Созданы новые методы аппроксимации кривых и поверхностей на основе локальных полиномов Эрмита произвольной степени и порядка гладкости (LL-аппроксимация кривой, ZZ-аппроксимация поверхности). Сформулированы и доказаны теоремы об отсутствии точек перегиба на интервалах интерполяции, о сохране-
ний монотонности при монотонности задающих точек, о предельных свойствах аппроксимации LL-аппроксимации кривой. Показано, что при фиксированном значении одного параметра ZZ-аппроксимация поверхности является 1/,-аппроксимацией кривой как функция второго параметра. Созданы алгоритмы аппроксимации таблично заданных кривых и поверхностей, реализованные в библиотеках и пакетах прикладных программ.
Для решения задач нелинейного программирования разработаны алгоритмы покоординатного спуска, матричного спуска, сканирующего конуса, использующие адаптацию параметров и случайные выборки. Эти алгоритмы являются основой созданного алгоритма решения задачи нелинейного программирования, реализованного в библиотеке программ ПОИСК, с помощью которой решён ряд прикладных задач.
Впервые задача фармакологической коррекции генной сети сформулирована как задача оптимального управления динамической системой. На основе математической модели генной сети созданной в Институте Цитологии и Генетики СО РАН решена задача коррекции функции биосинтеза холестерина клетки, подвергшейся мутации.
Методика исследований. В построении новых численных методов решения задачи Коши для систем ОДУ, методов автоматизированного геометрическою проектирования и методов условной численной минимизации функционалов использован единый подход, основанный на применении эрмитовых сплайнов для аппроксимации функций. Программы написаны на языке OBJECT PASCAL.
Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечена использованием известных классических методов вычислительной математики, приведением достоверных теоретических оценок точности разработанных методов, тщательным тестированием разработанных и используемых методов решения задачи Коши для систем ОДУ, методов аппроксимации кривых и поверхностей, алгоритмов решения задачи нелинейного программирования, сравнениями результатов полученных новыми методами с точными решениями и с результатами, полученными по известным программам, построенным на основе зарекомендовавших себя методов - приводятся соответствующие таблицы и графики.
Практическая значимость состоит в том, что на основе разработанных семейств методов решения задачи Коши для систем ОДУ созданы методы и разработаны алгоритмы, реализованные в виде библиотек программ, являющихся составной частью
пакетов, созданных для решения многих практически значимых прикладных задач. Разработана формализованная методика аппроксимации кривых и поверхностей, реализованная в виде библиотеки программ, являющейся компонентом пакета прикладных программ проектирования оптимальных двумерных конфигураций, удовлетворяющих заданным аэродинамическим и геометрическим ограничениям. Пакет имеет большое значение для развития и совершенствования авиационной техники. Полученные результаты были использованы при выполнении хоздоговорных работ с ЭМЗ им В.М. Мясищева, (имеется акт о внедрении), с институтом органической химии СО РАН, (имеется акт о внедрении), с НПО «Прикладная механика» им М. А. Решетнёва, при выполнении грантов Российского фонда фундаментальных исследований (1996-2004).
Апробация работы. Результаты работы по мере их получения докладывались на
Международной конференции "Задачи со свободными границами в механике сплошной среды". Новосибирск. 1991.
IV-й Всероссийской школе молодых учёных. Красноярск. 1992.
Всероссийской школе - семинаре по комплексам программ мат физики Новосибирск, 1992.
ХІ-Й международной конференции по автоматически пилотируемым летательным аппаратам. Англия, Бристоль. 1994.
- Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и их приложения". Ка
зань. 1999.
Конференции «Юбилейные Чаштыгинские чтения». Новосибирск 1999.
Ш-й всероссийской конференции «Математика, информация, управление». Иркутск, 2004.
VII - XII Международных конференциях "Methods of Aerophysical Research" Новосибирск. 1994,1996,1998, 2000, 2002, 2004.
на семинарах ИТПМ СО РАН, ИМ СО РАН, ИВТ СО РАН Новосибирск. 2005
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 35 печатных работах. Из совместных публикаций в диссертацию включены результаты, полученные автором или при его непосредственном участии.
Личный вклад автора. Автор принимал участие в разработке пакета нроектирования двумерных конфигураций при конструировании интерфейсной части пакета, программ представления границ конфигураций, программ создания адаптируемых рас-
чётных сеток и программ отображения результатов решения. Автор являлся ведущим разработчиком семейств методов решения задачи Коши для систем ОДУ и методов аппроксимации кривых и поверхностей, библиотеки программ прогнозирования движением искусственных спутников Земли, пакета программ решения задачи Коши для систем ОДУ, пакета программ ТЕРМОГРАФ. В создании библиотеки программ «ПОИСК» автор принимал участие в разработке методов, построении и тестировании программ. Автор принимал участие в разработке концепции решения задачи управления динамикой генной сети и являлся основным разработчиком программного пакета управления синтезом холестерина в клетке. Текст диссертации и автореферата обсужден и согласован с соавторами.
На защиту выносятся следующие научные результаты:
-
Два новых семейства методов решения задачи Коши для жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), теоремы, определяющие области значений параметров семейств, порождающих методы, обладающие А - и L - устойчивостью, алгоритмы решения задачи Коши для систем ОДУ LRfl.r) - методом, LMR( 1,0,1) - и LMR( 1,1,1) - методами с расчётом ошибки на шаге, соответствующие библиотеки прикладных программ.
-
Новое определение устойчивости численных методов интегрирования систем ОДУ - 1(5) - устойчивость, теоремы об А - и L(S) - устойчивости LMR{ 1,0,1) - и LMR( 1,1,1)- методов.
-
Новые методы кусочно-полиномиальной аппроксимации кривых и поверхностей, заданных таблицами точек, названные, соответственно, LL-аппроксимацией кривой и 11-аппроксимацией поверхности, теоремы, гарантирующие выполнение основных условий изогеометрии (отсутствие паразитных осцилляции, монотонность, о близости к задающим точкам), метод, позволяющий варьировать отдельные участки аппроксимирующей кривой или поверхности, библиотека прикладных программ, в основе которой лежат описанные методы аппроксимации кривых и поверхностей.
-
Алгоритм решения задач нелинейного программирования с адаптацией параметров и использованием метода случайных выборок, библиотека прикладных программ ПОИСК для персонального компьютера
5. Постановки и результаты следующих прикладных задач:
в задаче прогнозирования движения искусственного спутника Земли увеличение интервала прогнозирования в пределах заданной точности но сравнению с использовавшимися ранее методами,
практические задачи расчета оптимальной формы крыльевых профилей дозвуковых самолетов при заданных аэродинамических и геометрических ограничениях,
задача управления биосинтезом холестерина в клетке впервые сформулированная как задача оптимального управления динамической системой.
Новые методы использованы для интегрирования систем ОДУ, аппроксимации и расчета управляющих функций.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав и приложения, объединяющих 22 параграфа, заключения, списка цитируемой литературы из 126 наименований и копии актов о внедрении. Общий объём работы 235 страниц, включая 34 рисунка и 10 таблиц.
