Введение к работе
Актуальность темы исследования
Современные вычислительные средства, непрерывный рост их возможностей позволяют проводить все более глубокую обработку данных измерений, извлекая из них все больший объем информации, а также расширяя круг «решаемых» задач. Появляется возможность усложнения моделей, в рамках которых производится обработка данных. Обработка данных измерений с целью извлечения новой информации особенно актуальна в тех случаях, когда непосредственное измерение параметра невозможно в силу тех или иных причин, что характерно для так называемых обратных задач. К числу последних относится обратная задача термографии, заключающаяся в восстановлении внутренней тепловыделяющей структуры объекта по данным измерений температурного поля на поверхности объекта. Уже это, например, тепловизионное, изображение представляет собой изображение этой структуры, в той или иной мере искаженное процессом теплопроводности. В рамках той или иной выбранной модели теплопроводящих свойств тела это изображение может быть скорректировано методом продолжения нестационарного температурного поля. При широком распространении в настоящее время тепловизионных методов исследования такая корректировка и интерпретация термографических изображений весьма актуальна.
Задача продолжения нестационарного температурного поля сформулирована как некорректно поставленная задача Коши для уравнения теплопроводности. Базовые принципы построения устойчивых методов решения некорректных задач заложены в трудах А.Н.Тихонова, В.К.Иванова, М.М.Лаврентьева и других российских и зарубежных математиков. Вместе с тем актуально развитие теории и методов решения некорректно поставленных задач, в переходе ко все более сложным моделям. Сложность рассматриваемой в диссертации задачи состоит в том, что модель трехмерная, поверхность имеет произвольный вид, задана приближенно и температурное поле нестационарно. Перечисленные характеристики задачи позволяют в принципе исследовать эволюцию внутренней тепловыделяющей
_. с,
структуры объекта по косвенным данным - по эволюции температурного поля на его поверхности.
Сложность выбранной модели объективно ведет и к усложнению алгоритмов. Актуальная задача - построение эффективных вычислительных алгоритмов, минимизирующих объем вычислительной работы.
Цель работы
Цель работы заключается в решении следующих задач:
-
Выбор и анализ математической модели, допускающей восстановление эволюции внутренней структуры объекта по эволюции измеренного температурного поля на поверхности объекта в рамках концепции продолжения нестационарного температурного поля как продолжения решения уравнения теплопроводности с границы.
-
Построение и исследование устойчивого приближенного решения некорректной начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности с данными Коши на поверхности произвольного вида, заданной приближенно.
-
Разработка эффективных алгоритмов численного решения некорректно поставленной начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.
-
Применение разработанных алгоритмов к решению модельных и практических задач термографии методом продолжения нестационарного температурного поля.
Методы исследования
В работе использовались методы теории уравнений с частными производными, методы регуляризации некорректно поставленных задач, метод Фурье и преобразование Лапласа, а также средства современного вычислительного эксперимента.
Научная новизна работы
Научная новизна работы заключается в разработке новых методов исследования эволюции внутренней тепловыделяющей структуры объекта на основе косвенных данных измерений. В основе метода анализ продолжения измеренного температурного поля в рамках выбранной модели однородного теплопроводящего тела с произвольной поверхности, заданной (измеренной) приближенно. На основе устойчивых решений математической задачи получены новые вычислительные алгоритмы решения задачи продолжения методом Фурье в случае продолжения как с плоской, так и с произвольной поверхности.
Практическая ценность работы
Результаты исследования могут быть использованы для обработки тепловизионных (термографических) данных. Обратная задача термографии заключается в восстановлении внутренней тепловыделяющей структуры объекта по данным измерений температурного поля на поверхности объекта. Уже это, например, тепловизионное, изображение представляет собой изображение этой структуры, в той или иной мере искаженное процессом теплопроводности. Разработанный на базе выбранной математической модели теплопроводящих свойств тела метод продолжения нестационарных температурных полей может рассматриваться как метод обработки термографических данных с целью коррекции изображений. Метод может быть использован в медицине для исследования изменений во времени аномальных образований в организме человека, а также - для обработки тепловизионных изображений в различных технических областях.
Обоснованность и достоверность полученых результатов
Полученные в диссертации результаты обоснованы применением строгих математических методов теории дифференциальных уравнений в частных производных, теории регуляризации некорректно поставленных задач, методов вычислительной математики. Достоверность результатов подтверждается строгими
доказательствами, а также эффективностью разработанных алгоритмов при проведении вычислительного эксперимента.
Апробация работы
Основные результаты работы были доложны на XLIII и XLVI Всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики и химии, Российский университет дружбы народов (Москва, 2007, 2010). а также на семинаре кафедры нелинейного анализа и оптимизации под руководстом проф. А.В.Арутюнова, семинаре по математическому моделированию под руководством проф. Л.А.Севастьянова.
Личное участие автора
Личное участие автора в получений результатов диссертации заключается в непосредственном участии в построении решения задачи и и его исследования, построении вычислительных алгоритмов. Все результаты, выносимые на защиту, получены лично автором.
Публикации
По материалам диссертации опубликовано 4 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата. Результаты диссертации в полной мере отражены в двух работах, опубликованных в ведущих рецензируемых научных изданиях, определенных ВАК [1,2]. В работах, выполненных в соавторстве, личный вклад соискателя заключается в непосредственном участии в построении решения задачи, проведении аналитических и численных исследований.
Объём и структура работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 154 страницы машинописного текста, 8 рисунков и библиографию из 172 наименований.
