Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Построение операторного уравнения для решения задачи локальной управляемости системы обыкновенных дифференциальных уравнений 18
1. Представление решения управляемой системы дифференциальных уравнений 18
2. Построение операторного уравнения при условии, что управление u(t) = R{t)a 24
3. Операторное уравнение в случае, когда управление представимо в виде тригонометрического многочлена 28
4, Построение операторного уравнения для кусочно-постоянного управления 31
Глава II. Условия разрешимости операторного уравнения Ра + 1л{а) = Ъ 36
5. Условия разрешимости операторного уравнения в критическом и некритическом случаях 37
6. Исследование разрешимости операторного уравнения с прямоугольной матрицей линейного приближения 62
Глава . Решение задачи о существовании локального минимума нелинейного функционала 74
7. Исследование форм четного порядка на знакоопределенность 75
8. Условия существования локального минимума функционала, заданного на решениях системы дифференциальных уравнений 89
Заключение 110
Литература
- Построение операторного уравнения при условии, что управление u(t) = R{t)a
- Операторное уравнение в случае, когда управление представимо в виде тригонометрического многочлена
- Исследование разрешимости операторного уравнения с прямоугольной матрицей линейного приближения
- Условия существования локального минимума функционала, заданного на решениях системы дифференциальных уравнений
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящей работе изучаются нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с управляющим параметром. Задачей исследования является определение условий, при которых система является локально управляемой.
Необходимость решения данной задачи возникает при математическом моделировании физических, химических, биологических, экономических и других процессов [5, 7, 9, 10, 12, 37, 48, 53, 57. 60, 64, 70, 71, 89, 90, 92, 95]. Помимо традиционных областей приложения — точных и опытных наук - математика начинает заниматься такими вопросами, которые ранее изучались только на гуманитарном уровне: конфликтными ситуациями, иерархическими отношениями в коллективах, согласием, авторитетом, общественным мнением [38, 83].
Разнообразные реальные процессы, происходящие в окружающем мире, зачастую являются управляемыми, то есть протекают различным образом в зависимости от конкретного воздействия на них управляющей стороны. Исторически задачи управления встречались еще в древние века, однако интерес к ним особенно возрос в последнее время, что связано, в частности, с ограниченностью природных ресурсов, развитием техники и ростом возможностей ЭВМ, благодаря которым стали осуществимы расчет и реализация сложных законов управления.
При исследовании математических моделей часто возникает задача о построении управляющего воздействия, которое переводит объект в заданное состояние. Приведем некоторые практические задачи, для решения которых могут быть применены изложенные в диссертации методы.
Для системы (0.4) начальное условие примет вид х(0) = 0. В качестве допустимых управлений будем рассматривать управления u(t), удовлетворяющие условиям: H(.)-V0 (5 , да - некоторое число, щ{і) + и2{()л-щ{і) = § для любого /є[0;7Ч. Ставится задача - найти такое управление, чтобы в фиксированный момент времени Т решение системы (0.4) удовлетворяло равенству х{Т) = Ь, где вектор Ь может быть выбран произвольно из некоторой окрестности нуля.
При решении подобных задач полезно заранее знать условия, достаточные для существования искомого управления. Поиск управления можно осуществить, используя различные численные методы [52]. В настоящей работе устанавливаются условия, при которых имеется управление, переводящее динамическую систему за фиксированное время из начала координат в конечное состояние (достаточно близкое к нулю).
Другой тип задач, возникающий при изучении математических моделей, - задача нахождения управления, удовлетворяющего заданному критерию качества. Особый интерес и актуальность представляют задачи исследования свойств решений, расположенных в окрестности известного решения.
Задача 3. Рассмотрим задачу управления ядерным реактором [5]. Среди разнообразных продуктов деления урана-235 (235С/) образуется нестабильный изотоп ксенон-135 (шЛе). Влияние тХе на работу ядерного реактора обусловлено тем, что он имеет большое сечение захвата тепловых нейтронов и поэтому его присутствие в реакторе подобно наличию поглотителя нейтронов.
Первое уравнение описывает изменение количества атомов "/ во времени: член Яіх1 — количество исчезающих в единицу времени атомов образующегося за счет деления ядерного горючего (yt =0,06, сг — макроскопическое эффективное сечение деления ядерного горючего, постоянное в силу предположения о постоянстве концентрации ядерного горючего). Аналогично, для второго уравнения член Л,л, показывает количество П5Хе, образующегося за счет /?-распада "/, член - Х2хг учитывает /?-распад П5Хе, член y2utu — прямое возникновение ™Хе при делении 2ZSU согласно нижней цепочке реакций в схеме, член агих\ - описывает выгорание тХе за счет реакции, связанной с захватом пъХе тепловых нейтронов.
Рассмотрим функционал J(a) - \u2{t)dt, заданный на решениях системы. Отметим, что выделяемая энергия пропорциональна n2(t). Пусть нам известно решение системы x(t,u0), соответствующее управлению и - иа, удовлетворяющее условиям х(0, и0) = 0, х(Т,и0) = Ьа. Наряду с этим решением будем рассматривать решения x{t,u), удовлетворяющие условиям: х(0,м) = 0, х(Т,и) = Ь, где \и щ 5Х, \b-b0\ S2, St, S2— некоторые числа. Требуется определить, является ли значение функционала J(u0) минимальным среди значений J(u), определенных на решениях x(t,u).
В работе излагаются математические методы, применимые к решению подобных задач.
Цель работы. Развитие качественных и аналитических методов исследования математических моделей, описываемых управляемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Ставится задача - оп ределить условия существования управления, при котором решение нелинейной системы x = f(i,x,u), (0.6) удовлетворяет равенствам д;(0) = 0, х(Т) = Ь, причем вектор Ъ может быть выбран произвольно из некоторой окрестности нуля. Предполагается, что х - и-мерная вектор-функция, и - m -мерная вектор-функция (управление), ш п,Т - фиксированное число.
Определяются необходимые и достаточные условия, при которых функционал заданный на решениях системы (0.6), имеет локальный минимум.
Методика исследования. Управление, являющееся решением поставленной задачи, может быть найдено в виде произведения известной тх и-матрицы и постоянного к-мерного вектора, в виде тригонометрического многочлена, или в виде кусочно-постоянной функции. Вопрос о локальной управляемости системы сводится к вопросу о разрешимости нелинейного операторного уравнений. Доказательства теорем основаны на применении принципа сжимающих отображений.
Проблема существования локального минимума функционала (0.7) сводится к задаче исследования форм на знакоопределенность. Предложены два способа исследования форм двух и более переменных на знакоопределенность.
Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме. Одной из характерных особенностей современной эпохи является все возрастающее внимание к проблемам управления. Как никогда прежде, ощущается потребность в плодотворном и эффективном использовании природных богатств, огромных людских ресурсов, материальных и технических средств. Говоря о наиболее приметных явлениях научно-технического прогресса в XX веке, обычно называют расщепление атома, освоение космоса, созда ниє электронной вычислительной техники. На этом фоне теория управления выглядит пока менее эффектно, хотя в развитии современной цивилизации она уже играет выдающуюся роль, и есть основание думать, что в будущем эта роль станет еще значительней.
Развитие управляемых систем, вызванное запросами практики, и, прежде всего, потребностями современной техники, определило круг задач, которые составили предмет математической теории управляемых процессов. Так возникли теория управляемости, связанная с проблемой перевода управляемого объекта в заданное конечное состояние, теория оптимального управления, направленная на поиск управления, удовлетворяющего заданному критерию качества, теория наблюдения и стабилизации. Теория управления механическим движением и технологическими процессами рассматривает много разных по формулировке и трактовке задач, при анализе которых важную роль играет теория дифференциальных уравнений. Каждая задача содержит вопрос о существовании управления, возможности его формирования при некоторых ограничительных условиях и о нахождении приближения к управлению из некоторого класса объектов. Наиболее важные и ценные результаты получены в управлении движением, описываемым конечными системами дифференциальных уравнений для числовых функций. Здесь, прежде всего, можно отметить результаты, полученные Р.Е. Калманом [30], В.И. Зубовым, [27, 28], Н.Н. Красов-ским [34, 35], Е.А. Барбашиным [6] и другими.
Красовский Н.Н. в работе [35] для линейной системы х = A(t)x + B(t)u + w(t), x{ta) = xa, x{tp) = xp задачу об управлении рассматривает как проблему моментов, в статье [36] обсуждаются задачи программного управления и управления по принципу обратной связи.
Краевая задача для линейных и квазилинейных систем рассматривалась Зубовым В.И. [27]. Большое внимание уделяется возможности численного решения с помощью методов последовательного приближения. Система х = Лх + Ви, xeR", UQR " С постоянными параметрами достаточно подробно исследовалась в работах [8, 30, 41, 66, 82]. При условии и] М определена структура области управляемости, получены некоторые свойства решений краевых задач.
Изучению управляемости бесконечномерными линейными системами посвящена работа [82]. Исследуется проблема -управляемости, то есть, возможность перевода системы из точки в ее произвольную є окрестность, как автономными, так и неавтономными системами. Предложено решение рассматриваемой задачи с помощью конечномерного и бесконечномерного управлений.
В теории оптимальных процессов наиболее полные исследования и окончательные результаты относятся к необходимым признакам оптимальности. Широким по содержанию, строго обоснованным и удобным по форме для приложений критерием оптимальности является принцип максимума [66]. Другой подход к проблемам управления — метод динамического программирования рассмотрен в книге [5]. Работы, посвященные проблеме существования оптимального управления процессами [1, 8, 29, 40, 54, 66, 87], основываются на предположении, что система обладает свойством управляемости, то есть, что существует допустимое управление, переводящее объект в заданное конечное состояние.
Одной из трудных и мало разработанных проблем, в особенности для нелинейных систем, остается краевая задача, связанная с необходимостью привести управляемый объект в заданное конечное состояние. При этом целесообразно изучить данную задачу об управлении сначала даже без учета требования оптимальности по тому или иному показателю.
Исследованию проблемы управляемости нелинейных систем посвящены работы [4, 11, 21 - 26, 44 - 47, 49 - 51, 55, 61 - 63, 67 - 69, 72 - 77, 84 — 86, 88, 91, 93, 94]. Большинство результатов этих работ относятся к изучению задачи локальной управляемости. В работе [81] Шарафеевым Д.Р. найдены условия существования тройки "начальное значение - управление - параметр", разрешающей периодическую краевую задачу.
Устойчивость управления по параметру исследуется Терехиным М.Т. в работах [73, 74]. В статье [76] изучаются системы, не являющиеся в общем случае управляемыми, исследуется проблема определения множества управляемости.
Пантелеевым В.П. в работе [59] устанавливается критерий локальной управляемости линейной по состоянию нестационарной динамической системы х = A(t)x + b(t, и).
В работах [49-51] Митрохиным Ю.С., Степановым А.Н. исследуется система вида х = f{x) + Bu. В случаях, когда система линейного приближения неуправляема, формулируются необходимые и достаточные условия управляемости нелинейной системы в малом.
Воротников В.И. рассматривает задачу нуль-управляемости по части переменных [11], то есть, задачу о переводе нелинейной системы за конечное время из некоторой области в положение, где заданная часть фазовых переменных равна нулю. Ее решение выбором структуры управлений и нелинейных замен переменных сводится к простым линейным задачам оптимального управления.
Достаточно общий подход к вопросу управляемости нелинейных систем разработан Воскресенским Е.В. [12 - 17]. В основе его лежит метод сравнения системы с другой, линейной или нелинейной, более удобной для исследования системой. При этом помимо управляемости метод сравнения позволяет установить ряд других полезных свойств, например, устойчивость.
Метод сравнения использовал в своих работах также Павлов АЛО. В dx статье [58] система — = A(t)x + B(t)u + f(t,x,u) + F(t) сравнивается с со dt ответствую щей линейной системой в предположении, что в фиксированном классе допустимых управлений система сравнения управляема.
Для поиска управлений, разрешающих краевую задачу, Терехин М.Т., Землякова Л.С. [75] предлагают метод вариации промежуточной точки, Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. [18] используют метод приращений, рассматриваемых на траекториях системы, авторы работ [85, 86, 91] при исследовании систем применяют теорию неподвижных точек.
В работах [44, 45] Мастерковым Ю.В. введены понятия локально управляемых, устойчиво управляемых и N -управляемых систем. Получены соотношения между этими понятиями. Показано, что свойство N-управляемости является наиболее сильным.
Петров Н.Н. при исследовании нелинейной автономной системы в работе [61] не предполагал полной управляемости системы линейного приближения. При помощи функции Ляпунова получены достаточные условия существования кусочно-постоянного управления, переводящего динамическую систему за конечный промежуток времени из любой точки фазового пространства в начало координат. Рассматривая проблему локальной управляемости нелинейных систем в работах [61 - 63] Петров Н.Н. в качестве множества допустимых управлений рассматривал кусочно-постоянные функции, принимающие значения из конечного множества.
Управлением динамическими системами с помощью кусочно-постоянных функций занимались Раковщик Л.С. [67, 69], Нгуен Тхянь Банг [55], Землякова Л.С. [21 -26].
В статье [33] авторами с помощью теоремы Брауера о неподвижной точке доказана полная управляемость нестационарной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с равномерно ограниченными возмущениями в классе непрерывных управлений. При этом предполагается, что возмущающие члены удовлетворяют локальному условию Липшица по х и по и, а главная (треугольная) часть — глобальному условию Липшица. В работе [69] Розановой А.В. доказана теорема о локальной управляемости системы, описываемой нелинейным эволюционным уравнением в банаховом пространстве, когда управлением является множитель в правой части.
Содержание работы. Особую роль при исследовании математических моделей занимают исследования управляемых систем. Большое прикладное значение имеет проблема локальной управляемости нелинейных систем. Исследованию этой проблемы посвящены в частности работы [2, 3,27,45,61,72].
Вопрос о локальной управляемости рассматривался Н.Н. Красовским [35], В.И. Зубовым [27], Э.Г. Альбрехтом, О.Н. Соболевым [2, 3], Р.Ф. Га-басовым, Ф.М. Кирилловой [18] в предположении полной управляемости системы линейного приближения. Результаты, полученные в настоящей работе, не связаны данным ограничением. Условия существования требуемого управления определяются свойствами как линейных, так и нелинейных частей системы.
Критические случаи изучались и ранее, но приводимые в работах [49 — 51] критерии управляемости предполагают наличие у правых частей системы частных производных по д: высокого порядка, а применение теорем Мастеркова Ю.В. [44, 45] связано с нахождением решений исследуемой системы, обладающих определенными свойствами, что в ряде случаев может вызвать затруднения. В отличие от указанных работ в диссертации методом неподвижной точки устанавливаются критерии локальной управляемости, которые могут быть использованы при решении прикладных задач.
Во введении содержатся: обоснование актуальности темы, цель работы, методика исследования, краткий обзор результатов других авторов, краткое содержание работы. Диссертация состоит из трех глав, разбитых на параграфы, заключения и приложения. В §1 главы I устанавливается вид решения управляемой системы дифференциальных уравнений, который используется в дальнейшем при исследовании проблемы локальной управляемости. Остальные три параграфа посвящены сведению задачи локальной управляемости к вопросу существования решения нелинейного операторного уравнения.
А.В. Арутюновым и В.Н. Розовой предложен другой подход к исследованию нелинейных управляемых систем. В статье [4] изучен вопрос существования регулярного нуля у квадратичного отображения, описывающего поведение динамической системы в окрестности вырожденной точки. На основе полученных результатов авторами найдены условия локальной управляемости нелинейной системы в вырожденном случае.
Вторая глава посвящена проблеме разрешимости нелинейного операторного уравнения относительного постоянного вектора. В §5 получены достаточные условия разрешимости уравнения в предположении, что матрица линейного приближения является квадратной, рассмотрены некритический и критический случаи. В §6 изучен случай прямоугольной матрицы линейного приближения. Показано, что полученные результаты могут быть применимы при исследовании модели движения автомобиля и трех-секторной модели экономики.
Известно [77], что система х = f(x,t,u), (x,t)eRn х [/„,/",], ueUczR ", локально управляема, если 0єintU, и локально управляема соответствующая ей система линейного приближения. Для локальной управляемости линейной системы х = A{t)x + B{t)u достаточно [35], чтобы rang{B(T),rB(T),..., ГпАВ{т))=п в некоторой точке гє[/0,?,].
Исследованию систем в критическом случае посвящены работы [45, 47, 50, 51, 62]. При этом Петров Н.Н. в работе [62] рассматривает автономные системы, Митрохин Ю.С., Степанов А.Н. исследуют систему вида х- f(x) + Bu. Мастерков Ю.В. изучает условия управляемости в нуль системы х f0(x) + и/}(х) в критическом случае. В статье [45] автор выделяет класс систем, для которых имеет место устойчивая локальная управляемость и показывает, что устойчивая управляемость занимает промежуточное положение между N -управляемостью и локальной управляемостью. В данной работе предложен алгоритм исследования систем более общего вида, допускающего наличие нелинейных по управлению и фазовым переменным членов.
В третьей главе обсуждается задача существования локального минимума нелинейного функционала, заданного на решениях дифференциальной системы уравнений. В §8 получены необходимые и достаточные условия, при которых функционал на заранее заданном решении принимает минимальное значение. Показано, что рассматриваемая задача сводится к определению условий знакоопределенности форм четного порядка. В §7 описываются методы, позволяющие исследовать формы четного порядка двух и нескольких переменных на знакоопределенность. В качестве примера рассмотрена задача управления ядерным реактором.
Отметим, что необходимые условия оптимальности определяются с помощью принципа максимума Понтрягина [5], который основан на рассмотрении отдельных траекторий. Другой подход - метод динамического программирования - основан на изучении всего множества оптимальных траекторий. В данной работе найдены достаточные условия оптимальности известного решения. При этом метод динамического программирования позволяет свести задачу оптимального управления к исследованию задачи Коши для нелинейного уравнения в частных производных, с помощью принципа максимума решение задач управления сводится к изучению краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При изучении свойств решений управляемых систем предложенным в диссертации способом возникает необходимость исследования форм четного порядка с действительными коэффициентами, что может оказаться удобным при решении задач прикладного характера. В приложении приведены блок-схемы и программа в среде Delphy, проверяющая условия теорем, установленных в §7.
Необходимые сведения по математическому анализу взяты из [79], по теории дифференциальных уравнений - из [20, 56, 65, 80], по функциональному анализу - из [31, 42, 78], по линейной алгебре-из [19, 39].
На защиту выносятся следующие положения:
1. Условия локальной управляемости системы (0.6) в случае, когда матрица линейного приближения операторного уравнения является неособенной (некритический случай).
2. Алгоритм исследования задачи локальной управляемости в критическом случае с использованием свойств нелинейных по управлению и фазовым переменным членов системы (0.6).
3. Необходимые и достаточные условия существования локального минимума нелинейного функционала, заданного на решениях системы (0.6).
Апробация диссертации. Полученные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на VII, IX Всероссийских научно-технических конференциях студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской радиотехнической академии, на научной конференции "Герценовские чтения - 2004" в г.Санкт-Петербурге, на конференции Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XV", на Международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" в г.Туле, на семинаре Средневолжского математического общества, научный руководитель - профессор Е.В. Воскресенский.
Основные результаты исследований опубликованы в работах [96 — 109].
Построение операторного уравнения при условии, что управление u(t) = R{t)a
Рассмотрим задачу локальной управляемости для системы (1.1). Ставится вопрос о возможности за конечное время Т перевести систему из положения хд (которое в дальнейшем будем считать началом координат) в другое фиксированное положение я, с помощью допустимого управления. Практически вопрос решается численными методами. В связи с этим полезно заранее знать условия, достаточные для существования указанного управления.
Определение 1. Система (1.1) называется управляемой, если для любой точки х є Ел существует управление из класса допустимых управлений, переводящее систему (1.1) из положения д 0 =0 в точку дг за некоторое фиксированное время Т.
Систему дифференциальных уравнений, не удовлетворяющую условию определения 1, будем называть неуправляемой.
Определение 2. Будем говорить, что система (1,1) локально управляема, если существует такая окрестность начала координат в пространстве Еп, в каждую точку которой можно перевести систему из положения х0 = 0 с помощью допустимого управления за некоторое фиксированное время Т.
Пусть WiS ) = {х є Еп :\х\ S }. Ставится задача - определить условия существования числа S О такого, что для каждой точки beW(S ) найдется управление иєіі ), при котором решение системы (1.1) удовлетворяет равенству х(Т,и) = Ь. (2.1) Из теоремы 1.2 следует, что систему (2.1) можно записать следующим образом: Х(Т) рГ1 () 5(#) и{& d + д(Г, и(.)) = Ь, (2.2) о где q(T,u(.))=o(u).
Управление u{t)єV{S )y удовлетворяющее равенству (2.2), будем искать в виде u(t) = R{t)a, где R(t)— известная mхп-матрица, непрерывная (кусочно-непрерывная) на сегменте [0;7 ], а- неизвестный и-мерный вектор. Число д2 О определим согласно равенству д2 = т.— . Тогда при любых а (\а\ д2), t є [О;7 ] будет справедливо соотношение \u{t)\ = \R{t)a\ \\R{.)la\ 5,. Пусть Р Х{Т)\Хл(М)В{ОЩ) Ч, Система (2.2) примет вид о Ра + м(а)=Ь, (2.3) где Р— известная ихя-матрица, (a) = q(T,R(.)a). Лемма 2.1. В системе (2.3) ju(a) (а) ПРИ u(t) = R(t)a. Доказательство. Докажем, что , , -» 0 при а - 0. м Убедимся сначала, что величина - ограничена. Так как х(?,и(.))-решение системы (1.1), то Пусть є О - произвольное, но фиксированное число и пусть ЕХ т jj—, где N удовлетворяет неравенствам: (.) iV и [[Л О АГ. Из условия 2)) следует существование числа S є(0;&,] такого, что для любого t є [О; Т] я(Г,Д(Г)а) г,Д(Оа, (2.5) как только \а\ 5, Из условия 4г) следует, что при \сс\ 8г выполняется неравенство \f{t,x{tM-\4t)a)\ M\x{t,u{ ))\- (2.6) Учитывая соотношения (2.4), (2.5) и (2.6), при ж получим, что \x(t, ы(0) 5(.)[ \\Ю\\Т\а\ + єх Л(.)]Га + )(\\А-)\\ + м)\х(, и{))Щ. Используя о лемму Гронуолла - Беллмана, будем иметь \x{tM-))\ йаді+ 1ед1№1 ехР (.)+м)г. Отсюда следует, что x(t u(.))- 0 при а-» О равномерно относительно t є [0;Г]
Рассмотрим задачу локальной управляемости для системы (1.1).
Ставится вопрос о возможности за конечное время Т перевести систему из положения хд (которое в дальнейшем будем считать началом координат) в другое фиксированное положение я, с помощью допустимого управления. Практически вопрос решается численными методами. В связи с этим полезно заранее знать условия, достаточные для существования указанного управления.
Определение 1. Система (1.1) называется управляемой, если для любой точки х є Ел существует управление из класса допустимых управлений, переводящее систему (1.1) из положения д 0 =0 в точку дг за некоторое фиксированное время Т.
Систему дифференциальных уравнений, не удовлетворяющую условию определения 1, будем называть неуправляемой.
Определение 2. Будем говорить, что система (1,1) локально управляема, если существует такая окрестность начала координат в пространстве Еп, в каждую точку которой можно перевести систему из положения х0 = 0 с помощью допустимого управления за некоторое фиксированное время Т. Пусть WiS ) = {х є Еп :\х\ S }. Ставится задача - определить условия существования числа S О такого, что для каждой точки beW(S ) найдется управление иєіі ), при котором решение системы (1.1) удовлетворяет равенству х(Т,и) = Ь. (2.1) Из теоремы 1.2 следует, что систему (2.1) можно записать следующим образом: Х(Т) рГ1 () 5(#) и{& d + д(Г, и(.)) = Ь, (2.2) о где q(T,u(.))=o(u). Управление u{t)єV{S )y удовлетворяющее равенству (2.2), будем искать в виде u(t) = R{t)a, где R(t)— известная mхп-матрица, непрерывная (кусочно-непрерывная) на сегменте [0;7 ], а- неизвестный и-мерный вектор. Число д2 О определим согласно равенству д2 = т.— . Тогда при любых а (\а\ д2), t є [О;7 ] будет справедливо соотношение \u{t)\ = \R{t)a\ \\R{.)la\ 5,. Пусть Р Х{Т)\Хл(М)В{ОЩ) Ч, Система (2.2) примет вид о Ра + м(а)=Ь, (2.3) где Р— известная ихя-матрица, (a) = q(T,R(.)a). Лемма 2.1. В системе (2.3) ju(a) (а) ПРИ u(t) = R(t)a. Доказательство. Докажем, что , , -» 0 при а -» 0. м Убедимся сначала, что величина -— т ограничена. Так как х(?,и(.))-решение системы (1.1), то Пусть є О - произвольное, но фиксированное число и пусть ЕХ т jj—, где N удовлетворяет неравенствам: (.) iV и [[Л О АГ. Из условия 2)) следует существование числа S є(0;&,] такого, что для любого t є [О; Т] я(Г,Д(Г)а) г,Д(Оа, (2.5) как только \а\ 5, Из условия 4г) следует, что при \сс\ 8г выполняется неравенство \f{t,x{tM-\4t)a)\ M\x{t,u{ ))\- (2.6) Учитывая соотношения (2.4), (2.5) и (2.6), при ж получим, что \x(t, ы(0) 5(.)[ \\Ю\\Т\а\ + єх Л(.)]Га + )(\\А-)\\ + м)\х(, и{))Щ. Используя о лемму Гронуолла - Беллмана, будем иметь \x{tM-))\ йаді+ 1ед1№1 ехР (.)+м)г. Отсюда следует, что x(t u(.))- 0 при а-» О равномерно относительно t є [0;Г] и Ц іаді+ іівдігехрй оіі+м . Это значит, что существует число L 0 такое, что при любом / [О;/1] и і , — Ьс(?,«(,)) любом Ы S выполняется неравенство -—j—:— L. щ При любом фиксированном t є[0;Г] и любом а (\a\ S2) будет выполнено соотношение
Операторное уравнение в случае, когда управление представимо в виде тригонометрического многочлена
Таким образом, установили, что нелинейная часть операторного уравнения (5.1) удовлетворяет условию Липшица по переменной а на множестве векторов {а: \а\ д }. Лемма доказана.
Далее будем предполагать, что в равенстве (5.1) число неизвестных переменных равно числу уравнений, то есть, матрица линейного приближения является квадратной матрицей размерности пхп.
Для матрицы Р будет выполнено одно из следующих условий: I. rang р = п — некритический случай; II. rang P = r, 0 г п — критический случай. I. Рассмотрим вопрос о разрешимости операторного уравнения (5.1) в некритическом случае. Докажем справедливость следующей теоремы. Теорема 5.1. Если матрица Р является неособенной, то существуют числа 8 О, 8 О такие, что для любого вектора Ъ є W{8 ) операторное уравнение (5.1) имеет единственное решение во множестве G{8) = {a\\a\ 8). Доказательство. Из условия теоремы следует, что уравнение (5.1) можно записать в виде a = p- b-Plfi(a). Оператор F определим равенством Fa = P lb P ] ц{сс). Докажем, что при фиксированном b оператор F является сжимающим. Из леммы 5.1 следует существование такого числа 5 , что при любом 8є(0;8г] и любых а, , а2 выполняется неравенство 1 - 1 11//( ,)-//( )1 1 1 3( )1 ,- 1, где М3(8)- 0 при 8 — 0. Выберем число S таким образом, чтобы Р ] Мг{8) р 1. Следовательно, существуют числа 8 и /3 1, при которых для любых векторов ИГ,, а2 є G(5) = {а: \а\ 8} выполняется неравенство \Fa} Fa2\ fi\a, сс2\. Это означает, что при фиксированном b оператор F является сжимающим на множестве G{8). я- 0 Покажем, что оператор F отображает множество G{8) в себя. Так как 1Іт = 0,то существует такое 5 0, что кактолько а \а\ //И і \сс\ 2Р -і (5.5) Пусть 8 = min {8,8}. Тогда неравенство (5.5) будет выполняться для всех Ы 8 и Заметим, что lim P ]b = 0, следовательно, существует положительное число 5 , при котором для любого Щ 5 выполняется неравенство
Окончательно получим, что для любых векторов beW(S )n \а\йд справедливо неравенство \Fa\ P b + \Р ] ju{a/{ З Таким образом, для любого фиксированного б 5" оператор F отображает множество G{5) в себя.
Следовательно, для оператора F выполнены все условия теоремы Банаха. А это значит, что для каждого фиксированного b є \{д ) во множестве G(S) существует единственная неподвижная точка оператора F, то есть, для любого b eW{6") операторное уравнение (5.1) имеет единственное решение во множестве G(S). Теорема доказана.
Замечание. При выполнении условия теоремы 5.1, равенство Pa + ju(a) = b на множестве W(S ) определяет вектор-функцию q \ b- -a = p(b).
Теорема 5.2. Пусть выполнены условия теоремы 5.1. Тогда существует число S О такое, что равенство а = P b P { /j(a) определяет вектор-функцию р: Ь а = р{Ъ), непрерывную на множестве W(8 ).
Доказательство. Из теоремы 5.1 следует, что существует число д такое, что на множестве W{5 ) равенство Ра + /j(a) = b определяет вектор-функцию (р: b a = (p{b). Теорема будет доказана, если будет установлено, что вектор-функция р на множестве W{5 ) удовлетворяет условию Липшица.
Из теоремы 5.1 следует, что для произвольных bnb2e W{8 ) существуют векторы ау, а2, удовлетворяющие равенствам bx Ра} + //(а,), b1=Pa2+/j(a2), при этом ог, 5, а2 5, 8 S . Кроме того, Р ] М3(ё) 1. Пусть / = 1- Р1 М3(ё) 0. Учитывая неравенство (5.2), получим соотношение {ф,)-ф -а Р -Ь ЦР М,(8) ,-а2\. Следовательно, [а, -а2\(і-\\Р 1[Мъ(8)) \\Р [ б, -Ьг\. А это значит, что для любых bx,b2 є W(S ) будет выполнено нера Цр- Ц венство \ р{Ь{) р{Ь2)] -—- б, - Ь21. Теорема доказана.
Теорема 5.3. Если матрица Р является неособенной, то найдется положительное число 8 такое, что для любого b W{8 ) существует единственное управление u(t) из некоторого множества, при котором решение x(t,u{.)) системы (1,1) удовлетворяет равенству х(Т,и(.)) = Ь и имеет на множестве W{8 ) представление x{t,u{.)) = X{t)\X-\t)B{t)u{t)dt+o{b). о Доказательство. Из теоремы 5.1 следует существование числа 8 О, при котором для любого b є W(S ) найдется единственный вектор а, удовлетворяющий операторному уравнению (5.1).
Исследование разрешимости операторного уравнения с прямоугольной матрицей линейного приближения
Рассмотрим операторное уравнение Pa + ju(a) = b. (6.1) в случае, когда Р является ихs-матрицей, s n, Ъ - и-мерный вектор, а - неизвестный з1-мерный вектор, /л(а) = о(а). Будем предполагать, что для функций g(t,n) и f{t,x,u) выполнены условия 4[) и 5г) соответственно (стр. 37). Из леммы 5.1 следует, что величина /л(сс) удовлетворяет условию Липшица на множестве векторов {а : Ы б }.
I. Пусть rangP = n и минор и-го порядка, отличный от нуля, расположен в левом верхнем углу. Тогда уравнение (6.1) можно представить равенством
Pial+P2a2+/.t(a) = b, (6.2) в котором Р} и Р2 - известные матрицы размерности пхп и nx(s-n) соответственно, rang Pl =п, ах - п -мерный вектор, аг - (s-ri) -мерный вектор, a = colon (at,a2). В данном случае будет справедлива следующая теорема
Теорема 6.1. Если rangP = n, то существуют положительные числа 8 , 8l, 8 такие, что для любых векторов b є W{S") и \а2\ 8І во множестве Q{S) = {a] :\а\ 8) найдется единственное or,, удовлетворяющее уравнению (6.2).
Доказательство. Так как Рх - неособенная матрица, то уравнение (6.2) можно представить в виде ау = Р;\Ь Р2а2-м{а)). Оператор F определим равенством Fat = Pl \b-P2a2 -ju(a)). Из леммы 5.1 следует существование такого числа 8 , что для всякого 8 (0; 8 ] при любых [ctr f с5", [а"! будет выполнено неравенство //(а ) t(a J M (8)\a а"\, где М}(8)- 0 при У- 0. Выберем число 8 таким образом, чтобы ІР 1 Мъ{8) ft 1. Зафиксируем значение а2 8 и Ь . Пусть Q(8) = {or,: \ссу \ 8}. Возьмем произвольным образом а\,а"єQ(8). Пусть a = colon (а },а 2), a" = colon (а", а 2). Тогда для любых а[,а"е.С1{8) и любого фиксирован ного а2 выполняется неравенство \Fa[ Fa"\ P l \fi(a )-/j[a"J р\а -а"\ = 0\а[-а[\, /? 1. Это значит, что оператор F является ежи мающим на множестве Q(8) при фиксированных Ъ и а2 8. м(а)_ Так как lim ,=0, то существует такое положительное число 8 а \а\ что как только \а \ 8 , то \м{а)\ \сс\ 1-І (6.3) Пусть 8 = mm {8,8}. Существует положительное число 8Х 8 такое, что для любого вектора 2 , выполняется неравенство 8 Р2сс2\ Выберем число 6 0 таким, чтобы для любого be1V(8 ) было справедливо соотношение Зафиксируем а\ 8У Пусть a}eQ(8), тогда [a j, следовательно, неравенство (6.3) будет выполнено. Значит для любого а{ є Q(8) справедливо соотношение Fa, 1-і = 8. Щ + \Р2а2\ + \р{а]У
Таким образом, при любых фиксированных а2 ,, beW(3 ) оператор F отображает множество 0.(8) в себя. Убедились, что на множестве 0( )для оператора F выполнены условия теоремы Банаха. Следовательно, существуют такие числа 8}, 8 , что при любых фиксированных а2 ,, beW(8 ) оператор F имеет единственную неподвижную точку во множестве Q(8). Теорема доказана.
Из доказанной теоремы следует, что если rang Р п, то задача локальной управляемости для системы (1.1) разрешима. П. Пусть rangР = г, 0 г п. Будем предполагать, что выполнены условия А) и В) (стр. 46). Тогда исследуемое уравнение (6.1) примет вид Pa + hk(a) + pXa) = b (6-4) &(а) = ощ). II і .Рассмотрим случай, когда rang Р = г, 0 г п.
С помощью элементарных преобразований строк матрицы Р можно эту матрицу привести к виду, в котором последние (и - г) строк являются нулевыми, то есть матрица линейного приближения преобразуется к матрице Р =colon(P, Р0), где Р— матрица размерности rxs и rangP = г, Р0 — нулевая матрица размерности (n-r)xs. Следовательно, уравнение (6.4) можно записать так:
Условия существования локального минимума функционала, заданного на решениях системы дифференциальных уравнений
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений х = A(t)x + B(t)u + f(t, х, и), (8,1) где х Еп иєЕт -управление, т п, ґє[0;Г], матрицы A(t), B(t) непрерывны на сегменте [0;Г], f(t,x,u) - и-мерная вектор-функция, кусочно-непрерывная на множестве Л = {(?, х, и): t в [0; Г], х є G, и є U}.
Будем предполагать, что для системы (8.1) на множестве Л выполнены условия теорем о существовании, единственности, непрерывной зависимости решения от параметра.
Пусть при 11-щє.и система (8.1) имеет решение / — x(t, и0), определенное на сегменте [0; Т] и удовлетворяющее условиям: х(/, u0)eG для любого t є [0; Т], х(0, и0) = 0, х(Т, и0) = b0. Возьмем произвольное, но фиксированное є0. Тогда по теореме о непрерывной зависимости решения от параметра найдется такое S0 0, что для любого вектора и, удовлетворяющего условию JJM-MJ , система (8.1) имеет единственное решение t — х = x(t, и), х(0,и) = 0, определенное и непрерывное на множестве D (30) = {(t,u):te[0;T], \\u-u0\\ S0}, причем \x(t,u) x(t,u0)\ s0 для любого t є[0;Ґ.
Введем следующие обозначения: U(S0) = {u: иєЕпіі и S0], Ui( a) = {u: ueEm м-но- оЬ W{6 )-{x: хєЕя,\х\ 5 }.
Будем рассматривать функционал J {и) = \Ф(і, х, u)dt, определенный о на решениях x(t,u) системы (8.1) для любых векторов и є 0). Пусть при и и0 значение функционала J(u) = J0. Введем замену переменных v = u uQ, y = x-x(t,u0). Система (8.1) преобразуется к виду y + x(t, и0) = A{t)y + A(t)x(t, и0) + B(t)v + B(t)ug + ґо (p.Z) + f(t,y + x(t,u0),v + ii0). Так как x(t, и0) - решение системы (8.1), соответствующее управлению и = и0, то x{tt щ) = A(t)x(t, щ ) + B(t)u0 + f(t, x(t, w0), и0).
Положим /(/, ,v) = /(/,j/ + x(r,H0),v + «0)-/( x(r,M0),M0). Получим систему y = A(t)y + B{t)v + f(t,y,v), (8.3) которая имеет решение у = 0, соответствующее управлению и = 0. Указанная замена переменных преобразует исследуемый функцио _ _ г нал J {и) к виду J(v + щ) = /Ф(?, у + х(Г, и0), v + щ )dt. Пусть о J(v) = J(v + uo)-J(uo)=j(p(t,y + x(t,u0),v + uo) t,x(t,uo),u0))dt = о г = Ф(ґ, , v) #, при этом J(O) = 0. о Таким образом, если известно какое-либо решение системы (8.1), то с помощью указанной замены переменных систему (8.1) можно свести к виду (8.3). Для удобства записей сохраним прежние обозначения, и будем 7 рассматривать функционал J(u)= j $(t,х,u)dt, J(0) = 0, заданный на ре о шениях x{t, и), х(0, и) = 0, и є U(80) системы х = A{t)x + B(t)u + /(/, х, и). (8.4) Предположим, что функция /(/, х, и) на множестве Л, ={(t,x,u):t є[0;Т],\х(і,и)\ єд, w S0} допускает представление Д/, х, и) = fM (t, х, и) + о(\Г\Ш), (8.5) где fM(t,xtu) - вектор-форма порядка (k + l) относительно у = (х,и), к 2. Пусть функция Ф(1, х, и) определяется равенством b(t,x,u) = (p(t),x) + №(t),u) + pt(t,x,u) + o(\yl[)t (8.6) где p{i)— «-мерная вектор-функция, (/)-ти-мерная вектор-функция, p,(t,x,u)- форма порядка / относительно у, 2 1 к. Символом (а,Ь) обозначено скалярное произведение векторов а, Ъ.
Из теоремы 1.1 следует, что решение системы (8.4) с начальным условием х(0, и) = 0 определяется соотношением x(t,u) = X(t))x-\ )B )u )d + X(t))x-\ f( x( u),u ))d (8.7) о о в котором X{t)- фундаментальная матрица системы х = A{t)x. Будем рассматривать случаи, когда а) управление u{i) =R{t)a, R(t) известная тихл-матрица, а неизвест ный п -мерный вектор; б) управление представимо в виде тригонометрического многочлена v-/ 2л-... 2л, \ ,„ „ . T T в) управление является кусочно-постоянной функцией, а именно, для лю ы\ \ u(t) = aa +2_, я, cos—Ї/ + О. sin—it , причем (l + 2s)m = n; бого / = 1, m
