Содержание к диссертации
Введение
2. Состояние и перспективы развития методов реіпения задач механики и управления роботами 21
2.1. Структура манипуляционных механизмов 21
2.2. Основные задачи кинематики манипуляторов 24
2.3. Кинематические параметры, применяемые для описания углового движения твердого тела 28
2.3.1. Углы Эйлера 29
2.3.2. Углы Крылова 33
2.3.3. Направляющие косинусы и их матрицы 36
2.3.4. Вектор конечного поворота и его проекции. Теорема Эйлера-Даламбера 40
2.3.5. Параметры Эйлера-Родрига-Гамильтона 43
2.3.6. Параметры Кейли-Клейна 44
2.3.7. Кватернионы 45
2.3.7.1. Понятие кватерниона 45
2.3.7.2. Свойства и действия над кватернионами 45
2.3.7.3. Геометрическая интерпретация кватерниона 49
2.3.7.4. Геометрическая интерпретация кватернионного произведения 52
2.3.8. Кватернионные матрицы 54
2.3.8.1. Формирование кватернионных матриц типов тип 54
2.3.8.2. Свойства кватернионных матриц 56
2.3.9. Матрицы параметров Кейли-Клейна 57
2.4. Кинематические параметры, используемые для описания - произвольного пространственного движения 58
2.4.1. Традиционные параметры, используемые для описания пространственного движения 59
2.4.2. Однородные координаты и матрицы преобразования однородных координат 60
2.4.3. Метод винтов и дуальных матриц в кинематике манипуляторов. Понятие дуального числа, угла, вектора 64
2.4.3.1. Понятие дуального числа 64
2.4.3.2. Операции над дуальными числами 64
2.4.3.3. Понятие дуального угла 65
2.4.3.4. Понятие дуального вектора - винта 66
2.4.3.5. Операции над дуальными векторами 68
2.4.3.6. Принцип перемещения Котельникова-Штуди 69
2.4.3.7. Дуальные углы Эйлера-Крылова 70
2.4.3.8. Дуальные направляющие косинусы 71
2.4.3.9. Винт конечного перемещения и его дуальные ортогональные проекции 74
2.4.3.9.1. Теорема Шаля 74
2.4.3.9.2. Понятие винта конечного перемещения 75
2.4.3.10. Дуальные параметры Эйлера 75
2.4.3.11. Дуальные параметры Кейли-Клейна 76
2.4.3.12. Бикватернионы 77
2.4.3.13. Бикватернионные матрицы 78
2.4.3.14. Матрицы дуальных параметров Кейли-Клейна размерностью2 х2и4х4 79
2.5. Применение методов искусственного интеллекта в задачах
робототехники 81
Заключение 82
3. Особенности решения основных задач кинематики манипуляторов в аппарате кватернионов 84
3.1. Решение прямой задачи манипуляторов 85
3.2. Ускоренное умножение кватернионов 86
3.3. Формирование исходных данных обратной задачи кинематики манипуляторов 90
3.4. Решение обратной задачи манипулятора 93
3.5. Сравнительный анализ методов решения обратной задачи манипуляторов 103
3.6. Разработка эффективных методов и алгоритмов решения задач кинематики манипуляторов 107
3.6.1. Решение прямой задачи кинематики манипулятора с
использованием различных кинематических параметров 107
3.6.1.1. Матрицы однородного преобразования 4x4 108
3.6.1.2. Матрицы дуальных направляющих косинусов 109
3.6.1.3. Бикватернионы и бикватернионные матрицы 110
3.6.1.4. Параметры и матрицы параметров Кейли-Клейна 114
3.6.2. Оценка эффективности и анализ вычислительной сложности использования различных кинематических параметров 116
Заключение 122
4. Комбинированный интеллектуальный метод решения обратной задачи кинематики манипулятора 123
4.1. Нейросетевой подход к решению обратной задачи кинематики 123
4.1.1. Формализация задачи. Описание входных и выходных данных... 125
4.1.2. Выбор структуры и функции активации нейронной сети 127
4.1.3. Тренировочный и рабочий диапазоны 129
4.1.4. Разрешение проблемы локальных минимумов в процессе обучения 131
4.1.5. Влияние количества тренировочных точек и структуры нейронной сети на точность решения обратной задачи кинематики и время обучения 131
4.1.6. Повышение точности нейросетевого решения обратной задачи кинематики 134
4.1.7. Оценки точности и быстродействия решения обратной задачи кинематики с использованием нейронных сетей 137
4.2. Итерационное уточнение нейросетевого решения обратной задачи кинематики манипулятора 138
Заключение 144
5. Синтез программных траекторий движения манипулятора 145
5.1. Постановка задачи 145
5.2. Планирование траекторий в пространстве обобщенных координат... 146
5.3. Планирование траекторий в декартовых координатах 147
5.3.1. Методы планирования программной траектории в декартовом пространстве . 148
5.3.2. Использование бикватернионного аппарата при планировании программных траекторий 151
5.3.3. Выполнение технологических операций по программным траекториям, спланированным в декартовом пространстве 157
5.3.4. Оценка сходимости метода планирования траекторий с ограниченными отклонениями 162
Заключение 167
6. Интеллектуальный алгоритм формирования субоптимальных программных траекторий движения манипулятора 169
6.1. Постановка задачи 169
6.2. Интеллектуальный алгоритм определения программных траекторий 170
6.3. Результаты моделирования и определения субоптимальных траекторий. 174 Заключение 177
7. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ МАНИПУЛЯТОРОВ 179
7.1. Методы исследования динамики степеней подвижности манипулятора 179
7.2. Уравнения динамики манипулятора, установленного на подвижном основании 182
7.2.1. Постановка задачи 183
7.2.2. Кинетическая энергия манипулятора 183
7.2.3. Левые части уравнений Лагранжа 187
7.2.4. Правые части уравнений Лагранжа 187
7.2.5. Результаты численного моделирования ...189
7.3. Математическое моделирование следящей системы с учетом особенностей объекта регулирования 190
7.2.1. Следящие системы с абсолютно жесткой механической передачей... 192
7.2.2. Следящая система с абсолютно жесткой механической передачей и учетом сил вязкого трения 194
7.2.3. Следящие системы с упругой механической передачей и наличием люфта 197
7.2.4. Следящая система с упругой механической передачей и наличием люфта и вязкого трения 198
7.2.5. Следящие системы с жесткой механической передачей и с зоной нечувствительности на резистивном датчике угла 199
7.2.6. Исследование устойчивости следящей системы с абсолютно жесткой механической передачей и учетом взаимовлияния степеней подвижности 200
Заключение 205
8. Интеллектуальный метод управления движением звеньев манипулятора 207
8.1. Постановка задачи 207
8.2. Разработка метода динамической коррекции с использованием искусственного интеллекта 212
8.3. Выбор объекта для численного моделирования и определения структуры нейронной сети 217
8.4. Результаты численного моделирования 221
Заключение 223
9. Заключение 225
Литература
- Основные задачи кинематики манипуляторов
- Традиционные параметры, используемые для описания пространственного движения
- Разработка эффективных методов и алгоритмов решения задач кинематики манипуляторов
- Влияние количества тренировочных точек и структуры нейронной сети на точность решения обратной задачи кинематики и время обучения
Введение к работе
Одной из важнейших проблем современной робототехники является создание эффективных методов, моделей и алгоритмов для решения задач механики его исполнительного органа - манипулятора. Манипуляционная система робота, как правило, представляет собой сложный пространственный механизм с множеством степеней подвижности, позволяющий его рабочему органу (схвату или инструменту) совершать разнообразные движения в пространстве, а также обеспечивать его ориентацию. Конструктивно манипулятор состоит из следующих основных узлов: несущих конструкций, приводов, передаточных механизмов и исполнительных механизмов (рука манипулятора), снабженных захватными устройствами, в которых закрепляются перемещаемые объекты (груз, деталь, инструменты и т.п.). Рука манипулятора состоит из совокупности подвижно соединенных звеньев и служит для непосредственной реализации транспортных и ориентирующих движений перемещаемого объекта. Отдельные звенья манипулятора соединяются между собой кинематическими парами - устройствами, ограничивающими число степеней свободы относительного перемещения звеньев. В большинстве конструкций манипуляционных роботов используются так называемые пары пятого класса (вращательные или поступательные), обеспечивающие одну степень свободы относительного перемещения каждой пары подвижно соединенных звеньев.
Важнейшей задачей современной робототехники является создание более совершенных систем управления роботов, что требует, прежде всего, развития исследований в области кинематики и динамики, а также синтеза алгоритмов управления движением манипулятора. При этом большинство возникающих технических задач робототехники можно свести к двум взаимосвязанным научным проблемам - механике роботов (задачи кинематики и динамики) и управлению их движением.
Первоочередными научными задачами, относящимися к первой проблеме, являются математическое описание роботов и, прежде всего, их манипуляторов, включая разработку методов их математического моделирования, обоснование и формулирование критериев качества, в том числе кинематических критериев, построение программных траекторий движения манипуляторов, разработка методов кинематического и динамического их анализа и синтеза. Решение перечисленных задач требует применения хорошо развитого математического аппарата и алгоритмов, ориентированных на использование ЭВМ. Современная робототехника позволяет успешно решать основные задачи кинематики, динамики и управления роботами. В работах отечественных (Акуленко Л.Д., БелянинП.Н., Воробьев Е.И., Игнатьев М.Б., Кобринский А.А., Козырев Ю.Г., Корендясев А.И., Крутько П.Д., Кулаков Ф.М., ЛакотаН.А., Лохин В.М., Макаров И.М., Медведев B.C., Петров Б.А., Фролов К.В., Черноусько Ф.Л., Юревич Е.И. и др.), а также зарубежных (Пол Р., Фу К., ГонсалесР., ШахинпурМ. и др.) исследователей достаточно подробно рассмотрены указанные проблемы, показаны принципы построения математических моделей (ММ) манипуляторов и основные методы решения задач робототехники. Вместе с тем, сложность механической системы манипулятора, а также ряд существенных особенностей, присущих роботу как объекту управления (упругая податливость звеньев и передаточных механизмов, взаимовлияние степеней подвижности, неоднозначность решения некоторых задач, наличие ограничений различного рода и др.) зачастую приводит к чрезвычайной сложности получаемых моделей, что затрудняет решение многих задач механики роботов. В связи с этим весьма актуальным является поиск новых методов и подходов к построению более компактных и удобных ММ манипуляторов.
В современной робототехнике сложилась тенденция решать задачи кинематики и динамики с единых позиций с тем, чтобы достаточно полно изложить теорию робототехнических систем, разработать методы исследования кинематики и динамики управления манипуляторами и создать предпосылки для построения систем автоматизированного проектирования роботов. Так, при описании кинематики и динамики манипуляторов наиболее удобным и хорошо разработанным может считаться аппарат, использующий понятие однородных координат. Однако, при большом числе степеней подвижности манипулятора возникает проблема, связанная с чрезвычайной громоздкостью и сложностью получаемых моделей, вызванных существенной вычислительной избыточностью метода. Это обуславливает поиск новых методов и подходов для более рационального описания пространственного движения звеньев манипулятора.
Одним из перспективных путей получения ММ манипуляторов является использование таких кинематических параметров, которые позволят получать наиболее рациональные с точки зрения вычислительной сложности модели манипуляторов, удобные для практического использования. Так, в последние годы в работах БранецаВ.И., Шмыглевского И.П., Челнокова Ю.Н., Плотникова П.К., Стрелковой Н.А., Маланина В.В., Диментберга Ф.М. и др. для описания движения и ориентации твердых тел и, в частности, летательных аппаратов, успешно используются такие кинематические параметры, как Родрига-Гамильтона, Кейли-Клейна, кватернионы и др., а также их дуальные аналоги. Их использование в сочетании с традиционными параметрами (углы Эйлера-Крылова, направляющие косинусы) позволяет в ряде случаев получить весьма эффективные модели и алгоритмы, описывающие движение и ориентацию твердого тела в пространстве. Использование дуальных аналогов различных кинематических параметров, применяемых для описания вращательного движения твердого тела, позволяет в задачах кинематики перейти к описанию произвольного пространственного движения. Аппарат винтового исчисления также повышает эффективность решения задач пространственного движения.
Увеличивающаяся сложность управления современными системами, наличие процессов, характеризующихся неопределенностями, которые не могут быть описаны статистически, все возрастающая размерность решаемых задач и другие факторы привели к попыткам применения методов искусственного интеллекта (ИИ) к решению сложных технических, социальных, экономических и других проблем. Попытки использования таких подходов, в частности, неиросетевого, в ряде случаев дают положительные результаты и показывают их перспективность. В задачах робототехники применение методов ИИ, и, в частности, искусственных нейронных сетей отражено в работах ЮревичаЕ.И., Макарова И.М., Лохина В.М., и др. авторов. Вместе с тем, использование методов ИИ в механике роботов встречается весьма редко и положительный опыт их применения в данной сфере можно считать незначительным и недостаточно осмысленным. Более того, немногочисленные положительные попытки использования методов ИИ в задачах механики роботов дают основание считать, что их использование без связи с другими перспективными подходами, не всегда дает желаемый положительный эффект.
Таким образом, можно предположить, что наиболее сложные задачи современной робототехники могут быть успешно решены, во-первых, на основе создания и выбора новых, нетрадиционных математических объектов и методов, позволяющих наиболее компактно описывать угловое и пространственное движение твердого тела. Во-вторых, с помощью использования современных подходов и, в частности, методов ИИ. И, в-третьих, что наиболее важно, благодаря созданию комбинированных методов, позволяющих системно использовать достоинства как применяемого математического аппарата для создания ММ манипулятора, так и новые подходы и математические модели, включая методы ИИ. Более того, положительный опыт применения этих методов при решении задач механики роботов целесообразно накапливать, систематизировать и использовать при решении вновь возникающих задач.
Основные задачи кинематики манипуляторов
В процессе управления роботом приходится многократно решать так называемые прямую и обратную (ПЗК и ОЗК) задачи кинематики. В первой из них устанавливаются функциональные зависимости: Хш=ХЛЧі "" Ч») » 1=і(?,Г"»9,)і гаи=гЛЧіУ-»Яп) jx Ч = 4{qv....,qn); b = %(qx,....,qn)\ У = yfe, 9Я).
Решение ОЗК предполагает получение обратных зависимостей, т.е. нахождение значений OK qt при заданных положении и ориентации РО. Соотношения (2.1), а также обратные зависимости для решения ОЗК, могут быть получены различными способами в зависимости от сложности кинематической схемы манипулятора и других факторов.
Положение кинематической цепи в пространстве будем определять с помощью обобщенных координат q(, / = 1,...,и, характеризующих относительные перемещения в кинематических парах. Для определения положения рабочего органа в пространстве введем координаты rp j = \,...,m , где т 6.
В общем случае т = 6, т. е. необходимо ввести шесть скалярных величин, например, три координаты некоторой точки схвата, принятой за полюс, и три угла, характеризующих ориентацию системы координат, жестко связанной со схватом, относительно опорной системы координат, связанной с основанием.
Рассмотрим некоторые особенности основных задач кинематики манипуляторов [19,22,24,127,159].
Прямая задача о положении манипулятора. При решении этой задачи рассчитывают положение рабочего органа, а также звеньев манипулятора по заданным относительным перемещениям qt, / = 1,...,п, в кинематических парах. Возможны три варианта постановки прямой задачи. Координаты q,, і = 1,...,п могут быть заданы: 1) в виде набора п скалярных величин, определяющих некоторую фиксированную конфигурацию манипулятора; 2) в виде конечного числа наборов, соответствующих нескольким конфигурациям; 3) в виде набора п непрерывных функций времени qt = q, (t), і = І,..., и.
Если рассчитывают положение рабочего органа, например, схвата, то определяют соответственно либо координаты схвата rp j = 1,,..,т, либо конечное число наборов координат схвата, либо законы изменения координат схвата во времени г j =rj{f), j = 1,..., т. В общем случае при т = 6 в результате расчета координат схвата rp j = l,...,m как функций времени г} =гДґ) можно задать уравнение траектории полюса схвата в параметрической (в зависимости от времени) или явной форме и ориентацию схвата вдоль всей траектории.
С помощью прямой задачи можно определить:
1) геометрические характеристики рабочего пространства и рабочей зоны манипуляторов со сложной кинематической схемой при конструктив ных ограничениях на обобщенные координаты типа
2)точностные характеристики, например, погрешности Агу, у = 1,...,/я определения координат схвата rp j = l,...,m, обусловленные неточным изготовлением элементов манипулятора, либо ошибками Aq„ / = 1,...,и отработки относительных перемещений qlt / = 1,...,п в кинематических парах;
3) сервисные характеристики.
Прямую задачу о положении используют при исследовании кинематики и динамики манипуляторов.
Обратная задача о положении манипулятора. С помощью этой задачи определяют обобщенные координаты 7,5 / = 1,...,и манипулятора по заданному в опорной системе координат положению рабочего органа или некоторого звена манипулятора, В частности, если по заданным координатам схвата rp j = \,...,m удается определить обобщенные координаты манипулятора qni = \,...,n, то координаты других звеньев манипулятора находят на следующем этапе решением прямой задачи.
Условие п = т является необходимым для того, чтобы обратная задача в общем случае имела решение, т. е. чтобы можно составить п независимых уравнений с п неизвестными. В некоторых случаях при п = т решений может быть несколько, т. е. задача является некорректной по Адамару. В качестве примера на рис. 2.2 изображен плоский шарнирный трехзвенник с тремя степенями подвижности (п = 3). Положение схвата как твердого тела в плоскости определяется тремя координатами: декартовыми х ,ур полюса схвата
Р и углом а между координатными системами Рх у и Оху, соответственно жестко связанной со схватом и опорной (т = 3). Если на OK q{, q2, q3 не наложено ограничений, то всегда имеются две конфигурации (вторая на рис. 2.2 показана пунктирной линией), обеспечивающие заданное положение схвата. В этом случае манипулятор имеет одну степень маневренности. Какое из решений должно быть выбрано, зависит от дополнительных условий, например, препятствий в рабочем пространстве манипулятора или конструктивных ограничений на обобщенные координаты. Использование здесь и далее априорной информации в виде дополнительных условий позволяет регуляризовать некорректную постановку ОЗК.
Условие п = т не является достаточным, поэтому возможны варианты, когда решение обратной задачи отсутствует (это зависит от типа и распределения кинематических пар). В этом случае необходимо уменьшить число т произвольно задаваемых координат схвата. Могут существовать особые решения, когда некоторые из обобщенных координат qt допускают любые значения. При п т решение обратной задачи в общем случае отсутствует. Его можно получить, если произвольно задать лишь п координат схвата.
Традиционные параметры, используемые для описания пространственного движения
Одним из наиболее распространенных способов описания произвольного пространственного движения, широко применяемого в робототехнике, является метод, использующий понятие однородных координат. Этот метод является, в частности, одним из самых удобных, простых и позволяет подойти к описанию многих задач механики манипуляторов с единых позиций.
Однородными координатами точки М в трехмерном пространстве являются любые четыре числа JC,, Х2, Х3, Х4, не все одновременно равные нулю и связанные с ее декартовыми координатами х, у, z уравнениями: Л «А-л Лі =—, У = —, z = —- (2.98) 4 4 4 Они являются характеристиками однородности только при условии х4 Ф 0 (обычно х4 = 1).
Если д:4 =0, то точка пространства, соответствующая четверке чисел (xv х2, х}, 0), может быть представлена бесконечно удаленной в направлении вектора г = (Ъхх,Ъхг,Ьхг)т, ЬФО. Тогда точки с координатами (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0) являются бесконечно удаленными точками соответствующих осей х, у, z, а точка с координатами (0,0,0,1) соответствует началу системы координат.
При использовании однородных координат различные преобразования в трехмерном пространстве могут быть сведены к композиции двух преобразований - вращения и переноса.
Если заданы декартовы координаты точки М (рис. 2.14) в одной, например, подвижной системе координат X Y Z , то можно перейти к описанию этой точки в другой (базовой) системе координат XYZ. Начало О подвижной системы координат можно задать проекциями вектора п на оси системы OXYZ: n = ixnx+i2ny+i,nz, (2.99) или в векторной форме: Результирующая матрица преобразования (2.110) Т получается перемножением (2.105) и (2.107).
В формулах (2.106) - (2.107): С = а - матрица 3x3 направляющих косинусов осей x y z относительно осей х, y,z; п - вектор положения точки О в системе XYZ размерностью 3 х 1; Е - единичная матрица 3x3. т=тт = п (2.110) 0 0 1_,
Заметим, что матричное представление вращения (2.103), может быть представлено тремя матрицами соответствующих единичных поворотов относительно осей х,у, z (формула (2.124)).
Таким образом, матрица Т характеризует переход от системы осей O x y z к системе Oxyz. Обратному переходу соответствует матрица Т"1, которую можно представить следующим образом: Г = ос т -а п (2.111) О 0 0 і 1 Можно установить смысл вектора -сстл в матрице (2.109): его компоненты представляют собой проекции вектора п на оси системы координат O x y z . С помощью матриц Т и Т"1 можно записать сравнительно простые век-торно-матричные соотношения, характеризующие связь векторов: (2.112) O x y z и (2.113) r = {x y Z \)\9 = {xyz\)\ заданных однородными координатами в системах Oxyz соответственно: р = Т , / Т р. С учетом (2.104) эта связь в развернутой форме имеет вид:
Эффективное решение задач пространственного движения твердого тела может быть достигнуто применением метода винтов [44, 99]. Теория винтов возникла в прошлом веке, но широкое практическое использование получила в последние десятилетия, чему в значительной мере способствовали появление робототехники и возникшие при этом задачи механики пространственного движения. Суть метода состоит в том, что любым параметрам, служащим для описания углового движения, можно поставить в соответствие их дуальные (комплексные) аналоги, что автоматически приводит к возможности их использования для описания произвольного движения. Во многих случаях метод винтов позволяет эффективно и компактно описывать кинематические и динамические свойства твердого тела и систем твердых тел, что особенно актуально для моделирования исполнительных механизмов роботов.
Дуальным называется число, которое можно представить в виде: A = a + sa\ (2.115) где а и а0 - действительные числа; а - главная; а0- мнимая части числа а; s - символ Клиффорда (комплексность Клиффорда), такая, что s2 = 0. Для определения функции F дуальной переменной X = х + sx ее целесообразно также представить в виде комплексной переменной: F(X) = F(x + sx) = f(x, x) + s p(jc, x), (2.121) где f(x,x) и ф(л;, Л;0) - вещественные функции двух вещественных переменных хид;0. Любая аналитическая функция F(X) может быть представлена в виде: .о df{x) (2.122) dx F(X) = F(x + sx) = f(x) + sx Здесь /имеет вид F, но вместо дуальной переменной в ней используется обычная переменная х, например: sinX = sin(x + sx) = sin л: + sx cosx, cosZ = cos(x + 5x) = cosx-5xsinx, (2.123) \nX = lnx + sx/x. Дуальным углом между двумя осями Z, и Z2 называется фигура, образованная этими осями и отрезком аЪ прямой, пересекающей оси под прямым углом (рис. 2.15).
Разработка эффективных методов и алгоритмов решения задач кинематики манипуляторов
Системы координат, связанные с каждым из звеньев манипулятора расположены в соответствии с представлением Денавита-Хартенберга (Д-Х) [179,196]. В табл. 3.1 указаны значения конструктивных параметров и обозначены обобщенные координаты [179].
Переход от одной системы координат к другой осуществляется с помощью четырех элементарных преобразований: поворота и смещения вокруг оси Z и смещения и поворота вокруг оси X. Используя аппарат матриц однородного преобразования координат 4x4, можно получить матрицы, связывающие і и (z + l) звенья в виде (3.57). Тогда положение и ориентацию схвата определит результирующая матрица (3.58), связывающая основание с последним звеном манипулятора (рабочим органом).
Далее в разделе представлено решение прямой задачи кинематики с использованием нетрадиционных в робототехнике кинематических параметров описания движения твердого тела. Для простоты изложения и уменьшения громоздкости выражений решение прямой задачи приведено для первых трех сочленений манипулятора. Схема элементарных преобразований для всех случаев описания одна и та же с тем, чтобы можно было получить объективную оценку решений указанной задачи.
Согласно теории винтового исчисления [71] дуальный угол позволяет одновременно описать поворот и смещение, т. е. для совмещения двух соседних систем координат звеньев по схеме Д-Х требуется осуществить повороты на два дуальных угла Qi=ql+sqi, -At=a,+sa вокруг осей Z;. и Xt (s2 =0 -комплексность Клиффорда). Описание пространственного положения РО рассматриваемого манипулятора требует 12 дуальных углов Qn А,, / = 1,6.
Теперь решим ПЗК, используя аппарат кватернионов и их дуальных аналогов. Каждый плоский поворот на дуальный угол можно описать бикватернионом вращения Л = cosФ/2 +/sinФ/2, где / - единичный вектор оси вращения, Ф = Ф + $ф - дуальный угол поворота. В результате составления матриц перехода получим ряд бикватернионов, характеризующих положение одного звена относительно другого. Например, совмещая системы координат X0Y0Z0 и XXYXZX для первого звена получим два бикватерниона: 1. Л 01 = CQX /2 + i3SQl /2 = Cqx/2 + i3Sqx 12 - бикватернион поворота вокруг оси Z0 на Qx=qx + sqx. 2. Л", = САХ /2 + ilSAl 12 = 1/л/2(і -/,) - бикватернион поворота вокруг оси Х0на Ах =ах +sax = -тг/2.
Дуальные параметры Кейли-Клейна являются комплексно-сопряженными комбинациями дуальных параметров Родрига-Гамильтона, т.е. составляющих бикватерниона, и имеют вид (3.67) А = Л0+іЛ3, А = Л0-/Л3, В = Л2+/Л,, Г = /Л, -Л2..
Матрицей дуальных параметров Кейли-Клейна (3.68), составленной из элементов (3.59) можно описать поворот на произвольный дуальный угол. А В Г А (3.68) Q = Л0 + /Л3 Л2 + /л, /л,-л2 л0-;л3_
Последовательное перемещение от одного звена к другому можно описать дуальными матрицами перехода вида (3.68), которые, если их перемножить между собой в том же порядке, позволят получить результирующую дуальную матрицу параметров Кейли-Клейна, связывающую основание манипулятора с последним звеном. Совмещая системы координат X0Y0Z0 и XlYlZl для первого звена получим две матрицы параметров Кейли-Клейна: і. Qi, = CQJ2 + iSQJ2 О - матрица дуальных параметров Кейли-Клейна, описывающая поворот вокруг оси Z0 на дуальный угол Qt=qt+ sq, 2. Qi = CAJ2 iSA,/2 }SAJ2 CAJ2 матрица дуальных параметров Кейли-Клейна, описывающая поворот вокруг оси Х0 на дуальный угол Al=al+ sa = -я/2. Результирующую матрицу дуальных параметров Кейли-Клейна получаем перемножением матрицы Q 0I и Q",, в соответствии с правилами кватернионного произведения
Влияние количества тренировочных точек и структуры нейронной сети на точность решения обратной задачи кинематики и время обучения
Обучающее множество должно наиболее точно отображать характер зависимости входных значений {x,y,z) от соответствующих им выходных данных {ЧІ,Ч2ІЯЗ)- Использование генерируемых посредством прямой задачи данных обеспечивает достоверное обучение и сравнение результатов для НС.
Отметим также, что если точки обучающего множества имеют тенденцию к группировке, то НС будет точна в процессе работы в точках, близких к этой области, и, при этом, некорректно решать ОЗК в пределах всего рабочего пространства. Точки обучающей выборки, таким образом, должны быть равномерно распределены. В соответствии с этим обучающее множество углов поворота звеньев состояло из равномерно распределенных значений, генерируемых случайным образом на выбранных диапазонах изменения углов рассматриваемых сочленений. Диапазоны углов поворота каждого звена были выбраны исходя из пределов изменения углов соответствующих сочленений, т. е. определялись рабочим пространством рассматриваемого манипулятора.
Для определения точности решения задачи в зависимости от объема рабочего пространства НС обучалась также и на меньших диапазонах.
Вблизи границ обучающего множества ухудшается свойство обобщения НС. Для уменьшения ошибки решения ОЗК нейронной сетью, связанной с ухудшением точности решения в точках в окрестности границ целевого подмножества обучающей выборки, обучение НС производилось на диапазоне, большем чем рабочий диапазон углов (табл. 4.2).
На вход обученной сети подавались тестовые значения декартовых координат, на выходе получали углы поворота звеньев манипулятора. После этого из решения ПЗК определялось действительное положение РО, соответствующее полученным значениям обобщенных координат и вычислялись средние ошибки по углам поворота и по положению.
Разрешение проблемы локальных минимумов в процессе обучения
Результат обучения НС случаен, т. к. всегда существует вероятность попадания в локальные минимумы. Кроме того, процесс обучения зависит от начальных значений весовых коэффициентов. Таким образом, единственным способом получения обученной НС, решающей поставленную задачу, является многократное обучение и выбор лучшего варианта. Поэтому для каждой сети производилась серия из 100 циклов обучения и расчета значений ошибок. По полученным значениям строилась гистограмма распределения средней ошибки тестирования. Обучение проводилось по алгоритму Левенберга - Маркара [128].
Вследствие того, что разброс значений средней ошибки тестирования довольно велик, усреднение по серии экспериментов дает искаженный и трудно интерпретируемый результат. Поэтому, для обеспечения достоверного анализа экспериментальных данных введена чебышевская метрика от функции распределения (гистограммы) в виде: Ря(ВД) = тахВД , (4.4) где рн- чебышевская метрика; А(є)- функция распределения (гистограмма); s - величина ошибки; [0,JVmax] - диапазон ошибки.
Варьируемыми параметрами являются количество скрытых слоев, число нейронов, составляющих скрытый слой, изменяемое от 5 до 20, и количество точек тренировочного набора, варьируемое от 60 до 3000. При этом фиксировались величины ошибок по положению, углу и время обучения НС.
В итоге построен ряд зависимостей, отображающих связь числа нейронов, количества тренировочных точек с ошибкой по положению (по углу) и временем обучения.
Рассмотрим различные варианты структур НС для определения ее оптимальной структуры и сложности, а также возможности обучения НС решению ОЗК для рассмотренной конструкции. В первую очередь, интерес представляли точность решения задачи, а также время обучения НС в зависимости от ее параметров. Исследовались также возможности обучения сети с определенной точностью за приемлемое время.
При наращивании структуры НС точность решения и время обучения нелинейно зависят от параметров ее структуры, причем точность решения и время обучения, обычно связаны обратной зависимостью. Однако, описание характера зависимостей, указанных выше, не встречается в литературе. Вероятно потому, что, как уже отмечалось, общих рекомендаций по выбору конкретной структуры для решения задачи нет. Это, как правило, связано со специфичностью и широким кругом реализуемых задач.
Полученные экспериментальные данные позволили определить оптимальный вариант структуры нейронной сети и установить характер зависимостей времени тренировки и точности решения от структуры нейронной сети.
На рис. 4.6 представлено семейство кривых, каждая из которых отражает зависимость ошибки по углу от количества тренировочных точек для конкретного числа нейронов в скрытом слое (5,10,15,20).
Время, затрачиваемое на обучение, зависит от конфигурации используемого компьютера: процессора, количества установленной оперативной памяти, поэтому время обучения одной и той же нейронной сети на различных по характеристикам компьютерах может существенно различаться, но характер зависимостей останется аналогичным.
