Содержание к диссертации
Введение
1 Математические модели течения и распространения примесей 18
1.1 Математические модели течения жидкости . 18
1.2 Математическая модель распространения примесей 21
1.3 Постановка задачи для затопленной горной выработки 24
Выводы по первой главе 28
2 Разностные задачи и методы решения 29
2.1 Разностные задачи 29
2.1.1 Разностные схемы для задачи о течении идеальной жидкости 29
2.1.2 Разностные схемы для задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости 30
2.1.3 Разностная задача для уравнения переноса примесей 33
2.2 Методы решения 35
2.2.1 Метод неполной аппроксимации для решения систем линейных и билинейных алгебраических уравнений 35
2.2.2 Решение систем с особенным оператором . 38
2.3 Параллельное программирование для метода неполной аппроксимации минимальных невязок 42
2.4 Тестовые расчеты 46
2.5 Влияние фильтрации на характер течения 55
2.5.1 Фильтрация идеальной стратифицированной жидкости с заданным расходом жидкости . 55
2.5.2 Фильтрация идеальной стратифицированной жидкости через дно на основе разницы давлений 62
2.6 Распространение примеси в идеальной стратифи цированной жидкости в прямоугольном проточном водоеме 65
Выводы по второй главе 67
3 Программный комплекс для моделирования течения и распространения примесей 68
3.1 Назначение, область применения и варианты использования 68
3.2 Структура комплекса 71
Выводы по третьей главе 81
4 Результаты математического моделирования 82
4.1 Предметная область для численного моделирования 82
4.2 Течение и распространение примесей в затопленной угольной шахте 84
4.3 Идентификация модели с натурными данными . 88
Выводы по четвертой главе 97
Заключение 99
Список литературы 101
- Математическая модель распространения примесей
- Метод неполной аппроксимации для решения систем линейных и билинейных алгебраических уравнений
- Фильтрация идеальной стратифицированной жидкости с заданным расходом жидкости
- Течение и распространение примесей в затопленной угольной шахте
Введение к работе
Масштабы загрязнения окружающей среды сегодня переходят от загрязнений, носящих локальный характер, к загрязнениям, оказывающим влияние на большие географические регионы, а значит и на природные и биологические объекты, находящиеся там. Изучив по большому числу факторов и проведя обобщения, американский эколог Б. Коммонер еще в середите XX века показал, что чрезмерное загрязнение окружающей среды свидетельствует об ошибках, допущенных при использовании среды обитания. Большой ущерб водоемам наносят неочищенные сточные воды [10, 86], в результате промышленных выбросов в почве накапливаются губительные для животных и человека химические соединения, в атмосферу попадают канцерогенные вещества. Регулярный сбор, удаление и обезвреживание отходов - одна из основных санитарно-гигиенических и социальных задач любого производства.
С развитием промышленного производства эта задача обретает большое значение, и ее решение представляет собой все большую проблему. Отходы по своей структуре могут быть весьма разнообразными - жидкими, твердыми, пастообразными, газообразными. Неодинакова и степень их токсичности - от слаботоксичных до особо вредных, сильнодействующих ядовитых веществ. В настоящее время на всех промышленных предприятиях установлены фильтры и очистные сооружения, в которых осаждаются токсичные вещества из сточных вод. Однако осадки, содержащие вредные для окружающей среды вещества, в большинстве случаев не могут быть обезврежены или переработаны на предприятии. Вредные вещества скапливаются в фильтрах и
очистных сооружениях и могут быть источником вторичного загрязнения.
В Кемеровской области одной из ведущих отраслей промышленности является горнодобывающая, и воздействие ее на биосферу существенно при любом способе разработки месторождений. В [71] сделан обширный обзор различных воздействий горной отрасли на природу, и одним різ главных выводов авторов является вывод о существенном влиянии вод pi водного баланса на экологическое равновесие. Большое влияние на водные ресурсы в районах с развитой угольной индустрией имеют сточные воды.
Для обеспечения добычи в шахтах необходимо обеспечивать откачку рудных вод. Д.Девис (Великобритания) выделяет следующие основные загрязняющие вещества, содержащиеся в водах, откачиваемых из угольных шахт [71]: взвешенные частицы, главным образом угольная и породная пыль, частицы глины, хлористые соединения, свободная серная кислота pi сопутствующею соли, а также повышенную температуру шахтных вод и канализационные стоки. Из-за наличия хлористых и сернистых соединений, а также кальция, магния и калия, шахтные воды без предварительной очистки не могут быть использованы даже в технических целях.
Наиболее эффективна на практріке [10] оказалась централрі-зованная утрілизация отходов. Пррі таком подходе на специаль-ных полигонах [71, 86] твердые отходы укладывают в штабеля на площадках-котлованах, на которых грунт защищают от загрязнения химическими веществами противофильтрационными экранами (из полимерных материалов). После заполнения площадки верх откоса отвала планируют для создания уклона, сверху засыпают растительный грунт, засевают травой и засаживают кустарником. Жрідкиє негорючие промышленные отходы собирают в железобетонные резервуары, которые после заполнения закрывают железобетонным покрытием. Горючие твердые И ЖРІДКИЄ отходы сжигают в спецріальньїх установках.
В последнее время во многих странах мира с целью охраны окружающей среды входит в практику захоронение в недрах промышленных стоков, особенно токсичных, путем их нагнетанргя через скважины. В отдельных случаях с учетом геологических и гидрогеологических особенностей массива создают подземные водохранилища методом выщелачивания солей.
Утилизация отходов в недрах требует обстоятельных изысканий для определения приемной способности подземных коллекторов, их изолированности, надежности их состояния, особенно в районах тектонической активности, при которых обеспечиваются накопление запасов, сохранение их качества, предотвращение загрязнения пресных вод в результате выщелачивания вмещающих пород или проникновения минерализованных вод, предотвращение загрязнения подземных вод захороненными промышленными стоками. Хотя еще не зафиксированы случаи загрязнения недр 'захороненными промышленными отходами, однако этот метод потенциально опасен. В связи с этим традиционные методы очистки и утилизации шламовых вод остаются актуальными.
Как отмечают Наркевич И.П., Печковский В.В., Торочин-ников Н.С., Родианов И.А. и другие [69], наиболее употребительными являются следующие виды очистки загрязненных сточных вод:
для осаждения суспензированных и эмульгированных примесей, представлелнных грубодисперсными частицами, - отстаивание, 'флотация, фильтрация, осветление, центрифугирование; при содержании в водах мелкодисперсных и коллоидных примесей - коагуляция, флокуляция, электрические методы;
для очистки от неорганических соединений - дистиляция, ионообмен, обратный осмос, ультрафильтрация, реагентное осаждение, методы охлаждения, электрические методы;
для очистки от органических соединений - регенерацион-ные методы - экстракция, абсорбация, флотация, ионообмен; ре-агентные методы; деструктивные методы - биологическое, жид-кофазное, парофазное и электрохимическое окисление, озониро-
вание, хлорирование;
для очистки от газов и паров - отдувка, нагрев, реагентные методы;
для уничтожения вредных веществ - термическое разложение.
На горных предприятиях для осветления сточных и дренажных вод наибольшее распространение получил метод отстаивания как один из наиболее экономиченых и эффективных. Для этой цели организуются пруды-отстойники, вместимость и размеры которых определяются в зависимости от объемов сточных вод, размера и концентрации осаждаемых частиц. Сточные воды в виде пульпы подаются в хвостохранилище, где происходит осаждение основной части твердых частиц, а затем, уже в значительной степени осветленные, воды через сбросные колодцы поступают в пруды-отстойники. В Кузбассе для очистки шахтных вод, сбрасываемых в водоемы, широкое распространение получили открытые горизонтальные отстойники, облицованные бетоном.
Одним из новых методов является утилизация жидких отходов угольных предприятий в горных выработках затопленных угольных шахт. Этот метод был описан [86] еще в 40-50-х годах XX века, но технические возможности для его реализации появились только в настоящее время.
Наблюдения показывают, что в затопленных шахтах способны идти процессы очистки техногенные вод. В связи с этим, опыт экспериментального использования выработанного пространства закрытых шахт в качестве очистных сооружений для очистки сбросов шахт и обогатительных, фабрик представляет существенный практический интерес. Предполагается, что в шахтах происходит очистка жидкости за счет разбавления ее фильтрующимися грунтовыми водами, а также за счет оседания примеси. Однако если имеет место коллоидный раствор, то оседания частиц может не происходить.
Первый практический опыт исследования возможностей ис-
пользования выработанного пространства и горных выработок затопленной шахты осуществляется с использованием шахты Коль-чугинская для очистки сточных вод обогатительной фабрики Комсомолец.
А так как Кемеровской области в результате закрытия большого количества нерентабельных угледобывающих предприятий огромные подземные пространства, свыше 30 млрд. м3, заполнены техногенными подземными водами и могут быть использованы в будущем в качестве очистных сооружений, проблема исследования протекающих при этом процессов является на сегодняшний день актуальной.
При построении математических моделей и проведении численного эксперимента присутствует ряд специфических особенностей. Прежде всего следует выделить следующие факторы:
фактор топологии. Очистные сооружения как правило имеют большие физические размеры, что значительно усложняет процесс измерений. В отдельных случаях физическая геометрия может быть такова, что проведение измерений в принципе невозможно. Например, выходные отверстия расположены на значительной глубине или доступ к ним ограничен, из-за большой глубины или сложной внутренней структуры водоема нет возможности установить измерительное оборование.
фактор доступности. Иногда степень ядовитости или структура отходов принципиально исключают возможность натурных экспериментов.
С учетом влияния этих факторов математическое моделирование и численный эксперимент оказываются тем инструментарием, с помощью которого возможно различные варианты распространения загрязнения, а также прогнозировать процесс очистки сточных вод от содержащихся в них примесей. Математическое моделирование предоставляет также широкие возможности для.инженерного проектирования очистных сооружений.
Жидкие отходы, подлежащие очистке в прямоугольных отстойниках и в горных выработках затопленных угольных шахт,
представляют собой растворы химических соединений, суспензии и коллоидные растворы мелкодисперсных примесей в воде. В соответствии с технологическим регламентом ожидается, что в сбросах обогатительной фабрики поступающих в ее шламоот-стоиники основная масса взвешенных веществ концентрируется на частицах менее 100 мкм в диаметре. Поскольку, скорости осаждения мелких частиц невелики, то процесс осветления подобных вод без дополнительных стимулирующих технологий достаточно длителен.
Исходя из этого можно предположить, что наличие примеси в жидкости не влияет на характер ее движения в отстойнике и шахте, однако может вызвать устойчивую стратификацию по плотности по высоте, несмотря на то, что высота выработки составляет Зм. В силу того, что отсутствует информация о структуре течения, необходимо при численном моделировании выбирать модели, позволяющие наиболее широко изучить возможные варианты течения. Поэтому в настоящей работе исследован характер движения идеальной нестратифицированной и стратифицированной и вязкой жидкостей, и различные варианты течений были использованы для нахождения картины распространения примесей.
Различные задачи о течении стратифицированной жидкости рассмотрены в [5, 11, 16, 21, 84, 113]. В1 приведенных работах найдены аналитические решения для течений с непрерывным изменением плотности по глубине для частных случаев прямоугольных водоемов [5, 85, 103, 112], однако для водоема более сложной формы, отличной от прямоугольника, возможно найти лишь приближенное решение. При численном решении рассматривают [7, 8, 9, 114] либо полную систему уравнений Навье-Стокса, либо систему Навье-Стокса в приближении Буссинеска [19, 22, 51].
В двумерном случае при моделировании течений вязкой несжимаемой жидкости рассматривают систему уравенний Навье-Стокса, записанную относительно физических переменных «скорость»-«давление» [7, 8, 9,114] или в переменных «функция тока» -
«вихрь» [57, 101].
Модели распространения различных примесей рассматриваются в [6]. Основным подходом при выводе уравнений, описывающих поведение растворенных, взвешенных веществ или растворителей, в которых эти примеси сосредоточены, является требование соблюдения закона сохранения массы. Граничные условия для получаемых уравнений моделируют различные физические процессы, например, источники загрязнения на границе либо стока вещества, образование геля в придонных обрастях и т.д. Разделение веществ по классам - растворенные, взвешенные частицы, коллоидные растворы и прочее - не производится, поскольку в рамках рассматриваемого закона можно вывести единые для всех случаев зависимости.
Для решения стационарных разностных задач, появляющихся после аппроксимации уравнений математической физики и гидродинамики, часто применяются итерационные методы. Свою историю итерационные методы ведут с 1825г., когда Гауссом был предложен [89] первый итерационный метод для решения сов-местрой системы линейных алгебраических уравнений. За последние годы развитие темы [18] привело к формированию двух основных направлений в построении итерационных методов: первое направление основано на использовании спектральных характеристик операторов, входящих в итерационную схему, второе связано с применением вариационных принципов - методы данного типа осуществляют последовательною минимизацию некоторого функционала, который достигает минимального значения на искомом решении системы [29, 66, 83]
Современными методами, основанных на использовании спектральных характеристик оператора системы, пришедшими на смену методу Гаусса-Зейделя (или просто Зейделя) [14, 45], являются метод последовательной верхней релаксации [14], метод симметричной последовательной верхней релаксации, блочной последовательной верхней релаксации [102, 116, 14, 45] и другие модификации.
Появление схемы продольно-поперечной прогонки (работы Писмана и Рэкфорда [105]) дало начало большому количество эффективных итерационных методов для решения систем конечно-разностных уравнений [20, 43, 44, 76, 77, 75, 80, 83, 96, 109, 110,
111].
В начале 20в. Ричардсоном для решения систем алгебраических уравнений был предложен сходящийся итерационный процесс, вопрос об оптимальном выборе и упорядочении параметров которого, решен в работах А.А. Самарского, Е.С. Николаева [70, 75, 83], В.И. Лебедева, С.А. Финогенова [59, 61, 61, 63, 67]. Развитие метода и его исследование сделано в работах [13, 28, 60]. Влияние не точно заданной информации на скорость сходимости рассматривалось в [28, 83, 90].
Методы, построенные на применении вариационных принципов, берут начало от метода наискорейшего спуска, который для решения линейных систем был применен в 1945г. Л.В. Ка-троновичем [47]. Развитие подхода привело к созданию метода минимальных невязок и метода минимальных ошибок [50, 91]. Подробнее метды вариационного типа для решения систем линейных и операторных уравнений описаны в [17, 42, 52, 66, 75, 83].
При решении некоторых задач движения идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости разностными методами возникают системы линейных алгебраических уравнений с незна-коопределенной матрицей. В этом случае чаще всего используют так называемую первую трансформацию Гаусса, то есть умножают исходную систему на сопряженную матрицу системы и получают новую систему с положительно определенной матрицей. Новую систему можно теперь решать любым итерационным методом, имеющимся в распоряжении прикладных математиков [17, 65, 66, 83, 92, 100]. Для решения таких систем можно использовать и двухступенчатые итерационные методы и варианты метода разбиения области [23, 24, 55, 87].
В последнее время большое распространения получил метод обобщенных минимальных невязок решения систем линей-
ных алгебраических уравнений с незнакоопределенной матррщей [104, 106, 107, 108, 115]. Однако сходимость данного метода не доказана и его реализация предявляет большие требования к ресурсам компьютеров, поскольку смысл такого алгоритма заключается в орогонализации большого набора векторов. При решенирі СЛАУ хорошо зарекомендовали себя схемы неполной аппроксимации, впервые предложенные Н.Н. Яненко [97]. Развитие направления прослеживается в работах [81, 25, 27, 26, 79, 15, 98] и других, одкако проблема построения метода, сходящегося в случае особенного оператора, решена не была.
В настоящее время в прикладной математике сложилась следующая цепочка: физический объект исследования - физическая модель - математическая модель - численные методы - программа для ЭВМ - расчет на ЭВМ - анализ результатов pi их сравнение с физическим объектом и другимрі данными [5, 6, 99, 68, 78]. Эта логическая последовательность выдержана в диссертационной работе.
Первая глава работы посвещена анализу физической реальности и построению математической модели, описание численных методов содержится во второй главе, в третьей - описанріе созданного программного комплекса, и в четвертой - аналріз полученных результатов и их сопоставление с данными натурных экспериментов.
Цель работы: оценка эффективности очистных сооружений (в том числе затопленных горных выработок) посредством моделирования течений в них с учетом фильтрации жидкости, оседания и диффузии примесей и построения прогнозных картин загрязнения водоема.
Идея работы состоит в построении нескольких различных математических моделей течения и распространения примесей в проточных водоемах с учетом оседания, диффузии примеси и фильтрации жидкости для описания движения конкретных загрязняющих веществ в очистных сооружениях и горных выработках затопленных угольных шахт.
Задачи исследования:
Создание модели течения в проточном водоеме (затопленной угольной шахте) с учетом процессов фильтрации жидкости через кровлю, оседания и диффузии примеси в виде замкнутой системы уравнений в частных производных.
Разработка метода и алгоритмов решения систем дифференциальных уравнений, описывающих течение и распространенные примесей в водоеме.
Создание программного комплекса для проведения исследований течения и распространения примесей в водоеме.
Проведение вычислительного эксперимента по моделированию течений и распространению примесей в конкретных водоемах.
Методы исследования. Исследование осущестлвено с использованием методов механики сплошной среды для построения математической модели, конечно-разностных методов решения краевых задач, теории итерационных методов решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений для решения систем разностных уравнений, методов объектно-ориентированного и функционального программирования для создании комплекса программ, методов многовариантного моделирования для нормализации модели и проведения вычислительного эксперимента. Научные положения, выносимые на защиту: 1. Созданая в работе физико-математическая модель течения и распространения примесей, учитывающая фильтрацию жидкости через кровлю, оседание и диффузию примеси, представленная в форме замкнутой системы уравнений в частных производных, обладает параметрической полнотой (учитывает актуальные параметры жидкости, влияющие на течение - уровень стратификации либо вязкости, - а также параметры загрязнения - коэффициент диффузии, скорость оседания частиц, интенсивность гелеобразования в осадке), в силу чего информационно достаточна для построения прогнозных течений и картин распространения примесей в водоеме.
Построенный метод решения систем линейных алгебрарі-ческих уравнений с особенным оператором обеспечивает нахождение единственного нормального решения системы. Метод решения задачи о течении идеальной жидкости, созданный для случая неограниченного по длине проточного водоема, расширяет возможности моделирования и в области конечных размеров. Параллельная версия метода неполной аппроксимации с матрицей итерационных параметров для решения систем линейных pi нелинейных алгебраических уравнений с разряженной матрицей уменьшает временные затраты на решение (при использованрш машин с разделяемой памятью) практически кратно числу использованных процессоров.
Разработанный программный комплекс расншряет возможности решения задач о тєчєнирі жидкости pi распространении пррімесей в проточных водоемах, реалргзуя модул pi, функционал которых сложно достижим стандартньїмрі средствами известных математических пакетов (Mat-Lab, TechPlot и др.)
Проведение численного эксперимента на основе трех рассмотренных моделей жидкости и распростраенния примесей является необходимым условріем для обоснованного выбора той или тех моделей течения жидкости, которые в большей степени соответствуют качественным особенностям поведения примесей.
Достоверность и обоснованность научных положений и выводов обеспечивается корректностью физико-математической модели, построением сходящріхся методов решения разностных задач, совпадением с известными точными решениями, малым отличием полученного распределения концентрацрщ примесей от данных натурных измерений (для некоторых веществ менее 10%).
Научная новизна заключается в следующем:
Предложен итерационный метод решения систем линейных алгебраических уравнений, сходящийся для неособенного pi особенного оператора системы.
Разработан чріслєнньій метод, существенно расширяющий
возможности решения задач о течении жидкости в закрытых водоемах при наличии нескольких выходных отверстий и фильтрации через стенки водоема, когда фильтрация возникает за счет разности давлений внутри области течения и вовне. При решении задачи о течении в бесконечной области реализован способ замыкания разностной задачи на конечной границе путем аппроксимации исходных уравнений внутрь области течения.
Представленный в работе пакет прикладных программ, в отличие от других, позволяет решать класс задач о течении жидкости и распространении загрязняющих веществ без дополнительной работы по программированию, что невозможно в стандартных пакетах прикладных программ. Реализована параллельная версия метода неполной аппроксимации минимальных невязок, обуславливающая распараллеливание программного кода на уровне алгоритма (независимых подзадач), в отличие от традиционного способа распараллеливания на уровне массивов.
Посредством численного моделирования движения жидкости по трем моделям и распространения примесей в затопленной шахте с учетом фильтрации жидкости через стенки выявлена эффективность использования затопленных горных выработок в качестве очистных сооружений для сточных вод углеперерабаты-вающей промышленности.
Личный вклад автора:
Получена единая математическая модель течения pi распространения примесей в проточном водоеме.
Сделаны теоретический анализ и программная реализация метода неполной аппроксимации решения систем линейных алебраических уравнений с особенным оператором. Разработана параллельная версия метода и получены для нее оценки скорости сходимости.
Создан программный комплекс для численного моделирования течения и распространения загрязнения в проточном водоеме.
Проведен вычислительный эксперимент, по результатам
которого сделан анализ эффективности утилизации суспензированных и растворенных примесей в горных выработках затопленных угольных шахт на основе динамики массовой доли примеси на выходе из шахты (на примере ш. Кольчугинская).
Научная значимость работы состоит в разработке ряда новых алгоритмов решения задач о течении жидкости, фильтрации и распространении примесей в проточных водоемах, построении и обосновании применимости алгоритмов для переноса граничных условий с бесконечности на границу конечной области, модификации метода неполной аппроксимации для решения задач с особенным оператором, получении различных картин течения и распространения примеси в водоемах различной конфигурации.
Практическая ценность работы обусловлена реализацией в программном комплексе методов решения, позволяющих проводить анализ распространения примесей и течения для различных значений времени и с учетом различных заданных внешних факторов, как-то: скорость жидкости, фильтрация, внутренние свойства частиц и жидкости, форма области решения. Получены прогнозы концентрации сточных вод ш. Кольчугинская при использовании ее в качестве очистного сооружения для сбросов горнообогатительной фабрики Комсомолец.
Аппробация работы. Материалы диссертации докладывались семинаре кафедры Вычислительной математики КемГУ «Математические модели. Методы решения»(г. Кемерово), объединенном семинаре «Информа-ционно-вычислительные технологии (численные методы механики сплошной среды)» (МВТ СО РАН, г. Новосибирск), научном семинаре кафедры UNESCO по новым информационным технологиям КемГУ (г. Кемерово), на конференции Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование (КемГУ, Кемерово, Июнь 2006), Пятой всероссийская конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (НИИПММ, г. Томск, Октябрь 2006), Всероссийской научной конференции молодых ученых «Наука. Тех-
нологии. Инновации» (г.Новосибирск, 07-10 декабря 2006 г.), VI Всероссийской научно-практической конференции «Инновационные недра Кузбасса. ГТ-технологии-2007» (КемГУ, г.Ке-мерово, 19-21 марта 2007г.), Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-20). XX (ЯГТУ, г. Ярославль, 28-31 мая 2007г.), IV Российско-германской школе по параллельным вычислениям на высокопроизводительных вычислительных системах (ИВТ СО РАН, г. Новосибирск, 09-20 июля 2007г.), Всероссийской конференции с участием иностранных ученых «Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф» IX (г. Барнаул, 17 - 22 сентября 2007), Инновационные недра Кузбасса (г. Кемерово, 20 февраля 2008), международной конференции «Вычислительные технологии в науке, технике и образовании» (г. Алматы, Казахстан, 10-14 сентября, 2008г.), XXI Всероссийской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (г. Кемерово, 30 июня - 2 июля 2009г.), X Всероссийской конференции «Проблемы мониторинга окружающей среды (ЕМ-2009)» (г. Кемерово, 27-30 октября 2009).
Публикации. По результатам диссертационного исследования было опубликовано 14 работ, из них 2 в ведущих рецензируемых научных журналах.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 114 стр., содержит 3 таблицы, 46 рисунков и список литературы из 116 наименований.
Математическая модель распространения примесей
Создание модели течения в проточном водоеме (затопленной угольной шахте) с учетом процессов фильтрации жидкости через кровлю, оседания и диффузии примеси в виде замкнутой системы уравнений в частных производных.
Разработка метода и алгоритмов решения систем дифференциальных уравнений, описывающих течение и распространенные примесей в водоеме.
Создание программного комплекса для проведения исследований течения и распространения примесей в водоеме.
Проведение вычислительного эксперимента по моделированию течений и распространению примесей в конкретных водоемах.
Методы исследования. Исследование осущестлвено с использованием методов механики сплошной среды для построения математической модели, конечно-разностных методов решения краевых задач, теории итерационных методов решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений для решения систем разностных уравнений, методов объектно-ориентированного и функционального программирования для создании комплекса программ, методов многовариантного моделирования для нормализации модели и проведения вычислительного эксперимента. Научные положения, выносимые на защиту: 1. Созданая в работе физико-математическая модель течения и распространения примесей, учитывающая фильтрацию жидкости через кровлю, оседание и диффузию примеси, представленная в форме замкнутой системы уравнений в частных производных, обладает параметрической полнотой (учитывает актуальные параметры жидкости, влияющие на течение - уровень стратификации либо вязкости, - а также параметры загрязнения - коэффициент диффузии, скорость оседания частиц, интенсивность гелеобразования в осадке), в силу чего информационно достаточна для построения прогнозных течений и картин распространения примесей в водоеме. 2. Построенный метод решения систем линейных алгебрарі-ческих уравнений с особенным оператором обеспечивает нахождение единственного нормального решения системы. Метод решения задачи о течении идеальной жидкости, созданный для случая неограниченного по длине проточного водоема, расширяет возможности моделирования и в области конечных размеров. Параллельная версия метода неполной аппроксимации с матрицей итерационных параметров для решения систем линейных PI нелинейных алгебраических уравнений с разряженной матрицей уменьшает временные затраты на решение (при использованрш машин с разделяемой памятью) практически кратно числу использованных процессоров.
Разработанный программный комплекс расншряет возможности решения задач о ТЄЧЄНИРІ жидкости PI распространении пррімесей в проточных водоемах, реалргзуя модул PI, функционал которых сложно достижим стандартньїмрі средствами известных математических пакетов (Mat-Lab, TechPlot и др.)
Проведение численного эксперимента на основе трех рассмотренных моделей жидкости и распростраенния примесей является необходимым условріем для обоснованного выбора той или тех моделей течения жидкости, которые в большей степени соответствуют качественным особенностям поведения примесей.
Достоверность и обоснованность научных положений и выводов обеспечивается корректностью физико-математической модели, построением СХОДЯЩРІХСЯ методов решения разностных задач, совпадением с известными точными решениями, малым отличием полученного распределения концентрацрщ примесей от данных натурных измерений (для некоторых веществ менее 10%).
Научная новизна заключается в следующем: 1. Предложен итерационный метод решения систем линейных алгебраических уравнений, сходящийся для неособенного PI особенного оператора системы. 2. Разработан ЧРІСЛЄННЬІЙ метод, существенно расширяющий возможности решения задач о течении жидкости в закрытых водоемах при наличии нескольких выходных отверстий и фильтрации через стенки водоема, когда фильтрация возникает за счет разности давлений внутри области течения и вовне. При решении задачи о течении в бесконечной области реализован способ замыкания разностной задачи на конечной границе путем аппроксимации исходных уравнений внутрь области течения.
Представленный в работе пакет прикладных программ, в отличие от других, позволяет решать класс задач о течении жидкости и распространении загрязняющих веществ без дополнительной работы по программированию, что невозможно в стандартных пакетах прикладных программ. Реализована параллельная версия метода неполной аппроксимации минимальных невязок, обуславливающая распараллеливание программного кода на уровне алгоритма (независимых подзадач), в отличие от традиционного способа распараллеливания на уровне массивов.
Посредством численного моделирования движения жидкости по трем моделям и распространения примесей в затопленной шахте с учетом фильтрации жидкости через стенки выявлена эффективность использования затопленных горных выработок в качестве очистных сооружений для сточных вод углеперерабаты-вающей промышленности.
Метод неполной аппроксимации для решения систем линейных и билинейных алгебраических уравнений
Если оператор А линейный, то есть А\ = 0, то в этом случае необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений с некоторой матирпей Ач. Свойства матрицы А такие как неособенность, знакоопределенность, зависят от параметров уравнений, формы области решения и сетки. Известны оценки спектра оператора Аъ для прямоугольной области решения и области решения, состоящей из прямоугольников. Аналитические оценки для бесконечной области и области непрямоугольной формы не так просты. Отсюда вытекают сложности с выбором метода решения системы. Необходим метод решения, позволяющий получить решение вне зависимости от свойств оператора системы Ач, в том числе в случае особенного оператора. Существует большое количество различных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. У каждого из них есть своя область примениния. Некоторые используются только для систем со знакоопределенными операторами, другие требуют диагонального преобладания (трехдианогальная прогонка, матричная прогонка), третьи работают для систем небольшой размерности (Зейделя, Гаусса и др.). Однако, как было сказано выше, для целого класса задач в ряде ситауций нет возможно-ти определить свойства оператора системы, или же определиние этих свойств достаточно сложно. Поэтому, особенно в пакетах прикладных программ, необходимо использовать методы, позволяющие получить решение не зависимо от свойств опретора системы. Для схемы (2.9) при А\ = 0 введем параметр ап+\ в виде диагональной матрицы размерности т. Пусть zf - вектор, і-я строка матрицы zn, тогда произведение an+iz11 можно расписать в виде: где агп+1 - элемент главной диагонали матрицы ап+і, стояший в і-й строке, zf - вектор с ненулевой і-й компонентой.
Об оптимальном выборе итерационных параметров см. [29]. Пусть S = {г : 1 г т} - множество всех индексов. Разобьем это множесто на непересекающие подмножества #1,...,. Тогда Параметры агп+1 при і Є Si будем находить из условия минимума и т.д. Несколько конкретных вариантов реализации данного алгоритма приведены в [29], там же показано, что сходимость метода существенно улучшается при применении данного подхода к выбору параметров. В силу того, что разностная задача, апрроксимирующая уравнение Гельмгольца для различных уровней стратификации и различных областей может быть особенной, то в этом пункте покажем сходимость схемы (2.9) в случае, когда оператор системы особенный. Для того, чтобы решить совместную систему уравнений в неотрицательной (А 0) матрицей воспользуемся итерационной схемой где и, f Є Н} Нт - векторное пространство размерности т, В -неособенная матрица, и0 - начальное приближение, тп+і - итерационный параметр. Для того, чтобы ип+] сходилось к нормальному решению U, необходимо выполенение нескольких условий. Одним из самых неприятных является следующее [83]: Здесь По - заданное число итераций, позволяющее получить некоторое приближение к нормальному решению системы (2.14). К сожалению, выполенние условия (2.16) может значительно ухудь-шить скорость сходимости схемы (2.15). Поэтому построим итерационную схему, которая не требовала бы выполнения условия (2.16) или аналогичного ему. Пусть матрица А системы (2.14) особенная и / _L кегАС и тем самым обобщенное решение совпадает с одним из решений (2.14). Для решения (2.14) рассмотрим итерационную схему где an+i = aiag{an vl, o -i-i an+i) диагональная матрица итерационных параметров, zn = (z",..., z7 ) - некоторый вектор. Разложим решение и и правую часть системы (2.14) / на слагаемые и = й + й, / = / + /, где й Є imA , f є ітА , й є her A, f кет А, здесь й - нормальное решение (2.14). Тогда схему (2.17) можно записать в виде Использованный в работе метод неполной аппроксимации минимальных невякок обладает важным свойством эффективности распараллеливания при использовании алгоритма на многопроцессорной вычислительной технике. Рассмотрим задачу о течении идеальной стратифицированной жидкости в проточном водоеме, течение жидкости описывается уравнением (1.4). Для аппроксимации урансний используем 5-точечный шаблон типа «крест» (рис.2.1), граничные условия заменим их разностнымрт аналогами.
Получающиеся системы линейных алгебраических уравнений решали с помощью схемы (2.9), в которой итерационные параметры вычисляются по формулам: где an.-i -диагональная матрица, &za = {z"} - набор векторов, у которых только 1-я компонента отлична от нуля, оператор А =— А + рІгЕ, А - оператор, аппроксимирующий оператор Лапласа, Е - единичный оператор. Особенностью является тот факт, что на каждой итерации при изменении значения в узле сетки с номером (i.j) повлиять эти изменения могут только на значения невязки, итерационных параметров и значений неизвестного вектора, вычисляемые лишь в узлах (г — 1, j), (г + 1, j). (г, j + 1), (г, jf — 1). Таким образом возможно выбрать расчетные узлы так, чтобы не происходило перс Серым выделены узлы, в которых производится расчет значений. Все вычисления, которые сделать для узлов, помеченных на рисунке серым цветом, можно производить независимо друг от друга, в общем случае одновременно, параллельно на нескольких процессорах, и при этом возможно ожидать сокращения времени вычислений кратно числу используемых процессоров, поскольку в данном алгоритме нет зависимостей по данным и не требуется обменных операций. После завершения вычислений в выбранных узлах сетки необходимо сдвинуть «набор» узлов таким образом, чтобы произвести вычисления в остальных узлах сетки. Процесс показан на рис.2.3. Заметим, что это не единственный вариант наложения шаблона на расчетную сетку и его смещения по сетке, необходимого для завершения вычислений во всех се узлах. Рассмотрим другой подход. Разобьем область решения на связные подобласти, количество которых будет равняться количеству процессоров, а число узлов в каждой из областей будет сбалансированным (рис.2.4).
Фильтрация идеальной стратифицированной жидкости с заданным расходом жидкости
При изучении течения жидкости в затопленной угольной шахте существенное влияние на течение оказывает фильтрация жидкости через своды шахты, поэтому необходимо также учитывать этот фактор при построении математических моделей. Встречаются следующие типы граничных условий на проницаемых для фильтрации границах области: 1. Условие заданного постоянного напора жидкости. 2. Условие, связывающее скорость фильтрации на границе с разницей давлений жидкости внутри водоема и вовне. Рассмотрим обе задачи с фильтрацией - с граничными условиями обоих типов. Изучим влиние фильтрации через дно водоема на течение. Рассмотрим водоем, представленный на рис.2.7, модели идеальной стратифицированной, идеальной нестратифи-цированной и вязкой несжимаемой жидкости. С учетом направления нормали, геометрической формы области решения и способа определения функции тока ф граничные условия для уравнения (1.4) в области, приведенной на рис.2.7, имеют вид: где v = v{x) - вертикальная составляющая вектора скорости на дне водоема, mi, гаг константы, определяющие горизонтальную составляющую вектора скорости соответственно во входном и верхнем выходном отверстиях.
При численной реализации методом сеток необходимо решать задачу в бесконечной области, но граничное условие наГоо сложно реализуемо. Поэтому для решения разностной задачи, поскольку исходные уравнения выполняются в том числе на границе Г5, мы аппроксимировали на ней исходную систему разностными уравнениями внутрь области решения, и таким образом доопределили разностную задачу. Отверстия, где использован данный подход для переноса граничных условий с бесконечности на конечную границу области решения, мы назовем «свободными». Исследуем характер течения в водоеме в зависимости от интенсивности и направления фильтрации, скоростей во входном и выходных отверстиях, уровня стратификации жидкости. Проследим изменение картины течения при изменении интенсивности фильтрации в случае потенциальной (нестратифи-цированной) жидкости ( рис.2.14) при наличии постоянной фильтрации (v = const). фильтрации жидкости внутрь водоема с постоянной скоростью v =в 0.05. Видно, что поток втекающей через входное отверсти жидкости подпирается снизу фильтрующейся жидкостью, которая вытекает из водоема только через нижнее отверстие, не проникая в верхнее. Это означает, что при появлении в водоеме жидкости другого состава, проникающей через дно за счет фильтрации, состав жидкости, забираемой через верхнее отверстие идентичен составу втекающей жидкости. При снижении скорости фильтрации сокращается объем фильтрующейся жидкости, она проникает в водоем на меньшую высоту (рис. 2.146), также вся фильтрующаяся жидкость вытекает через нижнее выходное отверстие, не проникая в верхнее.
При дальнейшем уменьшении скорости фильтрации к нулю описанная тенденция сохраняется. В случае, если скорость фильтрации равна нулю (фильтрация отсутствует), получаем картину течения, представленную на рис. 2.14в. Течение безвихревое, распространяется на всю глубину водоема. При изменении направления фильтрации часть жидкости втекающей через входное отверстие, фильтруется из водоема (рис. 2.14г). При увеличении скорости фильтрации из водоема увеличи вается часть жидкости, попавлей в водоем через входное отверстие и покинувшей водоем за счет фильтрации через дно. Это происходит до тех пор, пока вся жидкость, которая при заданных значениях скорости входного потока и фильтрации не начинает фильтроваться через дно (рис. 2.14д). При дальнейшем увеличении скорости фильтрации в нижнем выходном отверстии жидкость начинается подсасываться извне водоема, обеспечивая баланс втекающей и вытекающей жидкости. Использование «свободного» отверстия обеспечивает выполнение закона сохранения масс. Далее исследуем характер течения в водоеме без фильтрации в случае стратифицированной жидкости - на рис. 2.15 изображена картина течения, которое является вихревым. Наличие фильтрации изменяет форму и положения вихря. Обратим внимание на рис. 2.16а и 2.166. На рис 2.16а есть фильтрация из водоема через дно со скоростю 0.004. Вихрь изолирован от нижней стенки, но приближается к боковой. Как и в случае отсутствия фильтрации в водоеме имеется один центральный вихрь. В случае изменения направления фильтрации вихрь становится полностью изолирован от стен фильтрующейся жидкостью. В случае вязкой несжимаемой жидкости возможны ситуации, когда при отсутствии фильтрации имеет место вихревое течение, которое становится безвихревым при наличии фильтрации в любом направлении. Эту ситуацию иллюстрируют рис. 2.17-2.18. На рис. 2.17 при отсутствии фильтрации видно образование вихря. Его размены меньше, чем в случае стратифицированной жидкости, но вихрь остается в водоеме единственным. При наличии фильтрации вихрь исчезает (рис. 2.18 и 2.18). Далее рассмотрим случай, когда вектор скорости жидкости на дне (скорость фильтрации) является функцией от ж, и поскольку задача стационарная, функция не висит от времени: где f(x) - заданная функция, определенная во всех точках дна водоема. Самый простой выбор f(x) = const был рассмотрен ранее (v = const). Рассмотрим несколько более общих способов выбора функции, описывающей вертикальную составляющую вектора скорости. Выбор функций осуществлен таким образом, чтобы отразить возможность фильтрации в разных частях дна водоема в разрных направлениях. Данный тип фильтрации может встречаться в затопленных шахтах. Исходя из этих предпосылок были выбраны следующие функции: Первая функция характеризует постепенное падение (или возрастание) интенсивности фильтрации с изменением направления вертикальной составляющей вектора скорости внутри водоема. Коэффициенты второй функции выберем так. чтобы вертикальная составляющая вектора скорости потока через дно имела нулевое значение на концах водоема и в его центре, между этими точками вектор отличен от нуля и имеет противоположное направление в разных частях водоема. Третья функция характеризует ситуацию, когда на небольшом участке дна происходит интенсивный процесс фильтрации. Это моделирует физические процессы, когда интенсивная фильтрация происходит через разлом или трещину в дне.
Течение и распространение примесей в затопленной угольной шахте
После работы конструктора будет создан файл специализированного формата и использован в дальнейшем при проведении расчетов. Кроме построения в области решения расчетной сетки модуль предоставляет возможности экспорта созданной гео-, метрии для последующей доработки или демонстрации макета в любом другом программном средстве, поддерживающем импорт объектов.
Конструктор водоемов и сеток предназначен для работы под управлением операционной системы Windows, может быть запущен при обеспечении функционирования АРІ в системе Linux.
Расчетные модули интернированы в среду таким образом, что пользователь, оперируя только с интерфейсом, имеет возможность избежать непосредственной работы с кодом и исполняемыми, модулями.
При расчете картины течения возможно учесть различные параметры жидкости, такие как скорости течения, возможность или невозможность определения параметров течения во входных или выходных отверстий, уровень стратификации, который зависит от геометрии области решения и внутренних параметров самой жидкости (плотность, вязкость и другие).
При определении особенностей процесса распростанения при меси возможно учесть следующие параметры веществ: диффузия, скорость оседания (или всплытия) частиц в растворителе, возможность образования геля, не подверженного размыванию потоком, кристаллизация примеси.
Комплекс предоставляет возможность получить файлы в разном формате для последующей визуализации в различных графических пакетах.
ER-диаграмма базы данных программного комплекса представлена на Рис.3.4. Выбор данной структуры обусловлен возможностью четкого разделения процессов построения сетки, расчета картины течения и распространения примеси, что следует из построенной модели процесса. База данных не является нормализованной - структура двух из трех построенных таблиц полностью совпадает. Однако обе таблицы остаются в базе данных в силу следующих причин. Для проведения расчетов как течения, так и распространения примесей, необходим определенный набор параметров. Значения этих параметров более удобно хранить в виде текстового файла, поскольку для разных вариантов расчетов может быть использован разный набор параметров. Поисковые операции в текстовых файлах затруднены, поэтому необходим механизм индексирования множества однотипных текстовых файлов. Поскольку данные для расчета течения и примеси принципиально различаются, различны и механизмы индексации для двух типов файлов. Модули для расчета течения идеальной стратифицированной и идеальной нестратифицированной жидкости в серийной ре ализации. Модули для расчета течения вязкой несжимаемой жидкости в постановке «скорость»-«давление» в серийной реализации. Модули для расчета течения идеальной стратифицированной и идеальной нестратифицированной жидкости в реализации для использования на многопроцессорной технике с разделенной и разделяемой памятью. Модули для расчета течения вязкой несжимаемой жидкости в постановке «скорость»-«давление» в реализации для использования на многопроцессорной технике с разделенной и разделяемой памятью.
Комплекс для расчета характера распространения примесей в проточном водоеме в серийной реализации.
В программном комплексе отсутствует параллельная версия инструментов для решения уравнения переноса. Это обусловлено выбором метода для решения данного уравнения - метод продольно-поперечной прогонки, эффективно применяемый для уравнений данного класса, с одной стороны сложен для распараллеливания, а с другой - и в серийной версии позволяет найти решение за приемлемое время, ограниченное лишь скоростью записи данных на жесткие диски.
Модуль визуализации состоит из нескольких логических элементов: Экспорт данных в текстовые и бинарные файлы для визу ализации с использованием среды TechPlot (для Windows ХР и Linux). Экспорт данных для визуализации в Mat Lab (Windows ХР). Запись данных в файлы формама программы Paraview (Linux).
Поддерживается формат файлов и написаны скрипты для визуализации в GNU Plot. Есть возможность определения формата текстовых файлов пользователем.
Отличительной особенностью созданных модулей является принципиальная возможность их интеграции со знакомыми многим инженерам программами - MatLab и Maple. Пользовательский интерфейс, скрывающий от конечного потребителя внутренние детали такой интеграции, предоставляет все сервисы для проведения расчетов. Это позволит конечному пользователю начать работу с созданным программным средством практически без дополнительного обучения. На Рис.3.5-3.8 представлен ряд диаграмм последовательности действий пользователя программного комлекса, отражающих все варианты использования комплекса, показанные на рис.3.1.
Первым этапом работы пользователя является моделирование области течения и генерация расчетной сетки в ней - посде-ловательность действий, позволяющая достигнуть данной цели, отражена на Рис.3.5. Сначала пользователь передает в конструктор сеток, являющийся одной из подсистем комплекса, необходимый набор параметров, включающих информацию о геометрической форме области решения, после чего генерируется расчетная сетка, представляемая пользователю в визуальной форме. Если пользователь находит сетку удовлетворительной, то информация сохраняется в бинарные и текстовые файлы специализированного формата, далее набор параметров сетки и ссылки на созданные файлы сохраняются в базе данных, и после завершения процесса сохранения пользователь информируется о результатах.
