Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Краткий обзор проблемы математического моделирования экосистем 9
1.1. Общие данные по изучению экосистем 9
1.2. Краткий обзор математических подходов и моделей изучения экосистем .-. 11
1.3. О состоянии проблемы исследований и моделирования микроорганизмов 20
1.4. Краткий обзор математических моделей экосистем с распределенными параметрами 31
ГЛАВА 2. Динамические модели процессов в органической среде с сосредоточенными параметрами 37
Введение 37
2.1. Принятые допущения и классификация составляющих компонентов органической среды 39
2.2. Математическая модель процессов развития микроорганизмов 41
2.3. Формулы для вычисления коэффициентов каь кы 51
2.4. Влияние жизнедеятельности микроорганизмов на рН 53
2.5. О моделировании составных процессов 54
2.6. Упрощенная система уравнений 65
2.7. Идентификация параметров модели 67
2.8. Идентификация коэффициентов и сравнение расчетов по модели
с экспериментом 73
2.9. Уравнения в безразмерной форме 81
2.10. Учет влияния плотности микроорганизмов в моделях 82
2.11. Анализ некоторых частных случаев 83
2.12. Постановка задачи синтеза управления 93
2.13. Необходимое и достаточное условие разрешимости и общий алгоритм решения задачи синтеза параметров системы 99
2.14. Алгоритм решения оптимизационной задачи 103
2.15. Задача поддержания пищи на заданном уровне 105
ГЛАВА 3. Динамическое моделировние процессов в органической среде как системы с распределенными параметрами 107
Введение 107
3.1. Некоторые обозначения 107
3.2. Потоки миграции или переселения микроорганизмов 108
3.3. Модель развития популяции микроорганизмов ПО
3.4. Модели выделения побочных продуктов и распределения температуры 113
3.5. Модель составных процессов с распределенными параметрами 118
3.6. Анализ некоторых частных случаев 119
ГЛАВА 4. Динамическое моделирование биохимических процессов в трубчатом биореакторе 130
Введение 130
4.1. Принятые общие допущения 132
4.2. Математическая модель процессов развития популяции микроорганизмов в трубчатом биореакторе 133
4.3. Анализ некоторых частных случаев 136
4.4. Численный расчет процессов в биореакторе 141
4.5. Оценка параметров биореактора 146
4.6. Постановка задачи управления биореактором 147
4.7. Необходимое и достаточное условие разрешимости задачи управления 150
Основные результаты работы 155
Литература
- Краткий обзор математических подходов и моделей изучения экосистем
- Математическая модель процессов развития микроорганизмов
- Потоки миграции или переселения микроорганизмов
- Математическая модель процессов развития популяции микроорганизмов в трубчатом биореакторе
Введение к работе
Актуальность темы. В связи с ростом населения, его концентрацией в городах и развитием промышленного производства продуктов питания, в последнее время становится все более актуальной проблема ликвидации органических отходов жизнедеятельности человека. Обычно бытовые отходы просто выбрасывают на свалку. Но в современных городах выбрасывается столько всяких отходов, что они уже создают серьезные экологические проблемы. Одним из путей утилизации органических отходов, является использование биореакторов - больших контейнеров, в которых искусственно создаются условия для быстрого разложения отходов. При этом возможно использование продуктов разложения: выделяющийся газ можно использовать для отопления помещений или для других подобных целей, а твердые продукты являются хорошим удобрением. Для эффективного проектирования и управления такими биореакторами необходимо использовать современные математические методы. Поэтому возникает актуальная проблема разработки адекватных математических моделей процессов, протекающих в биореакторах по утилизации органических отходов и методов управления ими.
Органические отходы представляют собой сложную экосистему, состоящую из различных видов микроорганизмов, продуктов их жизнедеятельности и ряда других веществ, которые для одних видов микроорганизмов служат питанием, а для других - нейтральной, либо отравляющей средой. Возникает довольно сложная система биохимических процессов, связанная с жизнедеятельностью микроорганизмов, сопровождающаяся тепло- и массообменом, химическими и другими преобразованиями. Проблема моделирования и управления биореакторами и биохимическими процессами является актуальной. Им посвящены многочисленные исследования ученых В.Н. Афанасьева, С.Д. Варфоломеева, Д.А. Дж. Вейза, В. Вольтера, К.Г. Гуревич, М.В. Гусева, К. Джеффриза, Н.С. Егоровой, А.Н. Колмогорова, Лотки, Мальтуса, Л.А. Минеевой, Н.Н. Моисеева, Ж. Моно, Е.П. Одума, Ферхюльста, М.Н. Филимоновой, К.Ф. Форстера и многих др. Во многих работах в основном производится описательное изучение процессов, приводятся очень важные общие количественные данные о состоянии среды, или результаты экспериментальных исследований, или оценки последствий современной цивилизации. Особенно важно применение современных математических подходов и методов математического моделирования, которые позволяют прогнозировать поведение популяций микроорганизмов, управлять их развитием и функционированием. Им посвящен также ряд исследований известных специалистов в этой области Ф.А. Гарифуллина, Ю.К. Денисовой, Ф.Г. Джайро, Ф. Дж. Дойла III, В.И. Елизарова, В.М. Емельянова, Ю.М. Зайцева, С. Левина, Л.В. Недорезова, Р.С. Паркера, Дж. Скелама, Ф.Х. Тазюкова, Хошимото, Чена и многих других. Тем не менее, многие проблемы моделирования и управления популяциями микроорганизмов, например анаэробными культурами, остаются не разработанными. Данная работа посвящена решению этих проблем на основе методов математического моделирования и синтеза управления, которые успешно применялись при моделировании, управлении, исследовании устойчивости технических объектов.
Цель работы. Разработка динамических математических моделей анаэробных процессов в биореакторах, т.е. моделей сложных биологических процессов, связанных с жизнедеятельностью микроорганизмов сопровождаемых тепло- и массообменом и протекающих в ограниченных областях без доступа молекулярного кислорода, а также построение алгоритмов идентификации их параметров, методов и алгоритмов синтеза управления процессами в биореакторах.
Предметом исследования являются процессы, протекающие в биореакторах. Процессы характеризуются значительными изменениями температуры и концентрации состава среды, является важным их распределение по объему реактора и изменение по времени. Задачи исследования.
1. Построение динамической математической модели биореактора с сосредоточенными и распределенными параметрами с анаэробными:
- моно культурами,
- составными культурами.
2. Моделирование трубчатого биореактора с анаэробными моно культурами как динамического объекта с распределенными параметрами.
3. Разработка методов и алгоритмов:
- идентификации параметров моделей,
- анализа процессов в биореакторе,
- синтеза управления биореакторами на основе разработанных моделей.
4. Анализ, на основе математического моделирования, частных случаев процессов, протекающих в биореакторах.
Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использовались методы математического моделирования систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, методы теории систем, системного анализа, теории управления, информационные технологии.
Научная новизна.
1. Построены динамические математические модели процессов, протекающих в биореакторах с анаэробными моно- и составными культурами как систем с сосредоточенными параметрами. Установлена взаимная пропорциональность коэффициентов уравнений функционирования микроорганизмов.
2. Разработаны математические модели с распределенными параметрами в трехмерном пространстве.
3. Построены одномерные динамические математические модели процессов протекающих в трубчатых биореакторах с учетом теплообмена с окружающей средой.
4. Разработаны методы и алгоритмы синтеза управления биореакторами.
5. Построены методы идентификации параметров построенных моделей и проведена идентификация параметров по экспериментальным данным.
Достоверность результатов работы. Моделирование основано на фундаментальных законах сохранения массы и энергии, общепринятых допущениях принятых при моделировании биохимических процессов, при исследовании динамики систем, в теории управления, в методах исследования систем с сосредоточенными и распределенными параметрами и обще признанных экспериментальных материалах. Все выводы и алгоритмы получены строго математически.
Практическая ценность полученных научных результатов заключается в том, что разработанные модели и методы позволяют строить алгоритмы, решать задачи синтеза управления биореакторами. Разработанное программное обеспечение позволяет автоматизировать расчеты биопроцессов и определить основные технические характеристики и параметры биореакторов.
Использование работы. Результаты работы были использованы при прогнозировании процессов и оценке сроков утилизации отходов городского хозяйства при разработке программы поэтапного оздоровления экологической среды в Республике Татарстан в НИИ Физико-химических процессов.
Предложенная в диссертационной работе модель и метод идентификации параметров системы были использованы в учебном процессе при чтении курсов лекции по биотехнологии и спецподготовки аспирантов кафедры микробиологии Казанского государственного университета.
Апробация работы.
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на: международной конференции "Моделювання та оптимізація складних систем", г. Киев (2001); международной молодежной конференции "XXVII Гагаринские Чтения", г. Москва (2001); III научно-практической конференции студентов и аспирантов "Актуальные проблемы жилищно-коммунального хозяйства и социальной сферы города", г. Казань (2001); республиканской научно-практической конференции "Интеллектуальные системы и информационные технологии", г. Казань (2001); IV научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Республики Татарстан, г. Казань (2001); втором международном конгрессе "Нелинейный Динамический Анализ", г. Москва (2002); всероссийской научно-практической конференции "Инновации в науке, технике, образовании и социальной сфере", г. Казань (2003); IX итоговой научно-практической конференции студентов и молодых ученых с международным участием "Молодежь и медицинская наука в XXI веке", г. Киров (2005); Международной молодежной научной конференции "XXXI Гагаринские чтения", г. Москва (2005); научных семинарах кафедры Управления маркетинга и предпринимательства Казанского государственного технического университета им А.Н. Туполева, г. Казань (2003-2005).
Публикация результатов работы. По теме диссертации опубликованы 3 печатные работы в журнале Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева, 5 материалов конференций и 4 тезисов докладов конференций.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, приложений 1, 2. Работа изложена на 180 страницах машинописного текста, содержит 54 рисунка, 2 таблицы. Список литературы включает 120 наименований.
Краткий обзор математических подходов и моделей изучения экосистем
Исследование экосистемы, популяции живых существ настолько сложно, что проанализировать их традиционными биологическими методами не удается. Поэтому наряду с биологическими, экспериментальными методами стали применять методы математического моделирования. В математическую модель закладываются биологические представления, гипо тезы о кинетических свойствах процессов: скоростях роста, размножения, гибели, интенсивностях взаимодействия. Модель позволяет изучить качественно и количественно пространственно-временную структуру, формирующуюся в реальной или гипотетической системе, вскрыть причинно-следственные связи.
Следует отметить, что математическое моделирование не подменяет собой экспериментальные исследования, а, напротив, стимулирует накопление фактического материала, уточняет направление проводимых экспериментов. Разработка математической модельной части науки необходима также для построения прогнозов динамики реальных объектов, для научно обоснованных количественных предсказаний последствий различных воздействий на изучаемые объекты. В некоторых случаях ответы на указанные вопросы могут быть получены путем лабораторного моделирования на физических, химических, биологических моделях; это не относится, однако, к природным экосистемам, эксперименты с которыми весьма затруднены и часто недопустимы. Так осуществляется научный симбиоз математики и биологии.
Основными принципами, используемыми при построении моделей, являются универсальные законы сохранения. Балансовые уравнения мате-матико-экологических моделей основаны, как правило, на следующих законах: сохранения числа частиц (например, численности особей); сохранения вещества; сохранения энергии. Кроме того, математические модели учитывают количественные выражения принятых гипотез о специфических экологических процессах, например, о рождаемости, смертности, питании и т.п.
Различают статические и динамические модели. Известно, что численность популяции значительно колеблется, т.е. поведение популяции динамическое. Статические модели не учитывают это существенное свойство популяции. Поэтому рассмотрим обзор динамических моделей. Одной из первых динамических моделей является модель Мальтуса dN/dt = rN, (1.1) где N - численность, t - время, г - биотический потенциал. Эта модель дает неограниченный рост, так как не учитывает достаточно полно ограничивающие рост факторы. В дискретном варианте модель неограниченного роста, без учета гибели, записывается Ni+i=rNb (1.2) где і - дискретный момент времени, например, год, г - биотический потенциал. Например, для одноклеточных амеб, которые делятся каждые 3 часа надвое, г - биотический потенциал равен 2 для промежутка времени 3 часа. В лабораторных условиях экспоненциальный рост можно наблюдать в популяциях дрожжей, водорослей хлореллы, бактерий на начальных стадиях роста. Во всех случаях экспоненциальный рост наблюдается в течение коротких промежутков времени, после чего скорость роста численности снижается. Существование и успех любого организма или любой группы организмов зависит от комплекса определенных условий. Любое условие, приближающееся к пределу толерантности или превышающее его, называется лимитирующим условием, или лимитирующим фактором [107]. Исследование влияния разнообразных факторов на рост растений позволило Ю.Либиху сделать вывод о том, что "рост растений зависит от того элемента питания, который присутствует в минимальном количестве" [103, 107]. В последствии этот результат получил название "принципа минимума Либиха". Дальнейшие исследования показали, что для успешного применения этого принципа необходимо учитывать взаимодействие факторов (например, высокая концентрация, доступность или воздействие не лимитирующего фактора может изменить скорость потребления элемента питания, содержащегося в минимальном количестве), а также ограниче ние, согласно которому, закон Либиха строго применим только в условиях стационарного состояния, т.е. когда приток и отток энергии и вещества сбалансированы [107].
При практическом использовании принципа Либиха важнейшим моментом является выявление лимитирующего элемента питания. Ю.Либих определял лимитирующий ресурс по соотношению между запасами веществ в организме и в окружающей среде [3,4].
Первая работа по учету влияния ограниченности ресурсов выполнена Ферхюльстом. Модель динамики численности популяции Ферхюль-ста при ограниченных ресурсах, записывается dN/dt=rN-mN2 (1.3) N - численность популяции, г - удельная скорость роста численности (биотический потенциал), m - число встреч членов популяции, при которых они могут конкурировать за какой-либо ресурс.
Член mN2 отражает ограниченность ресурсов и происходящую в следствии этого конкуренциию за них внутри популяции. Максимальная скорость роста достигается, когда численность равняется r/2m. При значении N близком к K=r/m рост останавливается. Величину К называют емкостью среды. Она отражает возможности среды обитания предоставить популяции нужные для ее роста ресурсы. Решение уравнения (1.3) графически отображается в виде S- образной кривой. Эта кривая называется логистической кривой, а рост численности, соответствующий уравнению (1.3) - логистическим.
Математическая модель процессов развития микроорганизмов
При моделировании используется общепринятый подход, который был изложен в обзоре на частных случаях, приведенных в первой главе. Общая идея подхода заключается в том, что изменение всех основных параметров органической среды пропорционально массе mi микроорганизмов, жизнедеятельность которых является определяющим все остальные процессы. Коэффициенты пропорциональности зависят от состояния или параметров среды. Эти коэффициенты представляются полуэмпирическими формулами, и входящие параметры определяются экспериментально.
В рассматриваемой системе протекают три основных и отличных друг от друга процесса: процесс потребления питательных веществ микроорганизмами, размножение микроорганизмов и отмирание микроорганизмов. Во время протекания этих процессов образуется газ, некоторые твердые продукты жизнедеятельности микроорганизмов и выделяется или поглощается тепловая энергия. При этом присутствуют некоторые нейтральные вещества, которые часто несут некоторую функцию, например, вода, как среда, в которой происходят химические реакции. На рис.2.3 приводится общая схематическая картина составляющих процесса потребления питательных веществ микроорганизмами. Вообще говоря, это является "производственным процессом", в котором питательные вещества перерабатываются в ряд продуктов.
Структура взаимодействия отдельных составляющих этой системы и процессов, протекающих в них, приводится на рис.2.4. Стрелками изображены процессы передачи материальных веществ и тепловой энергии. Использованы следующие обозначения: ka4m1(t) - количество питательных веществ, потребляемых микроорганизмами в единицу времени, ka]mi(t) - часть потребляемых микроорганизмами питательных веществ идущая на прирост массы микроорганизмов в единицу времени, ka2mi(t) - часть потребляемых микроорганизмами питательных веществ превращающаяся в выделяемый газ в единицу времени, ka3mi(t) - часть потребляемых микроорганизмами питательных веществ превращающаяся в продукты жизнедеятельности микроорганизмов в единицу времени, ka4mi(t) кмтіО) ка5гщ(0 - количество тепла в единицу времени выделяемое (поглощаемое) в процессе потребления микроорганизмами питательных веществ, kbimi(t) - количество микроорганизмов отмирающих в единицу времени, кь2ггіі(і) - часть отмерших микроорганизмов превращающаяся в выделяемый газ в единицу времени, кьзПііО) - часть отмерших микроорганизмов превращающаяся в продукты жизнедеятельности микроорганизмов в единицу времени, kb4mi(t) - часть отмерших микроорганизмов превращающаяся в питательные вещества в единицу времени, kb5mi(t) - количество тепла в единицу времени выделяемое (поглощаемое) в процессе отмирания микроорганизмов, kai, ka2, каз, ка4, к - коэффициенты пропорциональности, связанные с потреблением микроорганизмами питательных веществ, которые зависят от условий функционирования системы, кы, кь2, кьз, kb4, кь5 - коэффициенты пропорциональности, связанные с отмиранием микроорганизмов, которые зависят от условий функционирования системы, w - количество тепла в контейнере, а - коэффициент теплоотдачи через стенку контейнера, Т - температура органической среды, Тп - температура наружной среды, S - площадь поверхности контейнера.
Приращения всех составляющих системы в единицу времени пропорциональны массе микроорганизмов гги, поскольку именно их жизнедеятельность и является основной причиной всех изменений в рассматриваемой нами органической среде. Это является обще принятым в научной литературе. Коэффициенты пропорциональности переменные, зависят от состояния системы, и некоторые могут менять свой знак. Эта переменность знака связана с процессами размножения и отмирания. Поэтому они разбиты на две части. Коэффициенты размножения каЬ каг, каз, ка4, ка5 и коэффициенты, связанные с отмиранием кы, kb2, kb3, kb4, kb5.
Потоки миграции или переселения микроорганизмов
Популяции живых организмов имеют тенденцию к миграции или переселению с одного места в другое. Вообще говоря, имеет место две тенденции: с одной стороны, переселение из среды с более плотным населением к среде с менее плотным населением, т.е. в более просторное пространство, и, с другой стороны, стремление к концентрации в области, где среда более питательна или эффективна для жизни. Происходит это в зависимости от организмов за счет различных причин, например, за счет большего прироста популяции в более благоприятной среде и большей смертности в неблагоприятной. Рассмотрим эти вопросы.
Введем прямоугольную трехмерную декартову систему координат. Точку пространства в этой системе координат обозначим через х=(хі,Х2,хз). Рассмотрим неподвижную относительно этой системы органическую среду объема V. Пусть плотность pi микроорганизмов по органической среде распределена неравномерно и зависит от времени, т.е. pi=pi(x, t), где, t - время. В силу неравномерности распределения имеет место миграция микроорганизмов из более плотно населенной среды в менее плотно населенную среду.
Поток, т.е. количество микроорганизмов проходящих через единичную площадь в единицу времени за счет неравномерности распределения их плотности примем пропорциональным градиенту плотности и направленным в направлении противоположном градиенту плотности. Это процесс диффу знойного характера. Тогда поток миграции или переселения запишется в виде: p=-ygradpb (3.1) где у - коэффициент пропорциональности миграции за счет неравномерности распределения их плотности. Вводя составляющие вектора р=(Рь р2, рз), поток миграции представим в покомпонентной форме рг-уфп/ахь (1=1,2,3) (3.2) Здесь pi представляет компоненты потока миграции или переселения.
Введем плотность ре эффективности для жизни или питательности среды, которая по объему органической среды распределена неравномерно, т.е. ре(х,і)=ре(хі,х2,хз,і). В частности плотность эффективности ре жизнедеятельности микроорганизмов можно принять равной плотности количества питательных веществ р4, т.е. ре=Р4 или пропорциональной ей, т.е. ре=гр4, где r=r(xi,X2,X3,t) - коэффициент пропорциональности, который учитывает неоднородности эффективности даже при постоянной плотности питательных веществ и изменение эффективности по времени, например, сезонности.
Плотность микроорганизмов, часть которых мигрирует, равняется Рі=рі(хі,х2,Хз,і). Поток микроорганизмов g, мигрирующих через единичную площадь в единицу времени за счет неравномерности распределения плотности эффективности жизнедеятельности микроорганизмов, примем пропорциональным плотности микроорганизмов pi и градиенту плотности эффективности и направленным в сторону градиента, т.е. g=ye pigradpe (3.3) или вводя g=( gb g2, g3), получим gi=Ye РІФЄІ/5ХІ, 0=1,2,3) (3.4) поток миграции в координатной форме за счет неравномерности питательности среды. Здесь уе - коэффициент пропорциональности миграции за счет неравномерности условий жизнедеятельности.
В декартовой системе координат выделим элементарный объем органической среды dV= dxidx2dx3. Приращение массы (количества) основных микроорганизмов в этом объеме за время dt равняется (dpi/dt)dxi dx2 dx3 dt (3.5)
Это изменение массы микроорганизмов в основном происходит по трем причинам: первая, за счет естественного размножения или гибели, вторая, за счет миграции микроорганизмов в силу их неоднородности распределения их массы и, третья, за счет миграции микроорганизмов в силу неоднородности эффективности жизнедеятельности микроорганизмов или неравномерности условий жизнедеятельности.
Математическая модель процессов развития популяции микроорганизмов в трубчатом биореакторе
Пусть координата ох направлена по оси контейнера. Начало координат х=0 расположено у входа в контейнер органической среды, а выходу органической среды из контейнера соответствует x=L. Выделим элементарный объем Sdx контейнера, ограниченный двумя сечениями х и x+dx на расстоянии dx друг от друга, где S - площадь сечения контейнера. Органическая среда полностью заполняет объем контейнера и S является и площадью сечения органической среды. Через t обозначим время, а через u-скорость перемещения органической среды вдоль оси контейнера. Будем считать скорость и и площадь сечения S постоянными величинами. Величины pi, рг, рз, р4 Р5-являются функциями, как времени t, так и координаты х.
Тогда piuSdt представляет массу микроорганизмов плотностью рь проходящих через площадь S за время dt со скоростью и. Приращение массы этих микроорганизмов в элементарном объеме Sdx за время dt равняется (dpi/3t+udpi/dx)Sdxdt. (4.1)
Это приращение массы микроорганизмов происходит за счет размножения, и гибели микроорганизмов в этом элементарном объеме Sdx. Вообще процесс жизнедеятельности микроорганизмов, т.е. их размножение, потребление питательных веществ, различные выделения, является определяющим все остальные процессы, происходящие в рассматриваемой системе. Приращение массы микроорганизмов, как это общепринято, будем считать пропорциональным их массе (количеству) в данном объеме и циональным их массе (количеству) в данном объеме и времени dt, т.е. равным k!piSdxdt, (4.2) где kj - коэффициент пропорциональности, который определяется экспериментально и зависит от условий функционирования системы, т.е. от окружающей микроорганизмы среды. Приравнивая выражения (4.1) и (4.2), получим уравнение размножения микроорганизмов (api/a+u5Pl/ax)=k,p1, р,(х,о)=р10(х), pi(o,t)=p„(t), (4.3) хє(0, L), t 0, где рю(х) - начальное распределение плотности массы микроорганизмов, pn(t) - значения плотности массы микроорганизмов у входа в биореактор.
Условия функционирования, т.е. окружающая микроорганизмы среда, характеризуются температурой, давлением, наличием других отрицательно влияющих на микроорганизмы веществ. Образовавшиеся газы непрерывно отводятся, и давление внутри контейнера будет постоянной величиной.
Количество газов, других продуктов жизнедеятельности и тепла, выделяемых микроорганизмами в единицу времени, примем прямо пропорциональными количеству микроорганизмов в данный момент времени, как это общепринято. Тепло выделяется не только микроорганизмами. Количество тепла в биореакторе, следовательно, и температура изменяется также за счет теплообмена с внешней средой. Это изменение, как принято в теплотехнике, записывается в виде a(Tn - T)pdxdt, где а - коэффициент теплоотдачи через стенку контейнера, Тп - температура наружной среды, р - периметр сечения контейнера. Если сечение круглое, то p=2n(S/n) . При a(Tn - T)pdxdt 0 тепло передается вовнутрь контейнера, а при a(Tn )pdxdt 0 наоборот. Тогда уравнения для определения плотностей р2, рз и количества тепла w=cpT запишутся в виде: dp2/dt=k2 Рь р2(х,0)=р20(х), p2(0,t)=p21(t), (4.4) (ap3/at+uap3/5x)=k3 рь р3(х,о)=р30(х), p3(o,t)=p3i(t), (4.5) (ар4/а+иф4/ х)=-k4 Рь р4(х,0)=р40(х), p4(0,t)=p4i(t), (4.6) (dcpT/dt+u acpT/5x)=k5pi+a(Tn)p/S, (4.7) Т(х,0)=То(х), хє(0, L), T(0,t) = T01(t), t 0, (4.8) где k2, кз, k4, k5 - положительные коэффициенты пропорциональности, p2o(x), Рзо(х), p4o(x), To(x) - начальные распределения, а p2i(t), p3i(t), p41(t), T0i(t) -значения у входа величин р2, рз, р4, Т, соответственно, с - теплоемкость органической среды, р - плотность нагреваемой органической среды. Она равняется сумме плотностей всех составляющих, кроме плотности газа, которая удаляется. Тогда p=pi+p3+p4+p5. Метод определения коэффициентов кь к2, кз, \ц, к5 рассмотрены во второй и третьей главах. Процесс протекает, пока р4 величина положительная.
Заметим, что газ непрерывно отводиться, поэтому уравнение (4.4) не содержит слагаемое udp2/dx. Если газ не будет отводиться, то этот член необходимо учитывать.
