Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Два численных метода решения уравнений 21
1.1. Итерационный алгоритм проектирования точки на невыпуклое многообразие в линейном нормированном пространстве 21
1.2. Частный случай метода последовательных приближений для решения автономных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр 27
Выводы к главе 1 34
Глава 2. Задача анализа баллистических структур спутниковых систем многоканальной связи, расположенных на прецессирующих эллиптических орбитах, и алгоритм ее решения 35
2.1. Основные определения и допущения. Постановка задачи 35
2.2. Индикаторы циклов и их свойства 39
2.3. Алгоритмы задачи анализа 46
2.4. Численные примеры 49
Выводы к главе 2 51
Глава 3. Задача синтеза спутниковых систем многоканальной связи, расположенных на прецессирующих эллиптических орбитах, и алгоритм ее решения 52
3.1 Постановка задачи синтеза 52
3.2. Липшицевость индикатора fc-канальной связи 55
3.3. Алгоритм задачи синтеза 63
3.4. Численные примеры ...63
Выводы к главе 3 65
Глава 4. Эволюция средних почти круговых орбит ИСЗ под влиянием нецентральности гравитационного поля Земли и лунно-солнечных возмущений 66
4.1. Постановка задачи 66
4.2. Приближение для медленных переменных 72
4.3. Приближение для быстрой переменной 83
4.4. Численные примеры 85
Выводы к главе 4 86
Заключение 87
Литература 91
- Частный случай метода последовательных приближений для решения автономных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр
- Индикаторы циклов и их свойства
- Липшицевость индикатора fc-канальной связи
- Приближение для медленных переменных
Частный случай метода последовательных приближений для решения автономных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр
Система GlobalStar также предназначена для организации спутниковой связи. Космическая группировка состоит из 48 основных ИСЗ и 4 резервных, расположенных на 8 круговых орбитах - по 6 основных ИСЗ на каждой. Наклонение орбит составляет 52, а высота — 1410км. Однако она, в отличие от ССС Iridium, не обладает независимостью от наземных телекоммуникационных сетей и не использует межспутниковые каналы связи. Последнее приводит к увеличению количества (до 200) и повышению сложности шлюзовых станций. Кроме того, ширина всей зоны обслуживания ограничена 70 северной и южной широты. Поэтому в Антарктиде, на Северном полюсе, в северных регионах России и Гренландии, в некоторых районах Северного морского пути пользование системой Giobalstar невозможно (в ССГС Iridium подобной проблемы не возникает).
Сравнение двух рассмотренных систем показывает, что ССГС обладают одним важным достоинством по сравнению с другими разновидностями ССС, а именно: они могут обеспечивать глобальную связь в реальном масштабе времени, что повышает оперативность обмена информацией между абонентами самых различных категорий. В последнее время некоторые страны проводят разработку ССГС на низких и средних орбитах, среди которых хотелось бы отметить один интересный и амбициозный проект под названием Teledesic-ICO. В рамках этого проекта первоначально планировалось задействовать до 840 низкоорбитальных спутников, однако сейчас, по имеющейся информации, размещённой на официальном сайте компании Teledesic (http://www.teledesic.com), спутниковая группировка должна состоять из 288 ИСЗ, которая разделена на 12 орбит с 24 спутниками на каждой. При этом каждый ИСЗ может обмениваться данными по каналам межспутниковой связи ISL (tntersatellite Links - ISL) с восемью своими ближайшими соседями (со скоростью до 1 ,-2Гбит/с). Так как топология сети Teledesic должна постоянно меняться, образуя новые каналы связи и разрывая старые, то, как следствие, пакеты, на которые была разбита информация, будут следовать по разным маршрутам с разной скоростью и попа дать в буфер земного терминала в произвольной последовательности. Оконечный терминал накопит пакеты в буфере, затем, используя информацию заголовков, перегруппирует их в нужном порядке и передаст конечному пользователю.
К сожалению, из большинства доступной литературы по ССГС нельзя понять ни методов проектирования таких систем, ни методов их оптимизации и, зачастую, даже баллистических параметров систем. Исключение составляют небольшие научные заметки, такие, как, например [6].
Первые открытые публикации, в которых систематически изучались методы проектирования и анализа ССГС, появились в 1993 году [7]. В них ставились задачи анализа и синтеза ССГС, расположенных на равновысоких круговых орбитах; движение ИСЗ считалось кеплеровым.
Дальнейшее развитие идей, изложенных в [7] происходило в рамках их обобщения на системы, расположенные на эллиптических орбитах и движение по-прежнему считалось невозмущенным [8]. В этих работах был развит математический аппарат моделирования ССГС и их исследования. Однако оставалось нерешенной задача создания аппарата исследований и проектирования баллистических структур ССГС, расположенных на возмущенных эллиптических орбитах. Разумеется, методами, изложенными в [7-9], можно отыскивать «нулевое приближение» баллистических параметров с тем, чтобы в дальнейшем рассматривать возмущения полученной «опорной» системы.
Возможен, однако, и другой подход; строить математическую модель с учетом эволюции орбит ИСЗ и обобщить методы, разработанные в [8,9] на исследование моделей, учитывающих возмущения. На наш взгляд, указанный подход позволит точнее определять поведение ССГС и гарантированно прогнозировать «живучесть» системы на достаточно длительные промежутки времени.
Как известно, одним из существенных возмущающих факторов является прецессия орбит, которая может достаточно быстро изменить топологию сие темы, рассчитанной для идеального кеплерового движения и тем самым сделать ее неработоспособной. Учет прецессии в самой модели позволит парировать возмущения, по крайней мере, на рассчитываемом временном промежутке.
В настоящей работе предлагаются математические модели, методы их исследования и алгоритмы анализа и синтеза баллистических структур спутниковых систем многоканальной связи, распложенных на прецессирующих эллиптических орбитах. Эти вопросы обсуждаются в главах 2 и 3 диссертации, а их результаты опубликованы в [10-14].
Следует отметить, что задачи исследования баллистических структур ССГС разбиваются на две большие подзадачи.
1) Обеспечение системой кратного обзора земной поверхности. Эта проблема изучается уже давно многими авторами. Перечисление работ и результатов, полученных в них, заняло бы очень много места, поэтому мы можем сослаться на библиографию к книге Г.В. Можаева [15].
2) Обеспечение межспутниковых связей по многим каналам (создание сети межспутниковой связи). Эта область исследований достаточно молода, и объем литературы по ней довольно немногочислен, а среди крупных работ здесь можно вновь отметить [6-9].
Индикаторы циклов и их свойства
По своему содержанию диссертация разделена на введение, 4 главы, заключение и библиографический список, включающий 57 наименований.
Во введении обсуждается современное состояние проблем, которые исследуются в диссертации, дается обоснование выбора темы, формулируются цели и задачи исследования, показывается научная новизна и практическая значимость полученных результатов, приводятся защищаемые положения, кратко излагаются полученные результаты в виде аннотаций по главам.
В главе 1 разрабатывается алгоритм нахождения ближайшего к заданной точке решения уравнения / (х) = 0, при условии, что функция / определена на выпуклом компактном множестве из линейного нормированного пространства и является гельдеровой. Рассматривается частный случай метода последовательных приближений для решения автономного дифференциального уравнения, правая часть которого содержит малый параметр є . Показывается, что если известно решение некоторого более простого уравнения и выполняются некоторые условия, то приближенное решение исходного уравнения может быть найдено с помощью видоизмененного метода последовательных приближений с погрешностью порядка о (є) па интервале времени Д/ -1 /s.
Во второй главе изучается задача анализа баллистических структур спутниковых систем многоканальной связи. Вводятся две модели межспутниковых каналов связи в системах ИСЗ на прецессирующих эллиптических орбитах. В предположении, что системы обеспечивают непрерывный обзор Земли нужной кратности, для этих моделей строятся алгоритмы анализа баллистических структур систем на предмет обеспечения многоканальной глобальной связи и организации соответствующих межспутниковых каналов. Работа алгоритмов демонстрируется несколькими примерами.
В третьей главе обсуждается вопрос синтеза баллистических параметров спутниковых систем многоканальной глобальной связи для одной из моделей, рассмотренной в гл. 2. Вводится понятие индикатора А-канальной межспутниковой связи и строится алгоритм синтеза. Теоретические результаты иллюстрируются конкретными расчетами.
Глава 4 посвящена исследованию совместных возмущений в движении ИСЗ, вызванных зональными, секториальными, генеральными гармониками геопотенциала и притяжением Луны и Солнца. В силовой функции гравитационного поля Земли учитывается произвольное количество сферических гармоник, в возмущающей функции от Солнца только главный член, а в возмущающей функции от Луны, кроме главного, еще и два параллактических. Высота полета выбирается так, что возмущения от Луны и Солнца имеют второй порядок малости по отношению к полярному сжатию Земли. В результате получены компактные формулы, дающие высокую точность па больших интервалах времени.
В заключение работы приведены основные выводы по результатам диссертационного исследования, а также некоторые направления будущих иссле дований.
В работе использована следующая нумерация утвеждений, следствий, алгоритмов, формул и таблиц. В номере первое число соответствует главе, второе - порядковому номеру внутри главы.
Слова глубочайшей признательности автор адресует своему учителю, профессору В.И. Заботину. Также он благодарит Т.Ф. Миннибаева за помощь в проведении расчетов для гл. 4.
Липшицевость индикатора fc-канальной связи
В заключение еще раз перечислим результаты, полученные в диссертационной работе. 1) Построен алгоритм поиска ближайшего к заданной точке решения уравнения /( ) = 0 на выпуклом компакте хеА при гельдеровости функции f(x), или, что то же самое, алгоритм проектирования точки на множество {xeA:f(x)-0}; доказаны его сходимость и серия следствий. 2) Получен видоизмененный метод последовательных приближений, используемый для решения некоторых автономных дифференциальных уравнений, содержащих в правой части малый параметр. Представляется перспективным использование этого метода в задаче исследования эволюции орбит ИСЗ. 3) Введены две модели систем ИСЗ на прецессирующих эллиптических орбитах -Модель 1 иМодель 2. Поставлена задача анализа баллистических структур спутниковых систем многоканальной связи. 4) Для каждой из введенных моделей обобщено понятие индикаторов цикла и получены их аналитические выражения как функций времени и параметров. Доказана липшицевость индикаторов цикла как функций времени и получены оптимальные достижимые оценки постоянных Липшица. 5) Построены алгоритмы анализа модели 1 иМодели 2,с помощью которых проведено исследование нескольких систем ИСЗ. Результаты вычислений показали эффективность полученных алгоритмов. Как и следовало ожидать (ввиду конструктивных особенностей ИСЗ), при одних и тех же параметрах орбиты Модель 2 реже удовлетворяла достаточным условиям многоканальной связи, чем Модель 1. 6) Поставлена задача синтеза структур спутниковых систем -канальной связи, расположенных на прецессирующих эллиптических орбитах. Обобщено понятие индикатора А-канальной связи и доказана его лип-шицевость как функции начальных параметров системы, по каждому из которых получены оптимальные оценки постоянных Липшица. 7)
Построен принципиальный алгоритм синтеза Модели 1 ис его помощью изучено два примера систем ИСЗ. Эффективность работы алгоритма синтеза была подтверждена алгоритмом анализа, в котором в качестве входных данных использовались результаты численного эксперимента, 8) Поставлена задача эволюции средних почти круговых орбит ИСЗ под влиянием нецентральности гравитационного поля Земли и лунно-солнечных возмущений. 9) Методом осреднения получено второе приближение для медленных переменных и первое приближение для быстрой переменной. 10) С помощью итоговых рабочих формул, полученных в гл.4, прове дено исследование движения нескольких ИСЗ. Полученное аналитиче ское решение по сравнению с численным интегрированием обеспечи ло ошибки 0,00001 для медленных переменных и 0,0001 для быст рой переменной на интервале 600 витков. Конечно, завершая исследование, мы далеки от мысли, что тем самым завершается изучение рассмотренных нами проблем. Поэтому сделаем некоторые дополнения и выскажем ряд соображений по поводу отдельных вопросов, поднятых нами в диссертационной работе. Применительно к задаче проектирования точки невыпуклое многообразие {х: f(x) = 0} при гельдеровости функции / (гл.1) можно было бы поставить вопрос об обобщении полученного алгоритма на класс функций, оцениваемых квазывыпуклыми функциями. Для более полного исследования частного случая метода последовательных приближений по степеням малого параметра (гл.1) немаловажно провести сравнительный анализ полученной погрешности с соответствующей ей в стандартном методе. По-видимому, задачу синтеза из гл, 3, можно было бы решать и методами, предложенными Г.В.
Можаевым в [15], в которых оптимизация проводится в определенном множестве классов кинематически симметричных либо кинематически правильных систем. В рамках поставленной нами задачи в гл. 4 и опираясь на работу [57], обратим внимание на то, что элементы орбиты можно выбрать таким образом, чтобы величина Y0 в уравнении для быстрой переменной являлась константой. В этом случае, зная всего лишь второе приближение для медленной переменной,- а не третье, как того требует стандартная схема осреднения Волосова [34],- можно найти второе приближение для быстрой переменной. Преимуществом этого подхода следует признать еще и то, что простота решения вырожденного уравнения существенно облегчает процедуру осреднения. Разумеется, полезно параллельно рассмотреть задачу о поведении элементов орбиты, принимая во внимание любое число гармоник в разложении возмущающей функции Луны и Солнца, а не только первые три, как это было сделано в данной работе. Для ее решения удобно воспользоваться предположе нием, что величина М,-М 0 и имеет порядок є на интервале /S.U-XIє.
Тогда при осреднение вдоль траектории вырожденного уравнения, не нарушая точности, среднюю аномалию возмущающего тела М в пертурбационной функции можно заменить на М 0 +—и. Достоинством данной замены будет являться возможность исследования так называемого резонансного движения ИСЗ, т.е. такого, при котором период обращения спутника соизмерим с периодом обращения возмущающего тела. Более того» исходная система приводится к такому виду, в котором правые части уравнений, имеющие порядок є , для медленных переменных не зависят от быстрой переменной. Это в свою очередь дает право провести процедуру осреднения, опуская требование независимости средних значений типа (4.7) для всех встречающихся функций от выбора траектории невозмущенного уравнения.
Приближение для медленных переменных
Поэтому при более детальном анализе ССС на длительных промежутках времени необходимо принимать во внимание те или иные возмущения, в зависимости от рассматриваемой модели. Самыми ощутимыми являются первые три из них, и если высоту орбиты выбрать соответствующей средней орбите, то влиянием сопротивления атмосферы можно пренебречь, оставив только гравитационные возмущения. В этой работе строится теория движения ИСЗ по почти круговым средним орбитам, учитывающая совместные гравитационные возмущения от Земли, Луны и Солнца.
Необходимо заметить, что для определения возмущений ИСЗ используются две принципиально различные группы методов: численные и аналитические методы. Численные методы позволяют вычислять координаты ИСЗ с любой наперед заданной точностью и при этом не требуют построения специальной аналитической теории движения, которое зачастую сопряжено с большими трудностями. Но они (как еще в свое время отмечал Г.Н. Дубошин [16]) имеют существенные недостатки: 1) численное интегрирование дает результаты по крайне мере на не очень больших промежутках времени; 2) приближенное решение уравнений движения соответствует вполне определенным числовым значениям начальных данных и постоянных параметров.
К этому следует добавить, во-первых, резкое возрастание сложности задачи анализа ССС в целом ввиду увеличения количества спутников, и как следствие, возрастание машинного времени расчета итоговых результатов численными методами. Во-вторых, неопределенность в проектировании ССС, а именно: отсутствие удобных рабочих формул, получаемых аналитическими методами и описывающих движение ИСЗ, практически лишает нас возможности достаточно хорошо изучить поведение системы на большом интервале времени при изменении каких-либо ее начальных параметров. Между тем, аналитические методы позволяют быстро проанализировать большое число возможных вариантов среди многопараметрического семейства возможных орбит и наглядно представить себе влияние основных параметров, существенно сузив возможную область их изменения. Из всего вышеперечисленного видно, что для исследования ССС целесообразнее применять аналитические методы, в пользу которых и был сделан выбор в данной работе.
Итак, основными гравитационными возмущениями в движении ИСЗ являются возмущения, вызываемые несферичностью Земли и притяжением Луны и Солнца. На сегодняшний день они считаются достаточно хорошо изученными (см. библиографию в [17,18]). Однако важной остается проблема поиска таких оптимальных методов определения эволюции орбит, которые бы отличались простотой, эффективностью и более точным описанием реального движения. Большинство исследователей рассматривают указанные возмущения по отдельности. Прежде всего, такое ограничение вызвано большой сложностью уравнений движения, содержащих параметры, отвечающие за взаимное расположение притягивающих тел. Естественно, что для достаточно точного определения координат ИСЗ, необходимо совместно учитывать влияние сжатия Земли и притяжение Луны и Солнца. В работе Е.П. Аксенова [19] получены весьма компактные формулы, описывающие совокупные возмущения первого порядка. Однако они не учитывают параллаксы и эксцентриситеты возмущающих тел. Путем многократного осреднения по средней аномалии спутника в [20] выделяется только вековая, а в [21] только долгопериодическая части пертурбационной функции; возмущения элементов вычисляются полуаналитическими методами и численным интегрированием. В статях [22-24] отдельно выведены вековые и дрлгопериодические возмущения, что затрудняет их комбинированный учет. Вообще говоря, следует иметь в виду, что лунно-солнечные возмущения возрастают, а возмущения от нецентральности гравитационного поля Земли убывают с ростом высоты полета ИСЗ. Поэтому, при построении различных моделей движения спутников, нужно тщательным образом обращать внимание на их соотношение между собой. Так, например, в [25-31] построены аналити ческие и численно-аналитические теории движения суточных спутников Земли, в которых величины порядков возмущений от второй зональной гармоники геопотенциала и от Луны и Солнца совпадают.
Особый интерес представляет проблема изучения движения ИСЗ, расположенных на почти круговых средних орбитах, имеющих ряд очевидных преимуществ [15] (например, при баллистическом проектировании спутниковых систем, появляется возможность использовать концепцию «номинальных» движений). Статья [32] исследует движение таких спутников, но только вблизи экватора планеты, считая орбиты внешних тел круговыми. В этой, а также во всех других упомянутых работах в пертурбационной функции гравитационного поля Земли учитывались только лишь несколько первых зональных гармоник, что, разумеется, недостаточно для анализа эволюции средних орбит. Настоящее исследование призвано восполнить указанный пробел. В данной диссертации, при помощи методики, предложенной Г.В. Можаевым в [33], и опирающейся на теорию осреднения Волосова [34], получены формулы описывающие возмущения, вызываемые зональными, секториальными, тессеральными гармониками геопотенциала и влиянием Луны и Солнца, причем для медленно изменяющихся параметров орбиты найдено второе приближение, а для быстрой переменной, описывающей скорость движения ИСЗ по орбите,- первое приближение, относящееся к лунно-солнечным возмущениям, и близкое ко второму, соответствующее возмущениям от нецентральности гравитационного поля Земли, В этой работе разработаны два метода решения уравнений, которые необходимы нам для построения аппарата исследования ССГС и используются в последующих главах. Первый метод позволяет найти проекцию заданной точки в линейном нормированном пространстве на многообразие {х : f(x)- 0}, где / - гельдерова функция, в частности, этот метод позволяет решить уравнение f(x) = 0 с указанной функцией в левой части. Опубликован метод в [35].
